2024屆內蒙古翁牛特旗烏丹二中高三第四次模擬考試數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A．8 B．32 C．64 D．1282．已知數列是公差為的等差數列，且成等比數列，則（）A．4 B．3 C．2 D．13．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的結果為（）A． B．6 C． D．4．已知實數、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．5．復數在復平面內對應的點為則（）A． B． C． D．6．一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．7．已知偶函數在區間內單調遞減，，，，則，，滿足（）A． B． C． D．8．為了進一步提升駕駛人交通安全文明意識，駕考新規要求駕校學員必須到街道路口執勤站崗，協助交警勸導交通.現有甲、乙等5名駕校學員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種9．已知甲、乙兩人獨立出行，各租用共享單車一次（假定費用只可能為、、元）．甲、乙租車費用為元的概率分別是、，甲、乙租車費用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為（）A． B． C． D．10．已知復數滿足，則（）A． B． C． D．11．設是虛數單位，則“復數為純虛數”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件12．已知函數，對任意的，，當時，，則下列判斷正確的是（）A． B．函數在上遞增C．函數的一條對稱軸是 D．函數的一個對稱中心是二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．四邊形中，，，，，則的最小值是______.14．已知實數，滿足，則目標函數的最小值為__________．15．已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上，當PA最長時，則______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.16．的展開式中的常數項為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的通項，數列為等比數列，且，，成等差數列.（1）求數列的通項；（2）設，求數列的前項和.18．（12分）某商場為改進服務質量，隨機抽取了200名進場購物的顧客進行問卷調查．調查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統計如下：滿意不滿意男4040女8040（1）是否有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關？（2）為答謝顧客，該商場對某款價格為100元/件的商品開展促銷活動．據統計，在此期間顧客購買該商品的支付情況如下：支付方式現金支付購物卡支付APP支付頻率10%30%60%優惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應事件發生的概率，記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為，求的分布列和數學期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函數與的圖象關于直線對稱.（為自然對數的底數）（1）若的圖象在點處的切線經過點，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數的最小值.20．（12分）已知函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若對任意成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知函數，.（1）若曲線在點處的切線方程為，求，；（2）當時，，求實數的取值范圍.22．（10分）小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節假日期間的某一天，每名員工休假的概率都是，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家無人休假，則調劑1人到該店維持營業，否則該店就停業.（1）求發生調劑現象的概率；（2）設營業店鋪數為X，求X的分布列和數學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據給定的程序框圖，逐次計算，結合判斷條件，即可求解.【詳解】由題意，執行上述程序框圖，可得第1次循環，滿足判斷條件，；第2次循環，滿足判斷條件，；第3次循環，滿足判斷條件，；第4次循環，滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出.故選：C.【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，結合判斷條件求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2、A【解析】

根據等差數列和等比數列公式直接計算得到答案.【詳解】由成等比數列得，即，已知，解得.故選：.【點睛】本題考查了等差數列，等比數列的基本量的計算，意在考查學生的計算能力.3、D【解析】

用列舉法，通過循環過程直接得出與的值，得到時退出循環,即可求得.【詳解】執行程序框圖，可得，，滿足條件，，，滿足條件，，，滿足條件，，，由題意，此時應該不滿足條件，退出循環，輸出S的值為.故選D．【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖的應用,正確依次寫出每次循環得到的與的值是解題的關鍵,難度較易.4、C【解析】

作出不等式組表示的平面區域，作出目標函數對應的直線，結合圖象知當直線過點時，取得最大值.【詳解】解：作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內部，如下圖表示：當目標函數經過點時，取得最大值，最大值為.故選：C.【點睛】本題主要考查線性規劃等基礎知識；考查運算求解能力，數形結合思想，應用意識,屬于中檔題.5、B【解析】

求得復數，結合復數除法運算，求得的值.【詳解】易知，則.故選：B【點睛】本小題主要考查復數及其坐標的對應，考查復數的除法運算，屬于基礎題.6、D【解析】

試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.7、D【解析】

首先由函數為偶函數，可得函數在內單調遞增，再由，即可判定大小【詳解】因為偶函數在減，所以在上增，，，，∴.故選：D【點睛】本題考查函數的奇偶性和單調性,不同類型的數比較大小,應找一個中間數,通過它實現大小關系的傳遞，屬于中檔題.8、C【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分分配到3個不同的路口，根據分步計數原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體，個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數原理，共有種方案。故選：C.【點睛】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.9、B【解析】

甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨立事件的概率公式計算即得．【詳解】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是，∴甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為．故選：B．【點睛】本題考查獨立性事件的概率．掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎．10、A【解析】

根據復數的運算法則，可得，然后利用復數模的概念，可得結果.【詳解】由題可知：由，所以所以故選：A【點睛】本題主要考查復數的運算，考驗計算，屬基礎題.11、D【解析】

