全國(guó)2008年1月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))試題

課程代碼：04184

試卷說(shuō)明：在本卷中，A，表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；A*表示A的伴隨矩陣；秩(A)表示矩

陣A的秩；IAI表示A的行列式；E表示單位矩陣。

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)

內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

1.設(shè)A為三階方陣且網(wǎng)=-2,則卜()

A.-108B.-12

C.12D.108

3x1+履2一式3=0

2.如果方程組4X2-X3=0有非零解，則人()

4X2+5=0

A.-2B.-1

C.1D.2

3.設(shè)A、B為同階方陣，下列等式中恒正確的是()

A.AB=BAB.(A+B)-1=A-1+B-1

C.|A+B|=|A|+|BD.(A+B)T=AT+BT

4.設(shè)A為四階矩陣，且|A|=2,則A*=()

A.2B.4

C.8D.12

5.設(shè)戶可由向量由=(1,0,0)。2=(0,0,1)線性表示，則下列向量中夕只能是

A.(2,1,1)B.(-3,0,2)

C.(1,1,0)D.(0,-1,0)

6.向量組4,叼，…，%的秩不為s(s22)的充分必要條件是()

A.4,a2,-??,%全是非零向量

B.M，a2,…，a*全是零向量

C.Q\,a2,…，as中至少有一個(gè)向量可由其它向量線性表出

D.4,a2,…，%中至少有一個(gè)零向量

7.設(shè)A為機(jī)x〃矩陣，方程AX=O僅有零解的充分必要條件是（）

A.A的行向量組線性無(wú)關(guān)B.A的行向量組線性相關(guān)

C.A的列向量組線性無(wú)關(guān)D.A的列向量組線性相關(guān)

8.設(shè)A與B是兩個(gè)相似”階矩陣，則下列說(shuō)法蕾用的是()

A.|A|=|B]B.秩(A)=秩(B)

C.存在可逆陣P,使P-AP=BD.2E-A=2E-B

'100-

9.與矩陣A=010相似的是（)

002

"100--11o-

A.020B.010

001002

-100--1or

C.110D.020

002001

10.設(shè)有二次型f（X],X2，X3）=X：-X；+X；,則f（X],X2，X3）（）

A.正定B.負(fù)定

C.不定D.半正定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

k1

11.若=0,則.

12

102i

12.設(shè)A=01,B=0]0rl，貝IjAB=.

~200-

13.設(shè)A=010，則A"=.

022

14.設(shè)A為3x3矩陣，且方程組A尸0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解向量，則秩(A尸

15.已知A有一個(gè)特征值-2，則B=A2+2E必有一個(gè)特征值.

16.方程組X]+x2-x3=0的通解是.

17晌量組。1=(1,0,0)^2=(U,0),仃=(-5,2,0)的秩是.

一200'

18.矩陣A=020的全部特征向量是.

002

19.設(shè)三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似，貝"2B|=.

'12r

20.矩陣A=2-10所對(duì)應(yīng)的二次型是.

103

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

1200

21.計(jì)算四階行列式°12°的值.

0012

2001

3

22.設(shè)A=1

1

--11o]Fii0

23.設(shè)A=002,B=022，且A,B,X滿足(E?BtA)丁B7X=E.求X,Xt.

002003

24.求向量組aL(1,-1,2,4)a2=(0,3,1,2),g=(3,0,7,14),a4=(2,1,5,6),g=(l",2,0)的一個(gè)極

大線性無(wú)關(guān)組.

X1+x2+x3+X4+X5=7

3X|+2X+x+x-3X=-2

25.求非齊次方程組2345的通解.

x2+2X3+2X4+6X5=23

5x)+4X2-3X3+3X4-x5=12

2-20

26.設(shè)人=-21-2，求P使P^AP為對(duì)角矩陣.

0-20

四、證明題（本大題共1小題,6分）

27.設(shè)％,。2，是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系.

證明。1，。1+。2，。1+。2+。3也是Ax=0的基礎(chǔ)解系.

