2020-2021學年貴州省安順市高一上學期期末數學試卷

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.己知區I中，區，則叵]S()

A.0B.0C.0D.0

2.若函數/(x—1)=/+5,則f(—2)=()

A.9B.6C.4D.3

3.已知函數/'(x)-m-2X+x2+nx,記集合4={x|/(x)—0,xe.R},集合B={x|/[/(%)]=0,xE

R],若4=3,且都不是空集，則m+九的取值范圍是()

A.[0,4)B.[-1,4)C.[-3,5]D.[0,7)

4.已知函數/(x)=?^?cos(3x+a),a6[0,捫，則/(久)的圖象不可能是()

5.已知扇形的半徑為Ian,面積為lcm2,則此扇形的圓心角弧度數為（）

A.|B.1C.2D.4

6.設全集U=R,M={x\x<-2或x>2],N={x\x<1或%>3}都是U的子集，則圖中陰影部分

所表示的集合是（）

A.[%|-2<%<1]B.{%|-2<%<2]

C.{%|1<%<2)D.{x\x<2}

7.已知點z（5。）在函數/（%）=COS（COX+0）?>0,0<<p<7T）的圖象上，直線久=:是函數f（%）圖

象的一條對稱軸.若/（久）在區間內單調，則9=（）

An

AC21

-7c~D,

B.I6

8.已知a=0.72。21,b=202107,c=log0,72021,則a,b,c的大小關系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

9.函數y=-2s譏?-》的周期、振幅、初相分別是()

A.2兀,一,B.4兀,25C.2〃,2，VD.M,2,—?

10.定義在R上的奇函數/(x),滿足f(x+3)=/Q),/(2)=0,則函數y=f(x)在區間(0,6)內零點

個數的情況為()

A.2個B.4個C.6個D.至少6個

11.在等邊AABC中，。是BC上的一點，若4B=4,BD=1,則屈.而=()

A.14B.18C.16-2V3D.16+2A/3

12.己知函數/(x)=—:,若對任意比G[m,m+2],都有/(x-m)>則實數小的

取值范圍是()

A.(―8,—弓]B.(-8,—1]C.(—co,—\/2]D.(-8,—2]

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.塞函數/^幻:.V的圖象過點^,6),則函數的單調增區間為.

14.設向量1=(2,8),b=(-1,2)，若五〃3，貝!M.

15.下列命題中，正確命題的序號是.

①函數y=sin4%-cos5的最小正周期是兀；

②終邊在y軸上的角的集合是｛a[a=^,keZ)；

③在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象與函數y=比的圖象有3個公共點；

④把函數y=3s譏(2x+9的圖象向右平移質得到y=3s譏2x的圖象.

16.己知函數f(x)=sin(2x—若不等式/(%)2|在區間[-上有解，則小的最小值為

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知向量而=(s譏B,l—cos8),向量元=(2,0),且沅與元的夾角為以其中4B,。是AABC的

內角.

(1)求角B的大小；

⑵求sinA+sinC的取值范圍.

18.函數y=f(x)是定義在R上的偶函數，當x20時，/(%)-x2-2x-1.

(1)求/(%)的函數解析式；

(2)作出。(久)=|/(久)|的草圖，并求出當函數h(x)=g(x)-機有6個不同零點時，m的取值范圍.

19.已知向量五=(1,2),方=(x,l)

(1)若(優另>為銳角，求久的范圍；

(2)當0+2楊1(21—3)時，求x的值.

20.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為3200^3,深為2小，如果池底每平方米的造價

為100元，池壁每平方米的造價為80元，問怎樣設計水池底面的長和寬能使總造價最低？最低

造價為多少元？

21.設二階矩陣4,B滿足父1=["BA=\l%求B-i.

LJ4」LU1J

22.已知函數/'(久)=x2+ax+b(a,bGR).

