2019年江蘇省南京市中考數學試卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰

有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）

1.（2分）（2019?南京）2018年中國與“一帶一路”沿線國家貨物貿易進出口總額達到13000

億美元.用科學記數法表示13000是（）

A.0.13X105B.1.3X104C.13X103D.130X102

【考點】H：科學記數法一表示較大的數.

【專題】511：實數.

【分析】科學記數法的表示形式為。義10"的形式，其中1W間＜10,n為整數.確定n

的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相

同.當原數絕對值＞1時，〃是正數；當原數的絕對值＜1時，〃是負數.

【解答】解：13000=1.3X104

故選：B.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10"的形式，其

中1W⑷＜10,"為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

2.（2分）（2019?南京）計算（J。）3的結果是（）

A.a'lf'B.ah'C.abD.al?

【考點】47：幕的乘方與積的乘方.

【專題】512：整式.

【分析】根據積的乘方法則解答即可.

【解答】解：（Jb）3=（tz2）3bi=a'bi.

故選：D.

【點評】本題主要考查了塞的運算，熟練掌握法則是解答本題的關鍵.積的乘方，等于

每個因式乘方的積.

3.（2分）（2019?南京）面積為4的正方形的邊長是（）

A.4的平方根B.4的算術平方根

C.4開平方的結果D.4的立方根

【考點】21：平方根；22：算術平方根；24：立方根.

【專題】511：實數；66：運算能力.

【分析】已知正方形面積求邊長就是求面積的算術平方根；

【解答】解：面積為4的正方形的邊長是即為4的算術平方根；

故選：B.

【點評】本題考查算術平方根；熟練掌握正方形面積與邊長的關系，算術平方根的意義

是解題的關鍵.

4.（2分）（2019?南京）實數a、b、c滿足。>b且ac<6c,它們在數軸上的對應點的位置

可以是（）

A.cba0B.cab0

C.ab0cD.ba0

【考點】29：實數與數軸.

【專題】511：實數.

【分析】根據不等式的性質，先判斷c的正負.再確定符合條件的對應點的大致位置.

【解答】解：因為且ac<6c,

所以c<0.

選項A符合。>6,c<0條件，故滿足條件的對應點位置可以是A.

選項B不滿足選項C、。不滿足c<0,故滿足條件的對應點位置不可以是3、C、

D.

故選：A.

【點評】本題考查了數軸上點的位置和不等式的性質.解決本題的關鍵是根據不等式的

性質判斷。的正負.

5.（2分）（2019?南京）下列整數中，與10-而最接近的是（）

A.4B.5C.6D.7

【考點】2B：估算無理數的大小.

【專題】511：實數；61：數感；66：運算能力.

【分析】由于9<13<16,可判斷后與4最接近，從而可判斷與10-后最接近的整

數為6.

【解答】解：：9<13<16,

>'.3<V13<4.

，與打互最接近的是4,

...與10最接近的是6.

故選：C.

【點評】此題考查了估算無理數的大小，熟練掌握估算無理數的方法是解本題的關鍵.

6.（2分）（2019?南京）如圖，△ABC是由△ABC經過平移得到的，△A3'C還可以看作是

△ABC經過怎樣的圖形變化得到？下列結論：①1次旋轉；②1次旋轉和1次軸對稱；

③2次旋轉；④2次軸對稱.其中所有正確結論的序號是（）

A.①④B.②③C.②④D.③④

【考點】RA：幾何變換的類型.

【專題】558：平移、旋轉與對稱.

【分析】依據旋轉變換以及軸對稱變換，即可使△ABC與△ABC重合.

【解答】解：先將△ABC繞著8C的中點旋轉180°,再將所得的三角形繞著8C的中點

旋轉180°,即可得到△ABC；

先將△ABC沿著B'C的垂直平分線翻折，再將所得的三角形沿著8'C的垂直平分線翻折,

即可得到△A8C；

故選：D.

【點評】本題主要考查了幾何變換的類型，在軸對稱變換下，對應線段相等，對應直線

（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分.在旋轉變換下,

對應線段相等，對應直線的夾角等于旋轉角.

