第第頁第三章第6節簡單的三角恒等變換2022年【同步課時作業及單元檢測】第3章三角函數、解三角形理(9套)課標人教A版(創新方案,解析版)

第三章第六節簡約的三角恒等變換

π1.假如α∈(π)，且sinα＝那么sin(α＋)＋cos(α＝()

2544A.

42423232B．－C.D5555

4π3πππ

解析：∵sinα＝＜α＜π，∴cosα＝－，而sin(α＋)＋cos(α)＝α＋)＝

52544232

cosα5答案：D

2．(2022平頂山模擬)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，那么cosA＋cosB＋cosC的最大值為

()

53A.B.C．1D.42解析：由sinA＋cosB＝1，得sinA＝sinB，∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A＝－cos2A＋2cosA＋1.π

又0＜A＜0＜cosA＜1.

213

∴cosA.

22答案：D

π3

3．在△ABC中，已知cos(A)＝cos2A的值為________．

45πππ

解析：＋A)＝cosA－sinA

444＝

23(cosA－sinA)，25

2

2

2

2

32∴cosA－sinA＞0.①

5ππ

∴0＜A＜，∴0＜2A

42

1872

①得1－sin2A，∴sin2A＝.

2525∴cos2A－sin2A＝答案：

24

25

2

24.25

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4．已知函數f(*)＝2sin*cos*＋cos2*.(1)求fπ

4

)的值；

(2)設α∈(0，π)，f(α2

2＝2，求sinα的值．

解：(1)∵f(*)＝sin2*＋cos2*，∴f(π4＝sinππ

2＋cos2＝1.

(2)∵f(α2＝sinα＋cosα2.

∴sin(α＋π4)＝12，cos(α＋π4＝2.

sinα＝sin(α＋ππ

4－4

＝1222)24∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝2＋6

4

5.函數y＝2cos2*A．(－π4，π4)B．(0，π2)C．(π43π4)D．(π

2π)

解析：函數y＝2cos2*＝1＋cos2*，它的一個單調遞增區間是(π

2π)．答案：D

2cos26．化簡α－1

等于2tanπ4－αsin2π4＋αA．1B．－1C．cosαD．－sinα解析：原式＝cos2α

2sinπ4－αsin2πcosπ4－α

4α

＝

cos2α

＝

cos2α

2sinπ4αcosπ4－αsinπ22α＝1.

答案：A

7．(1＋tan21)(1＋tan20)(1＋tan25)(1＋tan24)的值是A．2B．4C．8D．16

()()

()

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tan21＋tan24

解析：∵1＝tan45＝tan(21＋24)＝

1－tan21tan24∴1－tan21tan24＝tan21＋tan24，即tan21＋tan24＋tan21tan24＝1，∴(1＋tan21)(1＋tan24)

＝tan21＋tan24＋tan21tan24＋1＝2，同理(1＋tan20)(1＋tan25)＝2，

∴(1＋tan21)(1＋tan20)(1＋tan25)(1＋tan24)＝22＝4.答案：B8．求證：tan*＋

2

2(3＋cos4*)1

＝tan*1－cos4*

sin2*cos2*

證明：左邊＝

cos*sin*sin*＋cos*＝sin*cos*

(sin*＋cos*)－2sin*cos*＝

12sin2*412121－sin2*1－sin2*22＝

121sin2*(1－cos4*)488－4sin2*4＋4cos2*＝1－cos4*1－cos4*＝

4＋2(1＋cos4*)2(3＋cos4*)

＝1－cos4*1－cos4*

2

2

2

2

2

2

2

4

4

＝右邊．∴tan2*＋

2(3＋cos4*)1

.tan*1－cos4*

9.(2022大連模擬)假設()ππππ4ππ3π

A．()B．(π)C．()D．()

3233332

ππ

解析：sinα＞α，即sinα－α＞0，即2sin(α－＞0，即sin(α－)＞0.又

33ππ5π

0≤α≤2π，故－≤α－.

333

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綜上，0＜α－π3π，即π4π

3α＜3答案：C

10．已知sinαcosβ1

2

cosαsinβ的取值范圍是________．

解析：法一：設*＝cosαsinβ，

那么sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝1

2*，

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝1

2*.

∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，－1≤1*≤1，∴2

－1≤1

2*≤1，

－3*≤1∴22

－12*≤3

2

∴－112≤*≤2

法二：設*＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝12*.

即sin2αsin2β＝2*.

由|sin2αsin2β|≤1，得|2*|≤1，∴－12*≤1

2答案：[－121

2

]

．已知函數f(*)＝Asin(ω*＋φ)(A＞0，ω＞0ππ

2＜φ＜2

一個周期的圖象如下圖．(1)求函數f(*)的表達式；

(2)假設f(α)＋f(α－π3＝24

25α為△ABC的一個內角，求sinα＋cosα的值．

解：(1)從圖知，函數的最大值為1，那么A＝1.函數f(*)的周期為T＝4(ππ

126＝π.

而T2πωω＝2.又*＝－π

6y＝0，

∴sin[2(－π

6＋φ]＝0.

而－π2φ＜π2，那么φ＝π3

∴函數f(*)的表達式為f(*)＝sin(2*＋π3

．

11

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(2)由f(α)＋f(α－π3)＝24

25

sin(2α＋π3)＋sin(2α－π24

3＝25

即2sin2αcosπ2424

3＝25∴2sinαcosα＝25.

∴(sinα＋cosα)2

＝1244925＝25∵2sinαcosα＝

24

25

0，α為△ABC的內角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα7

5

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第三章第六節簡約的三角恒等變換

π1.假如α∈(π)，且sinα＝那么sin(α＋)＋cos(α＝()

2544A.

42423232B．－C.D5555

4π3πππ

解析：∵sinα＝＜α＜π，∴cosα＝－，而sin(α＋)＋cos(α)＝α＋)＝

52544232

cosα5答案：D

2．(2022平頂山模擬)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，那么cosA＋cosB＋cosC的最大值為

()

53A.B.C．1D.42解析：由sinA＋cosB＝1，得sinA＝sinB，∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A＝－cos2A＋2cosA＋1.π

又0＜A＜0＜cosA＜1.

213

∴cosA.

22答案：D

π3

3．在△ABC中，已知cos(A)＝cos2A的值為________．

45πππ

解析：＋A)＝cosA－sinA

444＝

23(cos