專題06一元二次方程根的判別式（3個知識點3種題型1種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.一元二次方程根的判別式知識點2.一元二次方程根的判別式的應用知識點3.一元二次方程的根與系數的關系【方法二】實例探索法題型1.不解方程，判別方程根的情況題型2.一元二次方程根的判別式的應用題型3.根與系數關系的應用【方法三】仿真實戰法考法1.根的判別式【方法四】成果評定法【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根；（2）當△=0時，一元二次方程有2個相等的實數根；（3）當△<0時，一元二次方程沒有實數根.【例1】（2021·上海市康城學校八年級期末）在下列方程中，有兩個不相等實數根的是（）．A． B．C． D．知識點2.一元二次方程根的判別式的應用一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數根﹥0；（2）方程有兩個相等的實數根=0；（3）方程沒有實數根﹤0.【例2】（2020·上海松江·八年級期末）如果關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，那么m的取值范圍是___________．【變式】（2020·上海市育才初級中學）關于的方程有兩個相等的實數根，則_______．知識點3.一元二次方程的根與系數的關系一元二次方程的根與系數的關系如果一元二次方程的兩個實數根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商.【例3】（2021秋?普陀區校級月考）閱讀下列材料：關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）我們知道當△＝b2﹣4ac≥0時，這個方程的兩個實數根可以表示為x1＝，x2＝；此時兩根之和為：x1+x2＝，兩根之積為：x1?x2＝．這就是一元二次方程的根與系數關系定理：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1?x2＝，利用一元二次方程的根與系數關系定理我們不解方程直接求出方程的兩根之和與兩根之積．例如，已知x1，x2分別為一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝＝＝﹣．回答下列問題：（一）已知x1，x2分別是一元二次方程﹣x2＝x﹣4的兩根，則x1+x2＝，x1?x2＝，x12+x22＝，+＝．（二）已知關于x的方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的兩個實數根分別為x1，x2．（1）若x1，x2滿足（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝1，則k＝；（2）當+﹣2的值為整數時，求整數k的值．【變式】（2021秋?楊浦區校級期中）已知關于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在實數k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，請求出實數k的值；若不存在，請說明理由．【方法二】實例探索法題型1.不解方程，判別方程根的情況1．不解方程，判斷方程根的情況：（1）4y（4y﹣6）+9=0．（2）2y2+5y+6=0．（3）2x2=3x+1．2.已知關于的方程．不解方程，判斷該方程根的情況；題型2.一元二次方程根的判別式的應用3．（2020·上海外國語大學附屬雙語學校八年級期中）已知關于x的一元二次方程，（1）求證：無論m為任意實數，方程總有實數根．（2）如果這個方程的根的判別式的值等于1，求方程的解．4．（2020·上海金山區·八年級期中）已知關于的方程有兩個相等的實數根，求的值及方程的根．5．（2020·上海閔行區·）已知關于x的一元二次方程（m為常數）．（1）如果方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；（2）如果方程有兩個相等的實數根，求m的取值；（3）如果方程沒有實數根，求m的取值范圍；6．（2020·上海市育才初級中學）已知關于的方程，當取何值時，此方程（1）有兩個不相等的實數根；（2）沒有實數根．7．（2020·上海浦東新區·八年級期中）已知a、b、c是等腰△ABC的三邊長，其中a＝4，b和c是關于x的方程x2﹣mx+3m＝0的兩根，求m的值．8.已知a、b、c為三角形的三邊，求證：方程a2x2(a2+c2b2)x+c2=0沒有實數根.9.已知：關于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判斷方程的根的情況；(2)若△ABC為等腰三角形，BC＝5，另外兩條邊是方程的根，求此三角形的周長題型3.根與系數關系的應用10.利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和與兩根之積．x2＋4x＝0；(2)2x2－3x＝5.11.若一元二次方程的兩個實數根分別為，，求的值．12.關于x的一元二次方程－x＋p－1＝0有兩實數根、．（1）求p的取值范圍；（2）若p=0，求的值；（3）若[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，求p的值．