高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及參考答案（第四章）習(xí)題411.求下列不定積分:(1);解.(2);解.(3);解.(4);解.(5);解.(6);解.(7);解.(8);解.(9)(g是常數(shù));解.(10);解.(11);解.(12);解.(13);解.(14);解.(15);解.(16);解.(17);解.(18);解.(19);解.(20);解.(21);解.(22);解.(23);解.(24);解.(25);解.(26);解.2.一曲線通過點(diǎn)(e2,3),且在任一點(diǎn)處的切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù),求該曲線的方程.解設(shè)該曲線的方程為yf(x),則由題意得,所以.又因?yàn)榍€通過點(diǎn)(e2,3),所以有3213f(e2)ln|e2|C2C,C321.于是所求曲線的方程為yln|x|1.3.一物體由靜止開始運(yùn)動,經(jīng)t秒后的速度是3t2(m/s),問(1)在3秒后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？(2)物體走完360m需要多少時(shí)間？解設(shè)位移函數(shù)為ss(t),則sv3t2,.因?yàn)楫?dāng)t0時(shí),s0,所以C0.因此位移函數(shù)為st3.(1)在3秒后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離是ss(3)3327.(2)由t3360,得物體走完360m所需的時(shí)間s.4.證明函數(shù),exshx和exchx都是的原函數(shù).證明.因?yàn)?所以是的原函數(shù).因?yàn)?exshx)exshxexchxex(shxchx),所以exshx是的原函數(shù).因?yàn)?exchx)exchxexshxex(chxshx),所以exchx是的原函數(shù).習(xí)題421.在下列各式等號右端的空白處填入適當(dāng)?shù)南禂?shù)使等式成立(例如:(1)dxd(ax);解dxd(ax).(2)dxd(7x3);解dxd(7x3).(3)xdxd(x2);解xdxd(x2).(4)xdxd(5x2);解xdxd(5x2).(5);解.(6)x3dxd(3x42);解x3dxd(3x42).(7)e2xdxd(e2x);解e2xdxd(e2x).(8);解.(9);解.(10);解.(11);解.(12);解.(13);解.(14).解.2.求下列不定積分(其中a,b,w,j均為常數(shù)):(1);解.(2);解.(3);解.(4);解.(5);解.(6);解.(7);解.(8);解.(9);解.(10);解.(11);解.(12);解(13);解.(14);解.(15);解.(16);解.(17);解.(18);解.(19);解.(20);解.(21);解.(22);解.(23);解.(24);解.(25);解.(26);解.(27);解.(28);解.(29);解.(30);解.(31);解.(32);解.(33);解.(34)(>0);解,.(35);解.或.(36);解.(37);解.(38);解.(39);解.(40).解.習(xí)題43求下列不定積分:1.;解.2.;解.3.;解.4.;解.5.;解.6.;解因?yàn)?所以.7.;解因?yàn)?所以.8.;解.9.;解.10.解.11.;解.12.;解.13.;解.14.;解.15.;解.16.;解.17.;解.18.;解.19.;解.20.;解因?yàn)?所以.21.;解.22..解,而,,所以.習(xí)題44求下列不定積分:1.;解.2.;解.3.;解.4.;解.5.;解.6.;解.7.;解.8.;解.9.;解.10.;解.11.;解,因?yàn)?而由遞推公式,得,所以.12.;解.13.;解.或.14.;解.或.15.;解.或.16.;解.或.17.;解.18.;解.19.;解.20.;解.21.;解令,則,,.22..解令,則,,代入得.總習(xí)題四求下列不定積分(其中a,b為常數(shù)):1.;解.2.;解.3.(a>0);解.4.;解.5.;解.6.;解.7.;解.8.;解.9.;解.10.;解.11.;解.12.;解.13.;解因?yàn)?所以.14.;解..15.;解.16.;解.17.;解.18.;解.19.;解.20.;解.21.;解.22.;解.23.;解.提示:已知遞推公式.24.;解.25.;解.26.;解.27.;解.28.;解.29.;解.30.;解.31.;解.32.;解.33.;解.34.;解因?yàn)樗?35.;解.36.;解.37.;解ln|sinx|ln|1sinx|Cln|cscx1|C.38.;解.39.;解令,則.40.;解.習(xí)題8-11．設(shè)有一個面薄板（不計(jì)其厚度），占有SKIPIF1<0面上的閉區(qū)域SKIPIF1<0，薄板上分布有面密度為SKIPIF1<0的電荷，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，試用二重積分表達(dá)該板上的全部電荷SKIPIF1<0．解用一組曲線將SKIPIF1<0分成SKIPIF1<0個小閉區(qū)域SKIPIF1<0，其面積也記為SKIPIF1<0.任取一點(diǎn)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0上分布的電量SKIPIF1<0.通過求和、取極限，便得到該板上的全部電荷為SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0的直徑SKIPIF1<0．2.設(shè)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0．試?yán)枚胤e分的幾何意義說明SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關(guān)系．解由二重積分的幾何意義知，SKIPIF1<0表示底為SKIPIF1<0、頂為曲面SKIPIF1<0的曲頂柱體SKIPIF1<0的體積；SKIPIF1<0表示底為SKIPIF1<0、頂為曲面SKIPIF1<0的曲頂柱體SKIPIF1<0的體積．由于位于SKIPIF1<0上方的曲面SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0面和SKIPIF1<0面均對稱，故SKIPIF1<0面和SKIPIF1<0面將SKIPIF1<0分成四個等積的部分，其中位于第一卦限的部分即為SKIPIF1<0．由此可知SKIPIF1<0．3.利用二重積分定義證明：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為兩個無公共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域.證(1)由于被積函數(shù)SKIPIF1<0，故由二重積分定義得SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0在閉區(qū)域SKIPIF1<0上可積，故不論把SKIPIF1<0怎樣分割，積分和的極限總是不變的，因此在分割SKIPIF1<0時(shí)，可以使SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公共邊界永遠(yuǎn)是一條分割線。這樣SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的積分和就等于SKIPIF1<0上的積分和加SKIPIF1<0上的積分和，記為SKIPIF1<0令所有SKIPIF1<0的直徑的最大值SKIPIF1<0，上式兩端同時(shí)取極限，即得SKIPIF1<0根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大小：(1)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，其中積分區(qū)域SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸與直線SKIPIF1<0所圍成；(2)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，其中積分區(qū)域SKIPIF1<0是由圓周SKIPIF1<0所圍成；(3)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是三角形閉區(qū)域，三頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.