山東省臨沂市師范學院附屬中學高三數學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若x＞2，則當y=取最小值時，此時x,y分別為（）A．4，3

B.3,

4

C.3、3

D．4、4參考答案：B2.函數內A.沒有零點 B.有且僅有一個零點C.有且僅有兩個零點 D.有無窮多個零點參考答案：B略3.已知函數的定義域為R，當時，，且對任意的實數，等式成立，若數列{an}滿足，且，則下列結論成立的是（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D4.閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的n的值為

（

）參考答案：B5.設函數，則

A.在上單調遞增，其圖象關于直線對稱B.在上單調遞增，其圖象關于直線對稱C.在上單調遞減，其圖象關于直線對稱D.在上單調遞減，其圖象關于直線對稱參考答案：D6.已知平面向量滿足，且，則向量與的夾角（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】數量積表示兩個向量的夾角．【分析】根據平面向量的數量積公式與夾角公式，求出cosθ與θ的值．【解答】解：設向量與的夾角為θ，θ∈[0，π]由?（+）=3可得?+=3，代入數據可得2×1×cosθ+22=3，解得cosθ=﹣，∴θ=．故選：C．7.定義在R上的函數滿足，且為偶函數，當時，有A．

B．C．

D．參考答案：A8.若關于x的不等式的解集為，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．參考答案：C9.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.函數f（x）=（）cosx的圖象大致為（）A． B．C． D．參考答案：C【考點】3O：函數的圖象．【分析】利用函數的零點排除選項，然后通過特殊點的位置判斷即可．【解答】解：函數f（x）=（）cosx，當x=時，是函數的一個零點，屬于排除A，B，當x∈（0，1）時，cosx＞0，＜0，函數f（x）=（）cosx＜0，函數的圖象在x軸下方．排除D．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設定義在R上的函數f（x）滿足，若f（1）=2，則f（107）=__________.參考答案：.試題分析：函數f（x）滿足，則，，所以，.考點：函數的周期性.12.設函數，則

；若，則實數的值為

．參考答案：.

13.函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（3）=0，且x＜0時，xf′（x）＜f（x），則不等式f（x）≥0的解集是．參考答案：{x|﹣3＜x＜0或x＞3}略14.拋物線C:上一點到其焦點的距離為3，則拋物線C的方程為_______.參考答案：【分析】利用拋物線的定義，求出p，即可求C的方程；【詳解】拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準線方程為x，由拋物線的定義可知13，解得p＝4，∴C的方程為y2＝8x；故答案為15.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在線段AD'上運動，則異面直線CP與BA'所成的角θ的取值范圍是．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角．【分析】由A'B∥D'C，得CP與A'B成角可化為CP與D'C成角，由此能求出異面直線CP與BA′所成的角θ的取值范圍．【解答】解：∵A'B∥D'C，∴CP與A'B成角可化為CP與D1C成角．∵△AD'C是正三角形可知當P與A重合時成角為，∵P不能與D'重合因為此時D'C與A'B平行而不是異面直線，∴．故答案為：．16.已知函數f(x)＝，若f(a)＝，則f(－a)

．參考答案：17.若，則__________．參考答案：3，所以.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖4，在斜三棱柱中，點O、E分別是的中點，，已知∠BCA=90°，.(1)證明：OE∥平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案：(1)略(2)解析：方法一：（1）證明：點、E分別是、的中點，，又∵平面，平面，平面．（2）解：設點到平面的距離為，∵，即．又∵在中，,∴．∴，∴與平面所成角的正弦值為．方法二：建立如圖3所示的空間直角坐標系，則，，，，．（1）證明：∵，，∴，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）解：設與平面所成角為，∵，，.設平面的一個法向量為，不妨令，可得，∴，∴與平面所成角的正弦值為．

略19.（14分）（2014?濟南二模）已知函數f（x）=ax++（1﹣a）lnx．（Ⅰ）當a=2時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）若a≤0，討論函數求f（x）的單調性；（Ⅲ）若關于x的方程f（x）=ax在（0，1）上有兩個相異實根，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】：利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】：導數的綜合應用．【分析】：（1）利用導數求得切線斜率，寫出切線方程；（2）利用導數判斷函數的單調性，注意對a分類討論；（3）由f（x）=ax得a=+1（0＜x＜1），令g（x）=+1（0＜x＜1），利用導數求得g（x）的極值即得結論．解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=2x+﹣lnx，f′（x）=2﹣﹣，∴f（1）=3，f′（1）=0，∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=3．（Ⅱ）f′（x）=a﹣+=

（x＞0），①當a=0時，f（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增；若a≠0，f′（x）==0，解得x=1或x=﹣，②當﹣1＜a＜0時，f（x）在（0，1）和（﹣，+∞）單調遞減，在（1，﹣）單調遞增；③當a=﹣1時，f（x）在（0，+∞）單調遞減；④當a＜﹣1時，f（x）在（0，﹣）和（1，+∞）單調遞減，在（﹣，1）單調遞增；（Ⅲ）當f（x）=ax時，=（1﹣a）lnx=0，∴a=+1（0＜x＜1），令g（x）=+1（0＜x＜1），g′（x）==0，解得x=．∴當x=時，g（x）有極大值1﹣e，∴實數a的取值范圍是（﹣∞，1﹣e）．【點評】：本題主要考查利用導數研究曲線的切線問題及判斷函數的單調性求極值問題，考查轉化劃歸思想及分類討論思想的運用能力，屬難題．20.（本小題滿分13分）已知是橢圓:的焦點，點在橢圓上.（Ⅰ）若的最大值是，求橢圓的離心率；（Ⅱ）設直線與橢圓交于、兩點，過、兩點分別作橢圓的切線，，且與交于點，試問：當變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，說明理由.參考答案：（Ⅰ）

………4分因為的最大值是，所以

………5分因此橢圓E的離心率

………6分（Ⅱ）當變化時，點恒在一條定直線上

證明:先證明：橢圓E: 方法一：當設與橢圓E方程聯立得：由所以，因此切線方程是………9分方法二：不妨設在第一象限，則由

得

，所以因此切線方程是………9分設則，聯立方程，解得，又，所以因此，當變化時，點恒在一條定直線上?！?3分21.

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計.(1）試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；(2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設計污水池的長和寬，使總造價最低.參考答案：（1）設污水處理池的寬為米，則長為米則總造價（元）當且僅當，即時取等號當長為16.2米，寬為10米時總造價最低，最低總造價為38880元

(2）由限制條件知

設在上是增函數，當時（此時），有最小值，即有最小值當長為16米，寬為米時，總造