全國(guó)2008年4月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）試題

課程代碼：04184

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括

號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

a]\a\2

%3%】5。[]+2a]2〃13

1.設(shè)行列式口=aa=3,a5a+2a22，則Di的值為（)

2\22“23Di=2\2i〃23

〃31a32a33。3【5。31+2。32〃33

A.-15B.-6

C.6D.15

a+ba-

2.設(shè)矩陣則（)

、0北重3

A.a=3,b=-l,c=l,d=3B.a=-l,b=3,c=l,d=3

C.a=3,b=?1,c=0,d=3D.a=-l,b=3,c=0,d=3

3.設(shè)3階方陣4的秩為2,則與A等價(jià)的矩陣為（)

11、。1r

A.000B.011

\000/\000/,

’111、口11、

C.222D.222

、000,、333,

4.設(shè)A為n階方陣，n22,則卜5川=（）

A.(-5)n|A|B.-5|A|

C.5klD.5n|A|

5.設(shè)A=《：），則|A「=（）

A.-4B.-2

C.2D.4

6.向量組a2,…a,,(s>2)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是()

A.ai，a2,as均未為零向量

B.ai，a2，…，a$中任意兩個(gè)向量不成比例

C.a,,a2,…，a,中任意s-1個(gè)向量線性無(wú)關(guān)

D.a,,a2,…，a,中任意一個(gè)向量均不能由其余s-l個(gè)向量線性表示

7.設(shè)3元線性方程組Ax=b,A的秩為2,7i,%，小為方程組的解，/+%=(2，0，4)1

/+小=(1，-2,1)L則對(duì)任意常數(shù)k,方程組人*』的通解為()

A.(l,0,2)T+k(l,-2,l)TB.(l,-2,l)T+k(2,0,4)T

C.(2,0,4)T+k(l,-2,l)TD.(l,0,2)T+k(l,2,3)T

8.設(shè)3階方陣A的特征值為1,-1,2,則下列矩陣中為可逆矩陣的是()

A.E-AB.-E-A

C.2E-AD.-2E-A

9.設(shè)2=2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣(A?)t必有一個(gè)特征值等于()

C.2D.4

10.二次型f（X|,X2,X3,X4尸*：+*；+*；+*：+2*3*4的秩為（）

A.1B.2

C.3D.4

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

axbxa}b2。也

11.行列式42bla2b2a2b3

a3bxa3b2a3b3

12.設(shè)矩陣A=（；j）,P=P則APT=

’00r

13設(shè)矩陣A=011則A-'=

rl22、

14.設(shè)矩陣人=2f3,若齊次線性方程組Ax=O有非零解，則數(shù)t=.

、345,

(1](11①

15.已知向量組a]=1,a2=-2,a3=1的秩為2,則數(shù)t=_____________.

[2)I1)卜

16.已知向量a=(2,1,0,3)、B=(l,?2,l,k)\a與B的內(nèi)積為2,則數(shù)k=.

17.設(shè)3J量。=(b,,—^=)T為單位向量，則數(shù)b=.

「0-2-2、

18.已知a=0為矩陣A=22-2的2重特征值，則A的另一特征值為.

-2-22,

19.二次型f(x1,x2,x3)=xf+2x2-5x3-4xix2+2x2x3的矩陣為.

20.已知二次型f(X1,x2,X3)=(k+l)x；+(k-l)x；+(k?2)x；正定，則數(shù)k的取值范圍為

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

1111

120

21.計(jì)算行列式D=八的值.

1030

1004

qor’3or

22.已知矩陣A=1-10B=110

212)、014,

(1)求A的逆矩陣A」：

(2)解矩陣方程AX=B.

23.設(shè)向量&=(1,-1,-1,1),6=(-1,1,1,-1),求(1)矩陣A=aT0；(2)A2.

TT

24.設(shè)向量組a產(chǎn)(1,-1,2,4)\a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=

(1,-1,2,0)丁，求向量組的秩和個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)

關(guān)組線性表示.

25.已知線性方程組

+2Xy=-1

'——3冗3=2

2x1一冗2+5工3=a

(1)求當(dāng)a為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有解.

(2)當(dāng)方程組有解時(shí)，求出其全部解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).

26.設(shè)矩陣A=

(1)求矩陣A的特征值與對(duì)應(yīng)的全部特征向量.

