二次函數(shù)的應用（代數(shù)）A

一、選擇題

L

1.（2011浙江湖州，10,3）如圖，已知48是反比例面數(shù)y=-（&>0/>0）圖象上的兩點，

x

BC//X軸，交y軸于點C,動點P從坐標原點。出發(fā)，沿O—ATBTC（圖中“一”所示

路線）勻速運動，終點為C.過P作PA/Lx軸，PNLy軸，垂足分別為A/、N.設四

邊形0MPN的面積為S,P點運動時間為t,則S關于t的函數(shù)圖象大致為

【答案】A

2.（2011臺灣全區(qū)，19）坐標平面上，二次函數(shù)夕=/一6x+3的圖形與下列哪一個方程

式的圖形沒有交點?

A.x=50B.x=-50C.y=50D.y=~50

【答案】D

二、填空題

3,

1.（2011江蘇揚州，17,3分）如圖，已知函數(shù)丁=一一與卜=依2+加；（a>0,b>0）的圖

X

_,3

象交于點P，點P的縱坐標為1,則關于X的方程以2+/?X+-=0的解為

【答案】-3

三、解答題

1.(2011浙江金華，23,10分)在平面直角坐標系中，如圖1,將〃個邊長為1的正方形

并排組成矩形OABC,相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設拋物線

廠辦2+6x+c(a<0)過矩形頂點8、C.

(1)當〃=1時，如果o=-1,試求6的值；

(2)當〃=2時，如圖2,在矩形048。上方作一邊長為1的正方形使EF在線段

CB匕如果V,N兩點也在拋物線匕求出此時拋物線的解析式；

(3)將矩形。8c繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，使得點8落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時

經(jīng)過原點O,

①試求出當〃=3時a的值；

②直接寫出。關于〃的關系式.

分

(3)①當〃=3時，OC=1,BC=3,

設所求拋物線解析式為y^ax2+bx,

過C作于點。，則RfAOCDsRfACBD,

.OPOC\

~CD~~BC~T

設OD=f,則CD=3t,

?：OD2+CD2=OC2,

：.(3/r+/=『，

:.c巫:M),又B(V10,0),

1010

.?.把B、C坐標代入拋物線解析式，得

0=10“+71巫，

解得L平

3心1V10,2分

—V10=——o-\h.

1101010

CA/H+1

@a=--------2分

n

(2011福建福州,22,14分)已知，如圖11,二次函數(shù)歹=浸+2*-3。(0工0)圖象的頂

點為，，與x軸交于2、8兩點(8在4點右側(cè))，點〃、8關于直線/:夕=坐丫+百對稱.

(1)求4、8兩點坐標，并證明點Z在直線/匕

(2)求二次函數(shù)解析式;

(3)過點8作直線2K//4H交直線？于K點,M、N分別為直線加7和直線/上的兩個動

點，連接HN、NM、砂,求期+初1/+胸和的最小值.

4

【答案】解：(1)依題意，得ax2+2ax-3a=0(a^0)

解得士=-3,憶=1

；B點在A點右側(cè)

，A點坐標為(-3.0),B點坐標為(1.0)

:直線/:夕=9+石

當x=-3時,y=^x(-3)+6=0

(2)?點4、8關于過4點的直線/：y=平才+力對稱

，AH=AB=4

過頂點H作HC交4B于C點、

則打制/8=2,叱=2石

頂點”(-1,26)

把"(-1,26)代入二次函數(shù)解析式，解得a=-小

二次函數(shù)解析式為y=-日工2-島+歲

(3)直線AH的解析式為y=瓜+3G

直線BK的解析式為y=&-也

由屋；一曜解得屋有

即K（3,2百），則8K=4

,:點、H、8關于直線NK對稱

/.HN+MN的最小值是MB,過K作K。_Lx軸于D點。KD=KE=2框

過點K作直線AH的對稱點。，連接QK,交直線4H于E

則。/=髏，0E=EK=2G,ZE，0K

BM+MK的最小值是8。,即BQ的長是HN+NM+MK的最小值

BK//AH

：.ZBKQ=ZHEQ=90°

在放BKQ由勾股定理得。8=8

HN+NM+MK的最小值為8

(不同解法參照給分)

已知關于x的二次函數(shù)尸亦2+版+也＞0)的圖象經(jīng)過點C(0,1),且與x軸交于不同的兩

點/、8,點A的坐標是(1,0).

