1/12022北京海淀初二（上）期末數學一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個。1．（3分）下列冰雪運動項目的圖標中，是軸對稱圖形的是A． B． C． D．2．（3分）2021年10月16日，我國神舟十三號載人飛船與天和核心艙首次成功實現“徑向對接”，對接過程的控制信息通過微波傳遞．微波理論上可以在0.000003秒內接收到相距約1千米的信息．將數字0.000003用科學記數法表示應為A． B． C． D．3．（3分）下列變形是因式分解的是A． B． C． D．4．（3分）下列計算正確的是A． B． C． D．5．（3分）如圖，是等邊三角形，是邊上一點，于點．若，則的長為A．4 B．5 C．6 D．76．（3分）下列變形正確的是A． B． C． D．7．（3分）如圖，，點在線段上，，則的度數為A． B． C． D．8．（3分）某中學開展“筑夢冰雪，相約冬奧”的學科活動，設計幾何圖形作品表達對冬奧會的祝福．小冬以長方形的四條邊為邊向外作四個正方形，設計出“中”字圖案，如圖所示．若四個正方形的周長之和為24，面積之和為12，則長方形的面積為A．1 B． C．2 D．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）若分式有意義，則的取值范圍為．10．（2分）在平面直角坐標系中，點與點關于軸對稱，則點的坐標是．11．（2分）分解因式：．12．（2分）若是關于的方程的解，則的值為．13．（2分）等腰三角形的一個角等于，則它的頂角的度數是．14．（2分）在〇處填入一個整式，使關于的多項式〇可以因式分解，則〇可以為．（寫出一個即可）15．（2分）如圖，在中，為邊上的中線，于點，與交于點，連接．若平分，，，則的面積為．16．（2分）如圖，在中，，以點為圓心，長為半徑作弧交于點，交于點．再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點．作直線，若直線經過點，則的度數為．三、解答題（本題共60分，第17、18、19、21、22題4分，第20、23、24、25題5分，第26題6分，第27題7分，第28題7分）17．（4分）計算：．18．（4分）化簡：．19．（4分）化簡：．20．（5分）解方程：21．（4分）如圖，已知線段及線段外一點，過點作直線，使得．小欣的作法如下：①以點為圓心，長為半徑作弧；②以點為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點；③作直線．則直線即為所求．（1）根據小欣的作圖過程補全圖形；（2）完成下面的證明．證明：連接，，，．，點在線段的垂直平分線上．（填推理的依據），點在線段的垂直平分線上．直線為線段的垂直平分線．．22．（4分）在的正方形網格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形．圖中是一個格點三角形．請在圖1和圖2中各畫出一個與成軸對稱的格點三角形，并畫出對稱軸．23．（5分）如圖，在中，，點，在邊上，．求證：．24．（5分）已知，求代數式的值．25．（5分）某工廠現在平均每天比原計劃多生產50臺機器，現在生產600臺機器所需要的時間與原計劃生產450臺機器所需要的時間相同，現在平均每天生產多少臺機器？26．（6分）如圖1，在平面直角坐標系中，點，，，給出如下定義：若為內（不含邊界）一點，且與的一條邊相等，則稱為的友愛點．（1）在，，中，的友愛點是．（2）如圖2，若為內一點，且，求證：為的友愛點；（3）直線為過點且與軸平行的直線，若直線上存在的三個友愛點，直接寫出的取值范圍是．27．（7分）在分式中，若，為整式，分母的次數為，分子的次數為（當為常數時，，則稱分式為次分式．例如，為三次分式．（1）請寫出一個只含有字母的二次分式；（2）已知，（其中，為常數）．①若，，則，，，中，化簡后是二次分式的為；②若與的和化簡后是一次分式，且分母的次數為1，求的值．28．（7分）在中，，為延長線上一點，點為線段，的垂直平分線的交點，連接，，．（1）如圖1，當時，則；（2）當時，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點，滿足．為直線上一動點．當的值最大時，用等式表示，與之間的數量關系為，并證明．