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。不需寫出解答過程，請把答案直

接填寫在答題卡相應位置上）

7.（2分）（2019?南京）-2的相反數是2；工的倒數是2.

2

【考點】14：相反數；17：倒數.

【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數，乘積為的兩個數互為倒數，可得答案.

【解答】解：-2的相反數是2；工的倒數是2,

2

故答案為：2,2.

【點評】本題考查了倒數，分子分母交換位置是求一個數的倒數的關鍵.

8.（2分）（2019?南京）計算14-標的結果是0

VT

【考點】76：分母有理化；79：二次根式的混合運算.

【專題】514：二次根式.

【分析】先分母有理化，然后把二次根式化為最簡二次根式后合并即可.

【解答】解：原式=2/？-2/？=0.

故答案為0.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行

二次根式的乘除運算，再合并即可.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈

活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍.

9.（2分）（2019?南京）分解因式（a-b）?+4他的結果是（a+b）,.

【考點】54：因式分解-運用公式法.

【專題】512：整式.

【分析】直接利用多項式乘法去括號，進而合并同類項，再利用公式法分解因式得出答

案.

【解答】解：（a-b）2+4ab

99

=a-2ab+b

22

=a+2ab+b

=（4+Z?）L

故答案為：（a+6）

【點評】此題主要考查了運用公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵.

10.（2分）（2019?南京）已知2+愿是關于x的方程尤2-4X+〃Z=0的一個根，則m=1.

【考點】A3：一元二次方程的解.

【專題】523：一元二次方程及應用.

【分析】把x=2+?代入方程得到關于機的方程，然后解關于根的方程即可.

【解答】解：把x=2+近代入方程得（2+禽）2-4（2+V3）+m=0,

解得77?=1.

故答案為1.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值

是一元二次方程的解.

11.（2分）（2019?南京）結合圖，用符號語言表達定理“同旁內角互補，兩直線平行”的

推理形式：:/1+/3=180°，：.a//b.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.

【解答】解：：/1+/3=180°,

???。〃匕（同旁內角互補，兩直線平行）.

故答案為：Nl+N3=180°.

【點評】本題主要考查了平行的判定，兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，

那么這兩條直線平行.

12.（2分）（2019?南京）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示.將一根長為20c%的細木筷斜

放在該杯子內，木筷露在杯子外面的部分至少有

【考點】16：幾何體的展開圖；KU：勾股定理的應用.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】根據題意直接利用勾股定理得出杯子內的筷子長度，進而得出答案.

【解答】解：由題意可得：

杯子內的筷子長度為：7122+92=15,

則筷子露在杯子外面的筷子長度為：20-15=5（cm）.

故答案為：5.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出杯子內筷子的長是解決問題的關鍵.

13.（2分）（2019?南京）為了了解某區初中學生的視力情況，隨機抽取了該區500名初中

學生進行調查.整理樣本數據，得到下表:

視力4.7以下4.74.84.94.9以上

人數102988093127

根據抽樣調查結果，估計該區12000名初中學生視力不低于4.8的人數是7200.

【考點】V5：用樣本估計總體.

【專題】542：統計的應用.

【分析】用總人數乘以樣本中視力不低于4.8的人數占被調查人數的比例即可得.

【解答】解：估計該區12000名初中學生視力不低于4.8的人數是12000><8°+93+12」=

500

7200（人）,

故答案為：7200.

【點評】本題主要考查用樣本估計總體，用樣本的數字特征估計總體的數字特征（主要

數據有眾數、中位數、平均數、標準差與方差）?一般來說，用樣本去估計總體時，樣

本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確.

14.（2分）（2019?南京）如圖，以、尸8是。。的切線，A、B為切點，點C、。在。。上.若

ZP=102°，則NA+NC=219°.

【考點】M5：圓周角定理；MC：切線的性質.

【專題】55A：與圓有關的位置關系.

【分析】連接根據切線的性質得到出=尸8,根據等腰三角形的性質得到

PBA=^-（180°-102°）=39°,由圓內接四邊形的性質得到/D48+/C=180°,于

2

是得到結論.