(1)求c的值:

(2)求〃的取值范圍；

(3)該二次函數(shù)的圖象與直線y=l交于C、O兩點，設“、B、C、。四點構成的四邊形

的對角線相交于點尸，記△尸CD的面積為S，△以8的面積為$2，當0<。<1時，求證：

S-S2為常數(shù)，并求出該常數(shù).

【答案】(1)c=l

(2)將C(0,1),A(1,0)得

。+6+1=0

故b=—a—1

由b2~4ac>0,可得

(-a—1)"—4a>0

即(°-1)2>0

故存1,又a>0

所以a的取值范圍是a>0且a/1.

(3)由題意b=—a—1可得一,故B在A的右邊，B點坐標為(一￡—1,0)

C(0,1),D(一/1)

L.L.

|AB|=---l-l=---2

ICDIT

S]—S2=S/^CDA-SABCW*|CD|xl--X|AB|X1

=4x(--)xl—(---2)xl

2a2a

=1

所以S]-S2為常數(shù)，該常數(shù)為1.

4.(2011山東日照，24,10分)如圖，拋物線產(chǎn)以2+6X(a>0)與雙曲線產(chǎn)="相交于點

x

A,B.已知點8的坐標為(-2,—2),點工在第一象限內(nèi)，且tanNNOx=4.過點N作直

線/C〃x軸，交拋物線于另一點C.

(1)求雙曲線和拋物線的解析式；

(2)計算△/8C的面積；

(3)在拋物線上.是否存在點。，使△48。的面積等于△43。的面積.若存在，請你寫出點

。的坐標；若不存在，請你說明理由.

k

【答案】(1)把點5(—2,-2)的坐標，代入戶一，

x

k

得：—2=-----,.\k=4.

-2

4

即雙曲線的解析式為：j=--

x

設A點的坐標為(m,〃)。TA點在雙曲線上，.??/n〃=4.…①

m

XVtanZA0x=4,:.—=4,即6=4〃????②

n

又①，②，得：/i2=l,.\n=±l.

■A點在第一象限，，/i=l即=4,工A點的坐標為(1,4)

4—Q+b

把4、B點的坐標代入尸得：\'解得a=l,Z>=3；

-2-4a-2b

，拋物線的解析式為：y=x2+3x；(2)；4C〃x軸，...點C的縱坐標產(chǎn)4,

代入得方程F+3x—4=0,解得*i=-4,x2=l(舍去).

點的坐標為(-4,4),且AC=5,

又5c的高為6,.,.△ABC的面積='X5X6=15；

2

(3)存在。點使ZkAB。的面積等于△ABC的面積.

過點C作CD//AB交拋物線于另一點D.

因為直線45相應的一次函數(shù)是：y=2x+2,且C點的坐標為(-4,4),CD//AB,

所以直線。相應的一次函數(shù)是：y=2x+I2.

解方程組卜=廠+比得所以點D的坐標是(3,18)

[y=2x+12,3=18,

5.(2011浙江省，24,14分)如圖，在直角坐標系中，拋物線丁=辦2+瓜+。(存0)與

x軸交與點A(-1,0)、B(3,0)兩點，拋物線交y軸于點C(0,3),點D為拋物線的頂點.直

線y=x—1交拋物線于點M、N兩點，過線段MN上一點P作y軸的平行線交拋物線于點Q.

(1)求此拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)問點P在何處時;線段PQ最長，最長為多少？

(3)設E為線段OC上的三等分點，鏈接EP,EQ,若EP=EQ,求點P的坐標.

【答案】：(1)由題意，得:

a-b+c=0a=-1

9。+36+c=0<b=2

c=3解得：〔

J；=_X2+2X+3=-(X-1)2+4,頂點坐標為(1,4).

(2)由題意，得P(x,x-1),Q(x,-x2+2x+3)?

,1,1

***線段PQ=_X2+2X+3_(XT)=-x2+x+4=+4-

當x=；時，線段PQ最長為4；。

(3)TE為線段OC上的三等分點，OC=3,/.E(0,1),或E(0,2)

VEP=EQ,PQ與y軸平行，

2

2XOE=-X+2X+3+(X-1)

當OE=1時，xi=0,X2=3,點P坐標為(0,-1)或(3,2)。

當OE=2時，xi=l,xz=2,點P坐標為(1,0)或(2,1)?

