三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、三角函數(shù)的圖像：1．正弦線(xiàn)：設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為M，則有，向線(xiàn)段MP叫做角α的正弦線(xiàn)，2．用單位圓中的正弦線(xiàn)作正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象（幾何法）：把y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R叫做正弦曲線(xiàn)3．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖（描點(diǎn)法）：正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：1、用單位圓中的余弦線(xiàn)作余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來(lái)度量，使自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù)．在一般情況下，兩個(gè)坐標(biāo)軸上所取的單位長(zhǎng)度應(yīng)該相同，否則所作曲線(xiàn)的形狀各不相同，從而影響初學(xué)者對(duì)曲線(xiàn)形狀的正確認(rèn)識(shí)．2、余弦函數(shù)yxo1-1y=cosxxyxo1-1(0,1)(,0)(,-1)(,0)(2,1)現(xiàn)在把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為2π，就得到y(tǒng)=cosx，x∈R的圖象，3、正切函數(shù)的圖象：我們可選擇的區(qū)間作出它的圖象根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)，且的圖象，稱(chēng)“正切曲線(xiàn)”(0,0)(,1)(π,0)(,-1)(2π,0)二、三角函數(shù)的性質(zhì):函數(shù)函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．既無(wú)最大值也無(wú)最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心無(wú)對(duì)稱(chēng)軸類(lèi)型一、三角函數(shù)的圖像：例1.作出函數(shù)的圖象分析：首先將函數(shù)的解析式變形，化為最簡(jiǎn)形式，然后作出函數(shù)的圖象。解析：化為即其圖象如圖：點(diǎn)評(píng)：畫(huà)的圖象可分為兩步完成，第一步先畫(huà)出和，的圖象，第二步將得到的圖象向左、右平移，即可得到完整的曲線(xiàn)。例2：解析：類(lèi)型二、三角函數(shù)的性質(zhì)：例3.求下列函數(shù)的周期（1） （2）分析：該例的兩個(gè)函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，我們可以通過(guò)變量替換將它們歸結(jié)為基本三角函數(shù)去處理。解析：（1）如果令，則是周期函數(shù)，且周期為即的周期是（2）即的周期是。練習(xí)：求下列三角函數(shù)的周期：1y=sin(x+)2y=cos2x3y=3sin(+)4y=tan3x例:4.比較下列各組數(shù)的大小。（1）sin194°和cos160°；（2）和；（3）和分析：先化為同名函數(shù)，然后利用單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值的大小。解析：（1），從而即（2）又在［］上是減函數(shù)即（3）而在內(nèi)遞增點(diǎn)評(píng)：（1）比較同名的三角函數(shù)值的大小，首先把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的同名三角函數(shù)，利用單調(diào)性，由自變量的大小確定函數(shù)值的大小。（2）比較不同名的三角函數(shù)的大小時(shí)，應(yīng)先化為同名三角函數(shù)，然后再進(jìn)行比較。練習(xí)：比較下列各組數(shù)的大小(1)sin(－)、sin(－)；(2)cos(－)、cos(－)．解：(1)∵－＜－＜－＜．(2)cos(－)＝cos＝cos且函數(shù)y＝sinx，x∈［－，］是增函數(shù)cos(－)＝cos＝cos∴sin(－)＜sin(－)∵0＜＜＜π即sin(－)－sin(－)＞0且函數(shù)y＝cosx，x∈［0，π］是減函數(shù)∴cos＜cos即cos－cos＜0∴cos(－)－cos(－)＜0例5.求下列函數(shù)的最大值和最小值（1）（2）（3）分析：可利用sinx與cosx的值域求解，求解過(guò)程中要注意自變量的取值范圍。解析：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。（3），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)評(píng)：求三角函數(shù)的值域或最大值、最小值問(wèn)題主要得利用sinx與cosx的有界性，以及復(fù)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。練習(xí)：求下列函數(shù)的定義域和值域：（1）（2）（3）例6：求函數(shù)的定義域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性解：由得，所求定義域?yàn)橹涤驗(yàn)镽，周期，是非奇非偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)例6．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。。的圖象。解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。故由2kπ－≤－≤2kπ+。3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），為單調(diào)減區(qū)間；由2kπ+≤－≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），為單調(diào)增區(qū)間。∴遞減區(qū)間為［3kπ－，3kπ+］，遞增區(qū)間為［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。（2）y=－|sin（x+）|的圖象的增區(qū)間為［kπ+，kπ+］，減區(qū)間為［kπ－，kπ+］。一、選擇題1．函數(shù)y＝sinax(a≠0)的最小正周期為π，則a的值為()A．2 B．－2C．±2 D．eq\f(1,2)[答案]C[解析]由題意，得eq\f(2π,|a|)＝π，∴a＝±2.2．函數(shù)y＝sin(x－eq\f(π,4))的一條對(duì)稱(chēng)軸可以是直線(xiàn)()A．x＝eq\f(π,2) B．x＝eq\f(7π,4)C．x＝－eq\f(3π,4) D．x＝eq\f(π,4)[答案]B[解析]解法一：令x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴x＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.當(dāng)k＝1時(shí)，x＝eq\f(7π,4)，故選B.