2020-2021學年寶雞市金臺區高二上學期期末數學試卷(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.下列命題中，是假命題的是()

A.已知非零向量乙。若|—+3|=|萬一向則五J.G

e

B.若p：Vx6(0,+oo),x-1>Inx,貝!Ip的否定為：3x0(0<+°°)>&-1W伍出

C.在44BC中，usinA+cosA=sinB+cosB”是“A=B”的充要條件

D.若定義在R上的函數y=f(x)是奇函數，則y=f(/(x))也是奇函數

2.己知五=(2,y,2),b=(x,-l,l)?若五13，則實數x,y滿足的關系式為()

A.2x—y=0B.2x+y=0C.2x+y-2=0D.2x-y+2=0

3.下列命題錯誤的是()

A.命題“若為2-3X+2=0,則x=1”的逆否命題為“若XK1,則/—3X+2H0”

B.若命題p：SxeR,x2+x+1=0,則“-ip"為：VxG/?,x2+x+10

C.若“pAq”為假命題，則p,q均為假命題

D.“x>2”是“/一3x+2>0”的充分不必要條件

4.“a>2”是“函數/(x)=loga(2-ax)在定義域內為減函數”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知命題p：m&eR,Inxo2X。一1.命題q：V6>GR,sin。+cos。<1,.則下列命題中為真命

題的是()

A.pAqB.(~~p)AqC.(-p)A(-q)D.pA(~~q)

6.已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點0,并且經過點M(2,y()).若點M到該拋物線焦點

的距離為3,則|OM\=()

A.272B.26C.4D.2布

a______Qi_____Ai

7.如圖,直三棱柱ABC-A/】Ci中,Z.BCA=90°,點。、F分別是占&、K

的中點，若BC=Q4=CCi，貝IJBC與4F所成角的余弦值為()

A.巨

10

B

1

B-

2

C

病

一

D

15而

W

8.已知圓錐曲線C的方程是5x2—6xy+5y2=8,則下列命題中是假命題的是()

A.曲線C上的點的橫坐標x的取值范圍是［-手，等］

B.曲線C關于直線y=x對稱

C.曲線C上的點到曲線C的對稱中心的最遠距離為2

D.曲線C的離心率是［

9.已知a>0,函數/(x)=。久2+bx+c.若Xo滿足關于％的方程2ax+b=0，則下列選項的命

題中為假命題的是……()

A.3xeR,/(x)</(x0)B.3xG.R,/(x)>/(x0)

C.yxe/?,/(x)</(x0)D.yxG/?,/(x)>/(x0)

10.已知過拋物線y2=12x焦點的一條直線與拋物線相交于A,B兩點，若|AB|=14,則線段AB的

中點到y軸的距離等于()

A.1B.2C.3D.4

11.若雙曲線接一看=19>01>0)的離心率0=2,則該雙曲線的兩漸近線為()

A.y=±3xB.y=+yxC.y=±V3xD.y=±|x

12.己知Fi、F2分別是雙曲線C；捻一《=19>()為>0)的左、右焦點，若雙曲線C的右支上存在

點力，滿足2|40|-3|4尸2|=a,則雙曲線C的離心率的取值范圍是()

A.(1,4］B.(1,4)C.(1,2］D.(1,2)

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知正方形ABCO的邊長為1,點E是4B邊上的動點，則說?而的值為,癥?前的最大

值為.

14.拋物線y2=8x與雙曲線上一點圣一\=16>0/>0)的有共同的焦點尸，兩曲線在第一象限

的交點為PQofo)，且P到焦點F的距離為5,則雙曲線的離心率e=.

15.已知雙曲線條一，=1((1>0">0)一條漸近線與刀軸的夾角為30。，那么雙曲線的離心率為

16.在空間坐標系中，己知三點4(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,l)，則平面4BC的單位法向量是

三、解答題(本大題共4小題，共70.0分)

17.如圖，力B是圓。的直徑，C是圓。上除4、B外的一點，DC1平面ABC,

四邊形CBEO為矩形，CD=1,AB=4.

(1)求證：ED1平面ACO；

(2)當三棱錐E-ADC體積取最大值時，求此刻點C到平面4DE的距離.

19.點P是直線y=—2上的動點，過點P的直線。，％與拋物線丫=/相切，切點分別是4B.

(1)證明：直線4B過定點；

(2)以4B為直徑的圓過點M(2,l),求點P的坐標及圓的方程.

