第十一章三角形

11.1與三角形有關的線段

11.1.1三角形的邊

學習目標：

1.認識三角形的邊、內角、頂點，能用幾何語言表示三角形.

2.掌握三角形三邊的關系定理，能利用定理及其推論進行簡單的證明.

3.了解三角形按邊分類的原則和結論.

重點：理解三角形三邊之間的不等關系.

難點：運用三角形三邊之間的不等關系解題.

教學過程

一、知識鏈接

在下面畫一個三角形，觀察回憶你所學過或知道的三角形的有關知識，并寫出來.

二、新知預習

1.根據(jù)小學認識的三角形判斷，是三角形在括號內打“J”，不是三角形在括號內打“x”.

zAAzS_幺一

（）（）（）（）（）

2.自主歸納：A

（1）三角形概念：由不在同一直線上的三條線段首尾____相連所組成峋形.

（2）三角形的構成：如圖，/\

邊：條,分別為線段、、；/一3

頂點：一個，點A、B、C為三角形的三個頂點；B

角：___個，分別為NA、NB、NC.NA,NB,NC是相鄰兩邊組成

的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。

頂點是A,B,C的三角形記作：2,讀作：.

3.三角形按角分類，可以分為三角形，三角形和三角形.

三、自學自測

如圖中有幾個三角形？用符號表示這些三角形.

有個三角形，分別記作:

四、我的疑惑

課堂檢測

一、要點探究

探究點1:三角形的相關概念

找一找：

(1)圖中有幾個三角形？用符號表示出這些三角形？

(2)以為邊的三角形有哪些？

(3)以￡為頂點的三角形有哪些？

(4)以N〃為角的三角形有哪些？

(5)說出△靦的三個角和三個頂點所對的邊.

方法總結：數(shù)三角形的個數(shù)時，抓住不在同一條直線上的三個點能組成一個三角形；再按字母的

順序去數(shù).

問題1：觀察下列三角形，說一說，按照三角形內角的大小，三角形可以分為哪幾類？

問題2：如果以三角形邊的元素的不同，三角形該如何分類呢？觀察圖形回答下面各小題.

nA△

(1)等腰三角形和等邊三角形的區(qū)別是什么？

(2)從邊上來說，除了等腰三角形和等邊三角形還有什么樣的三角形？

(3)根據(jù)上面的內容思考：怎樣對三角形進行分類？

三角形按角分類：

三角形

三角形按邊分類:

三角形

探究點3：三角形的三邊關系

1.做一做：

在［點的小狗，為了盡快吃到6點的香腸，它選擇月一夕路線，而不選擇路線，難

道小狗也懂數(shù)學？

C

答：理由是.

2.議一議：

(1)在同一個三角形中，任意兩邊之和與第三邊有什么大小關系？

(2)在同一個三角形中，任意兩邊之差與第三邊有什么大小關系？

(3)三角形三邊有怎樣的不等關系？

歸納總結：

三角形兩邊的和第三邊.

三角形兩邊的差______第三邊.

典例精析

例1：判斷下列長度的三條線段能否拼成三角形？為什么？

(1)3cm、8cm、4cm；(2)5cm、6cm、11cm；(3)5cm、6cm、10cm.

方法總結：判斷三條線段是否可以組成三角形，只需說明兩條較短線段之和大于第三條線段即

可.

針對訓練

一根木棒長為7,另一根木棒長為2,那么用長度為4的木棒能和它們拼成三角形嗎？長度為

11的木棒呢？若不能拼成，則第三條邊應在什么范圍呢？

例2：用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形.

(1)如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？

(2)能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？

方法總結：等腰三角形與三角形的三邊關系結合時，若腰和底不明確時，需要分類討論，再檢

驗是否符合三邊關系.

二、課堂小結

三角形的定義圖形基本要素表示方法分類三邊的關系

由不在同一直邊△ABC（1）按角分類1.三角形任意

線上的三條線內角（2）按邊分類兩邊之和大于

段首尾順次相頂點第三邊；

AB

接所組成的圖2.三角形任意

形叫做三角形兩邊之差小于

第三邊.