(2)判定A是否可以與對(duì)角矩陣相似,若可以，求可逆矩陣P和對(duì)角矩陣A，使得P'AP=A.

四、證明題(本題6分)

27.設(shè)n階矩陣A滿足A2=A,證明E-2A可逆，且(E-2A)"=E-2A.

全國(guó)2008年10月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）試題

課程代碼：04184

說(shuō)明:在本卷中,表示矩陣力的轉(zhuǎn)置矩陣，/表示矩陣4的伴隨矩陣，E是單位矩陣，1川

表示方陣力的行列式，兒4）表示矩陣/的秩.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的

括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

1.設(shè)4為3階方陣，且一;貝U|N|=（）

A.-9B.-3

C.-1D.9

2.設(shè)4、B為〃階方陣，滿足才1小，則必有（)

A.A=BB.A=-B

C.\A\=\B\D.H|2=|3|2

Hi?>

3.已知矩陣4=-.y則(

AQ"B-(i-0

c(iD-C

4.設(shè)N是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與N等價(jià)的矩陣是（）

()'fB.|0

A.

0>0

3)[51、

C.|D.

5.設(shè)[可宜,=（%,伉,q）,=（"2￡]=（。1,仇,C],4）,=（%,與，。2,”2），卜列命就中正

確的是（）

A.若%,用線性相關(guān)，則必有4，4線性相關(guān)

B.若5,0線性無(wú)關(guān)，則必有外旦線性無(wú)關(guān)

C.若自，色線性相關(guān)，則必有%,%線性無(wú)關(guān)

D.若加4線性無(wú)關(guān)，則必有由,內(nèi)線性相關(guān)

1"2、

6.已知2,3是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)解,則矩陣4可為（)

l-1Jlb

A.(5,-3,-1)

(12-1)

(K)

D.-12-2

1-531J

7.設(shè)sX”矩陣A的秩r(N)=〃-3(">3),a,￡,，是齊次線性方程組Ax=0的三個(gè)線性無(wú)

關(guān)的解向量，則方程組4x=0的基礎(chǔ)解系為（）

A.a,￡,。+￡B.B,Y,Y-P

C.a-BY,Y-aD.a,a+8,a+Y

(\00)

8.已知矩陣/與對(duì)角矩陣。=0-10相似，則才=（）

100-1J

A.AB.D

C.ED.-E

(00o

9.設(shè)矩陣4=01o則A的特征值為（）

U07

A.1,1,0B.-1,1,1

C.1,1,1D.1,-1,-1

10.設(shè)N為〃（”22）階矩陣，且7=E,則必有（）

A.A的行列式等于1B.A的逆矩陣等于E

C.A的秩等于nD.A的特征值均為1

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

a21

11.已知行列式230=0,則數(shù)a=.

1-11

⑵設(shè)方程組d=°。有非零解’則數(shù)人—?

13.設(shè)矩陣/=（?],_4）'B=（357）1貝.

14.已知向量組4的秩為2,則數(shù)片.

15.設(shè)向量。=（2,-1,；,1）,則。的長(zhǎng)度為.

16.設(shè)向量組。產(chǎn)（112,3）,。2=（4,5,6）,a3=（3,3,3）與向量組￡”￡2，B、

等價(jià)，則向量組自，色，色的秩為.

17.已知3階矩陣力的3個(gè)特征值為1,2,3,則依*|=.

18.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣力的特征值為人戶入2=3，入3=0,貝。00=.

<12

224A

19.矩陣/=4-1對(duì)應(yīng)的二次型/=.

k-3

20.設(shè)矩陣4=（/則二次型/4”的規(guī)范形是.

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

1234

012

21.計(jì)算行列式。=\的值.

-1-10

120-5

22.已知/=(，］1)，5=(，］C=HJj,矩陣X滿足NX5=C,求解X.

23.求向量￡=(3,-1,2)T在基叫=(1,1,2)T，叼=(-!>3,1)T,心=。，1，1)T

下的坐標(biāo)，并將￡用此基線性表示.

24.設(shè)向量組a1,。2,。3線性無(wú)關(guān)‘令￡】=?。1+。3，B告a1r2a3,￡3=2。廠5。2+3。3.試

確定向量組￡1，￡2，2的線性相關(guān)性.