13、已知關于x的一元二次方程．（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程有兩個實數根為，，且，求m的值．14.已知關于的一元二次方程.（1）求證：無論取何實數，該方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程的一根為3，求另一個根.15.已知關于x的方程.（1）當該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根.16.已知關于x的方程x2﹣2x+m=0有兩個不相等的實數根x1、x2（1）求實數m的取值范圍；（2）若x1﹣x2=2，求實數m的值．【方法三】仿真實戰法考法1.根的判別式1．（2023?上海）已知關于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0沒有實數根，那么a的取值范圍是．2．（2022?上海）已知x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是．3．（2021?上海）若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0無實數根，則c的取值范圍為．4．（2020?上海）如果關于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實數根，那么m的值是．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2022秋·上海奉賢·八年級校考期中）要使方程有實數根，則條件是（）A．， B．，C．，，異號或 D．，2．（2022秋·上海靜安·八年級新中初級中學校考期末）對于二項方程，當為偶數時，已知方程有兩個不相等的實數根，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．（2023·上海·八年級假期作業）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且4．（2021秋·上海·八年級統考期中）下列關于x的一元二次方程中，一定有實數解的是（

）A． B． C． D．5．（2021秋·上海青浦·八年級校考期末）關于的一元二次方程的根的情況（

）A．有兩個實數根 B．有兩個不相等的實數根C．沒有實數根 D．由的取值確定6．（2022秋·上海·八年級校考期中）關于x的方程有實數根，則k的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且二、填空題7．（2022秋·上海寶山·八年級校考期中）已知關于的一元二次方程有兩個實數根，那么的取值范圍是．8．（2022秋·上海青浦·八年級校考期中）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍為．9．（2022秋·上海普陀·八年級校考期中）已知m是常數，那么關于x的方程根的情況是.10．（2021秋·上海虹口·八年級統考期末）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則．11．（2023春·上海·八年級上海民辦南模中學校考階段練習）若一元二次方程有實數根，求的取值范圍．12．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學校考期中）如果關于x的一元二次方程沒有實數根，那么m的取值范圍是．13．（2022秋·上海·八年級校考階段練習）關于的一元二次方程有兩個相等的實數解，則14．（2022秋·上海·八年級校考階段練習）已知關于的方程的判別式的值為13，則．15．（2022秋·上海普陀·八年級校考階段練習）一元二次方程的根的情況是．16．（2021秋·上海青浦·八年級校考期末）一元二次方程的根的判別式為．17．（2022秋·上海·八年級校考階段練習）當時，有兩個不相等的實數根．18．（2021秋·上海·八年級期中）已知等腰△ABC的兩邊是關于x的方程x23mx+9m=0的兩根，第三邊的長是4，則m=.三、解答題19．（2022秋·上海靜安·八年級校考期中）已知關于的一元二次方程有一個根為，求這個方程的根的判別式的值．20．（2022秋·八年級統考期中）若關于的一元二次方程有實數根，求能取的正整數值．21．（2022秋·上海黃浦·八年級上海外國語大學附屬大境初級中學校考期中）已知關于的方程和有公共根，求：的值．22．（2022秋·上海普陀·八年級校考期中）若方程沒有實數根，試判斷方程根的情況并說明理由．23．（2022秋·上海靜安·八年級上海市民辦揚波中學校考期中）已知關于的方程，當k是什么實數時，有兩個相等的實數根，并且求出這兩個根．24．（2022秋·上海靜安·八年級上海市市西中學校考期中）已知關于x的一元二次方程（m為實數）．(1)如果該方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍．(2)如果該方程有兩個相等的實數根，求m的取值范圍．(3)如果該方程沒有實數根，求m的取值范圍．25．（2022秋·上海楊浦·八年級統考期中）已知關于的一元二次方程．(1)如果方程有兩個實數根，求的取值范圍；(2)如果等腰三角形的一條邊長為，其余兩邊的邊