6.(2011浙江溫州，22,10分)如圖，在平面直角坐標系中，。是坐標原點，點Z的坐標

是（一2,4）,過點/作軸，垂足為8,連結04

（1）求△0/8的面積；

（2）若拋物線y=-》2-2x+c經(jīng)過點力.

①求c的值；

②將拋物線向下平移機個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在△048的內(nèi)部（不包

括△WB的邊界），求機的取值范圍（直接寫出答案即可）.

（第22題圖）

【答案】解：（1）???點4的坐標是（一2,4）,軸,

：.AB=2,08=4,

S&OAB=—xABxOB=-x2x4=4

(2)①把點A的坐標(-2,4)代入y=-x?-2x+c,

得-(-2>-2x(-2)+c=4,/.c=4

@VJ；=-X2-2X+4=-(X+1)2+4,

拋物線頂點D的坐標是(一1,5),AB的中點E的坐標是(一1,4),0A

的中點尸的坐標是（一1,2）,

：.m的取值范圍為l</n<3,

7.(2011浙江麗水，23,10分)在平面直角坐標系中，如圖1,將〃個邊長為1的正方形

并排組成矩形相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設拋物線

產(chǎn)狀2+6x+c(a<0)過矩形頂點B、C.

(1)當〃=1時，如果(?=—1,試求6的值：

(2)當〃=2時，如圖2,在矩形0/8C上方作一邊長為I的正方形使E廠在線段C8

上，如果胡，N兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式；

(3)將矩形W8C繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使得點8落到x軸的正半軸匕如果該拋物線同時經(jīng)

過原點O,

①試求出當〃=3時a的值；

②直接寫出。關于〃的關系式.

【解】(1)由題意可知，拋物線對稱軸為直線耳,

~2a~2'得》=1；

y

(2)設所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+\,

由對稱性可知拋物線經(jīng)過點2(2,1)和點M/2),

(1=4a+2h+1,a=一

九小L叫諄

4R

所求拋物線解析式為產(chǎn)一x+1：

(3)①當〃=3時，OC=1,BC=3,

設所求拋物線的解析式為y=ax2+bx,

過C作CD_LOB于點D,則RtAOCD^RtACBD,

.ODOC]

,,CD~BC

設OD=t,WiJCD=3t,

?：oB+B=od,

(3r)2+/2=l2,/.>

C(麗)，又8C\/T6，o),

.?.把8、C坐標代入拋物線解析式，得

0=\Qa-^\[\0b9r—

,3E1叵解得：o=一然；

8.（2011江西，24,10分）將拋物線5：尸一JJx?+右沿x軸翻折，得拋物線C2,如圖所

示.

（1）請直接寫出拋物線C2的表達式.

（2）現(xiàn)將拋物線5向左平移m個單位長度，平移后得的新拋物線的頂點為M,與x軸的

交點從左到右依次為A,B；將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物

線的頂點為N,與x軸交點從左到右依次為D,E.

①當B,D是線段AE的三等分點時，求m的值；

②在平移過程中，是否存在以點A,N,E,M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請

求出此時m的值；若不存在，請說明理由.

備用圖

【答案】

【答案】解：⑴y=J5x2—

（2）①令一V3x2+V3=0,得xi=-1,X2=1,則拋物線ci與x軸的兩個交點坐標為（-1,0）,（1,

0).A(—1—m,0),B(l+m,0).

當AD=；AE時，如圖①，(-1+m)—(―1—m)[(1+m)—(―1—m)],

當AB=§AE時，如圖②，(1—m)—(―1—m)[(1+m)—(―1—m)],.\m=2.

...當m=，或2時，B,D是線段AE的三等分點.

2

②存在.理由：連接AN、NE、EM、MA.依題意可得：M(一m,一也).即M,N關于原

點O對稱，???OM=ON.；A(—l-m,0),E(l+m,0),，A,E關于原點O對稱，；.OA=OE,

二四邊形ANEM為平行四邊形.要使平行四邊形ANEM為矩形，必需滿足OM=OA,即

m2+(VJ)2=[—(―1—m)]2,/.m=1.

...當m=l時，以點A,N,E,M為頂點的四邊形是矩形.