課堂檢測

1.圖中銳角三角形的個數(shù)有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

2.用木棒釘成一個三角架，兩根小棒分別是7cm和10cm,第三根小棒可

?。ǎ?/p>

A.20cmB.3cmC.11cmD.2cm

3.如圖，在△/四中，N6E4的對邊是

4.已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm,3cm,則這個三角形的周長為

5.若三角形的兩邊長分別是2和7,第三邊長為奇數(shù)，求第三邊的長.

拓展提升

6.已知:a、b、c為三角形的三邊長,化簡:|b+c-a|+1b-c-a|Tc-a-b|Ta-b+c|.

11.2.1三角形的內角

第1課時三角形的內角和

學習目標：1.掌握三角形的內角和定理.

2.會用平行線的性質與平角的定義證明三角形內角和等于180°.

3,能運用三角形的內角和定理進行簡單的證明或計算.

重點：三角形的內角和定理.

難點：三角形的內角和定理的推導過程.

教學過程

一、知識鏈接

1.三角形按照角的大小分類，可以分為、、.

2.分別用量角器量出下面三個三角形的內角度數(shù)，并填表.

二、新知預習

1.如圖，在AABC中，ZA+ZB+ZC=

2.在小學我們通過拼接、測量就已經知道三角形的內角和為，與其形狀、大小

（填“有關”或“無關”）.

三、自學自測

在AABC中，若NA=35。,ZB=65°，則NC=,

三角形形狀每個內角的度數(shù)三個內角的和

銳角三角形

直角三角形

鈍角三角形

四、我的疑惑

課堂探究

二、要點探究

探究點1：三角形內角和定理的證明

活動：在紙上任意畫一個三角形，將它的內角剪下拼合在一起.

三角形的三個內角拼到一起恰好構成一個平角.

問題1：觀測的結果不一定可靠，還需要通過數(shù)學知識來說明.從上面的操作過程，你能

發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？

已知：如圖，△ABC.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證法1:過點A作1〃BC,

證法2：延長BC到D,過點C作CE〃BA,

證法3：過BC上一點D作DE〃AC,作DF〃AB.

A

BDC

思考：多種方法證明三角形內角和等于180°的核心是什么？

要點歸納：借助平行線的“移角”的功能,將三個角轉化成一個平角.

三角形的內角和為_______.

探究點2：三角形內角和定理的應用

例1如圖，在AABC中，ZBAC=40°,ZB=75°,AD是AABC的角平分線，求NADB的度

數(shù).

X

AB

【變式題】如圖，CD是NACB的平分線，DE〃BC,NA=50°,NB=70°,求NEDC,ZBDC

的度數(shù).A

2^

BL-------

例2如圖，4ABC中，D在BC的延長線上,過D作DE_LAB于E,交AC于F.已知NA=30°,

ZFCD=80°,求ND.

BCD

總結歸納：基本圖形

AcB公C

由三角形的內角和定理易得Nl+N2=/3+N4.

由三角形的內角和定理易得NA+NB=NC+ND.

例3在AABC中，ZA的度數(shù)是NB的度數(shù)的3倍，ZC比NB大15°,求NA,ZB,ZC

的度數(shù).

【變式題】如圖，在△ABC中，ZA=-ZB=-ZACB,CD是aABC的高，CE是NACB的平分

23

線，求NDCE的度數(shù).

針對訓練

1.在ZXABC中,ZA=35°,ZB=430,則NC=

2.在Z\ABC中,ZA：ZB：ZC=1：2：3,則aABC是三角形.

3.在Z\ABC中,ZA=ZB+10°,ZC=ZA+10°,則NA=,ZB=______,ZC=

三角形的內角和定理也常常用在實際問題中.

例4如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的

北偏西40°方向.從B島看A,C兩島的視角NABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角NACB

是多少度？

【變式題】如圖，B島在A島的南偏西40。方向，C島在A島的南偏東15°方向，C島在B島

的北偏東80°方向，求從C島看A,B兩島的視角NACB的度數(shù).

二、課堂小結

三角形的內角和為180°.

課堂檢測

1.求出下列各圖中的x值.