X]+工2+生=-2

25.已知線性方程組<西+川+為=-2，

Axj+X2+X3=4-3

(1)討論人為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有惟?解、有無(wú)窮多個(gè)解.

(2)在方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)

解系表示).

(111)

26.已知矩陣/=111,求正交矩陣P和對(duì)角矩陣/，使/以六人

U1D

四、證明題(本題6分)

27.設(shè)〃為非齊次線性方程組4年分的一個(gè)解，和，J，…，L是其導(dǎo)出組/1尸。的一個(gè)

基礎(chǔ)解系.證明“，卻，/，…，鼻線性無(wú)關(guān).

全國(guó)2009年1月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）試題

課程代碼：04184

試卷說(shuō)明：在本卷中，⑷表示矩陣4的轉(zhuǎn)置矩陣，4表示矩陣4的伴隨矩陣，￡表示單位矩陣,

14表示方陣力的行列式，4表示矩陣4的逆矩陣，秩（⑷表示矩陣4的秩.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的

括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

工+y+z=0

1.線性方程組＜2x-5），-3z=10的解為（）

4x+8y+2z=4

A.x=2,y=0,z=-2B.x=-29y=2,z=0

C.x=0,y=2,z=-2D.x=l,y=O,z=-l

2.設(shè)矩陣4=（；"則矩陣”的伴隨矩陣/*=（）

3.設(shè)1為5X4矩陣，若秩（4）=4,則秩（5T）為（）

A.2B.3

C.4D.5

4.設(shè)Z,5分別為和mXk矩陣，向量組（I）是由4的列向量構(gòu)成的向量組，向量

組（II）是由（Z,8）的列向量構(gòu)成的向量組，則必有（）

A.若（D線性無(wú)關(guān)，則（II）線性無(wú)關(guān)B.若（I）線性無(wú)關(guān)，則（II）線性相關(guān)

C.若（II）線性無(wú)關(guān)，則（I）線性無(wú)關(guān)D.若（II）線性無(wú)關(guān)，則（I）線性相關(guān)

5.設(shè)4為5階方陣，若秩（4）=3,則齊次線性方程組Nx=0的基礎(chǔ)解系中包含的解向量

的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3

C.4D.5

6.設(shè)“X〃矩陣N的秩為”-1,且I”。2是齊次線性方程組4尸0的兩個(gè)不同的解，則4尸0

的通解為（）

A.kC，ZGRB.覺(jué)2，ZeR

C.攵￡RD.

7.對(duì)非齊次線性方程組廣辦，設(shè)秩（力）=r,則（）

A.r=m時(shí)，方程組Z尸〃有解B.r=n時(shí),方程組有唯一解

C.m=n時(shí)，方程組4戶〃有唯一解D.r<n時(shí),方程組/戶力有無(wú)窮多解

fl111、

021

8.設(shè)矩陣],則/的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是（)

4=003

000V

A.1B.2

C.3D.4

9.設(shè)向量a=（4,-1,2,-2）,則下列向量是單位向量的是（)

11

A.—aB.-a

35

11

C.-aD.一a

925

10.二次型/Cq,x2）=54+3君的規(guī)范形是（)

22

A.力-B.一為一

C._y；+D.城+>2

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

100

225

11.3階行列式313

2

12.設(shè)Z=(3,1,0),B=-40,貝iJ/6=

5

13.設(shè)力為3階方陣，若卬|=2,則卜3川=

14.已知向量〃=(3,5,7,9),p=(-1,5,2,0),如果“+4=/?,貝(!4=

〃11為+%20+。13必=°

15.設(shè)力=a2\a223為3階非奇異矩陣，則齊次線性方程組的內(nèi)+〃22々+〃23巧=。的

。31a32a33ja3\x\+a32X2+a33X3=°

解為.

16.設(shè)非齊次線性方程組4x=b的增廣矩陣為

1O021

o102

，則該方程組的通解為.

OO2-146

17.已知3階方陣/的特征值為1,-3,9,則

18.已知向量四=(1,2,-1)與向量2=(0,1,y)正交，則y=.