結合純虛數的概念，可得，再結合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】若復數為純虛數，則，所以，若，不妨設，此時復數，不是純虛數，所以“復數為純虛數”是“”的充分不必要條件.故選：D【點睛】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數的概念，理解充分必要條件的邏輯關系是解題的關鍵，屬于基礎題.12、D【解析】

利用輔助角公式將正弦函數化簡，然后通過題目已知條件求出函數的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數的性質即可判斷.【詳解】，又，即，有且僅有滿足條件；又，則，，函數，對于A，，故A錯誤；對于B，由，解得，故B錯誤；對于C，當時，，故C錯誤；對于D，由，故D正確.故選：D【點睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數的性質，熟記性質是解題的關鍵，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

在中利用正弦定理得出，進而可知，當時，取最小值，進而計算出結果.【詳解】，如圖，在中，由正弦定理可得，即，故當時，取到最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數值，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、-1【解析】

作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出實數x，y滿足對應的平面區域如圖陰影所示；由z＝x+2y﹣1，得yx，平移直線yx，由圖象可知當直線yx經過點A時，直線yx的縱截距最小，此時z最小．由，得A（﹣1，﹣1），此時z的最小值為z＝﹣1﹣2﹣1＝﹣1，故答案為﹣1．【點睛】本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法，是基礎題15、90°【解析】

易得平面PAD，P點在與BA垂直的圓面內運動，顯然，PA是圓的直徑時，PA最長；將四棱錐補形為長方體，易得為球的直徑即可得到PD，從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖，由及，得平面PAD，即P點在與BA垂直的圓面內運動，易知，當P、、A三點共線時，PA達到最長，此時，PA是圓的直徑，則；又，所以平面ABCD，此時可將四棱錐補形為長方體，其體對角線為，底面邊長為2的正方形，易求出，高，故四棱錐體積.故答案為：(1)90°；(2).【點睛】本題四棱錐外接球有關的問題，考查學生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.16、31【解析】

由二項式定理及其展開式得通項公式得：因為的展開式得通項為，則的展開式中的常數項為：，得解.【詳解】解：，則的展開式中的常數項為：.故答案為：31.【點睛】本題考查二項式定理及其展開式的通項公式，求某項的導數，考查計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根據，，成等差數列以及為等比數列，通過直接對進行賦值計算出的首項和公比，即可求解出的通項公式；（2）的通項公式符合等差乘以等比的形式，采用錯位相減法進行求和.【詳解】（1）數列為等比數列，且，，成等差數列.設數列的公比為，，，解得（2），，，，.【點睛】本題考查等差、等比數列的綜合以及錯位相減法求和的應用，難度一般.判斷是否適合使用錯位相減法，可根據數列的通項公式是否符合等差乘以等比的形式來判斷.18、（1）有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關；（2）67元，見解析.【解析】

（1）根據表格數據代入公式，結合臨界值即得解；（2）的可能取值為40，60，80，1，根據題意依次計算概率，列出分布列，求數學期望即可.【詳解】（1）由題得，所以，有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關.（2）由題意可知的可能取值為40，60，80，1．，，，．則的分布列為4060801所以，（元）．【點睛】本題考查了統計和概率綜合，考查了列聯表，隨機變量的分布列和數學期望等知識點，考查了學生數據處理，綜合分析，數學運算的能力，屬于中檔題.19、（1）e；（2）2.【解析】

（1）根據反函數的性質，得出，再利用導數的幾何意義，求出曲線在點處的切線為，構造函數，利用導數求出單調性，即可得出的值；（2）設，求導，求出的單調性，從而得出最大值為，結合恒成立的性質，得出正整數的最小值.【詳解】（1）根據題意，與的圖象關于直線對稱，所以函數的圖象與互為反函數，則,，設點，，又，當時，，曲線在點處的切線為，即，代入點，得，即，構造函數，當時，，當時，，且，當時，單調遞增，而，故存在唯一的實數根.（2）由于不等式恒成立，可設，所以，令，得.所以當時，；當時，，因此函數在是增函數，在是減函數.故函數的最大值為.令，因為，，又因為在是減函數.所以當時，.所以正整數的最小值為2.【點睛】本題考查導數的幾何意義和利用導數解決恒成立問題，涉及到單調性、構造函數法等，考查函數思想和計算能力.20、（1）（2）【解析】

（1）把代入，利用零點分段討論法求解；（2）對任意成立轉化為求的最小值可得.【詳解】解：（1）當時，不等式可化為.討論：①當時，，所以，所以；②當時，，所以，所以；③當時，，所以，所以.綜上，當時，不等式的解集為.（2）因為，所以.又因為，對任意成立，所以，所以或.故實數的取值范圍為.【點睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法及恒成立問題，恒成立問題一般是轉化為最值問題求解，側重考查數學建模和數學運算的核心素養.21、（1