解法二：當(dāng)x＝eq\f(7π,4)時(shí)，y＝sin(eq\f(7π,4)－eq\f(π,4))＝sineq\f(3π,2)＝－1，∴x＝eq\f(7π,4)是函數(shù)y＝sin(x－eq\f(π,4))的一條對(duì)稱(chēng)軸．3．函數(shù)y＝sin2x的單調(diào)減區(qū)間是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3,2)π＋2kπ))(k∈Z) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3,4)π))(k∈Z)C．[π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)[答案]B[解析]由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z得y＝sin2x的單調(diào)減區(qū)間是[kπ＋eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(3,4)π](k∈Z)．4．函數(shù)f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為()A．3 B．0C．－1 D．－2[答案]B[解析]f(a)＝a3＋sina＋1＝2.f(－a)＝－a3－sina＋1＝－f(a)＋2＝0.5．y＝sinx－|sinx|的值域是()A．[－1,0] B．[0,1]C．[－1,1] D．[－2,0][答案]D[解析]當(dāng)sinx≥0即2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z時(shí)，y＝0；當(dāng)sinx<0，即2kπ＋π<x<2kπ＋2π，k∈Z時(shí)，y＝2sinx，∴－2≤y<0.綜上，y∈[－2,0]．6．已知函數(shù)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]，則該函數(shù)圖象與直線(xiàn)y＝eq\f(3,2)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]分別作出函數(shù)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]與直線(xiàn)y＝eq\f(3,2)的圖象，如下圖所示：由圖可知，函數(shù)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]與直線(xiàn)y＝eq\f(3,2)有兩個(gè)交點(diǎn)，故選C.二、填空題7．f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－sinx，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝________.[答案]－x2－sinx[解析]∵x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sinx，∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－sinx.8．函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))·cos(eq\f(π,2)＋x)是________函數(shù)．(奇、偶性)[答案]偶函數(shù)[解析]f(x)＝sin2xsinx∵f(－x)＝sin(－2x)·sin(－x)＝sin2x·sinx＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．三、解答題9．求函數(shù)y＝7－6sinx－2cos2x的最值．[解析]y＝7－6sinx－2cos2x＝2sin2x－6sinx＋5＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,2)))2＋eq\f(1,2).由于二次函數(shù)y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,2)))2＋eq\f(1,2)的二次項(xiàng)系數(shù)為2>0，所以?huà)佄锞€(xiàn)開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).又sinx∈[－1,1]，故當(dāng)x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，即sinx＝－1時(shí)，y有最大值13；當(dāng)x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即sinx＝1時(shí)，y有最小值1.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1．函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋\f(π,6)))的最小正周期是()A．eq\f(2,5)π B．eq\f(5,2)πC．5π D．eq\f(π,6)[答案]C[解析]T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,\f(2,5))＝5π.2．曲線(xiàn)y＝sin(2x＋eq\f(π,6))的一條對(duì)稱(chēng)軸是()A．－eq\f(5π,12) B．x＝eq\f(5π,12)C．x＝－eq\f(7π,6) D．x＝eq\f(7π,6)[答案]D[解析]令2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴x＝eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.當(dāng)k＝2時(shí)，x＝eq\f(7π,6)，故選D.3．下列表示最值是eq\f(1,2)，周期是6π的三角函數(shù)的表達(dá)式是()A．y＝eq\f(1,2)sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,6)) B．y＝eq\f(1,2)sin(3x＋eq\f(π,6))C．y＝2sin(eq\f(x,3)－eq\f(π,6)) D．y＝eq\f(1,2)sin(x＋eq\f(π,6))[答案]A[解析]函數(shù)y＝eq\f(1,2)sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,6))的最大值為eq\f(1,2)，周期為6π，初相為eq\f(π,6)，故選A.4．下列四個(gè)函數(shù)中，最小正周期是π且圖象關(guān)于x＝eq\f(π,3)對(duì)稱(chēng)的是()A．y＝sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)) B．y＝sin(2x＋eq\f(π,6))C．y＝sin(2x－eq\f(π,3)) D．y＝sin(2x－eq\f(π,6))[答案]D[解析]∵函數(shù)的最小正周期為π，排除A，又∵函數(shù)圖象關(guān)于x＝eq\f(π,3)對(duì)稱(chēng)，∴當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，函數(shù)取最大值或最小值，只有選項(xiàng)D滿(mǎn)足，故選D.5．