解(1)在積分區(qū)域SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，根據(jù)二重積分的性質(zhì)４，可得SKIPIF1<0(2)由于積分區(qū)域SKIPIF1<0位于半平面SKIPIF1<0內(nèi)，故在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0．從而SKIPIF1<0(3)由于積分區(qū)域SKIPIF1<0位于條形區(qū)域SKIPIF1<0內(nèi)，故知SKIPIF1<0上的點(diǎn)滿足SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0(4)由于積分區(qū)域SKIPIF1<0位于半平面SKIPIF1<0內(nèi)，故在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<05.利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值：(1)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0.解(1)在積分區(qū)域SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(2)在積分區(qū)域SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(3)在積分區(qū)域SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(4)在積分區(qū)域SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0習(xí)題8-21.計(jì)算下列二重積分：(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由兩坐標(biāo)軸及直線SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的三角形閉區(qū)域．解(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0可用不等式表示為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0可用不等式表示為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0畫出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分：(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由兩條拋物線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由圓周SKIPIF1<0及SKIPIF1<0軸所圍成的右半閉區(qū)域；(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域．解(1)SKIPIF1<0可用不等式表示為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0可用不等式表示為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0可用不等式表示為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0化二重積分SKIPIF1<0為二次積分（分別列出對兩個變量先后次序不同的兩個二次積分），其中積分區(qū)域SKIPIF1<0是：(1)由直線SKIPIF1<0及拋物線SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(2)由SKIPIF1<0軸及半圓周SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(3)由直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及雙曲線SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(4)環(huán)形閉區(qū)域SKIPIF1<0．解(1)直線SKIPIF1<0及拋物線SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)將SKIPIF1<0用不等式表示為SKIPIF1<0，于是可將SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0；如將SKIPIF1<0用不等式表示為SKIPIF1<0，于是可將SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0(3)三個交點(diǎn)為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(4)將SKIPIF1<0劃分為４塊，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<04.改換下列二次積分的積分次序：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0；(6)SKIPIF1<0．解(1)所給二次積分等于二重積分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可改寫為SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(2)所給二次積分等于二重積分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可改寫為SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(3)所給二次積分等于二重積分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可改寫為SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(4)所給二次積分等于二重積分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可改寫為SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(5)所給二次積分等于二重積分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可改寫為SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(6)所給二次積分等于二重積分SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0表示為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<05.計(jì)算由四個平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所圍成柱體被平面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0截得的立體的體積．解此立體為一曲頂柱體，它的底是SKIPIF1<0面上的閉區(qū)域SKIPIF1<0，頂是曲面SKIPIF1<0，因此所求立體的體積為SKIPIF1<06.求由曲面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所圍成的立體的體積．解所求立體在SKIPIF1<0面上的投影區(qū)域?yàn)镾KIPIF1<0所求立體的體積等于兩個曲頂柱體體積的差：SKIPIF1<07.畫出積分區(qū)域，把積分SKIPIF1<0表示為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中積分區(qū)域SKIPIF1<0是：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．