高級中學名校試卷PAGEPAGE2北京市通州區2022-2023學年高二下學期期中質量檢測數學試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.書架上層放有4本不同的數學書，下層放有5本不同的語文書，從書架上任取數學書和語文書各1本，不同取法的種數為（）A.9 B.12 C.20 D.24〖答案〗C〖解析〗分兩步完成：第一步，從上層取1本數學書，有4種不同的取法；第二步，從下層取1本語文書，有5種不同的取法，由分步乘法計數原理得共有種不同的取法.故選：C2.計算：（）A.30 B.60 C.90 D.120〖答案〗D〖解析〗.故選：D3.二項式的展開式為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗二項式，.故選：B4.已知，則（）A.127 B.128 C.255 D.256〖答案〗B〖解析〗令得，；令可得，；兩式相加可得，，所以，故選：B.5.已知函數，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗.故選：D6.已知函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由函數的圖象可知，函數在上為減函數，且，所以.故選：A7.下列運算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故A不正確；，故B不正確；，故C正確；，故D不正確.故選：C8.已知函數的導函數為，若的圖像如圖所示，下列結論錯誤的是（）A.當時， B.當時，C.當時，取得極大值 D.當時，取得最大值〖答案〗D〖解析〗由的圖像可知在上單調遞減,，A正確；由的圖像可知在和上單調遞減,在上單調遞增，所以在處取得極小值，在處取得極大值，所以，B正確,C正確;在處取得極大值，但不是的最大值，故D錯誤.故選：D.9.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是1.2分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，可獲利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm，當每瓶飲料的利潤最大時，瓶子的半徑為（）A.4.5cm B.5cm C.5.5cm D.6cm〖答案〗D〖解析〗設每瓶飲料獲得的利潤為，依題意得，，，于是，遞減；，遞增，是極小值點，于是在，只可能使得最大.故選：D10.若函數在區間上單調遞減，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，因為在區間上單調遞減，所以，即在區間上恒成立，所以在區間上恒成立，因為，所以，則.故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.一質點A沿直線運動，位移y（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關系為，則這段時間內的平均速度為____________m/s；時的瞬時速度為____________m/s．〖答案〗①6②8〖解析〗，，物體在這段時間內的平均速度，，則，當時，，即質點在時的瞬時速度為，故〖答案〗為：6；8．12.已知函數，則單調遞減區間為________．〖答案〗〖解析〗，令在上單調遞減.故〖答案〗為：13.已知，則_______；_________．〖答案〗①－2②3〖解析〗令，則，即；根據組合知識，含的項為：，即.故〖答案〗為：；.14.從0，2，4中任取2個數字，從1，3，5中任取2個數字，組成沒有重復數字的四位數，則其中奇數的個數為____________．〖答案〗84〖解析〗由題意，分2類討論：第一類是從0，2，4中選出的數字沒有0，則從2，4中任取2個數字有種方法，從1，3，5中任取2個數字有種方法，則組成沒有重復數字的四位奇數有個，第二類是從0，2，4中選出的數字有0，則從2，4中任取1個數字有種方法，從1，3，5中任取2個數字有種方法，則組成沒有重復數字四位奇數有個，則共有個符合條件的奇數，故〖答案〗為：8415.已知函數，，給出下列四個結論：①若，則；②若函數，則在區間上單調遞增；③若關于x的方程在區間上無解，則；④若點M，N分別在函數和的圖象上，則一定存在M，N關于直線對稱.其中所有正確結論的序號是____________．〖答案〗②④〖解析〗對于①：，因為，所以當時，，單調遞減，若，則，所以，故①錯誤；對于②：，，若，則，單調遞增，故②正確；對于③：若在上無解，則在上無解，所以在上無解，設，，，所以在上單調遞增，所以，所以，所以或，故③錯誤；對于④：因為點，分別在函數和的圖象上，所以設，，若點與點關于對稱，則,，又點在圖象上，則，所以在上有解，令，，，所以在上，單調遞增，所以，又，所以方程在上有解，故④正確．故〖答案〗為：②④．三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.從4名女生3名男生中選出3名學生去參加一項創新大賽．（1）選出3名學生中，恰有1名男生的選法有多少種？（2）選出3名學生中，既有女生又有男生的選法有多少種？（3）選出3名學生中，女生中的甲與男生中的乙至少有1名在內的選法有多少種？解：（1）從3名男生中選出1名的選法有種，從4名女生選出2名的選法有種，所以選出的3名學生中，恰有1名男生的選法為．（2）選出的3名學生中，有1名女生2名男生的選法有種，有2名女生1名男生的選法有種，所以選出的3名學生中，既有女生又有男生的選法為種．（3）選出的3名學生中，女生中的甲在內且男生中的乙不在內的選法有種；女生中的甲不在內且男生中的乙在內的選法有種；女生中的甲在內且男生中的乙也在內的選法有種，所以選出的3名學生中，女生中的甲與男生中的乙至少有1名在內的選法為10+10+5=25種.17.