(1)若b=L且〃%)在[-2,2]上存在零點，求實數a的取值范圍；

(2)若對任意a6[—1,1],存在xC[―2,3]使/O)〉0,求實數b的取值范圍；

(3)若存在實數a,使得當xe[0,句時，1WfO)<10恒成立，求實數b的最大值.

參考答案及解析

L答案：C

解析：試題分析：由已知代入化簡得回國考點：三角函數的化簡

2.答案：B

解析：解：取％=—1,得/(—2)=(-1)2+5=6.

故選：B.

利用整體代換即可求解

本題考查函數的求值，屬于基礎題.

3.答案：A

解析:解:設%1E{制/(%)=0}={%，(/(%))=0},

???f(/)=-))=。，

???f(o)=o,

即f(°)=根=0，

故m=0；

故/(%)=x2+nx,

/(/(1))=(%2+nx)(x2+nx+n)=0,

當71=0時，成立；

當九。0時，0,一九不是久2+九%+幾=0的根，

故4=n2—4n<0,

解得：0<幾<4；

綜上所述，04幾+??1<4；

故選：A.

由{%，(%)=0}={%1/(/(%))=0}可得/(0)=0,從而求得m=0；從而化簡/(/(%))=(%2+

nx)(x2+nx+n)=0,從而討論求得

本題考查了函數與集合的關系應用及分類討論的思想應用，同時考查了方程的根的判斷，屬于中檔

題

4.答案：B

解析：解：設g(x)=W|，貝叼(一乃=三房=W=-9。)，則g。)是奇函數，

A.中由圖象知是偶函數，則丫=cos(3%+a)是奇函數，則此時y=-sin3%,此時/(%)=

—^—^sinSx,當0<%Vl時，/(%)<0,此時/有可能成立，8不成立，

ex+l八'

CD.中由圖象知是奇函數，則丫=cos(3%+a)是偶函數，則a=0或a=7T,

當a=0時，f(x)=—cos3x,此時對應圖象為C,

當。=加時，f(x)=-^-^cosSx,此時對應圖象為。，

故不可能的是8,

故選：B.

設9。)=怎，先判斷g(x)的奇偶性，結合函數圖象先確定a的值，然后結合函數的奇偶性分別進行

判斷即可.

本題主要考查函數圖象的識別和判斷，根據條件構造函數，判斷函數的奇偶性，結合圖象，利用奇

偶性求出a的值是解決本題的關鍵.難度中等.

5.答案：C

解析：解:設扇形的圓心角大小為a(rad),半徑為r,

則由扇形的面積為S=3產％可得：i=|xl2x?,

解得：扇形的圓心角a=2.

故選：C.

根據扇形的面積公式即可計算得解.

本題主要考查了扇形的面積公式的應用，屬于基礎題.

6.答案：A

解析：解：由Uezm圖可知陰影部分對應的集合為Nn(CuM),

M={x\x<—2或%>2},

CyM={x\-2<x<2},

即Nn(Cu“)={x|-2<x<1]

故選：A.

由圖象可知陰影部分對應的集合為Nn(CuM),然后根據集合的基本運算求解即可.

本題主要考查集合的基本運算，利用圖象先確定集合關系是解決本題的關鍵，比較基礎.

7.答案：B

解析：解：由題意得，9三=￡*=：得或W*得324,

62484232a)8

12TT.7T71,,

---->-----，???0)<6.

2Ci)36

綜上可得，4<0)<6.

當3=4時，cos(4,琶+0)=0,得9=fc7r+pkEZ,

又0<0V兀，所以W=g，

此時，直線％=￡是函數f(%)=cos(4%+勺的圖象的一條對稱軸，.

OD

所以9=p

當3=5時，cos(5x+(p)=0,可得9=/CTT+彌fceZ,

又0V0<7T,所以9=3，

24

此時，cos(5x?+與不是最值，故直線x=￡不是函數/(久)的圖象的一條對稱軸.