解(1)在極坐標(biāo)中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(2)在極坐標(biāo)中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(3)在極坐標(biāo)中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(4)在極坐標(biāo)中，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<08.化下列二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．解(1)用直線SKIPIF1<0將積分區(qū)域SKIPIF1<0分成SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩部分：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(2)在極坐標(biāo)中，直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的方程分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0。因此SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(3)在極坐標(biāo)中，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<0(4)在極坐標(biāo)中，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；兩者的交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的方程是SKIPIF1<0。因此SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<09.把下列積分化為極坐標(biāo)形式，并計(jì)算積分值：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．解(1)在極坐標(biāo)中，SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<0(2)在極坐標(biāo)中，SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<0(3)在極坐標(biāo)中，拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<0(4)在極坐標(biāo)中，積分區(qū)域SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<010.利用極坐標(biāo)計(jì)算下列各題：(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由圓周SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由圓周SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.解(1)在極坐標(biāo)中，SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<0(2)在極坐標(biāo)中，SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<011.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列各題：(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及曲線SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由圓周SKIPIF1<0及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(4)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是圓環(huán)形閉區(qū)域SKIPIF1<0．解(1)選用直角坐標(biāo)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(2)選用極坐標(biāo)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(3)選用直角坐標(biāo)，SKIPIF1<0(4)選用極坐標(biāo)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<012.求由平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以及球心在原點(diǎn)、半徑為SKIPIF1<0的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體的體積（圖8-21）．解SKIPIF1<0習(xí)題8-31.化三重積分SKIPIF1<0為三次積分，其中積分區(qū)域SKIPIF1<0分別是:(1)由雙曲線拋物面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(2)由曲面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(3)由曲面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(4)由曲面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域.解(1)SKIPIF1<0可用不等式表示為：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0可用不等式表示為：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0可用不等式表示為：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0可用不等式表示為：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<02.計(jì)算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由曲面SKIPIF1<0，與平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域.解SKIPIF1<0可用不等式表示為：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<03.計(jì)算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所圍成的四面體.解SKIPIF1<0可用不等式表示為：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<04.計(jì)算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為球面SKIPIF1<0及三個坐標(biāo)面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域.解SKIPIF1<0可用不等式表示為：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<05.計(jì)算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以及拋物柱面SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域.解SKIPIF1<0可用不等式表示為：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<06.