已知二項式為．（1）求該二項式的展開式的中間兩項；（2）求該二項式的展開式中項的系數.解：（1）因為二項式為，所以的展開式的中間兩項為第4項和第5項．所以的展開式的第4項是．第5項是．（2）因為二項式為，所以展開式的通項是．根據題意，得，所以．所以的展開式中的系數是．18.已知函數．（1）求的極值；（2）求在區間上的最大值和最小值．解：（1）因為，定義域為，所以．令，解得，或．當x變化時，，的變化情況如下表所示．x－11＋0－0＋單調遞增單調遞減單調遞增所以，當時，有極大值，且極大值為；當時，有極小值，且極小值為．（2）由（1）知，在區間上有極小值為．因為，．所以在區間上的最大值為，最小值為．19.已知函數，．（1）若，求a的值；（2）當時，求曲線在點處的切線方程；（3）若在時取得極值，求a的值.解：（1）因為，定義域為，所以．因為，所以．所以．（2）當時，．所以．所以，．所以曲線在點處的切線方程為．（3）因為在時取得極值，所以，即，所以．當時，．令，即，得；令，即，得．所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．所以在時取得極大值，符合題意．所以．20.已知函數，．（1）求的單調區間；（2）當時，求證：，，恒有．解：（1）因為，定義域為，所以．令，解得，或．①當，即時，．所以在區間上單調遞增．②當，即a≥0時，當x變化時，，的變化情況如下表所示．x2－0＋單調遞減極小值單調遞增所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．③當，即時，當x變化時，，的變化情況如下表所示．x2＋0－0＋單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以在區間和上單調遞增，在區間上單調遞減．④當，即時，當x變化時，，的變化情況如下表所示．x2＋0－0＋單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以在區間和上單調遞增，在區間上單調遞減．綜上所述，當a≥0時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是；當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；當時，的單調遞增區間是，無遞減區間；當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是．（2）當時，．當時，由（1）知，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．所以在區間上的最小值是．因為，．所以.所以在區間上的最大值是．所以，，恒有．21.已知函數．（1）求的零點；（2）設，．（?。┤粼趨^間上存在零點，求a的取值范圍；（ⅱ）當時，若在區間上的最小值是0，求a的值．解：（1）因為，令，即，解得，所以的零點是0；（2）（ⅰ）因為，所以，所以，①當時，．所以在區間上單調遞增．所以．所以在區間上不存在零點，不符合題意．②當時，令，即，得．若，即時，．所以．所以在區間上單調遞增．又，所以在區間上不存在零點，不符合題意．若，即時，令，得；令，得．所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．因為，所以存在，使得．當，．所以存在，使得．由零點存在性定理，存在，使得．所以在區間上存在零點．綜上所述，a的取值范圍是；（ⅱ）當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．所以當時，取得極小值，也是最小值．①當，即時，在區間上單調遞增．所以在區間上最小值為．所以．所以．②當，即時，在區間上單調遞減．所以在區間上最小值為．所以．所以，不符合題意．③當，即時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．所以在區間上最小值為．所以，即．令，所以．所以在區間上單調遞減．因為，所以在區間上無零點．所以當時，方程無解，不符合題意．綜上所述，a的值為．北京市通州區2022-2023學年高二下學期期中質量檢測數學試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.書架上層放有4本不同的數學書，下層放有5本不同的語文書，從書架上任取數學書和語文書各1本，不同取法的種數為（）A.9 B.12 C.20 D.24〖答案〗C〖解析〗分兩步完成：第一步，從上層取1本數學書，有4種不同的取法；第二步，從下層取1本語文書，有5種不同的取法，由分步乘法計數原理得共有種不同的取法.故選：C2.計算：（）A.30 B.60 C.90 D.120〖答案〗D〖解析〗.故選：D3.二項式的展開式為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗二項式，.故選：B4.已知，則（）A.127 B.128 C.255 D.256〖答案〗B〖解析〗令得，；令可得，；兩式相加可得，，所以，故選：B.5.已知函數，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗.故選：D6.已知函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由函數的圖象可知，函數在上為減函數，且，所以.故選：A7.下列運算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故A不正確；，故B不正確；，故C正確；，故D不正確.故選：C8.已知函數的導函數為，若的圖像如圖所示，下列結論錯誤的是（）A.當時， B.當時，C.當時，取得極大值 D.