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在區(qū)間[0，π]內(nèi)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(11π,12))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))[答案]B[解析]由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)得eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(7π,12)＋kπ(k∈Z)，∴選B.6．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)f(x)＝sinωx的圖象C的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，若點(diǎn)P到圖象C的對(duì)稱(chēng)軸的距離的最小值是eq\f(π,4)，則f(x)的最小正周期是()A．2π B．πC．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)[答案]B[解析]由題意知eq\f(T,4)＝eq\f(π,4)，∴T＝π，故選B.二、填空題7．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))＝________.[答案]0[解析]由圖象知，T＝eq\f(2π,3)，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(T,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0.8．函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分圖象如圖，則y＝________.[答案]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))[解析]eq\f(T,4)＝2，∴T＝8，ω＝eq\f(π,4)，將點(diǎn)(1,1)代入y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))中得eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，∵0≤φ<2π，∴φ＝eq\f(π,4).三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示，求函數(shù)f(x)的解析式．[解析]由圖象知，周期T＝2(eq\f(11π,12)－eq\f(5π,12))＝π，所以ω＝eq\f(2π,T)＝2.因?yàn)辄c(diǎn)(eq\f(5π,12)，0)在函數(shù)圖象上，所以Asin(2×eq\f(5π,12)＋φ)＝0，即sin(eq\f(5π,6)＋φ)＝0.又因?yàn)?<φ<eq\f(π,2)，所以eq\f(5π,6)<eq\f(5π,6)＋φ<eq\f(4π,3).從而eq\f(5π,6)＋φ＝π，即φ＝eq\f(π,6).又點(diǎn)(0,1)在函數(shù)圖象上，所以Asineq\f(π,6)＝1，解得A＝2.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．INCLUDEPICTURETIF"錯(cuò)誤!未指定書(shū)簽。能力提升一、選擇題1．若函數(shù)f(x)＝sineq\f(x＋φ,3)(φ∈[0,2π])是偶函數(shù)，則φ＝()A．eq\f(π,2) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(3π,2) D．eq\f(5π,3)[答案]C[解析]本題考查了三角函數(shù)奇偶性，誘導(dǎo)公式．由y＝sineq\f(x＋φ,3)是偶函數(shù)知eq\f(φ,3)＝eq\f(π,2)＋kπ，即φ＝eq\f(3π,2)＋3kπ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝eq\f(3π,2)適合．本題也可用偶函數(shù)定義求解．2．若A、B是鈍角△ABC的兩個(gè)銳角，則點(diǎn)P(cosB－sinA，sinB－cosA)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]D[解析]∵A、B是鈍角△ABC的兩個(gè)銳角，∴A＋B<eq\f(π,2)，0<A<eq\f(π,2)－B<eq\f(π,2)，0<B<eq\f(π,2)－A<eq\f(π,2).∵y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，∴sinA<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，sinB<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))，∴sinA<cosB，sinB<cosA，∴點(diǎn)P在第四象限．3．已知方程cos2x＋4sinx－a＝0有解，則a的范圍是()A．[－2,5] B．(－∞，5]C．[－4,4] D．[0,5][答案]C[解析]原式可化為：(sinx－2)2＝5－a.∵－1≤sinx≤1，∴1≤(sinx－2)2≤9，∴1≤5－a≤9，解得a∈[－4,4]．4．函數(shù)y＝eq\f(7,4)＋sinx－sin2x的最大值是()A．eq\f(7,4) B．－eq\f(1,4)C．2 D．不存在[答案]C[解析]y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2＋2，∵－1≤sinx≤1，∴當(dāng)sinx＝eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)y＝－(sinx－eq\f(1,2))2＋2取最大值2.二、填空題5．函數(shù)y＝a＋bsinx的最大值是eq\f(3,2)，最小值為－eq\f(1,2)，則a＝________，b＝________.[答案]eq\f(1,2)±1[解析]當(dāng)b>0時(shí)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(3,2),a－b＝－\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝1)).當(dāng)b<0時(shí)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝\f(3,2),a＋b＝－\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝－1)).6．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋2kπ，\f(3π,4)＋2kπ))(k∈Z)[解析]y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))的遞減區(qū)間，即為函數(shù)y′＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的遞增區(qū)間，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋2kπ≤x≤eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z，∴函數(shù)y＝sin(－x＋eq\f(π,4))的單調(diào)遞減區(qū)間為[－eq\f(π,4)＋2kπ，eq\f(3π,4)＋2kπ