3.如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上，NA+NADE=180°,ZB=78°,ZC=60°,求NEDC的

度數(shù).

BC

4.如圖，在aABC中，ZB=42°,ZC=78°,AD平分NBAC.求NADC的度數(shù).

拓展提升

5.如圖，在aABC中，BP平分NABC,CP平分NACB.NA=60°,求NBPC的度數(shù).

(2)你能直接寫出NBPC與NA之間的數(shù)量關系嗎？

11.2.2三角形的外角

學習目標：1.理解并掌握三角形的外角的概念，并能夠在復雜圖形中找出外角.

2.掌握三角形的外角的性質和三角形外角和.

3.會運用三角形的外角的性質及外角和定理解決問題.

重點：三角形的外角的性質和三角形外角和.

難點：利用三角形的外角性質解決有關問題.

教學過程

一、知識鏈接

1.什么是三角形的內角？其內角和等于多少？

2.在AABC中，ZA=80°,NB=52°，則NC=.

二、新知預習

1.如圖，在aABC中，ZA=70°,ZB=60°，則NACB=，從而NACD=

2.自主歸納：

(1)三角形的外角概念：如圖，把4ABC的一邊BC延長，得到NACD,像這樣,

三角形的一邊與另一邊的組成的角，叫作三角形的外角.

(2)三角形外角的性質：如圖，ZA+ZB+ZACB=________°,ZACB+Z

ACD=________°,

所以ZA+ZB=________.即三角形的外角等于與它的兩個內角的和.

三、自學自測

1.如圖，NAEB是_____的外角，NAFB是的外角.

第1題圖第2題圖

2.如圖，NACD是AABC的外角，若NACD=120°,NA=80°,則NB=

四、我的疑惑

課堂探究

三、要點探究

探究點1:三角形的外角的概念

問題1如圖，延長AC到E,NBCE是不是AABC的一個外角？NDCE是不是AABC

的一個外角？

問題2如上圖，NACD與NBCE有什么關系？在三角形的每個頂點處有多少個外

角？

【畫一畫】畫出AABC的所有外角，共有幾個呢？

【總結歸納】三角形的外角應具備的條件:

①角的頂點是三角形的頂點；

②角的一邊是三角形的一邊；

③另一邊是三角形中一邊的延長線.

A

NACD是AABC的一個外角，每一個三角形都有6個外角.

【練一練】如圖，/BEC是哪個三角形的外角？ZAEC是哪個三角形的外角？Z

EFD是哪個三角形的外角？

探究點2：三角形外角的性質

問題1：如圖，AABC的外角NBCD與其相鄰的內角NACB有什么關系？

問題2：如圖，4ABC的外角NBCD與其不相鄰的兩內角（NA,NB）有什么關系？

【驗證結論】已知：如圖，Z^ABC,求證：ZACD=ZA+ZB.

證明：過C作CE平行于AB,

要點歸納：三角形的外角與它不相鄰的兩個內角的和.

【練一練】說出下列圖形中N1和N2的度數(shù):

典例精析

例1如圖，ZA=42°,ZABD=28°,ZACE=18°,求NBFC的度數(shù).

例2如圖，P為aABC內一點，ZBPC=150°,ZABP=20°,ZACP=30°,求

NA的度數(shù).（提示：延長BP交AC于點E）

【變式題】（一題多解）如圖，ZA=51°,ZB=20°,ZC=30°,求NBDC的度

數(shù).（提示：連接AD）

方法總結：解題的關鍵是正確的構造三角形，利用三角形外角的性質及轉化的思

想，把未知角與已知角聯(lián)系起來求解.

【拓展探究】U）如圖①，試比較N2、N1的大小；

（2）如圖②，試比較N3、N2、N1的大小.（提示：利用三角形的外角性質）

1?

圖①圖②

方法總結：三角形的外角大于與它不相鄰的任意一個內角.

探究點3：三角形的外角和

典例精析

例3如圖，ZBAE,ZCBF,NACD是AABC的三個外角，它們的和是多少？

解法一：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得

NBAE=Z2+Z3,ZCBF=Z1+Z3,ZACD=Z1+Z2.