當時，取得最大值〖答案〗D〖解析〗由的圖像可知在上單調遞減,，A正確；由的圖像可知在和上單調遞減,在上單調遞增，所以在處取得極小值，在處取得極大值，所以，B正確,C正確;在處取得極大值，但不是的最大值，故D錯誤.故選：D.9.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是1.2分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，可獲利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm，當每瓶飲料的利潤最大時，瓶子的半徑為（）A.4.5cm B.5cm C.5.5cm D.6cm〖答案〗D〖解析〗設每瓶飲料獲得的利潤為，依題意得，，，于是，遞減；，遞增，是極小值點，于是在，只可能使得最大.故選：D10.若函數在區間上單調遞減，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，因為在區間上單調遞減，所以，即在區間上恒成立，所以在區間上恒成立，因為，所以，則.故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.一質點A沿直線運動，位移y（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關系為，則這段時間內的平均速度為____________m/s；時的瞬時速度為____________m/s．〖答案〗①6②8〖解析〗，，物體在這段時間內的平均速度，，則，當時，，即質點在時的瞬時速度為，故〖答案〗為：6；8．12.已知函數，則單調遞減區間為________．〖答案〗〖解析〗，令在上單調遞減.故〖答案〗為：13.已知，則_______；_________．〖答案〗①－2②3〖解析〗令，則，即；根據組合知識，含的項為：，即.故〖答案〗為：；.14.從0，2，4中任取2個數字，從1，3，5中任取2個數字，組成沒有重復數字的四位數，則其中奇數的個數為____________．〖答案〗84〖解析〗由題意，分2類討論：第一類是從0，2，4中選出的數字沒有0，則從2，4中任取2個數字有種方法，從1，3，5中任取2個數字有種方法，則組成沒有重復數字的四位奇數有個，第二類是從0，2，4中選出的數字有0，則從2，4中任取1個數字有種方法，從1，3，5中任取2個數字有種方法，則組成沒有重復數字四位奇數有個，則共有個符合條件的奇數，故〖答案〗為：8415.已知函數，，給出下列四個結論：①若，則；②若函數，則在區間上單調遞增；③若關于x的方程在區間上無解，則；④若點M，N分別在函數和的圖象上，則一定存在M，N關于直線對稱.其中所有正確結論的序號是____________．〖答案〗②④〖解析〗對于①：，因為，所以當時，，單調遞減，若，則，所以，故①錯誤；對于②：，，若，則，單調遞增，故②正確；對于③：若在上無解，則在上無解，所以在上無解，設，，，所以在上單調遞增，所以，所以，所以或，故③錯誤；對于④：因為點，分別在函數和的圖象上，所以設，，若點與點關于對稱，則,，又點在圖象上，則，所以在上有解，令，，，所以在上，單調遞增，所以，又，所以方程在上有解，故④正確．故〖答案〗為：②④．三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.從4名女生3名男生中選出3名學生去參加一項創新大賽．（1）選出3名學生中，恰有1名男生的選法有多少種？（2）選出3名學生中，既有女生又有男生的選法有多少種？（3）選出3名學生中，女生中的甲與男生中的乙至少有1名在內的選法有多少種？解：（1）從3名男生中選出1名的選法有種，從4名女生選出2名的選法有種，所以選出的3名學生中，恰有1名男生的選法為．（2）選出的3名學生中，有1名女生2名男生的選法有種，有2名女生1名男生的選法有種，所以選出的3名學生中，既有女生又有男生的選法為種．（3）選出的3名學生中，女生中的甲在內且男生中的乙不在內的選法有種；女生中的甲不在內且男生中的乙在內的選法有種；女生中的甲在內且男生中的乙也在內的選法有種，所以選出的3名學生中，女生中的甲與男生中的乙至少有1名在內的選法為10+10+5=25種.17.已知二項式為．（1）求該二項式的展開式的中間兩項；（2）求該二項式的展開式中項的系數.解：（1）因為二項式為，所以的展開式的中間兩項為第4項和第5項．所以的展開式的第4項是．第5項是．（2）因為二項式為，所以展開式的通項是．根據題意，得，所以．所以的展開式中的系數是．18.已知函數．（1）求的極值；（2）求在區間上的最大值和最小值．解：（1）因為，定義域為，所以．令，解得，或．當x變化時，，的變化情況如下表所示．x－11＋0－0＋單調遞增單調遞減單調遞增所以，當時，有極大值，且極大值為；當時，有極小值，且極小值為．（2）由（1）知，在區間上有極小值為．因為，．所以在區間上的最大值為，最小值為．19.已知函數，．（1）若，求a的值；（2）當時，求曲線在點處的切線方程；（3）若在時取得極值，求a的值.解：（1）因為，定義域為，所以．因為，所以．所以．（2）當時，．所以．所以，．所以曲線在點處的切線方程為．（3）因為在時取得極值，所以，即，所以．當時，．令，即，得；令，即，得．所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．所以在時取得極大值，符合題意．所以．20.已知函數，．（1）求的單調區間；（2）當時，求證：，，恒有．解：（1）因為，定義域為，所以．令，解得，或．①當，即時，．所以在區間上單調遞增．②當，即a≥0時，當x變化時，，的變化情況如下表所示．x2－0＋單調遞減極小值單調遞增所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．③當，即時，當x變化時，，的變化情況