2024屆重慶一中高高三下第一次測試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數中，值域為R且為奇函數的是（）A． B． C． D．2．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點，分別為線段和棱上任意一點，則的最小值為（）A． B． C． D．3．執行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的（）A．4 B．5 C．6 D．74．下圖為一個正四面體的側面展開圖，為的中點，則在原正四面體中，直線與直線所成角的余弦值為（）A． B．C． D．5．若復數滿足（是虛數單位），則的虛部為（）A． B． C． D．6．函數的圖象大致為A． B． C． D．7．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．8．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與軸交于點，線段與交于點.若，則的方程為（）A． B． C． D．9．若是定義域為的奇函數，且，則A．的值域為 B．為周期函數，且6為其一個周期C．的圖像關于對稱 D．函數的零點有無窮多個10．已知函數，，若成立，則的最小值是（）A． B． C． D．11．為比較甲、乙兩名高二學生的數學素養，對課程標準中規定的數學六大素養進行指標測驗（指標值滿分為5分，分值高者為優），根據測驗情況繪制了如圖所示的六大素養指標雷達圖，則下面敘述正確的是（）A．乙的數據分析素養優于甲B．乙的數學建模素養優于數學抽象素養C．甲的六大素養整體水平優于乙D．甲的六大素養中數據分析最差12．已知函數．下列命題：①函數的圖象關于原點對稱；②函數是周期函數；③當時，函數取最大值；④函數的圖象與函數的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集用區間表示為__________．14．設為數列的前項和，若，則____15．在中，為定長，，若的面積的最大值為，則邊的長為____________．16．為激發學生團結協作，敢于拼搏，不言放棄的精神，某校高三5個班進行班級間的拔河比賽．每兩班之間只比賽1場，目前（—）班已賽了4場，（二）班已賽了3場，（三）班已賽了2場，（四）班已賽了1場．則目前（五）班已經參加比賽的場次為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，.（1）若，則；（2）若，求實數的取值范圍.18．（12分）已知數列，其前項和為，滿足，，其中，，，.⑴若，，（），求證：數列是等比數列；⑵若數列是等比數列，求，的值；⑶若，且，求證：數列是等差數列.19．（12分）已知函數，.（1）證明：函數的極小值點為1；（2）若函數在有兩個零點，證明：.20．（12分）已知函數，其中．（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；（Ⅱ）設，求證：；（Ⅲ）若對于恒成立，求的最大值．21．（12分）已知函數．（1）當時，求的單調區間．（2）設直線是曲線的切線，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率時切線的方程．（3）已知分別在，處取得極值，求證：．22．（10分）已知函數.（1）當時，求函數的值域.（2）設函數，若，且的最小值為，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

依次判斷函數的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.，值域為，非奇非偶函數，排除；B.，值域為，奇函數，排除；C.，值域為，奇函數，滿足；D.，值域為，非奇非偶函數，排除；故選：.【點睛】本題考查了函數的值域和奇偶性，意在考查學生對于函數知識的綜合應用.2、D【解析】

取中點，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當時，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點，過作面，如圖：則，故，而對固定的點，當時，最小．此時由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.3、C【解析】

根據程序框圖程序運算即可得.【詳解】依程序運算可得：，故選：C【點睛】本題主要考查了程序框圖的計算，解題的關鍵是理解程序框圖運行的過程.4、C【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，三點重合，記作，取中點，連接，即為與直線所成的角，表示出三角形的三條邊長，用余弦定理即可求得.【詳解】將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中三點重合，記作：則為中點，取中點，連接，設正四面體的棱長均為，由中位線定理可得且，所以即為與直線所成的角，，由余弦定理可得，所以直線與直線所成角的余弦值為，故選：C.【點睛】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應用，屬于中檔題.5、A【解析】

由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復數可得復數,從而可得的虛部.【詳解】因為,所以,所以復數的虛部為.故選A.【點睛】本題考查了復數的除法運算和復數的概念,屬于基礎題.復數除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復數,轉化為乘法運算.6、D【解析】

由題可得函數的定義域為，因為，所以函數為奇函數，排除選項B；又，，所以排除選項A、C，故選D．7、D【解析】

根據指數函數、對數函數、冪函數的單調性和正余弦函數的圖象可確定各個選項的正誤.【詳解】對于，，，錯誤；對于，在上單調遞減，，錯誤；對于，，，，錯誤；對于，在上單調遞增，，正確.故選：.【點睛】本題考查根據初等函數的單調性比較大小的問題；關鍵是熟練掌握正余弦函數圖象、指數函數、對數函數和冪函數的單調性.8、D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標準方程的求解.9、D【解析】

運用函數的奇偶性定義，周期性定義，根據表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數，則，，又，，即是以4為周期的函數，，所以函數的零點有無窮多個；因為，，令，則，即，所以的圖象關于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數的性質，主要是抽象函數的性質，運用數學式子判斷得出結論是關鍵.10、A【解析】分析：設，則，把用表示，然后令，由導數求得的最小值．詳解：設，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數，又，∴當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，是極小值也是最小值，，∴的最小值是．故選A．點睛：本題易錯選B，利用導數法求函數的最值，解題時學生可能不會將其中求的最小值問題，通過構造新函數，轉化為求函數的最小值問題，另外通過二次求導，確定函數的單調區間也很容易出錯．11、C【解析】