20.如圖在四棱錐P-ABCD中，底面48CD是邊長為4的正方形，PAL^ABCD,E為PB中點，PB=

4V2.

(1)求三棱錐E-ABC的體積；

(2)求直線EC與平面24。所成角的大小.

參考答案及解析

1.答案：c

解析:解：對于4,因為|方+9|2=|元一石|2,+b2+2a-b=a2+b2-2a-b>

所以五0,五JL石，故A正確；

對于8,全稱命題的否定是特稱命題，要對量詞進行改變，對結論進行否定，故B正確；

對于C,因為sinA+cosA=sinB+cosB,所以2sinA,cosA=2sinB?cosB,sin2A=sin2B,

所以4+B=；或4=B,顯然**sinA+cosA=sinB+cosB"不是"4=B"的充要條件，故C錯誤;

對于D,設函數F(x)=f(f(x)),其定義域為R,定義域關于原點對稱，

且F(-x)=/(/-(-%))=/(-/(x))=-/(/(%))=-F(x).

所以F(x)為奇函數，故￡>正確.

故選：C.

通過向量的數量積是否為0,判斷4的正誤；命題是否滿足命題的否定形式判斷B；利用特例結合充

要條件判斷C；利用函數的奇偶性的定義判斷D.

本題考查命題的真假的判斷與應用，涉及函數的簡單性質，向量的數量積和充要條件的判斷，是中

檔題.

2.答案：D

解析：解：?;alb>

a-b=2x-y+2=0>

故選：D.

alb，可得五不=0，即可得出.

本題考查了向量垂直與數量積的關系，屬于基礎題.

3.答案:C

解析：

本題考查了命題的否定，命題的真假判斷與應用，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，屬于基

礎題.

對于4命題的逆否形式“若p則q”形式的逆否命題形式為：“若非q則非p"；對于B存在性命題的否

定是“全稱命題”；對于C,p且q的命題為假，貝。和q至少有一個為假，對于。選項主要根據充要條

件的定義即可

解：A“若p則q”形式的逆否命題形式為：“若非q則非p”；

8特稱命題的否定是全稱命題；

C只需兩個命題中至少有一個為假，則“p且q”形式的命題即假，故C錯；

。易知命題正確.

故選C.

4.答案：A

解析：解：設t=2-ax,則函數t=2-ax在a>0時為減函數，

若函數f(x)=loga(2-ax)在定義域內為減函數，

則y=logat為增函數，則必有a>1,

則“a>2”是“函數/Xx)=loga(2-ax)在定義域內為減函數”的充分不必要條件，

故選：A.

根據函數的單調性，以及充分條件和必要條件的定義進行判定即可得到結論.

本題主要考查充分條件和必要條件的判定，利用復合函數單調性之間的關系是解決本題的關鍵.

5.答案：D

解析：解：殳0=1eR,使"&=%o-1=

故命題p：三X06R,濟&2&—1為真命題，

當。=?時，sin9+cos。=V2>1>

故命題q：V6?eR,sin。+cos0<1為假命題，

故命題pA(-iq)為真命題，

命題(-ip)Aq,(-)p)A(-1Q),pAq為假命題，

故選：D.

先判斷命題p和命題q的真假，進而根據復合命題真假判斷的真值表，得到答案.

本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，全稱命題和特稱命題等知識點，難度中檔.

6.答案：B

解析：由拋物線定義，知名+2=3,所以p=2,拋物線方程為y2=4x.因為點M(2,y0)在拋物線

2

上，所以&=±20，故|0如=J4+W=2"

7.答案：A

解析：

本題考查空間異面直線的所成角，建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求解.

解析:

解：以CB、CA.eg所在直線分別為x、y、z軸建立坐標系，設BC=CA=CC1=1,

則B(1,O,O),4(0,1,0),Oi

.西麗小甌邛,畫邛,

??.COS甌麗卜嚕.

故選A.

8.答案：D

解析：解：方程5/-6xy+5y2=8,可看做關于y的

二次方程5y2-&xy+5x2-8=0,

根據方程有實數解的條件可得4=36%2-4x

5(5%2-8)>0,解得一當wxw邛，故A正確；

將工換為y,y換為％,可得方程5--6盯+5y2=8不變，則圓錐曲線。關于直線y=x對稱;

同樣將x換為一y,y換為一無，可得方程5/一6與7+5丫2=8不變，則圓錐曲線C關于直線、=一刀對

稱,

故8正確;

xf-yt

x

由旋轉變換公式可得X-代入曲線C的方程可得5x絲誓一6x黃x鬻+5x史普

y

8,

2

化為匕+y'2=l,即為橢圓方程，且長軸長為4,即曲線C上的點到曲線C的對稱中心。的最遠距離

為2,離心率為6=塔=立，故C正確，￡>錯誤.