【解答】解：連接A8,

：力、尸8是。。的切線，

：.PA=PB,

VZP=102",

：.ZR\B=ZPBA^l-(180°-102°)=39°,

2

,：ZDAB+ZC=18Q°,

：.ZR\D+ZC=ZPAB+ZDAB+ZC^180°+39°=219°,

【點評】本題考查了切線的性質，圓內接四邊形的性質，等腰三角形的性質，正確的作

出輔助線是解題的關鍵.

15.（2分）（2019?南京）如圖，在△ABC中，8C的垂直平分線MN交A8于點。，C￡>平

分NACB.若AO=2,BD=3,則AC的長

【考點】KG：線段垂直平分線的性質；KQ：勾股定理；S9：相似三角形的判定與性質.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】證出證明△AC￡>S/VIBC,得出旦■=世，即可得出結

ABAC

果.

【解答】解：的垂直平分線MN交于點。，

：.CD=BD=3,

：.ZB=ZDCB,AB=AD+BD=5,

平分NACB,

ZACD=ZDCB=ZB,

，AACD^AABC,

.AC=AD

"AB而，

.,.AC2=ADXAB=2X5=10,

--.AC=V10.

故答案為：VTo.

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質、角平分線的性質、平行線分線段成比例定

理、勾股定理等知識；熟練掌握線段垂直平分線的性質和角平分線的性質，由勾股定理

得出方程是解題的關鍵.

16.（2分）（2019?南京）在△ABC中，AB=4,ZC=60°,ZA>ZB,則8C的長的取值

范圍是4C2CW生叵.

3一

【考點】K6：三角形三邊關系.

【專題】552：三角形；554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】作AABC的外接圓，求出當NA4c=90°時，BC是直徑最長=生叵；當N8AC

3

=/ABC時，/XABC是等邊三角形，BC=AC=AB=4,l^ZBAOZABC,即可得出答

案.

【解答】解：作△ABC的外接圓，如圖所示：

ZBAC>ZABC,AB=4,

當/BAC=90°時，BC是直徑最長，

VZC=60°,

AZABC=30°,

C.BC^IAC,AB=yf^AC=4,

3

.?.8C=_§2L1；

3

當/BAC=NA8C時，ZiABC是等邊三角形，BC=AC=AB=4,

ZBAC>ZABC,

：.BC長的取值范圍是4<BCW生叵；

3

故答案為：4<8CWa叵.

3

Cl

c

乂弋一~yB

【點評】本題考查了三角形的三邊關系、直角三角形的性質、等邊三角形的性質；作出

△ABC的外接圓進行推理計算是解題的關鍵.

三、解答題(本大題共11小題，共88分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟)

17.(7分)(2019?南京)計算(尤+y)(x2-xy+y2)

【考點】4B：多項式乘多項式.

【專題】11：計算題.

【分析】根據多項式乘以多項式的法則，可表示為(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,計

算即可.

【解答】解：(尤+y)(尤2-孫+/)，

=x3-x2y+,xy2+,x2y-xy2+,y3,

=x3+,y3.

故答案為：f+J.

【點評】本題主要考查多項式乘以多項式的法則.注意不要漏項，漏字母，有同類項的

合并同類項.

18.(7分)(2019?南京)解方程：—.

XTx2-l

【考點】B3：解分式方程.

【專題】11：計算題.

【分析】方程兩邊都乘以最簡公分母(x+1)(%-1)化為整式方程，然后解方程即可，

最后進行檢驗.

【解答】解：方程兩邊都乘以(%+1)(x-1)去分母得，

x(x+1)-(x2-1)=3,

即x2+x-，+1=3,

解得了=2

檢驗：當x—2時，(x+1)(x-1)=(2+1)(2-1)=3W0,

，x=2是原方程的解，

故原分式方程的解是尤=2.

【點評】本題考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分

式方程轉化為整式方程求解.

（2）解分式方程一定注意要驗根.

19.（7分）（2019?南京）如圖，。是△ABC的邊A3的中點，DE//BC,CE//AB,AC與

【考點】KB：全等三角形的判定.

【專題】555：多邊形與平行四邊形.

【分析】依據四邊形DBCE是平行四邊形，即可得出8O=CE,依據即可得

出ZADF=ZE,即可判定歹也△CEF.

