江蘇省南通中學黃興豐等差數列前n項和（第一課時）1/30一、教材分析教材地位、作用教學目標

教學重點、難點

2/30教材地位與作用數列是刻畫離散現象函數，是一個主要數學模型。人們往往經過離散現象認識連續現象，所以就有必要研究數列。高中數列研究主要對象是等差、等比兩個基本數列。本節課教學內容是等差數列前n項和公式推導及其簡單應用。在推導等差數列前n項和公式過程中，采取了：1.從特殊到普通研究方法；2.等差數列基本元表示；3.逆序相加求和。不但得出了等差數列前n項和公式，而且對以后推導等比數列前n項和公式有一定啟發，也是一個慣用數學思想方法。等差數列前n項和是學習極限、微積分基礎，與數學課程其它內容（函數、三角、不等式等）有著親密聯絡。

3/30教學目標

知識與技能目標：

掌握等差數列前n項和公式，能較熟練應用等差數列前n項和公式求和。過程與方法目標：經歷公式推導過程，體會數形結合數學思想，體驗從特殊到普通研究方法，學會觀察、歸納、反思。情感、態度與價值觀目標：

取得發覺成就感，逐步養成科學嚴謹學習態度，提升代數推理能力。

4/30教學重點、難點

等差數列前n項和公式是重點。取得等差數列前n項和公式推導思緒是難點。5/30教學過程分為問題展現階段、探索與發覺階段、應用知識階段。探索與發覺公式推導思緒是教學重點。假如直接介紹“逆序相加”求和，無疑就像波利亞所說“帽子里跳出來兔子”。所以在教學中采取以問題驅動、層層鋪墊，從特殊到普通啟發學生取得公式推導方法。應用公式也是教學重點。為了讓學生較熟練掌握公式，可采取設計變式題教學伎倆，經過“選擇公式”，“變用公式”，“知三求二”三個層次來促進學生新認知結構形成。

二、教法分析6/30三、學法分析建構主義學習理論認為，學習是學生主動主動建構知識過程，學習應該與學生熟悉背景相聯絡。在教學中，讓學生在問題情境中，經歷知識形成和發展，經過觀察、操作、歸納、思索、探索、交流、反思參加學習，認識和了解數學知識，學會學習，發展能力。

7/30三、教學過程問題展現階段探究發覺階段公式應用階段8/30問題展現

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？9/30設計說明源于歷史，富有些人文氣息.圖中算數，激發學習興趣.承上啟下，探討高斯算法.10/30探究發覺學生敘述高斯首尾配正確方法

學生對高斯算法是熟悉，知道采取首尾配正確方法來求和，不過他們對這種方法認識可能處于模仿、記憶階段。

為了促進學生對這種算法深入了解，設計了下面問題。

11/30探究發覺問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

這是求奇數個項和問題，不能簡單模仿偶數個項求和方法，需要把中間項11看成首、尾兩項1和21等差中項。經過前后比較得出認識：高斯“首尾配對”算法還得分奇、偶個項情況求和。進而提出有沒有簡單方法？

12/30探究發覺問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

借助幾何圖形之直觀性，引導學生使用熟悉幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補成平行四邊形。13/30探究發覺問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

123212120191取得算法：14/30設計說明

幾何直觀能啟迪思緒，幫助了解，所以，借助幾何直觀學習和了解數學，是數學學習中主要方面。只有做到了直觀上了解，才是真正了解。所以在教學中，要勉勵學生借助幾何直觀進行思索，揭示研究對象性質和關系，從而滲透了數形結合數學思想。

15/30探究發覺從求確定前n個正整數之和到求普通項數前n個正整數之和，意在讓學生體驗“逆序相加求和”這一算法合理性，從心理上完成對“首尾配對求和”算法改進。問題2：求1到n正整數之和。

16/30探究發覺問題3：因為前面鋪墊，學生輕易得出以下過程：

追問學生：為何在等差數列中有圖形直觀等差數列性質17/30探究發覺問題4：假如蕭華同學當前還不知道等差數列這個性質，你又該怎樣解釋呢？

在圖與式啟發下，引導學生用項（首項或尾項）、公差兩個基本元表示等差數列。18/30探究發覺問題4：19/30設計說明

（方法１）

許多教學設計在介紹“等差數列前n項和”教課時，先復習或介紹等差數列性質，然后在此基礎上采取逆序相加推導公式。

（方法２）《數學》第一冊（上）（人民教育出版社）介紹推導方法是先把等差數列用項（首項、尾項）、公差兩個基本元表示，然后采取逆序相加推導公式。20/30設計說明有觀點認為方法１直接干脆，要比喻法２好。我們之所以濃墨重彩引出方法２，絕不是一味迷信教材人云亦云，而是源于以下考慮：方法１是以學生掌握了等差數列性質（教材內容一直未出現，增加了學生負擔）為基礎，起點比較高，因而方法顯得抽象一些，不輕易被學生了解和信服。方法２關鍵是等差數列基本元表示——只要給定首項（尾項）和公差就能夠確定該等差數列，反應了等差數列本質，能夠深入促進學生對等差數列了解。而且方法僅以等差數列定義為基礎，乃是學生熟悉背景知識，因而顯得比較直觀，令人信服。21/30設計說明以簡馭繁，平實近人，返樸歸真，循循善誘，引人入勝。

一言而蔽之，數學教學應努力做到：22/30公式應用選取公式變用公式知三求二23/30公式應用750080008500900095001000010500例１某長跑運動員７天里天天訓練量（單位：m）是：這位長跑運動員７天共跑了多少米？本例提供了許多數據信息，學生能夠從首項、尾項、項數出發，使用公式1，也能夠從首項、公差、項數出發，使用公式2求和。到達學生熟悉公式要素與結構教學目標。經過兩種方法比較，引導學生應該依據信息選擇適當公式，方便于計算。選取公式24/30公式應用變用公式例２等差數列－10，－6，－2，2，…前多少項和為54？本例已知首項，前n項和、而且能夠求出公差，利用公式2求項數。實際上，在兩個求和公式中各包含四個元素，從方程角度，知三必能求余一。

變式練習25/30公式應用知三求二本例是使用等差數列求和公式和通項公式求未知元。能夠使用公式2，先求出首項，再使用通項公式求尾項。也能夠使用公式1和通項公式，聯列方程組求解。實際上，在求和公式、通項公式中共有首項、公差、項數、尾項、前n項和五個元素，假如已知其中三個，聯列方程組，就可求其余二個。例３26/30課堂小結回顧從特殊到普通研究方法；體會等差數列基本元表示方法，逆序相加算法，及數形結合數學思想；掌握等差數列兩個求和公式及簡單應用。27/30作業布置A必做題：書本