解法二：如圖，ZBAE+Z1=18O°,ZCBF+Z2=180°,ZACD+Z3=180

解法三：如圖，過A作AN平行于BC.

要點歸納：三角形的外角和等于360°.

二、課堂小結

定義三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做基本圖形

三角形的外角.如NCBD為4ABC的一個外角.

A

三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

性質如NCBD=NA+NC.

拓展：三角形的外角大于與它不相鄰的任意一個

內角.如：ZCBD>ZA,ZCBD>ZC.

三角形的外角和等于360°.

課堂檢測

1.判斷下列命題的對錯.

(1)三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.()

(2)三角形的外角和等于它的內角和的2倍.()

(3)三角形的一個外角等于兩個內角的和.()

(4)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.(；)

(5)三角形的一個外角大于任何一個內角.()

(6)三角形的一個內角小于任何一個與它不相鄰的外角.()

2.如圖，AB//CD,ZA=37°,ZC=63°,那么NF等于()

A.26°B.63°C.37°D.60°

AEB

CD

3.(1)如圖，NBDC是的外角，也是的外角；

(2)若NB=45°,ZBAE=36°,ZBCE=20°，試求NAEC的度數(shù).

4.如圖，D是AABC的BC邊上一點，NB=NBAD,ZADC=80°,ZBAC=70°,求:

(1)ZB的度數(shù)；(2)NC的度數(shù).

拓展提升

5.如圖，求NA+ZB+ZC+ZD+NE的度數(shù).

6.如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=,

D

11.3多邊形及其內角和

11.3.1多邊形

學習目標：1.掌握多邊形的定義及有關概念，能區(qū)分凹凸多邊形.

2.掌握正多邊形的概念.

3.會求多邊形的對角線的條數(shù).

重點：多邊形、正多邊形的定義及相關概念.

難點：會求多邊形的對角線的條數(shù).

教學過程

一、知識鏈接

1.什么是三角形？

2.觀察下面的圖片，你能找到哪些我們熟悉的圖形？

二、新知預習

自主歸納：

(1)多邊形的概念：類比三角形的概念，在平面內，由一些線段相接組

成的封閉圖形叫做.

(2)多邊形的有關概念：①多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、

五邊形三角形是最簡單的多邊形，如果一個多邊形由n條線段組成，那

么這個多邊形就叫做.

②多邊形兩邊組成的角叫做它的內角，如圖，NA,NB,NC,ND,NE是五

邊形ABCDE的5個內角，多邊形的邊與它的鄰邊組成的角叫做

多邊形的外角.連接多邊形的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線，

線段是五邊形ABCDE的對角線.畫出多邊形的任意一條邊所在的直線，

如果整個多邊形都在這條直線的，那么這個多邊形就是凸多邊形.

③各個角都,各邊都的多邊形叫做正多邊形.

三、我的疑惑

課堂探究

四、要點探究

探究點1:多邊形的定義及相關概念

問題1什么是三角形？

問題2觀察畫某多邊形的過程，類比三角形的概念，你能說出什么是多邊形嗎？

思考：比較多邊形的定義與三角形的定義，為什么要強調“在平面內”呢？怎樣

命名多邊形呢？

問題3根據(jù)圖示，類比三角形的有關概念，說明什么是多邊形的邊、頂點、內角、

外角.

問題4請分別畫出下列兩個圖形各邊所在的直線你能得到什么結論？

方法總結：多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可有兩種方法：（1）

畫多邊形任何一邊所在的直線，整個多邊形都在此直線的同一側；（2）每個內角

的度數(shù)均小于180。.通常所說的多邊形指凸多邊形.

典例精析

例1凸六邊形紙片剪去一個角后，得到的多邊形的邊數(shù)可能是多少？畫出圖形

說明.

方法總結：一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不

變或減少了一條.

探究點2：多邊形的對角線

請畫出下列圖形從某一頂點出發(fā)的對角線的條數(shù):

△OOOO…

三角形四邊形五邊形六邊形八邊形

多邊形三角形四邊形五邊形六邊形八邊形n邊形

從同一頂點

引出的對角

線的條數(shù)

分割出的三

角形的個數(shù)

要點歸納:

從n(n13)邊形的一個頂點可以作出條對角線.將多邊形分成個

三角形.