V42

故選：D.

由關于y的二次方程5y2一6町/+5/-8=0有實數解，運用判別式非負，解得久的范圍，可判斷4

將工換為y,y換為x,方程不變，可判斷B；由旋轉變換公式可得,代入原方程化簡可得橢

圓方程，由橢圓的性質可判斷C,D.

本題考查圓錐曲線的方程和性質，考查化簡變形能力和運算能力、推理能力，以及數形結合思想,

屬于難題.

9.答案:C

解析：由X。=-2(a>0)及拋物線的相關性質可以知道C項是錯誤的.

2a

10.答案：D

解析：解：拋物線好=12%焦點(3,0),準線為Ax=-3,

設的中點為E,過4、E、B分別作準線的垂線，垂足分別為

C、G、D,EF交縱軸于點H,如圖所示：

則由E尸為直角梯形的中位線知，

AC+BDAF+BFAB_

EG=----2----=---2-=—2=7,

???EH=EG-3=4,

則48的中點到y軸的距離等于4.

故選：D.

設48的中點為E,過4、E、B分別作準線的垂線，垂足分別為C、G、D,如圖所示，由EF為直角梯

形的中位線及拋物線的定義求出EG,則E”=EG-1為所求.

本題考查直線與拋物線的位置關系，拋物線的簡單性質的應用，體現了數形結合的數學思想.

11.答案：C

解析：

本題考查雙曲線的標準方程與幾何性質，利用雙曲線的離心率，確定幾何量之間的關系是解題的關

鍵，屬于基礎題.

利用雙曲線的離心率，確定幾何量之間的關系，從而可求雙曲線的漸近線方程.

解：???雙曲線冬一2=1（a>0,6>0）的離心率為2,

a2+b2.

■,?-=4）

???-=V3,

a

???雙曲線的漸近線方程是y=±V3x,

故選：C,

12.答案：A

解析：

本題考查了雙曲線的定義與性質，屬于基礎題.

求出|4&|,\AF2\,根據三點位置關系列出不等式得出e的范圍.

解：由雙曲線的定義可知|4尸1|一|4尸2|=20又2|4&|-3|4Fz|=Q,

???\AFr\=5a,\AF2\=3a,

又IF1F2I=2c,???8aN2c,即eW4,

又e>1,A1<e<4.

故選：A.

13.答案:10

解析：解：-CB=（DA-^-AE）-CB=DA-CB-^-AE-CB=\DA\2=

??,點E是48邊上的動點，,,?設荏=4四，XG[0,1],

.?.屁?正=（荏-而）?（而+而）=（AAB-而）?須+而）=AAB+（A-1）ABAD-

=2+0-1-在％6[0,1]上單調遞增，

.??當，=1時，笳.尼取得最大值，為0.

故答案為：1;0.

把說=DA+荏代入屁.請,再結合平面向量數量積的運算法則，即可得解;設荏=XAB，ke[0,1],

可得笳,前=4-1，結合單調性，得解.

本題考查平面向量在幾何中的應用，熟練掌握平面向量的線性，數量積的運算法則是解題的關鍵，

考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

14.答案：2

解析：解:拋物線y2=8x的焦點坐標F(2,0),

???雙曲線上一點馬-寫=1的有共同的焦點凡

a2b2

???c=2,即M4-62=4,

???P到焦點廣的距離為5,

\PF\=&+.=Xo+2=5,

**?%Q=3,二y。—24,

仁一上=1

]a2b2,

la2+川=4

a2=1,b2~3,

e=-=2,

a

故答案為：2

求出拋物線的焦點坐標，確定雙曲線的c=2,結合拋物線的定義建立方程進行求解即可.

本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據拋物線和雙曲線的關系求出a,b,c是解決本題的關鍵，屬

于中檔題.

15.答案：出

3

解析：解：???雙曲線《一《=1(。>0/>())一條漸近線與工軸的夾角為30。，

，

-a=tan30°=—3

?.?。=:6幣=乎

故答案為：運.