19.一次型/(勺/243/4尸X]+3x2+2%3—X4的正慣性指數(shù)為.

20.若/(X1/2/3尸X：+4x；+4君+2拉]巧-2占匕+4X2*3為正定二次型，則4的取值應(yīng)滿足

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

5333

3533

21.計(jì)算行列式。=3353

3335

10fl2)

22.設(shè)/=0-113=01,又AX=B,求矩陣X.

UoJ

0

58rz1021、

(340=o259

23.設(shè)矩陣/=201O03O,求矩陣N5的秩.

1°7

24.求向量組ai=(1,4,3,-2),a2=(2,5,4,-1),a3=(3,9,7,-3)的秩.

X]+X2+均+=0

求齊次線性方程組，

25.X]+2X2+4X3+4X4=0的——個(gè)基礎(chǔ)解系.

2x}+3X2+5X3+5X4=0

<l00

o21

26.設(shè)矩陣工=o12,求可逆矩陣P,使P.■尸為對(duì)角矩陣.

k

四、證明題（本大題共1小題，6分）

=

27.設(shè)向量組a1，a2?a?線性無(wú)關(guān)，Pi=ai+a2，//2?z+a3，/?3=a3+ai，證明：向

量組0”2，A3線性無(wú)關(guān).

全國(guó)2009年4月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）試題

課程代碼：04184

說(shuō)明：在本卷中，表示矩陣/的轉(zhuǎn)置矩陣，/表示矩陣/的伴隨矩陣，E表示單位矩陣,

聞表示方陣N的行列式，r（4）表示矩陣N的鐵。

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的

括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

0-11

1.3階行列式卜/=10-1中元素』的代數(shù)余了式421=（)

-]10

A.-2B.-1

C.1D.2

/

a。12、<a4-a”22+12)I1

\\2]n。(011°、

2.設(shè)矩陣％=,B=,尸1=，尸2=，則必有（）

11%2)VVL

/21a22)、a

A.PXP2A=BB.P2P}A=B

C.4Plp2=BD.AP2P\=B

3.設(shè)”階可逆矩陣N、B、C滿足45C=E,則B'=()

A.AAC}B.C才

C.ACD.CA

s10、

4.設(shè)3階矩陣4=001，則片的秩為（）

。°>

A.0B.1

C.2D.3

5.設(shè)是?個(gè)4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法

惟一，則向量組以1,。2，。3，。4的秩為（)

A.1B.2

C.3D.4

6.設(shè)向量組囚,。2，。3，。4線性相關(guān)，則向量組中（）

A.必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合

B.必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合

C.必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合

D.每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合

7.設(shè)%,是齊次線性方程組eo的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該

方程組基礎(chǔ)解系的是（）

A.at,a2,?|+a2B.a,+a2,a2+a3,a3+a}

C.al,a2,al-a2D.ax-a2,a2-a3,a3-a.

0、

8.若2階矩陣N相似于矩陣B=,￡為2階單位矩陣，則與矩陣E-A相似的矩陣是

、2T

（）

'10、'-10、

A.B.

J4,JI,

'-10、"-10、

c.D.

、-24,、-2-47

'20

9.設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣4=0-42,則3元二次型八可用死尸*'4V的規(guī)范形為（）

、02

A.z,2++Z3B.z；+z"

C.z；+z；D.Zj2-Z2

10.若3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣4=（5）是正定矩陣，則4的正慣性指數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

2勺23。］3alla\2〃13

11.已知3階行列式2。214。226a23=6,則a2\a22a23

3。316。329。33a3\a32a33

12.設(shè)3階行列式Ds的第2列元素分別為1,-2,3,對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為-3,2,1,

則口3=.

"12、

13.設(shè)4=,則1-24+E=.

-1

。2'

14.設(shè)A為2階矩陣，將N的第2列的(-2)倍加到第1列得到矩陣B.若B=,則

134,

A=.

‘0or

15.設(shè)3階矩陣4=022,貝ijN」=.

、333,

16.設(shè)向量組的=(a,1,1),a2=,a3=(1,1,-2)線性相關(guān),則數(shù)a=.