9.(2011甘肅蘭州，28,12分)如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，正方形OABC的邊

長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=or?+bx+c經(jīng)過

2

點A、B和D(4,----)o

3

(1)求拋物線的表達式。

(2)如果點P由點A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q由點B出發(fā)，

沿BC邊以lcm/s

的速度向點C運動，當其中一點到達終點時、另一點也隨之停止運動。設5=「()2(cm?)。

①試求出S與運動時間t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；

②當S取』時，在拋物線上是否存在點R,使得以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行

4

四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由。

(3)在拋物線的對稱軸上求點M,使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標。

【答案】(1)由題意得A(0,-2),B(2,-2),拋物線y+&C+C過A、B、D三

點得

]_

4。+26+。=-26

2

16。+46+c=——解得<b

3-3

c--2c=-2

1)1

拋物線的表達式為y=-2

63

(2)①S=PQ2=8尸2+8。2=Q-2/>+/=5/一8+4(0<t<l)

②由5/-8/+4=工解得1=工或1=口(不合題意，舍去)

4210

3

此時，P(1,-2),B(2,-2),Q(2,一一)

2

35

若以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形，則R(3,——)或(1,一己)或(1,

22

_2)

2

3

經(jīng)代入拋物線表達式檢驗，只有點R(3,--)在拋物線上

2

3

所以拋物線上存在點R(3,--)使得以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形。

2

(3)過B、D的直線交拋物線對稱軸于點M,則該點即為所求。因為如在對稱軸上另取一

點N,則

ND-NA=ND-NB〈BD,而MD-MA=MD-MB=BD,故點M到D、A的距離之差最大。

2210

由B(2,一2)、D(4,求得直線BD的解析式為歹=§x—5

10.（2011湖南益陽,20,10分）如圖9,已知拋物線經(jīng)過阿，卓/（1,0）,它的頂點P是》

軸正半軸上的一個到卓，尸點關于x軸的對稱點為P,過P作x軸的平行線交拋物線于8、

D兩點（B點在y軸右側(cè)），直線BA交y軸于C點.按從特殊到一般的規(guī)律探究線段CA與

CB的比值:

（1）當尸點坐標為（0,1）時，寫出拋物線的解析式并求線段C/與C8的比值；

（2）若P點坐標為（0,w）時（機為任意正實數(shù)），線段C4與CB的比值是否與⑴所

求的比值相同？請說明理由.

【答案】解：⑴設拋物線的解析式為夕="2+1（。*0）,

...拋物線經(jīng)過4（1,0），:.Q=a+\,a=-\,

y=-x2+1.

?；P'、P關于x軸對稱，且尸（0,1）,.?/點的坐標為（0,-1）

???P'B〃x軸,3點的縱坐標為-1,

由一1=-/+1解得x=±0,

■.■OA//PB,\CP'BsI^COA,

,CA_OA_172

"CB~P'B~-J2~2,

(2)設拋物線的解析式為夕=。/+〃?(4*0)

1?拋物線經(jīng)過40,1),.,.O=q+w,a=-a

/.y=—mx2+m.

?.?PZ〃x軸8點的縱坐標為-機，當了=-%時,-也2+加二-tn

...〃?(一—2)=0,，/m>0,x2—2=0,x—±V2,

:-m),P'B=V2,

同⑴得2=且=:=也

CBP'BV22

.?.根為任意正實數(shù)時，包=包.

CB2

11.(2011廣東株洲，24,10分)孔明是一個喜歡探究鉆研的同學，他在和同學們一起研

究某條拋物線歹=辦2(〃<0)的性質(zhì)時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐

標系的原點O,兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點，請解答以下問題：

(1)若測得。4=。8=2加(如圖1),求a的值；

(2)對同一條拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時，過B作BFLx

軸于點F,測得OF=1,寫出此時點B的坐標，并求點A的橫半標；

(3)對該拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點A、B的連

線段總經(jīng)過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標.

