江蘇省無錫市第六高級中學2022年高二數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數的定義域為，對任意則的解集為（

）A.(－1,1) B.(1,+∞) C.(－∞,－1) D.(－∞,+∞)參考答案：B【分析】先構造，對求導，根據題中條件，判斷單調性，再由求出進而可結合函數單調性解不等式.【詳解】令，則，因為對任意所以對任意恒成立；因此，函數在上單調遞增；又所以，因此不等式可化為，所以.故選B【點睛】本題主要考查函數單調性的應用，以及導數的方法研究函數的單調性，熟記函數單調性即可，屬于常考題型.2.將銳角為且邊長是2的菱形，沿它的對角線折成60°的二面角，則（

）①異面直線與所成角的大小是

.②點到平面的距離是

.A．90°，

B．90°，

C．60°，

D．60°，2參考答案：A3.頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點，B是底面圓內的點，O為底面圓的圓心，，垂足為B，，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點，則當三棱錐O－HPC的體積最大時，OB的長是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：

4.一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，把相關數據代入棱錐的體積公式計算即可．【解答】解：設正方體的棱長為1，由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，∴正方體切掉部分的體積為×1×1×1=，∴剩余部分體積為1﹣=，∴截去部分體積與剩余部分體積的比值為．故選：D．5.已知點F，A分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點、右頂點，B(0，b)滿足·＝0，則橢圓的離心率等于()A.

B.

C.

D.參考答案：B6.曲線y=與直線y=x﹣1及x=4所圍成的封閉圖形的面積為（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2參考答案：D【考點】67：定積分．【分析】作出函數的圖象，可得圍成的封閉圖形為曲邊三角形ABC，它的面積可化作梯形ABEF的面積與曲邊梯形BCEF面積的差，由此結合定積分計算公式和梯形面積公式，不難得到本題的答案．【解答】解：令x=4，代入直線y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲線y=與直線y=x﹣1交于點B（2，1）∴SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF而SBCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封閉圖形ABC的面積SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2故選D【點評】本題利用定積分計算公式，求封閉曲邊圖形的面積，著重考查了利用積分公式求原函數和定積分的幾何意義等知識，屬于基礎題．7.若直線y=kx+4+2k與曲線有兩個交點，則k的取值范圍是(

)A． D．（﹣∞，﹣1]參考答案：B【考點】直線與圓錐曲線的關系．【專題】計算題；數形結合．【分析】將曲線方程變形判斷出曲線是上半圓；將直線方程變形據直線方程的點斜式判斷出直線過定點；畫出圖形，數形結合求出滿足題意的k的范圍．【解答】解：曲線即x2+y2=4，（y≥0）表示一個以（0，0）為圓心，以2為半徑的位于x軸上方的半圓，如圖所示：直線y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4表示恒過點（﹣2，4）斜率為k的直線結合圖形可得，∵解得∴要使直線與半圓有兩個不同的交點，k的取值范圍是故選B【點評】解決直線與二次曲線的交點問題，常先化簡曲線的方程，一定要注意做到同解變形，數形結合解決參數的范圍問題8.若是定義域為，值域為的函數，則這樣的函數共有（

）A、128個

B、126個

C、72個

D、64個參考答案：B9.已知函數存在極值點，且，其中，（

）A.3 B.2 C.1 D.0參考答案：C【分析】求得函數的導數，根據函數存在極值點，可得，即，又由，化為：，把代入上述方程，即可得到答案．【詳解】由題意，求得導數，因為函數存在極值點，，即，因為，其中，所以，化為：，把代入上述方程可得：，化為：，因式分解：，，．故選：C．【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數；(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決函數的恒成立與有解問題，同時注意數形結合思想的應用．10.對變量有觀測數據（，）（），得散點圖1；對變量有觀測數據（，）（i=1,2,…，10）,得散點圖2.由這兩個散點圖可以判斷。

圖1

圖2（A）變量x與y正相關，u與v正相關

（B）變量x與y正相關，u與v負相關（C）變量x與y負相關，u與v正相關

（D）變量x與y負相關，u與v負相關參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若拋物線的焦點與雙曲線的左焦點重合,則的值

.參考答案：412.已知復數,若，（其中，為虛數單位），則 ；參考答案：13.設Sn是數列{an}的前n項和（n∈N*），若a1=1，Sn﹣1+Sn=3n2+2（n≥2），則S101=

．參考答案：15451【考點】數列的求和．【分析】當n≥2時，Sn﹣1+Sn=3n2+2，Sn+Sn+1=3（n+1）2+2，可得an+1+an=6n+3．利用等差數列的前n項和公式即可得出．【解答】解：當n≥2時，Sn﹣1+Sn=3n2+2，Sn+Sn+1=3（n+1）2+2，可得an+1+an=6n+3，∴S101=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a100+a101）=1+（6×2+3）+（6×4+3）+…+（6×100+3）=1+=15451．故答案為：15451．【點評】本題考查了遞推式的應用、等差數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14.圓心在拋物線y=x2上，并且和該拋物線的準線及y軸都相切的圓的標準方程為．參考答案：（x±1）2+（y﹣）2=1【考點】拋物線的簡單性質．【分析】由題意設出圓心坐標，由相切列出方程求出圓心坐標和半徑，代入圓的標準方程即可．【解答】解：由題意知，設P（t，t2）為圓心，且準線方程為y=﹣，∵與拋物線的準線及y軸相切，∴|t|=t2+，∴t=±1．∴圓的標準方程為（x±1）2+（y﹣）2=1．故答案為：（x±1）2+（y﹣）2=1．15.四棱錐中，底面是邊長為的正方形，其他四個側面都是側棱長為的等腰三角形，則二面角的平面角為_____________。參考答案：16.一個平面圖形的水平放置的斜二測直觀圖是一個等腰梯形，直觀圖的底角為45°，兩腰和上底邊長均為1，則這個平面圖形的面積為．參考答案：2+【考點】平面圖形的直觀圖．【專題】空間位置關系與距離．【分析】根據斜二測化法規則畫出原平面圖形，可知水平放置的圖形為直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面積公式求解即可．【解答】解：水平放置的圖形為一直角梯形，由題意可知上底為1，高為2，下底為1+，S=（1++1）×2=2+．故答案為：2+．【點評】本題考查水平放置的平面圖形的直觀圖斜二測畫法，由已知斜二測直觀圖根據斜二測化法規則，正確畫出原平面圖形是解題的關鍵．17.已知函數在處取得最大值，則參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）設函數f（x）=ex﹣ax﹣2．（1）求函數y=f（x）的單調區間；（2）若a=1且x∈[2，+∞），求f（x）的最小值；（3）在（2）條件下，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0恒成立，求k的取值范圍．參考答案：（3）若，，等價于