參考答案一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個。1．【分析】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱．【解答】解：選項、、均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正整數；當原數的絕對值時，是負整數．【解答】解：．故選：．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，正確確定的值以及的值是解決問題的關鍵．3．【分析】根據因式分解的定義依次判斷即可．【解答】解：因式分解是將多項式寫成幾個整式的乘積形式，，，均不符合題意，符合題意．故選：．【點評】本題考查因式分解的定義，理解定義是求解本題的關鍵．4．【分析】利用合并同類項的法則，積的乘方的法則，同底數冪的乘法的法則，同底數冪的除法的法則對各項進行運算即可．【解答】解：、，故符合題意；、與不屬于同類項，不能合并，故不符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意；故選：．【點評】本題主要考查合并同類項，積的乘方，同底數冪的乘法，同底數冪的除法，解答的關鍵是對相應的運算法則掌握．5．【分析】根據是等邊三角形得出，由得出，從而可以求出，根據含角的直角三角形的性質求出即可．【解答】解：是等邊三角形，，，，，，，，．故選：．【點評】本題考查的是等邊三角形的性質和含角的直角三角形的性質，能求出是解此題的關鍵．6．【分析】根據分式的基本性質即可求出答案．【解答】解：、，故不符合題意．、，故符合題意．、，故不符合題意．、，故不符合題意．故選：．【點評】本題考查分式的基本性質，解題的關鍵是熟練運用分式的基本性質，本題屬于基礎題型．7．【分析】由全等三角形的性質可得，，可求得，，由三角形的內角和可求得，從而得解．【解答】解：，，，，即，，，．故選：．【點評】本題主要考查全等三角形的性質，解答的關鍵是熟記全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．8．【分析】設，，由四個正方形的周長之和為24，面積之和為12列方程求解即可．【解答】解：設，，由四個正方形的周長之和為24，面積之和為12可得，，，即①，②，由①得，③，③②得，所以，即長方形的面積為，故選：．【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，用代數式表示兩個正方形的周長和面積是解決問題的前提．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．【分析】根據分母不為零分式有意義，可得答案．【解答】解：由題意，得．解得，故答案為：．【點評】本題考查了分式有意義的條件，利用分母不為零得出不等式是解題關鍵．10．【分析】根據關于軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數，縱坐標不變，進而得出答案．【解答】解：在平面直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標是，故答案為：．【點評】此題主要考查了關于軸對稱點的性質，正確掌握點的坐標特點是解題關鍵．11．【分析】先提取公因式3，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解．【解答】解：．【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要繼續利用平方差公式進行因式分解，分解因式要徹底，直到不能再分解為止．12．【解答】解:,2x-m=3(x-3),2x-3x=-9+m,x=9-m,因為方程的解為x=4,∴4=9-m,∴m=5.故答案為513．【分析】由等腰三角形中有一個角等于，可分別從①若為頂角與②若為底角去分析求解，即可求得答案．【解答】解：分兩種情況討論：①若為頂角，則這個等腰三角形的頂角的度數為；②若為底角，則這個等腰三角形的頂角的度數為：．這個等腰三角形的頂角的度數為：或．故答案為：或．【點評】此題考查了等腰三角形的性質．解題的關鍵是掌握等邊對等角的知識，掌握分類討論思想的應用．14．【分析】根據完全平方公式的特征即可解答．【解答】解：在〇處填入一個整式，使關于的多項式〇可以因式分解，則〇可以為：，故答案為：（答案不唯一）．【點評】本題考查了因式分解運用公式法，熟練掌握完全平方公式的特征是解題的關鍵．15．【分析】過點作，由角平分線的性質可得，再由是中線，則有，利用三角形的面積公式可求得的面積．【解答】解：過點作，如圖，平分，，，，，為邊上的中線，，．故答案為：4．【點評】本題主要考查三角形的面積，解答的關鍵是熟記三角形的面積公式．16．【分析】連接、，如圖，設，利用基本作圖得到，則，所以，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和得到，接著利用得到，則根據求出，然后利用三角形外角性質計算的度數．【解答】解：連接、，如圖，設，由作法得垂直平分，，，，，，，，，，解得，．故答案為126．【點評】本題考查了作圖復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質．三、解答題（本題共60分，第17、18、19、21、22題4分，第20、23、24、25題5分，第26題6分，第27題7分，第28題7分）17．