計(jì)算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由錐面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域.解SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影區(qū)域SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<07.利用柱面計(jì)算下列三重積分:(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由曲面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由曲面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域.解(1)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影區(qū)域SKIPIF1<0，利用柱面坐標(biāo)，SKIPIF1<0可用不等式表示為：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(2)由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，從而知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影區(qū)域?yàn)镾KIPIF1<0，利用柱面坐標(biāo)，SKIPIF1<0可表示為：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<08.利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分:(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由球面SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域;(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0閉區(qū)域由不等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所確定.解(1)SKIPIF1<0(2)在球面坐標(biāo)系中，不等式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，變?yōu)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0變?yōu)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，亦即SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0可表示為SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<09.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分:(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為柱面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域；(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由球面SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域；(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由曲面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域;(4)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0閉區(qū)域由不等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所確定.解(1)利用柱面坐標(biāo)，SKIPIF1<0可表示為：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(2)在球面坐標(biāo)系中，球面SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0可表示為SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0(3)利用柱面坐標(biāo)，SKIPIF1<0可表示為：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(4)在球面坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0可表示為SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0習(xí)題8-41.求球面SKIPIF1<0含在圓柱面SKIPIF1<0內(nèi)部的那部分面積.解上半球面的方程為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0由曲面的對稱性得所求面積為SKIPIF1<02.求錐面SKIPIF1<0被柱面SKIPIF1<0所割下部分的曲面面積.解由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故曲面在SKIPIF1<0面上的投影區(qū)域SKIPIF1<0．被割曲面的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是所求曲面的面積為：SKIPIF1<03.求底圓半徑相等的兩個直交圓柱面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所圍立體的表面積.解設(shè)第一卦限內(nèi)的立體表面位于圓柱面SKIPIF1<0上的那一部分的面積為SKIPIF1<0，則由對稱性知全部表面的面積為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0故全部表面積為SKIPIF1<0．4.設(shè)薄片所占的閉區(qū)域SKIPIF1<0如下，求均勻薄片的質(zhì)心:(1)SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，所圍成；(2)SKIPIF1<0是半橢圓形閉區(qū)域SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0是介于兩個圓SKIPIF1<0之間的閉區(qū)域.解(1)設(shè)質(zhì)心為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0故所求質(zhì)心為SKIPIF1<0．(2)因SKIPIF1<0對稱于SKIPIF1<0軸，故質(zhì)心SKIPIF1<0必位于SKIPIF1<0軸上，于是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0因此所求質(zhì)心為SKIPIF1<0．(３)因SKIPIF1<0對稱于SKIPIF1<0軸，故質(zhì)心SKIPIF1<0必位于SKIPIF1<0軸上，于是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0所求質(zhì)心為SKIPIF1<0．5.設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域SKIPIF1<0由拋物線SKIPIF1<0及直線SKIPIF1<0所圍成，它在點(diǎn)SKIPIF1<0處的面密度SKIPIF1<0，求該薄片的質(zhì)心.解求得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0所求質(zhì)心為SKIPIF1<06.設(shè)有一等腰直角三角形薄片，腰長為SKIPIF1<0，各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方，求這片薄片的質(zhì)心.