【解答】證明：,CDE//BC,CE//AB,

...四邊形DBCE是平行四邊形，

:.BD=CE,

,:。是AB的中點，

：.AD=BD,

：.AD=EC,

'：CE//AD,

：.ZA=ZECF,ZADF=ZE,

BC

【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定，兩角及其夾

邊分別對應相等的兩個三角形全等.

20.(8分)(2019?南京)如圖是某市連續5天的天氣情況.

日期5月25日5月26日5月27日5月28日5月29日

天氣現象分浜療

大雨中Q雨晴晴3多玄

最局氣溫

最低氣溫

空氣質量良優優優良

(1)利用方差判斷該市這5天的日最高氣溫波動大還是日最低氣溫波動大;

(2)根據如圖提供的信息，請再寫出兩個不同類型的結論.

【考點】W7：方差.

【專題】542：統計的應用.

【分析】(1)方差：一組數據中各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組

數據的方差；

(2)用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結果表示一組數據偏離平均

值的情況，這個結果叫方差，通常用52來表示，計算公式是：

?=1[(XI-X)2+(X2-X)2+-+-x)2](可簡單記憶為“方差等于差方的平均

n

數”).

【解答】解：(1)這5天的日最高氣溫和日最低氣溫的平均數分別是

--23+25+23+25+24--21+22+15+15+17_18

*高一--------5------_*低―--------5-------

方差分別是

$-2—(23-24產+(25-24)4(23-24B(25-24)(24-24)2_08,

曷5

2222

。_(21-18)2+(22-18)+(15-18)+(15-18)+(17-18).88

,低25

該市這5天的日最低氣溫波動大;

（2）25日、26日、27日的天氣依次為大雨、中雨、晴，空氣質量依次良、優、優，說

明下雨后空氣質量改善了.

【點評】本題考查了方差，正確理解方差的意義是解題的關鍵.方差是反映一組數據的

波動大小的一個量.方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它

與其平均值的離散程度越小，穩定性越好.

21.（8分）（2019?南京）某校計劃在暑假第二周的星期一至星期四開展社會實踐活動，要

求每位學生選擇兩天參加活動.

（1）甲同學隨機選擇兩天，其中有一天是星期二的概率是多少？

（2）乙同學隨機選擇連續的兩天，其中有一天是星期二的概率是2.

一旦一

【考點】X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】（1）由樹狀圖得出共有12個等可能的結果，其中有一天是星期二的結果有6個,

由概率公式即可得出結果；

（2）乙同學隨機選擇連續的兩天，共有3個等可能的結果，即（星期一，星期二），（星

期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的結果有2個，由概率公式即

可得出結果.

【解答】解：（1）畫樹狀圖如圖所示：共有12個等可能的結果，其中有一天是星期二的

結果有6個，

甲同學隨機選擇兩天，其中有一天是星期二的概率為心-=工；

122

（2）乙同學隨機選擇連續的兩天，共有3個等可能的結果，即（星期一，星期二），（星

期二，星期三），（星期三，星期四）；

其中有一天是星期二的結果有2個，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），

乙同學隨機選擇連續的兩天，其中有一天是星期二的概率是2；

3

故答案為：—.

3

1234

小/K小小

234134124123

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果

求出小再從中選出符合事件A或2的結果數目“3然后根據概率公式求出事件A或B

的概率.

22.（7分）（2019?南京）如圖，O。的弦A3、C。的延長線相交于點P,且求證:

PA=PC.

P

【考點】M4：圓心角、弧、弦的關系.

【專題】559：圓的有關概念及性質.

【分析】連接AC,由圓心角、弧、弦的關系得出第=而,進而得出面=合，根據等弧

所對的圓周角相等得出NC=NA，根據等角對等邊證得結論.

【解答】證明：連接AC,

AB=CD，

.1.AB+BD=BD+CD（即俞=合，

.?.ZC=ZA,

C.PA^PC.

【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，等腰三角形的判定等，熟練

掌握性質定理是解題的關鍵.

23.（8分）（2019?南京）已知一次函數力=依+2（左為常數，左=0）和丫2=尤-3.

（1）當上=-2時，若力＞m，求x的取值范圍.