J

EF一

圖1/圖2

【答案】解：(1)設線段AB與y軸的交點為C,山拋物線的對稱性可得C為AB中點，

OA=OB=2V2,ZAOB=90°,

，AC=0C=BC=2,，B(2,-2),

將B(2,-2)代入拋物線歹=依2(。＜0)得，q=

~2'

(2)解法一：過點A作AE±x軸于點E,

??,點B的橫坐標為1,

2

ZAOB=90°,易知NAOE=NOBF,又NAEO=NOFB=90'

：./\AEO^/\OFB,：.——=——=丁=2；.AE=20E,

OEBF1

2

設點A(-m,--m2)(m>0),則OE：=m,AE--tn2,—m2-2m

222

.'.w=4,即點4的橫坐標為-4.

y

解法二：過點4作ZE上x軸于點E,

:點8的橫坐標為1,.?.8(1,--)

2

tanNOBF==2

BF1

2

*.?/NOB=90°,易知〃0E=NOBF,

4E

---=tanZ.AOE—tanZ.OBF—2,：.AE=2OE,

OE

1,1,

設點/(一機，—nr)(w>0),則AE=-m~,1.-w2=2w

222

.,.m=4,即點”的橫坐標為-4.

解法三：過點4作ZE工x軸于點E,

?.?點8的橫坐標為1,二^。，一;)

1,

設/(—/??,—m)(w>0),則

2

OB-=F+一,OA2+-m4,AB2=(l+m)2+(一一+-/M2)2,

4422

?/408=90°,AB2=OA2+OB2,

(1+/M)2+(-g+；/7?)2=(1+加r+(_；+；加2)2,

解得：m=4,即點/的橫坐標為-4.

1,1,

(3)解法一：設Z(-m,——m')(機>0),8(”，——n~)(〃>0),

22

12

-mk+b=——m（I）

設直線43的解析式為：y=Ax+b,則｛2,

nk+b=~~n2（2）

11

（l）xn+（2）x機得，（加+〃）〃=-5（相2n+tnn2）=--mn（m+n）,

,1

/.b=——mn

2

又易知△HEOsAOFB,：.—=—,°'5w.=—,：.rnn=4,

OFBFn0.5/

.?.6=—,x4=—2.由此可知不論％為何值，直線恒過點（0,-2）,

2

（說明：寫出定點C的坐標就給2分）

1,1,

解法二：設/（-/?,一一〃一）（m>0）,5（/7,一一n-）（n>0）,

22

直線48與y軸的交點為C，根據(jù)=S梯形尸￡?—S^QE—SABO尸=SMOC+S2OC,可得

1/212、/、1121121"1"

_?（一〃+—777）（川+〃）---m,—m----n?-n=—.OC-mH---OC-n,

222222222

化簡，得OC='a〃.

2

PLA,A4EOE0.5w2w、一8…小

又易知AAEOS/^OFB,：.—=—,二------=-----：,mn=4,：.OC=2為固定值.

OFBFn0.5/

故直線恒過其與夕軸的交點C（0,-2）

說明：mn的值也可以通過以下方法求得.

由前可知，OA2=m2+^m4,OB2=n2+^n4,v452=（w+/?）2+（-1w2+|M2）2,

由0/2+0爐=/82,得：（加2+；加4）+（〃2+；〃4）=（加+.2+（—；/+3〃2）2,

化簡，得mn=4.

12.（2011江蘇連云港，25,10分）如圖，拋物線丁=5刀2-8+。與x軸交于4,8兩點,

與y軸交于點C,其頂點在直線尸一2x上.

⑴求。的值；

(2)求4B兩點的坐標；

(3)以NC,CB為一組鄰邊作口/88,則點D關于x軸的對稱點。'是否在該拋物線上?請說明理

【答案】解：(I)、?二拋物線夕=1/一膽+。的頂點坐標為(__L,4比一〃),.x=1..

22a4a

,.......13

頂點在直線y=-2x上，所以y=-2,即頂點坐標為(1,—2),2=5—1+a,即a=一萬4;(2)