【分析】先化簡零指數冪，負整數指數冪，計算同底數冪的除法，最后進行計算即可．【解答】解：．【點評】本題考查了零指數冪，負整數指數冪，實數的運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．18．【分析】根據完全平方公式以及多項式乘多項式的運算法則計算即可．【解答】解：原式．【點評】本題主要考查了完全平方公式，多項式乘多項式，熟記相關公式和運算法則是解題的關鍵．19．【分析】先算小括號，再算中括號，最后算除法．【解答】解：原式．【點評】本題考查平方差公式和整式除法，掌握平方差公式和整式除法法則是求解本題的關鍵．20．【分析】本題的最簡公分母是，方程兩邊都乘最簡公分母，可把分式方程轉換為整式方程求解．結果要檢驗．【解答】解：去分母，得：，化簡，得：，化系數為．經檢驗，是原方程的根．【點評】（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，方程兩邊都乘最簡公分母，把分式方程轉化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最簡公分母驗根．21．【分析】（1）根據題目要求作出圖形即可；（2）利用線段的垂直平分線的判定解決問題即可．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）連接，，，．，點在線段的垂直平分線上．（到線段的兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上），點在線段的垂直平分線上．直線為線段的垂直平分線．．故答案為：到線段的兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，．【點評】本題考查作圖復雜作圖，線段的垂直平分線的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活應用所學知識解決問題．22．【分析】根據軸對稱的性質作出圖形即可．【解答】解：如圖1，2中，即為所求（答案不唯一）．【點評】本題考查作圖軸對稱變換，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質，屬于中考常考題型．23．【分析】根據證明與全等，進而利用全等三角形的性質解答即可．【解答】證明：，，，在與中，，，，，即．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據證明與全等．24．【分析】原式小括號內的式子先進行通分計算，然后算括號外面的除法，最后利用整體思想代入求值．【解答】解：原式，，，原式．【點評】本題考查分式的化簡求值，掌握分式混合運算的運算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號先算小括號里面的）和計算法則，利用整體代入求值是關鍵．25．【分析】本題考查列分式方程解實際問題的能力，因為現在生產600臺機器的時間與原計劃生產450臺機器的時間相同．所以可得等量關系為：現在生產600臺機器時間原計劃生產450臺時間．【解答】解：設：現在平均每天生產臺機器，則原計劃可生產臺．依題意得：．解得：．檢驗：當時，．是原分式方程的解．答：現在平均每天生產200臺機器．【點評】列分式方程解應用題與所有列方程解應用題一樣，重點在于準確地找出相等關系，這是列方程的依據．而難點則在于對題目已知條件的分析，也就是審題，一般來說應用題中的條件有兩種，一種是顯性的，直接在題目中明確給出，而另一種是隱性的，是以題目的隱含條件給出．本題中“現在平均每天比原計劃多生產50臺機器”就是一個隱含條件，注意挖掘．26．【分析】（1）根據軸對稱的性質和坐標得出，，，進而利用勾股定理解答即可；（2）根據三角形的內角和定理得出，進而利用等腰三角形的判定解答即可；（3）根據友愛點的概念分三種情況①②③解答即可．【解答】（1）解：，，，，，連接，，如圖，點與點關于軸對稱，點在軸上，，點是的友愛點；連接，，，過點分別作軸，軸的垂線段，，如圖，則，，，在△與△中，，△△，，點是的友愛點；連接，，，過點分別作軸，軸的垂線段，，如圖，則，，，，，，在△中，由勾股定理得，，在△中，由勾股定理得，，在△中，由勾股定理得，，點不是的友愛點；綜上所述，的友愛點是，，故答案為：，；（2）證明：在和中，，，，，，，，，，點是的友愛點；（3）解：由題意知，的友愛點，滿足或或，若，則點在線段的垂直平分線上，即軸上；若，則點在線段的垂直平分線上；若，則點在以點為圓心，長為半徑的圓弧上，設的中點為，則點的縱坐標為2，如圖，由圖可知，當直線在過點且平行于軸的直線與軸之間時，直線存在的友愛點，直線為過點且與軸平行的直線，若直線上存在的三個友愛點，則的取值范圍是；故答案為：．【點評】此題考查一次函數的綜合題，關鍵是根據軸對稱的性質和坐標以及勾股定理解答．27．【分析】（1）根據材料中的新定義求解；（2）①