（2）當尤＜1時，yi＞y2.結合圖象，直接寫出左的取值范圍.

【考點】F5：一次函數的性質；FD：一次函數與一元一次不等式.

【專題】533：一次函數及其應用.

【分析】（1）解不等式-2x+2>x-3即可;

（2）先計算出x=l對應的”的函數值，然后根據尤<1時，一次函數月=履+2。為常

數，左W0）的圖象在直線”=尤-3的上方確定上的范圍.

【解答】解：（1）左=-2時，V]=-2x+2,

根據題意得-2%+2>%-3,

解得X<旦;

3

（2）當x=l時,y=x-3=-2,把（1,-2）代入yi=kx+2得k+2=-2,解得k=-4,

當-4W%〈0時，>1〉”；

當QVXW1時,yi>y2.

【點評】本題考查了一次函數與一元一次不等式：從函數的角度看，就是尋求使一次函

數丫="+匕的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確

定直線y=fcv+6在無軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.

24.（8分）（2019?南京）如圖，山頂有一塔AB,塔高33優.計劃在塔的正下方沿直線CD

開通穿山隧道EE從與E點相距80根的C處測得A、B的仰角分別為27°、22°,從

與歹點相距50根的。處測得A的仰角為45°.求隧道所的長度.

（參考數據：tan22°仁0.40,tan27°仁0.51.）

【考點】TA：解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應用.

【分析】延長交。于H,利用正切的定義用CH表示出AH、BH,根據題意列式求

出CH,計算即可.

【解答】解：延長AB交CD于"

則AH_LC￡）,

在中，ZD=45°,

:.AH=DH,

在RtZ\AHC中，tan/ACH=^l,

CH

：.AH=CH'lanZACH^0.51CH,

在RtZXBHC中，tan/BCH=型,

CH

:.BH=CH?tanNBCH34CH,

由題意得，0.51CH-0.4cH=33,

解得，CH=300,

EH=CH-CE=220,BH=12Q,

：.AH=AB+BH^153,

：.DH=AH=153,

：.HF=DH-DF=103,

:.EF=EH+FH=323,

答：隧道跖的長度為323祖.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟

記銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

25.（8分）（2019?南京）某地計劃對矩形廣場進行擴建改造.如圖，原廣場長50優，寬40加,

要求擴充后的矩形廣場長與寬的比為3：2.擴充區域的擴建費用每平方米30元，擴建后

在原廣場和擴充區域都鋪設地磚，鋪設地磚費用每平方米100元.如果計劃總費用642000

元，擴充后廣場的長和寬應分別是多少米？

擴

充

區

原廣場域

【考點】AD：一元二次方程的應用.

【專題】523：一元二次方程及應用.

【分析】設擴充后廣場的長為3xm,寬為2x處根據矩形的面積公式和總價=單價X數

量列出方程并解答.

【解答】解：設擴充后廣場的長為3X7",寬為2?”,

依題意得：100+30（3尤?2x-50X40）=642000

解得尤1=30,尤2=-30（舍去）.

所以3x=90,2x=60,

答：擴充后廣場的長為90〃z,寬為60,”.

【點評】題考查了列二元一次方程解實際問題的運用，總價=單價X數量的運用，解答

時找準題目中的數量關系是關鍵.

26.（9分）（2019?南京）如圖①，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.求作菱形

DEFG,使點。在邊AC上，點E、E在邊上，點G在邊上.

小明的作法

1.如圖②，在邊AC上取一點D,過點。作。G〃AB交BC于點G.

2.以點。為圓心，0G長為半徑畫弧，交AB于點E.

3.在EB上截取￡/=￡?,連接FG,則四邊形。E/G為所求作的菱形.

（1）證明小明所作的四邊形。EPG是菱形.

（2）小明進一步探索，發現可作出的菱形的個數隨著點D的位置變化而變化……請你繼

續探索，直接寫出菱形的個數及對應的CD的長的取值范圍.

【分析】（1）根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

（2）求出幾種特殊位置的CD的值判斷即可.

【解答】（1）證明：,:DE=DG,EF=DE,

：.DG=EF,

,:DG〃EF,

四邊形DEFG是平行四邊形,

,:DG=DE,

四邊形。所G是菱形.

