高等數學練習試卷(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題4.綜合題5.證明題選擇題1．則常數k等于()．A．1B．2C．4D．任意實數正確答案：B解析：由題意可知，x=2時，x2－3x+k=0k=2·2．下列命題中正確的是()．A．若x0是f(x)的極值點，則必有f’(x0)=0B．若f(x)在(a，b)內有極大值也有極小值，則極大值必大于極小值C．若f’(x0)=0，則x0是f(x)的極值點D．若f(x)在點x0處可導，且點x0是f(x)的極值點，則必有f’(x0)=0正確答案：D3．若x=2是函數的可導極值點，則常數a值為()．A．－1B．C．D．1正確答案：C解析：由題意得f’(2)=0，可知4．若y=arctanex，則dy=()．A．B．C．D．正確答案：B解析：5．是級數收斂的()條件．A．充分B．必要C．充分必要D．既非充分又非必要正確答案：B6．設函數f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)，則方程f’(x)=0的實根個數為()．A．1B．2C．3D．4正確答案：C解析：由于f(x)是四次多項式，故f’(x)=0是三次方程，有3個實根·填空題7．則a=____________，b=______________．正確答案：－4，3解析：并且x2+ax+b=0，所以a=－4，b=3．8．u=f(xy，x2+2y2)，其中f為可微函數，則正確答案：yf1’+2xf2解析：令w=xy，v=x2+y2，則u=f(w，v)9．已知函數f(x)=alnx+bx2+x在x=1與x=2處有極值，則a=_________，b=____________．正確答案：解析：由題意可知：f’(1)=0，f’(2)=010．a，b為兩個非零向量，λ為非零常數，若向量a+λb垂直于向量b，則λ等于___________．正確答案：解析：a+λb垂直于向量11．已知f(cosx)=sin2x,則正確答案：解析：12．已知f(x)=ex2，f[φ(x)]=1－x，且φ(x)≥0，則φ(x)的定義域為______________．正確答案：x≤0解析：f[φ(x)]=eφ2(x)=1－x=eln(1－x)，所以于是1－x≥1，即x≤0.解答題13．求正確答案：14．求正確答案：設arctanx=t，x=tant，則：15．已知z=(x+y)exy，求dz．正確答案：因為所以dz=(1+xy+y2)exydx+(1+xy+x2)exydy．16．求正確答案：17．求y’－(cosz)y=esinx滿足y(0)=1的解．正確答案：這是一階線性非齊次微分方程，其中P(x)=－cosx，Q(x)=esins.于是方程的通解為：由y(0)=1，得C=1，故所求解為：y=esinx(x+1).18．設z=xf(x2，xy)，其中f(u，v)的二階偏導數存在，求正確答案：19．求函數y=x－ln(x+1)的單調區間，極值及其曲線的凹凸區間．正確答案：①函數的定義域為(－1，+∞)；令y’=0，德駐點x=0.又x∈(－1，+∞)于是函數的曲線恒為凹的曲線弧，即凹區間為：(－1，+∞)；③又－1＜x＜0時，y’＜0，函數遞減；0＜x＜+∞時，y’＞0，函數遞增，故函數單調遞減區間為：(－1,0)；遞增區間為：(0，+∞)；且函數在x=0處取得一極小值f(0)=0.20．求冪級數的收斂域．正確答案：令x－5=t，則收斂半徑為：當t=1時，級數發散；當t=－1時，級數發散.所以級數的收斂域為[－1,1)，那么級數的收斂域為[4,6).綜合題21．求函數f(x)=x3－3x+1的單調區間和極值．正確答案：函數的定義域為(－∞，+∞)，f’(x)=3x2-3，令f’(x)=0，得駐點x1=-1，x2=1，列表得：函數f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)和(1，+∞)，單調遞減區間為[－1,1].f(－1)=3為極大值，f(1)=－1為極小值.已知一平面圖形由拋物線yy=x2，y=x2+8圍成．22．求此平面圖形的面積；正確答案：用定積分求面積和體積，如圖，所求平面圖形的面積為23．求此平面圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體的體積．正確答案：此平面圖形繞y軸旋轉一周所成旋轉體的體積為已知某廠生產x件產品的成本C=25000+2x+x2(單位：元)．試問：24．要使平均成本最小，應生產多少件產品?正確答案：設平均成本為y，則令y’=0，得x=1000，此即為所求.25．若產品以每件500元售出，要使利潤最大，應生產多少件產品?正確答案：設利潤為L，則L=500x－(25000+200x+x2)，L’=500－200－x.令L’=0，得x=6000，此即為所求．證明題26．求出滿足下列條件的最低次多項式：當x=1時有極大值6，當x=3時有極小值2．正確答案：對于多項式有兩個極值，則該多項式的最低次數為三次．不妨設所求多項式為y=ax3+bx2+cx+d，則y’=3ax2+2bx+c，因為當x=1時有極大值6，當x=3時有極小值2，所以y(1)=6，y(3)=2，y’(1)=0，y’(3)=0．則解得27．設曲線求過曲線(2，2)點處