3

由雙曲線圣一5=l(a>0,b>0)一的一條漸近線與x軸的夾角為30。，可得"tan3(T=凈利用

e=：=轉化求出雙曲線的離心率.

本題考查了雙曲線的幾何性質，由漸近線的斜率推導雙曲線的離心率是解決本題的關鍵.

16.答案：土弓，.爭

解析：

本題考查了平面的法向量，屬于基礎題.

令平面4BC的法向量為記=(”,z),可得件亞=°,解得即可.

(九?4C=0

解：三點4(1,0,0),5(0,1,0),C(0,0,l)

AB=(-1,1,0)>AC=(-1,0,1)

令平面ABC的法向量為7=(x,y,z)，可得n-AB=0

n-4C=0

即｛工；

%=y=Z,

???平面4BC的法向量蔡=(%,y,z)為單位法向量，

???%24-y24-z2=1,

解得％=y=z=土號，

故平面ABC的單位法向量是±(半用片).

故答案為：土(L務

17.答案：解：(1)證明：rAB是圓。的直徑,

AC1BC,

又。Cl平面4BC,BCu平面ACD,

DC1BC,

又4CDDC=D,

4Cu平面AC。，DCu平面AC。，

BC_L平面4CD；

又四邊形C8ED為矩形，

BC//ED,

EDJL平面4m

(2)解:由(1)知，

V三極錐JADE-V三楂錐E—ACD

1

二，DE

11

=-?—?AC?CD-DE

32

=--71C-FC<—?(71C2+BC2)=--/IB2=-x42=-,

6121J12123

當且僅當4c=BC=2迎時等號成立；

???當4C=BC=2&時，三棱錐C-ADE的體積最大，為土

此時，AD=卜2+(2a)2=3,

S?ADE=\-AD-DE=342,

設點C到平面ADE的距離為九，則

V三棱錐C-ADE=5-SMDE,九=]

；?八=g+Gx3V2)=苧.

解析：(1)先證明8C_L平面4c0,再由BC〃ED,得出E01平面4C0；

(2)由U三梭錐C_4DE=V：,楂觸-ACD，利用基本不等式求出三棱錐C-4DE體積的最大值，再利用三棱

錐的體積公式計算點C到平面的距離.

本題考查了空間中的平行與垂直關系的應用問題，也考查了錐體體積的計算問題，是綜合性題目.

18.答案：解:(1)設M的坐標為(%,y),P的坐標為

由|MD|=g|PD|,解得：,=5

V4，

???P在圓上，

??,x'2+y，2=25,即/+(：y)2=25,整理得：—+—=1,

'、4”2516

即C的方程為：-+—=1.■

2516

(2)過點(3,0),斜率為k=泉的直線方程為：y=|(%-3),

設直線與C的交點為4(%,yi),B(X2，%)，

將直線方程丫=((尤一3)代入。的方程，得||+任券=1,整理得：x2-3x-8=0

,由韋達定理可知：%1+%2=3，%?％2=—8,

2J1+(乎--2+32=腎41=Y-

，線段4B的長度為|/1B|=Vl+k\x2—%i|

線段的長度IABI=￡

A(xr=X

解析：(1)由題意可知：M的坐標為。,y),P的坐標為則|MD|=$PD|,解得：

5(7-尸

代入x'2+y，2=25,整理得：江+g=1；

,2516

(2)設直線方程為：y=式刀-3),代入橢圓方程，由韋達定理可知：X1+X2=3,巧?小=-8，弦

長公式：IABI=VlT^-y/(x1+x2y-4x1x2,即可求得直線被C所截線段的長度.

本題考查點的軌跡方程的求法，橢圓的標準方程的應用，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，

弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題.

19.答案：解:(1)證明:設點%)，B(x2,y2),P(b,—2),

過點4P的直線方程為*y+yi)=x-xi，同理過點8,P的直線

方程為3y+y2)=》?上，

因為點P是兩切線的交點，

所以|(y-2)=bx,即y=2bx+2恒過(0,2).

(2)解：設直線48為曠=依+2(4=26),與拋物線方程聯立得%2一H一2=0,

其中△>0,=-2,+小=k,

因為M(2,l)在48為直徑的圓上，所以拓？?麗=0，

即(%1-2,%一1)(%2-2,y2-1)=0<=>(%i-2)(%2—2)+(%—1)(丫2—1)=0=—2)(不一

2)