(2)如圖1中，當四邊形。跖G是正方形時，設正方形的邊長為x.

圖1

在Rt^ABC中，VZC=90°，AC=3,BC=4,

Q32+42=5,

則CD=^-x,AD=^-x,

54

,：AD+CD=AC,

._60

??Xv,

37

3_36

：.CD—'rX------

537

觀察圖象可知：0WCDC匹時，菱形的個數為0.

37

如圖2中，當四邊形ZMEG是菱形時，設菱形的邊長為九

圖2

'：DG//AB,

.CD=DG

"CAAB，

?-?-3---I-D—_>m

35

解得加=比，

8

：.CD^3-乃=旦,

88

如圖3中，當四邊形DE8G是菱形時，設菱形的邊長為“.

圖3

,JDG//AB,

.CG=DG

"CBAB，

???-4-F---_,n

45

.20

..n=——,

9

；.CG=4-迫=邁，

99

觀察圖象可知：當OWCD〈弛■或且＜。?3時，菱形的個數為0,當CZ）=①或旦＜C￡）

373378

W4時，菱形的個數為1,當匹旦時，菱形的個數為2.

3378

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，菱形的判定和性質，作圖-復雜作圖等知

識，解題的關鍵是學會尋找特殊位置解決問題，屬于中考常考題型，題目有一定難度.

27.（11分）（2019?南京）【概念認識】

城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按

直角拐彎的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系無對兩

點A（修，yi）和B（入2,'2）,用以下方式定義兩點間距禺：d（A,B）=|%i-％2l+lyi-

【數學理解】

(1)①已知點A(-2,1),則d(0,A)=3.

②函數y=-2x+4(0WxW2)的圖象如圖①所示，B是圖象上一點，d(O,B)=3,則

點B的坐標是(1,2).

(2)函數>=且(尤>0)的圖象如圖②所示.求證：該函數的圖象上不存在點C,使d

X

(O,C)=3.

(3)函數y=7-5x+7(%20)的圖象如圖③所示，。是圖象上一點，求d(。，D)的

最小值及對應的點D的坐標.

【問題解決】

(4)某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點，先沿方向到

某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？(要求：建立適

當的平面直角坐標系，畫出示意圖并簡要說明理由)

【考點】HF：二次函數綜合題.

【專題】15：綜合題；23：新定義；535：二次函數圖象及其性質.

【分析】(1)①根據定義可求出d(。，A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；②由兩點間距離：

d(A,B)=ki-X2\+\yi-yzl及點B是函數y=-2x+4的圖象上的一點，可得出方程組，

解方程組即可求出點B的坐標；

(2)由條件知x>0,根據題意得x+3=3,整理得，-3x+4=0,由△<()可證得該函數

X

的圖象上不存在點C,使d(O,C)=3.

(3)根據條件可得|x|+|，-5x+7],去絕對值后由二次函數的性質可求出最小值；

(4)以M為原點，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標系xOy,將函數y=-x的

圖象沿y軸正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點時停止，設交點為E,過點E

作EHJLMN,垂足為“，修建方案是：先沿方向修建到H處，再沿"E方向修建到

E處,可由d(。，P)(O,E)證明結論即可.

【解答】解：(1)①由題意得：d(O,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；

②設y),由定義兩點間的距離可得：|0-x|+|0-y|=3,

；?x+y=3,

./x+y=3

"[y=-2x+4

解得：fx=l,

1尸2

：.B(1,2),

故答案為：3,(1,2)；

(2)假設函數廣&(x>0)的圖象上存在點C(尤，>)使d(。，C)=3,

X

根據題意，得|工-0|+|二3，

Vx>0,

[,旦>0，|x-0|+|里-0|二x+&，

XXX

x-H^-=3,

x

2

+4=3x,

.2

..x-3x+4=0,

A=Z?2-4ac=-7<0,

方程x?-3x+4=0沒有實數根，

,該函數的圖象上不存在點C,使d(。，C)=3.