二次函數(shù)的關系式為歹=5%2—X—2,當y=0時，

1.3

—

—X—x——=09解之得：Xj=1,x2=3,即A(—1f0),B(3,0)；(3)如圖所不：

333

直線BD//AC,AD//BC,因為A(-1.0),C(0,—一)，所以直線AB的解析式為y=--x——，所以

222

39

39

設BD的解析式為y=—/x+公因為B(3,0),所以b=—,直線BD的解析式為:y=2-2-

113

同理可得:直線AD的解析式為:歹=一》+—,因此直線BD與CD的交點坐標為:(2,—),則點

222

D關于x軸的對稱點”是(2,一一)，當x=2時代入y=-f一》一一得小=一一,所以》在二次

2222

第25題圖

13.(2011四川廣安，30,12分)如圖9所示，在平面直角坐標系中，四邊形/8CO是直

角梯形，BC//AD,ZBAD=90°,8C與y軸相交于點且M是8C的中點，4、B、

。三點的坐標分別是Z(-1.0),5(-1.2),￡>(3.0),連接。M,并把線段。M沿。4

方向平移到。/匕若拋物線嚴水2+bx+c經(jīng)過點。、M、N。

(1)求拋物線的解析式

(2)拋物線上是否存在點P.使得以=PC.若存在，求出點P的坐標；若不存在.請

說明理由。

(3)設拋物線與x軸的另一個交點為￡點。是拋物線的對稱軸上的一個動點，當點

Q在什么位置時有|0E-0C|最大？并求出最大值。

【答案】(1)解：由題意可得/(0.2),N(-3.2)

2-c

<2=9a-3b+c

0-9a+3h+c

9

解得：b=--

3

c=2

(2)9：PA=PC：.P為AC的垂直平分線上，依題意，AC的垂直平分線

經(jīng)過(一1.2)(1.0)所在的直線為尸一x+1

歹=一工+1

,y=——1x2——1x+c2

[93

x.=3+3>/2=3—3A/2

解得：\「「

y}=-2-3v2[y2=-2+3V2

?**Pi(34-3V2,—2—3\/2)P2(3—3>/2,—2+3^2)

(3)D為E關于對稱軸x=1.5對稱

CD所在的直線產(chǎn)一x+3

：.yQ=4.5???Q(-1.5.4.5)

|0E-0C|最大值為QC=V2.52+2.52=-V2

14.(2011四川宜賓,24,12分)已知拋物線的頂點是C(0,a)(a>0,a為常數(shù))，并經(jīng)過

點(2a,2a)，點D(0,2a)為一定點.

⑴求含有常數(shù)a的拋物線的解析式；

⑵設點P是拋物線上任意一點，過P作PHJ_x軸，垂足是H,求證：PD=PH；

⑶設過原點O的直線/與拋物線在第象限相交于A、B兩點,若DA=2DB,且鼠皿=4役,

【答案】解：⑴設拋物線的解析式為丁=小+。

?點D(2a,2a)在拋物線上，4a2Jc+a=2a

二拋物線的解析式為y+a

4a

⑵設拋物線上一點P(x,y),過P作PHJ_x軸，PGJ_y軸，在放AGOP中，由勾股定理得:

PD-=DG-+PG-=(y-2a)2+x2=y2-4ay+4a2+x2

Vy=-x2+ax2=4ax(y—a)=4ay—4a2

4a

：.PD2=y2-4ay+4a2+4ay-4a2=y2=PH2

Z.PD=PH.

⑶過B點BE，x軸，AF，y軸,

由⑵的結論：BE=DBAF=DA

VDA=2DB，AF=2BEAA0=2B0

；.B是OA的中點

是OD的中點

連接BC

：.BC=-=—=BE=DB

22

過B作BR，y軸，

VBRICDACR=DR,OR=a+-=—,

22

??.B點的縱坐標是四，又點B在拋物線上+，

2

.3a1.。

??—=-x+a..r=2a

24a

■/x>0：.x=&a/.B(爭~

AO=2OB,S,=S*=4A/2P

所以，gx2ax7Ia=4&p

（第24題解答圖），

a=4,'.'a>0/.a=2。

15.（2011江西南昌，24,10分）將拋物線ci：尸一6沿*軸翻折，得拋物線C2,

如圖所示.

（1）請直接寫出拋物線C2的表達式.

（2）現(xiàn)將拋物線5向左平移m個單位長度，平移后得的新拋物線的頂點為M,'jx軸的交

點從左到右依次為48；將拋物線Q向右也平移，〃個單位長度，平移后得到的新拋物線的

頂點為N,與x軸交點從左到右依次為。，E.

①當8,。是線段AE的三等分點時，求機的值；

②在平移過程中，是否存在以點/,N,E,材為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請

求出此時機的值；若不存在，請說明理由.

備用圖

【答案】解：⑴尸百X2一石.

(2)①令一Jix2+V3=0,得xi=-l,X2=l,則拋物線J與x軸的兩個交點坐標為(-1,0),(1,

0)./.A(—1—m,0),B(1+m,0).

當AD=；AE時，如圖①，(-1+m)—(—1—m)=；[(1+m)—(―1—m)],

當AB=^AE時，如圖②，(1—m)—(―1—m)[(1+m)—(―1—m)],/.m=2.