解面密度SKIPIF1<0，由對稱性知SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0所求質(zhì)心為SKIPIF1<07.利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍立體的質(zhì)心(設(shè)密度SKIPIF1<0):(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．解(1)曲面所圍立體為圓錐體，其頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，又由于它是勻質(zhì)的，因此它的質(zhì)心位于SKIPIF1<0軸上，即SKIPIF1<0．立體的體積為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0故所求質(zhì)心為SKIPIF1<0.(2)立體由兩個同心的上半球面和SKIPIF1<0面所圍成,關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱,又由于它是勻質(zhì)的,故其質(zhì)心位于SKIPIF1<0軸上，即SKIPIF1<0．立體的體積為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0故所求質(zhì)心為SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于立體勻質(zhì)且關(guān)于平面SKIPIF1<0對稱，故SKIPIF1<0，所求質(zhì)心為SKIPIF1<0．8.設(shè)球體占有閉區(qū)域SKIPIF1<0，它在內(nèi)部各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，試求這球體的質(zhì)心.解在球面坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0可表示為SKIPIF1<0球體內(nèi)任意一點(diǎn)SKIPIF1<0處的密度大小為SKIPIF1<0．由于球體的幾何形狀及質(zhì)量分布均關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，故可知其質(zhì)心位于SKIPIF1<0軸上，因此SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0故球體的質(zhì)心為SKIPIF1<0.9.設(shè)均勻薄片(面密度為常數(shù)1)所占閉區(qū)域SKIPIF1<0如下，求指定的轉(zhuǎn)動慣量:(1)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0由拋物線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所圍成，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0為矩形閉區(qū)域SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.解(1)SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則上式SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(３)SKIPIF1<0SKIPIF1<010.已知均勻矩形板(面密度為常量SKIPIF1<0)的長和寬分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，計(jì)算此矩形板對于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動慣量.解SKIPIF1<0SKIPIF1<011.一均勻物體(密度SKIPIF1<0為常量)占有的閉區(qū)域SKIPIF1<0由曲面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所圍成,(1)求物體的體積；(2)求物體的質(zhì)心；(3)求物體關(guān)于SKIPIF1<0軸的轉(zhuǎn)動慣量.解(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(３)SKIPIF1<012.求半徑為SKIPIF1<0、高為SKIPIF1<0的均勻圓柱體對于過中心而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量(設(shè)密度SKIPIF1<0).解SKIPIF1<0SKIPIF1<013.設(shè)面密度為常量SKIPIF1<0的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片占有閉區(qū)域SKIPIF1<0，求它對位于SKIPIF1<0軸上點(diǎn)SKIPIF1<0處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)引力SKIPIF1<0.解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，且質(zhì)量均勻分布，故SKIPIF1<0因此引力為：SKIPIF1<014.設(shè)均勻柱體密度為SKIPIF1<0，占有閉區(qū)域SKIPIF1<0，求它對于位于點(diǎn)SKIPIF1<0處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力.解由柱體的對稱性和質(zhì)量分布的均勻性知SKIPIF1<0．引力沿SKIPIF1<0軸的分量SKIPIF1<0復(fù)習(xí)題A一、填空題1.設(shè)SKIPIF1<0是正方形區(qū)域SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.SKIPIF1<02.已知SKIPIF1<0是長方形區(qū)域SKIPIF1<0，又已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______________.SKIPIF1<03.若SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0和兩坐標(biāo)軸圍城的三角形區(qū)域，則二重積分SKIPIF1<0可以表示為定積分SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0_____________.SKIPIF1<04.若SKIPIF1<0，那么區(qū)間SKIPIF1<0____________.SKIPIF1<05.若SKIPIF1<0，則區(qū)間SKIPIF1<0____________.SKIPIF1<0二、選擇題1.設(shè)SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所圍成的三角形區(qū)域，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0().A；A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<02.設(shè)SKIPIF1<0是正方形區(qū)域，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)切圓區(qū)域，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓區(qū)域，SKIPIF1<0的中心點(diǎn)在SKIPIF1<0點(diǎn)，記SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的大小順序?yàn)?)B；A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<03.將極坐標(biāo)系下的二次積分:SKIPIF1<0化為直角坐標(biāo)系下的二次積分，則SKIPIF1<0()D；A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.4.設(shè)SKIPIF1<0是第二象限內(nèi)的一個有界閉區(qū)域，而且SKIPIF