10分令則恒成立，又，所以

14分19.求經過兩直線2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y﹣1=0垂直的直線方程．參考答案：【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系．【專題】直線與圓．【分析】依題意，可求得兩直線2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交點，利用所求直線與直線3x+y﹣1=0垂直可求得其斜率，從而可得其方程．【解答】解：由得交點（，）

…又直線3x+y﹣1=0斜率為﹣3，…

所求的直線與直線3x+y﹣1=0垂直，所以所求直線的斜率為，…

所求直線的方程為y+=（x+），化簡得：5x﹣15y﹣18=0…【點評】本題考查直線的一般式方程與直線的垂直關系，考查直線的點斜式方程，求得直線2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交點與斜率是關鍵，屬于基礎題．20.（14分）已知函數f（x）=lnx+．（1）當a＜0時，證明函數f（x）在（0，+∞）是單調函數；（2）當a＜e時，函數f（x）在區間上的最小值是，求a的值；（3）設g（x）=f（x）﹣，A，B是函數g（x）圖象上任意不同的兩點，記線段AB的中點的橫坐標是x0，證明直線AB的斜率k＞g′（x0）．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出f'（x），討論其符號，確定單調區間（2）在上，分如下情況討論：當1＜a＜e時，a≤1時，求出最值，列式計算，（3）．又，不妨設x2＞x1，要比較k與g'（x0）的大小，即比較與的大小，又因為x2＞x1，令h（x）=lnx﹣，則h′（x）=根據h（x）在上，分如下情況討論：當1＜a＜e時，函數f（x）在上有f'（x）＞0，單調遞增，∴函數f（x）的最小值為，得．…（8分）當a≤1時，函數f（x）在上有f'（x）＞0，單調遞增，∴函數f（x）的最小值為f（1）=a=＞1，故不存在綜上，得．（3）證明：，．又，不妨設x2＞x1，要比較k與g'（x0）的大小，即比較與的大小，又因為x2＞x1，所以即比較ln與=的大小．令h（x）=lnx﹣，則h′（x）=，∴h（x）在[1，+∞）上是增函數．又，∴h（）＞h（1）=0，∴，即k＞g'（x0）．…（14分）【點評】本題考查了導數的綜合應用，考查了分類討論思想、轉化思想，屬于難題．21.已知二次函數f(x)滿足，且f(x)的最小值是.（1）求f(x)的解析式：（2）若關于x的方程在區間(－1,2)上有唯一實數根，求實數m的取值范圍.參考答案：（1）；（2）【分析】(1)由題意利用待定系數法可得函數的解析式；(2)由題意結合函數的解析式和函數的圖像，將原問題轉化為函數交點個數的問題即可確定m的取值范圍.【詳解】(1)設函數的解析式為：，函數有最小值，則，由二次函數的性質可知函數在處取得最小值，即：，解得：，故函數的解析式為：.(2)即，據此可得：，原問題等價于函數與函數在區間上有且只有一個交點，繪制函數圖像如圖所示，觀察可得：實數取值范圍是：.【點睛】本題主要考查二次函數的性質，二次函數解析式的求解，數形結合的數學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.22.某旅游景區的觀景臺P位于高（山頂到山腳水平面M的垂直高度PO）為2km的山峰上，山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB為等腰三角形．山坡面與山腳所在水平面M所成的二面角為α（0°＜α＜90°），且sinα=．現從山腳的水平公路AB某處C0開始修建一條盤山公路，該公路的第一段、第二段、第三段…，第n﹣1段依次為C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn﹣1Cn（如圖所示），且C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn﹣1Cn與AB所成的角均為β，其中0＜β＜90°，sinβ=．試問：（1）每修建盤山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盤山公路至半山腰（高度為山高的一半），在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站，索道PQ依山而建（與山坡面平行，離坡面高度忽略不計），問盤山公路的長度和索道的長度各是多少？（2）若修建xkm盤山公路，其造價為a萬元．修建索道的造價為2a萬元/km．問修建盤山公路至多高時，再修建上山索道至觀景臺，總造價最少．參考答案：【考點】解三角形的實際應用；函數模型的選擇與應用；利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】（1）在盤山公路上取一個點，作出該點到平面的垂線，再利用三垂線定理作出二面角棱的垂線，連接兩個垂足，利用三角函數的定義可求出索道長與山高的倍數關系，得出結論；（2）設盤山公路修至山高的距離為x，建立關于x的函數，利用導數確定函數的單調性，極小值即為函數的最小值，從而得出最少總價對應的x．【解答】解：（1）在盤山公路C0C1上任選一點D，作DE⊥平面M交平面M于E，過E作EF⊥AB交AB于F，連接DF，易知DF⊥C0F．sin∠DFE=，sin∠DC0F=