②存在.理由：連接AN、NE、EM、MA.依題意可得：M(一m,一百).即M,N關于原

點O對稱，.?.OM=ON.：A(-l—m,0),E(l+m,0),；.A,E關于原點O對稱，，OA=OE,

二四邊形ANEM為平行四邊形.要使平行四邊形ANEM為矩形，必需滿足OM=OA,即

m2+()2=[—(―1—m)]2,

...當m=l時，以點A,N,E,M為頂點的四邊形是矩形.

16.(2011江蘇淮安，26,10分)如圖，已知二次函數(shù)y=-/+云+3的圖象與x軸的一個

交點為4(4,0),與y軸交于點A

(1)求此二次函數(shù)關系式和點B的坐標；

(2)在x軸的正半軸上是否存在點P,使得△玄8是以為底的等腰三角形？若存在，求出

點P的坐標；若不存在，請說明理山.

.,.0=-42+4Z)+3,

解得6=1"3，

4

B

.?.此二次函數(shù)關系式為：片-x2+—X+3,

4

點B的坐標為B(0,3).

7

(2)在x軸的正半軸上是否存在點P(—,0),使得△RI8是以AB為底的等腰三

8

角形.理由如下：

設點P(x,0),x>0,則根據(jù)下圖和已知條件可得

.+32=(4-x)2,

7

解得x=一，

8

7

...點P的坐標為尸(一,0).

8

7

即，在無軸的正半軸上是否存在點P(—,0),使得△以8是以為底的等

8

腰三角形.

17.(2011湖北武漢市，25,12分)(本題滿分12分)如圖1,拋物線了=0?+瓜+3經(jīng)過

A(一3,0),B(-1,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設拋物線的頂點為直線y=-2x+9與y軸交于點C,與直線0”交于點。.現(xiàn)

將拋物線平移，保持頂點在直線0。上.若平移的拋物線與射線CZ)(含端點C)只有個

公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍；

(3)如圖2,將拋物線平移，當頂點至原點時，過0(0,3)作不平行于x軸的直線交

拋物線于E,F兩點.問在y軸的負半軸上是否存在點P,使△PEF的內(nèi)心在y軸上.若存

在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

M

笫25?|圖2

【答案】(1)拋物線y=o?+以+3經(jīng)過/(-3,0),B(-1,0)兩點

,9a—36+3=0且。一人+3=0

解得a=\,h=4

???拋物線的解析式為y=x2+4x+3

(2)由(1)配方得J=(X+2)2—1

二拋物線的頂點M(-2,1)

直線OD的解析式為y=gx

于是設平移的拋物線的頂點坐標為(4，-h),

2

平移的拋物線解析式為產(chǎn)(x-A)2+^h.

①當拋物線經(jīng)過點。時，(0,9),：.h2+-h=9,

2

解得h=-l土畫.

4

...當-1-V145^<-1+Vi45時，平移的拋物線與射線°只有一個公共點.

44

②當拋物線與直線8只有?個公共點時，

、1

由方程組^=&—y=-2x7-9.

得(—2%+2)x+〃?+-9=0,

2

?：Zi=(-20+2)2—4(7?2+—//-9)=0,

2

解得力=4.

此時拋物線y=(x-4)2+2與射線CD唯一的公共點為(3,3),符合題意.

綜上：平移的拋物線與射線。只有一個公共點時:頂點橫坐標的值或取值范圍是〃=4

或土叵助〈小叵.

44

(3)方法1

將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為

設EF的解析式為y=Ax+3(時0).

假設存在滿足題設條件的點P(0,/),如圖，過尸作GH〃x軸,

分別過E,尸作G/7的垂線，垂足為G,H.

?.?△尸防的內(nèi)心在卜軸上，

Z.ZGEP=ZEPQ=ZQPF=ZHFP,：.^GEP^/\HFP,

：.GP/PH=GE/HF,

—XE/XF=&E-tV(yp-。=(去g+3—t)/(kxp+3-7)

/.2kx￡-xr=(Z—3)(XE+XF)

由尸也y=-lcc+3.得f-Ax-3=0.

第25(3)遨留

.??XE+XF=左,XE'XF=-3?

：.2k（-3）=（Z-3）k

?.,時0,，七一3.

???y軸的負半軸上存在點尸（0,-3）,使△尸