(3)設。(x,y),

木艮據題意得，d(。，D)=|尤-0|+|x2-5.X+7-0\=\x\+\x-5x+7|,

X2-5X+7=(X￡)2+y^>0,

又x\0,

.,.dCO,D)—|x|+|x2-5x+7|=_r+/-5x+7=，-4x+7=(x-2)2+3,

當尤=2時，d(O,D)有最小值3,此時點D的坐標是(2,1).

(4)如圖，以“為原點，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標系xOy,將函數y=

-x的圖象沿y軸正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點時停止,

設交點為E,過點E作垂足為H,修建方案是：先沿MN方向修建到H處，

再沿HE方向修建到E處.

理由：設過點E的直線人與無軸相交于點尸.在景觀湖邊界所在曲線上任取一點尸，過

V

■小

點尸作直線/2〃/1，，2與X軸相交于點G.

VZEFH=45°,

：.EH=HF,d(O,E)=OH+EH=OF,

同理d(O,P)=0G,

'：OG^OF,

：.d(O,P)*(<9,E),

上述方案修建的道路最短.

【點評】考查了二次函數的綜合題，涉及的知識點有新定義，解方程(組)，二次函數的

性質等.

考點卡片

1.相反數

（1）相反數的概念：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數.

（2）相反數的意義：掌握相反數是成對出現的，不能單獨存在，從數軸上看，除0外，互

為相反數的兩個數，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等.

（3）多重符號的化簡：與“+”個數無關，有奇數個“-”號結果為負，有偶數個“-”

號，結果為正.

（4）規律方法總結：求一個數的相反數的方法就是在這個數的前邊添加“-如。的相反

數是-a,的相反數是-（機+"）,這時機+〃是一個整體，在整體前面添負號時，要用

小括號.

2.倒數

（1）倒數：乘積是1的兩數互為倒數.

一般地，（a=0）,就說。（aWO）的倒數是上.

aa

（2）方法指引：

①倒數是除法運算與乘法運算轉化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉化為加法及相反數一

樣，非常重要.倒數是伴隨著除法運算而產生的.

②正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，而0沒有倒數，這與相反數不同.

【規律方法】求相反數、倒數的方法

求一個數的相反數求一個數的相反數時，只需在這個數前面加上“-”即可

求一個數的倒數求一個整數的倒數，就是寫成這個整數分之一

求一個分數的倒數，就是調換分子和分母的位置

注意：。沒有倒數.

3.科學記數法一表示較大的數

（1）科學記數法：把一個大于10的數記成aX10〃的形式，其中a是整數數位只有一位的

數，〃是正整數，這種記數法叫做科學記數法.【科學記數法形式：aXIO",其中lWa<10,

w為正整數.1

（2）規律方法總結：

①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規律為關鍵，由于10的指數比原來的整數

位數少1；按此規律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數加

②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用

此法表示，只是前面多一個負號.

4.平方根

（1）定義：如果一個數的平方等于。，這個數就叫做。的平方根，也叫做。的二次方根.

一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根.

（2）求一個數。的平方根的運算，叫做開平方.

一個正數a的正的平方根表示為“〃；”，負的平方根表示為“-4”.

正數。的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作a.零的算術平方根仍舊是零.

平方根和立方根的性質

1.平方根的性質：正數。有兩個平方根，它們互為相反數；。的平方根是0;負數沒有平方

根.

2.立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數,

0的立方根是0.

5.算術平方根

（1）算術平方根的概念：一般地，如果一個正數尤的平方等于a,即彳2=小那么這個正數

x叫做a的算術平方根.記為a.

（2）非負數a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數。是非負數；②算術平方根a本

身是非負數.

（3）求一個非負數的算術平方根與求一個數的平方互為逆運算，在求一個非負數的算術平

方根時，可以借助乘方運算來尋找.

6.立方根

（1）定義：如果一個數的立方等于a,那么這個數叫做。的立方根或三次方根.這就是說,

如果/=a,那么x叫做a的立方根.記作：圾.

（2）正數的立方根是正數，0的立方根是0,負數的立方根是負數.即任意數都有立方根.

（3）求一個數a的立方根的運算叫開立方，其中。叫做被開方數.

注意：符號。3中的根指數“3”不能省略；對于立方根，被開方數沒有限制，正數、零、負

數都有唯一一個立方根.