17.已知X|=(l,0,-l)T,X2=(3,4,5)T是3元非齊次線性方程組Zx=b的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次線

性方程組Ax=0有一個(gè)非零解向量4=.

18.設(shè)2階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣N的特征值為1,2,它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為%=(1,19，

=

a2(l>A),，則數(shù)k=.

19.已知3階矩陣/的特征值為0,-2,3,且矩陣6與N相似，則|5+￡|=.

20.二次型J3)=(X「X2y+3m)2的矩陣A=.

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

1x3

21.已知3階行列式熱卜x20中元素為2的代數(shù)余子式42=8,求元素的代數(shù)余子式

5-14

-21的值.

'-irr

22.已知矩陣”=B=，矩陣X滿足4￥+5=X,求X.

、T0>、。2,

TT

23.求向量組％=(1,1,1,31,a2=(-l,-3,5,l),a3=(3,2,-l,4),04=(-2,-6,10,2尸的一個(gè)極大無(wú)

關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表出.

ax]+叼+%=0

24.設(shè)3元齊次線性方程組'+"2+與=0，

修+%2+以3=0

(1)確定當(dāng)a為何值時(shí)，方程組有非零解；

(2)當(dāng)方程組有非零解時(shí);求出它的基礎(chǔ)解系和全部解.

'20P

25.設(shè)矩陣5=313,

J05,

(1)判定5是否可與對(duì)角矩陣相似，說(shuō)明理由；

(2)若5可與對(duì)角矩陣相似，求對(duì)角矩陣/和可逆矩陣P,使

26.設(shè)3元二次型/（占,》2?3）=》12+2.4+了”2工出-2》2工3，求正交變換尸力,將二次型化為

標(biāo)準(zhǔn)形.

四、證明題（本題6分）

27.已知"是”階矩陣，且滿足方程1+24=0,證明A的特征值只能是0或-2.

全國(guó)2009年10月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))試題

課程代碼：04184

說(shuō)明：在本卷中，Z7表示矩陣N的轉(zhuǎn)置矩陣，N*表示矩陣4的伴隨矩陣，E是單位矩陣,

\A\表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩.

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括

號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

01-11

-1o1-1

1.行列式第二行第一列元素的代數(shù)余子式&]=()

1-101

-11-10

A.-2B.-1

C.1D.2

2.設(shè)N為2階矩陣，若|3Z|=3,則|2N卜()

A.1B.1

2

C.-D.2

3

3.設(shè)”階矩陣N、B、C滿足45C=E,則L：()

A.ABB.BA

C.A~B~D.

4.已知2階矩陣/=的行列式/=-1,則(Z*)T=()

—b

A.B.

1二力a

b

D.

七-Jd

5.向量組修02,…,a,（S22）的秩不為零的充分必要條件是（)

A.….a,中沒(méi)有線性相關(guān)的部分組B.a”a2，…。,中至少有一個(gè)非零向量

C.a”。2,…,全是非零向量D.全是零向量

6.設(shè)N為〃zx”矩陣，則〃元齊次線性方程組4尤=0有非零解的充分必要條件是（）

A.r（A）=nB.r（A）=m

C.r（A）<nD.r[A）<m

7.已知3階矩陣/的特征值為-1,0,1,則下列矩陣中可逆的是（)

A.AB.E-A

C.-E-AD.2E-A

8.下列矩陣中木星初等矩陣的為（)

,100、"100、

A.010B.0I0

101

\/\-101/

<100"'100、

C.020D.110

<o01,J01>

9.4元二次型/（和工2，X314）=2再，2+2西工4+2-213+2-3,4的秩為（）

A.1B.2

C.3D.4

‘0or

10.設(shè)矩陣N=010,則二次型x74t的規(guī)范形為（）

Jo0,

A.Zi+Z2+Z3B.-Zj2-

C.z；-z；-z；D.z；+z；-z；

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

a+d死-b,a〕bi

11.已知行列式[{=-4,m則??

a2+b2a2-b2a2b2

12.已知矩陣4=(1,2,-1),3=(2,-1,1),且則C2=,

13.設(shè)矩陣"J2:]則(別——.

(333)

14.已知矩