根據題目所給圖像，填寫好表格，由表格數據選出正確選項.【詳解】根據雷達圖得到如下數據：數學抽象邏輯推理數學建模直觀想象數學運算數據分析甲454545乙343354由數據可知選C.【點睛】本題考查統計問題，考查數據處理能力和應用意識.12、A【解析】

根據奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數特點知②錯誤；函數定義域為，最值點即為極值點，由知③錯誤；令，在和兩種情況下知均無零點，知④正確.【詳解】由題意得：定義域為，，為奇函數，圖象關于原點對稱，①正確；為周期函數，不是周期函數，不是周期函數，②錯誤；，，不是最值，③錯誤；令，當時，，，，此時與無交點；當時，，，，此時與無交點；綜上所述：與無交點，④正確.故選：.【點睛】本題考查函數與導數知識的綜合應用，涉及到函數奇偶性和周期性的判斷、函數最值的判斷、兩函數交點個數問題的求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設，則，由題意可得故當時，由不等式，可得，或求得，或故答案為（14、【解析】

當時，由，解得，當時，，兩式相減可得，即，可得數列是等比數列再求通項公式.【詳解】當時，，即，當時，，兩式相減可得，即，即，故數列是以為首項，為公比的等比數列，所以.故答案為：【點睛】本題考查數列的前項和與通項公式的關系，還考查運算求解能力以及化歸與轉化思想，屬于基礎題.15、【解析】

設，以為原點，為軸建系，則，，設，，，利用求向量模的公式，可得，根據三角形面積公式進一步求出的值即為所求.【詳解】解：設，以為原點，為軸建系，則，，設，，則，即，由，可得.則.故答案為：.【點睛】本題考查向量模的計算，建系是關鍵，屬于難題.16、2【解析】

根據比賽場次，分析，畫出圖象，計算結果.【詳解】畫圖所示，可知目前（五）班已經賽了2場．故答案為：2【點睛】本題考查推理，計數原理的圖形表示，意在考查數形結合分析問題的能力，屬于基礎題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）將代入可得集合B，解對數不等式可得集合A，由并集運算即可得解.（2）由可知B為A的子集，即；當符合題意，當B不為空集時，由不等式關系即可求得的取值范圍.【詳解】（1）若，則，依題意，故；（2）因為，故；若，即時，，符合題意；若，即時，，解得；綜上所述，實數的取值范圍為.【點睛】本題考查了集合的并集運算，由集合的包含關系求參數的取值范圍，注意討論集合是否為空集的情況，屬于基礎題.18、（1）見解析（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）(),所以，故數列是等比數列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可證數列是等差數列.試題解析：（1）證明：若，則當(),所以，即，所以，又由，，得，，即，所以，故數列是等比數列．（2）若是等比數列，設其公比為（），當時，，即，得，①當時，，即，得，②當時，，即，得，③②①，得，③②，得，解得．代入①式，得．此時()，所以，是公比為１的等比數列，故．（3）證明：若，由，得，又，解得．由，，，，代入得，所以，，成等差數列，由，得，兩式相減得：即所以相減得：所以所以，因為，所以，即數列是等差數列.19、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)利用導函數的正負確定函數的增減.(2)函數在有兩個零點，即方程在區間有兩解，令通過二次求導確定函數單調性證明參數范圍.【詳解】解：（1）證明：因為，當時，，，所以在區間遞減；當時，，所以，所以在區間遞增；且，所以函數的極小值點為1（2）函數在有兩個零點，即方程在區間有兩解，令，則令，則，所以在單調遞增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在單調遞減，在區間單調遞增，且，又因為，所以，方程關于的方程在有兩個零點，由的圖象可知，，即.【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性,確定函數的極值,利用二次求導,零點存在性定理確定參數范圍,屬于難題.20、（Ⅰ）函數的單調增區間為，單調減區間為；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）利用二次求導可得，所以在上為增函數，進而可得函數的單調增區間為，單調減區間為；（Ⅱ）利用導數可得在區間上存在唯一零點，所以函數在遞減，在，遞增，則，進而可證；（Ⅲ）條件等價于對于恒成立，構造函數，利用導數可得的單調性，即可得到的最小值為，再次構造函數（a），，利用導數得其單調區間，進而求得最大值．【詳解】（Ⅰ）當時，，則，所以，又因為，所以在上為增函數，因為，所以當時，，為增函數，當時，，為減函數，即函數的單調增區間為，單調減區間為；（Ⅱ），則令，則（1），，所以在區間上存在唯一零點，設零點為，則，且，當時，，當，，，所以函數在遞減，在，遞增，，由，得，所以，由于，，從而；（Ⅲ）因為對于恒成立，即對于恒成立，不妨令，因為，，所以的解為，則當時，，為增函數，當時，，為減函數，所以的最小值為，則，不妨令（a），，則（a），解得，所以當時，（a），（a）為增函數，當時，（a），（a）為減函數，所以（a）的最大值為，則的最大值為．【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性和最值，以及函數不等式恒成立問題的解法，意在考查學生等價轉化思想和數學運算能力，屬于較難題．21、（1）單調遞增區間為，；單調遞減區間為；（2），；（3）證明見解析．【解析】

（1）由的正負可確定的單調區間；（2）利用基本不等式可求得時，取得最小值，由導數的幾何意義可知，從而求得，求得切點坐標后，可得到切線方程；（3）由極值點的