【規律方法】平方根和立方根的性質

I.平方根的性質：正數。有兩個平方根，它們互為相反數；。的平方根是0；負數沒有平方

根.

2.立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，

0的立方根是0.

7.實數與數軸

（1）實數與數軸上的點是一一對應關系.

任意一個實數都可以用數軸上的點表示；反之，數軸上的任意一個點都表示一個實數.數軸

上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數.

（2）在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數。

的絕對值就是在數軸上這個數對應的點與原點的距離.

（3）利用數軸可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左

邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小.

8.估算無理數的大小

估算無理數大小要用逼近法.

思維方法：用有理數逼近無理數，求無理數的近似值.

9.塞的乘方與積的乘方

（1）事的乘方法則：底數不變，指數相乘.

（/'）n=amn（m,〃是正整數）

注意：①幕的乘方的底數指的是幕的底數；②性質中“指數相乘”指的是幕的指數與乘方

的指數相乘，這里注意與同底數幕的乘法中“指數相加”的區別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘.

是正整數）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數字因數的乘方應根據

乘方的意義，計算出最后的結果.

10.多項式乘多項式

（1）多項式與多項式相乘的法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積

相加.

（2）運用法則時應注意以下兩點：

①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式,

在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積.

11.因式分解-運用公式法

1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法.

平方差公式：a-Z>2=（.a+b）（a-b）；

完全平方公式：a2+lab+b2—（。±6）2；

2、概括整合：

①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符

號相反.

②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數（或式）

的平方和的形式，另一項是這兩個數（或式）的積的2倍.

3、要注意公式的綜合應用，分解到每一個因式都不能再分解為止.

12.分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根號化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式.

例如：①返；viWb

VaaVa+VbWa+VbJWa-b

（2）兩個含二次根式的代數式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數式成互為

有理化因式.

一個二次根式的有理化因式不止一個.

例如：血-畬的有理化因式可以是y+舊，也可以是。（&+丁5），這里的。可以是任意

有理數.

13.二次根式的混合運算

（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學習二次

根式的混合運算應注意以下幾點：

①與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面

的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多

項式

（2）二次根式的運算結果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當

的解題途徑，往往能事半功倍.

14.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解?又因為只含有一個未知

數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數解.這4,尤2是一元二次方程a/+bx+c

=0QW0）的兩實數根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

22

ax\+bxi+c-Qax2+bx2+c—0（aWO）.

15.一元二次方程的應用

1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗和作答.

2、列一元二次方程解應用題中常見問題：

（1）數字問題：個位數為。，十位數是b,則這個兩位數表示為10b+a.

（2）增長率問題：增長率=增長數量/原數量X100%.如：若原數是°,每次增長的百分率

為x,則第一次增長后為。（1+尤）；第二次增長后為。（1+尤）2,即原數義（1+增長百分率）

2=后來數.

（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程.③利用

相似三角形的對應比例關系，列比例式，通過兩內項之積等于兩外項之積，得到一元二次方

程.

（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會

構成直角三角形，可運用直角三角形的性質列方程求解.

【規律方法】列一元二次方程解應用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、己知量以及它們之間的數量關系.

2.設：根據題意，可以直接設未知數，也可以間接設未知數.

3.歹!J：根據題中的等量關系，用含所設未知數的代數式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準確求出方程的解.

5.驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.

6.答：寫出答案.

16.解分式方程

（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論.

（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應如

下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式

方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

17.一次函數的性質

一次函數的性質：

k>Q,y隨尤的增大而增大，函數從左到右上升；k<0,y隨尤的增大而減小，函數從左到

右下降.

由于y=fcr+b與y軸交于（0,b）,當6>0時，（0,b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交

于正半軸；當b<0時，（0,6）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸.

18.一次函數與一元一次不等式

（1）一次函數與一元一次不等式的關系

從函數的角度看，就是尋求使一次函數>=丘+6的值大于（或小于）。的自變量x的取值范

圍；

從函數圖象的角度看，就是確定直線在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所

構成的集合.

（2）用畫函數圖象的方法解不等式履+b>0（或<0）

對應一次函數尸質它與軸交點為（-（

+6,x,0).

當時，不等式丘的解為：尤>&_,：

4>0+6>0