遼寧省沈陽(yáng)市丹東鐵路職工子弟中學(xué)高三數(shù)學(xué)理知識(shí)點(diǎn)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某班全體學(xué)生測(cè)試成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若高于80分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A.40 B.45 C.50 D.60參考答案：C【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，可得在之間的頻率為0.3，再根據(jù)高于80分的人數(shù)是，即可求解學(xué)生的人數(shù)，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)給定的頻率分布直方圖，可得在[80,100]之間的頻率為，又由高于80分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是人，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2.函數(shù)的圖象大致為（

）參考答案：B略3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出i的值是9，則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數(shù)是（）A．4 B．8 C．12 D．16參考答案：D【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S，i的值，當(dāng)S=16，i=9時(shí)，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出i的值為9，則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數(shù)為：16【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得i=1S=0滿足條件，S=1，i=3滿足條件，S=4，i=5滿足條件，S=9，i=7滿足條件，S=16，i=9由題意，此時(shí)，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出i的值為9，則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數(shù)為：16，故選：D．4.單位向量與的夾角為，則=(

) A． B．1 C． D．2參考答案：B考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；向量的模．專題：計(jì)算題．分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，由||=||=1，與的夾角為60°，故，，，又由=，代入即可得到答案．解答： 解：∵向量與為單位向量，且向量與的夾角為，∴，，∴===1﹣1+1=1∴=1故選B點(diǎn)評(píng)：向量的數(shù)量積運(yùn)算中，要熟練掌握如下性質(zhì)：==，5.設(shè)集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B為函數(shù)的定義域，則A∩B=（）A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]參考答案：D【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【專題】集合．【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，求出函數(shù)的定義域B，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出集合A，然后根據(jù)并集的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]，要使函數(shù)y=有意義，則x﹣1＞0，即x＞1，∴函數(shù)的定義域B=（1，+∞），則A∩B=（1，2]，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用函數(shù)成立的條件求出函數(shù)的定義域y以及利用不等式的解法求出集合A是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)6.設(shè)集合，都是的含有兩個(gè)元素的子集，且滿足：對(duì)任意的、（）都有，（表示兩個(gè)數(shù)中的較小者），則的最大值是（

）A.10

B.11

C.12

D.13

參考答案：B試題分析：根據(jù)題意，對(duì)于，含個(gè)元素的子集有個(gè)，但、、只能取一個(gè)；、只能取一個(gè)；、只能取一個(gè)，故滿足條件的兩個(gè)元素的集合有個(gè)；故選．考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.7.若函數(shù)在區(qū)間上的圖像如圖所示,則的值

可能是

A.

B．

C．

D．參考答案：B略8.已知雙曲線的一條漸近線為l，圓與l交于第一象限A、B兩點(diǎn)，若，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)可知是等邊三角形，從而可求得和；在，中，利用余弦定理可構(gòu)造出關(guān)于的方程，解出；利用圓心到漸近線的距離為即可得到的關(guān)系，從而求得離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線為：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為

是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，圓心到直線的距離為又

，在，中，由余弦定理得：，解得：圓心到直線的距離為，有：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)余弦定理求得，利用點(diǎn)到直線距離構(gòu)造出的關(guān)系式，從而得到離心率.9.已知函數(shù)f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)……(x－100)，則＝(

)

A．－99！ B．－100！ C．－98！ D．0

參考答案：A略10.函數(shù)是定義在的偶函數(shù)，則的值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.當(dāng)滿足時(shí)，則的最小值是

；參考答案：12.某個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外其它特征完全相同的7個(gè)乒乓球(袋中僅有白色和黃色兩種顏色的球)，若從袋中隨機(jī)摸一個(gè)乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是，則從袋中一次隨機(jī)摸兩個(gè)球，得到一個(gè)白色乒乓球和一個(gè)黃色乒乓球的概率是．參考答案：13.已知，則______.參考答案：10【分析】將二項(xiàng)式等價(jià)變形為，根據(jù)變形后的二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得的值.【詳解】，其通項(xiàng)公式為，故，所以.故答案為：10【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.14.若不等式組的解集中所含整數(shù)解只有-2，求的取值范圍

.參考答案：由得要使解集中只有一個(gè)整數(shù)，則由可知，不等式的解為，且，即，所以的取值范圍是。15.若對(duì)任意實(shí)數(shù)(－∞，1]，都有成立，則實(shí)數(shù)a的值為