例2過多邊形的一個頂點的所有對角線的條數(shù)與這些對角線分該多邊形所得三

角形的個數(shù)的和為21,求這個多邊形的邊數(shù).

針對訓練

畫一畫：畫出下列多邊形的全部對角線.

探究點3：正多邊形

想一想：下列多邊形是正多邊形嗎？如不是，請說明為什么？

（四個角都相等）

方法總結：判斷一個多邊形是不是正多邊形，只需看各邊都相等、各角都相等這

兩個條件是否同時具備.

內容圖例

定義在平面內，由一些線段_______相接組成內角：多邊形相鄰兩邊組成的角

的封閉圖形叫做多邊形.內、外角的概念

如圖所示.角：多邊形的

、力/\\/邊K與它的鄰邊的

對角線連接多邊形__________的兩個頂點的線0-----6延長線組成的角.

段，叫做多邊形的對角線.

正多邊形各個角都_________,各邊都

___________的多邊形叫做正多邊形.

二、課堂小結

課堂檢測

1.下列多邊形中，不是凸多邊形的是（）

2.把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中一個角，剩下的部分是一個四邊形，則這

張紙片原來的形狀不可能是（）

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

3.九邊形的對角線有（）

A.25條B.31條C.27條D.30條

4.若從一個多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引10條對角線，則這是

______邊形，

5.過八邊形的一個頂點畫對角線，把這個八邊形分割成個三角形.

11.3.2多邊形的內角和

學習目標：1.能通過不同的方法探索多邊形的內角和與外角和公式:

2.學會應用多邊形的內角和與外角和公式解決問題.

重點：多邊形的內角和與外角和公式.

難點：多邊形的內角和公式的推導.

教學過程

一、知識鏈接

1.三角形的內角和是多少？

2.正方形，長方形的內角和是多少？

五、要點探究

探究點1:多邊形的內角和

問題1三角形內角和是多少度？

問題2你知道長方形和正方形的內角和是多少度嗎？

問題3猜想任意四邊形的內角和是多少度？

猜想：四邊形ABCD的內角和是360°.

問題4你能用以前學過的知識說明一下你的結論嗎？

證法1：如圖，連接AC,所以四邊形被分為兩個三角形,

證法2：如圖，在CD邊上任取一點E,連接AE,DE,

所以該四邊形被分成三個三角形,

證法3：如圖，在四邊形ABCD內部取一點E,連接AE,BE,CE,DE,

把四邊形分成四個三角形.

證法4：如圖，在四邊形外任取一點P,連接PA、PB、PC、PD,將四邊形變成有

一個公共頂點的四個三角形.

結論：四邊形的內角和為

方法總結：這四種方法都運用了轉化思想，把四邊形分割成三角形，轉化到已經

學了的三角形內角和求解.

【典例精析】

例1：如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？試說明理

由.

【變式題】如圖，在四邊形ABCD中，NA與NC互補，BE平分NABC,DF平分N

ADC,若BE〃DF,求證：ZiDCF為直角三角形.

問題5你能仿照求四邊形內角和的方法，選一種方法求五邊形和六邊形內角和

嗎？

由特殊到一般:

從多邊

形的一分割出

多邊形圖形頂點引多邊形內角和

出的公角形個

數(shù)

角線條

三角形

四邊形

五邊形

六邊形

n邊形

要點歸納：n邊形的內角和等于.

【典例精析】

例2一個多邊形的內角和比四邊形的內角和多720°,并且這個多邊形的各內

角都相等，則這個多邊形的每個內角是多少度？

例3已知n邊形的內角和0=(n-2)X180°.

(1)甲同學說，。能取360°；而乙同學說，。也能取630。.甲、乙的說法對

嗎？若對，求出邊數(shù)n.若不對，請說明理由；

(2)若n邊形變?yōu)?n+x)邊形，發(fā)現(xiàn)內角和增加了360°,用列方程的方法確

定X.

【變式題】一個同學在進