．參考答案：題目可以轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意實(shí)數(shù)(，1]，都有成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，故在(，1]單調(diào)遞減，若，則最小值為0，與恒成立矛盾；若，要使恒成立，則，解得與矛盾．當(dāng)時(shí)，此時(shí)在(，)單調(diào)遞減，在(，1)單調(diào)遞增，此時(shí)，若，則最小值為0，與恒成立矛盾；若，要使恒成立，則．接下來(lái)令，不等式可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則，則在(，0)單調(diào)遞減，在(0，1)單調(diào)遞增，當(dāng)t＝0時(shí)，有最小值為0，即，又我們要解的不等式是，故，此時(shí)，∴．16.設(shè),則的大小關(guān)系是

;參考答案：17.若在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則

．參考答案：22018設(shè)公比為，則，（因），∴.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（14分）已知f(x)=在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2.試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案：解析：（Ⅰ）f＇(x)=4+2

∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，∴f＇(x)≥0對(duì)x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立.

①設(shè)(x)=x2－ax－2，方法一：①

－1≤a≤1，∵對(duì)x∈[－1，1]，只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(-1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí)，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.方法二：①

或

0≤a≤1

或

－1≤a≤0

－1≤a≤1.∵對(duì)x∈[－1，1]，只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(－1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí)，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.（Ⅱ）由∵△=a2+8>0∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的兩非零實(shí)根，x1+x2=a，x1x2=－2，從而|x1－x2|==.∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立.

②設(shè)g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一：②

g(－1)=m2－m－2≥0且g(1)=m2+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.方法二：當(dāng)m=0時(shí)，②顯然不成立；當(dāng)m≠0時(shí)，②

m>0，g(－1)=m2－m－2≥0

或m<0，g(1)=m2+m－2≥0

m≥2或m≤－2.所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

19.(本題滿分12分）一水渠的橫截面如下圖所示，它的橫截面曲線是拋物線形，AB寬2m，渠OC深為1.5m，水面EF距AB為0.5m.（1）求截面圖中水面寬度；（2）如把此水渠改造成橫截面是等腰梯形，要求渠深不變，不準(zhǔn)往回填土，只準(zhǔn)挖土，試求截面梯形的下邊長(zhǎng)為多大時(shí)，才能使所挖的土最少？參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用．

H7【答案解析】（1）m；（2）截面梯形的下邊長(zhǎng)為m時(shí)，才能使所挖的土最少.

解析：（1）建立如圖所示坐標(biāo)系，則拋物線方程為x2=(y+)，當(dāng)y=-0.5時(shí)，x=±，∴水面寬EF=m.（2）如上圖，設(shè)拋物線一點(diǎn)M(t,t2-)（t>0），因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿過(guò)點(diǎn)M與拋物線相切的切線挖土.由y=x2-,求導(dǎo)得y′=3x，∴過(guò)點(diǎn)M的切線斜率為3t，切線方程為y-(t2-)=3t(x-t).令y=0，則x1=,令y=-,則x2=,故截面梯形面積為S=(2x1+2x2)·=(+t)≥,當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)所挖土最少，此時(shí)下底寬m.【思路點(diǎn)撥】（1）先建立直角坐標(biāo)系，從而可得到A，B，C的坐標(biāo)，然后設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式，將A的坐標(biāo)代入即可得到拋物線的方程，再結(jié)合點(diǎn)E的縱坐標(biāo)可求得其橫坐標(biāo)，從而可求得EF的寬度．（2）先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)沿過(guò)點(diǎn)M與拋物線相切的切線挖土?xí)r挖出的土最少，然后對(duì)拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)，求得點(diǎn)M的切線的斜率，表示出切線方程，然后令y=0、﹣，求得對(duì)應(yīng)的x的值，從而表示出截面面積，最后根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可求得t的值．20.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.（1）若，，求邊c的長(zhǎng)；（2）若，求角B的大小.參考答案：（1）解：由及余弦定理，得，∴，代入，，解得.（2）解：由及正弦定理，得，∵，∴，即，解得或（舍），因?yàn)椋越菫?21.已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)若動(dòng)直線x＝t(t∈[0，π])與函數(shù)f(x)和函數(shù)的圖象分別交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值，并求出此時(shí)t的值。

參考答案：22.已知函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為（其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（I）求實(shí)數(shù)a、b的值；（II）求證：f（x）＞1．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線