當3=6時9cos(6x盤+0)=0,得(p=kn+%kWZ,

又。V(P〈7,所以0=3

此時，cos(6x￡+3)=0,不是最值，

244

所以直線尤=%不是函數八支)的圖象的一條對稱軸.

綜上，可得3=4,<P=|,

故選:B.

由題意根據函數的單調區間，得到周期的范圍，結合函數零點與對稱軸之間的關系求出卬即可.

本題主要考查三角函數性質的應用，結合的單調區間以及對稱軸對稱中心之間的關系求出周期和3

是解決本題的關鍵，屬于中檔題.

8.答案：C

202107

解析：解：0<O.7<0.7°=1,2O21>2021°=1,log0.72021<log0,7l=0,

b>a>c.

故選：C.

07

可以得出0<0.72021<1,2O21>1,logo.72021<0,然后即可得出a,b,c的大小關系.

本題考查了指數函數和對數函數的單調性，增函數和減函數的定義，考查了計算能力，屬于基礎題.

9.答案：D

解析：解：函數y=-2s譏C-9=2sMG-￡)的周期是￥=4兀、振幅是2、初相是：一?

故選：D.

直接利用函數的解析式寫出周期、振幅、初相即可.

本題考查誘導公式以及三角函數的簡單性質的應用，是基礎題.

10.答案:D

解析：解：/(x+3)=/(x),得到函數的周期是3,

???f(x)是定義在R上的奇函數且周期是3,/(2)=0,

/(-I)=0即/'⑴=0.

??.f(5)=〃2)=0,f(4)=〃l)=0,

又f(|)=f(一》=一/(|)，貝行(|)=0.

從而〃|+3)=0,

故函數y=/(比)在區間(0,6)內零點的個數至少有6個解.

故選D

由/(x+3)=/(x),得到函數的周期是3,又/(?是奇函數，然后利用/(2)=。求零點個數.

本題主要考查函數零點的應用，利用函數的奇偶性和周期性是解決本題的關鍵.

1L答案：A

解析：解：由題意可得，AD=AB+~BD，則屈-AD=AB-(AB+RD)=+AB-RD=16+4x

1xcosl20°=14,

故選：A.

由題意可得，AD=AB+BD,再根據荏-AD^AB-(AB+BD)=AB2+AB-BD>利用兩個向量的

數量積的定義計算求得結果.

本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，屬于中檔題.

12.答案：B

解析：解：?."(一)=:^|；；：=-f(x),

???函數f(x)=匕與'：<:為R上的奇函數，

又x>0時，f(x)=〃為增函數，

??.f(x)為定義域R上的增函數.

又〃2)=V2,

f(x-m)>V2/(x)=f(2x),

對任意xG[m,m+2],x-m>2x恒成立，

-1?>(x)max=m+2,

解得mW-1,即實數ni的取值范圍是(—8,-1],

故選：B.

利用f(-x)=-f(x)可判斷出函數f(x)=<:為R上的奇函數，且為定義域R上的增函數,

又"2)=V2，對/(%-m)>迎f(久)轉化為/(K~m>/(2久)之后脫去,即可求得實數機的取

值范圍.

本題主要考查了奇函數的性質在函數解析式求解中的應用及分離參數求解不等式恒成立問題，考查

函數性質的綜合應用，屬于難題.

13.答案：[0,+8).

解析：解：?.?幕函數y=f(x)=xa圖索過點(2,必.，=思，解得a4-,y=x^,???幕函數y=

/(%)的單調增區間為[0,+8).

故答案為：[0,+8).

14.答案：—4

解析：M：,?,a=(2,8),b=

若五〃3,貝眨4—8x(—1)=0,即2=—4.

故答案為：-4.

直接由向量共線的坐標表示列式求解4值.

本題考查向量共線的坐標運算，是基礎題.

15.答案：①④

解析：解：對于①，y=sin%—cos,久=(sin?久—cos2x)(sin2x+cos2；c)=-cos2x.

函數y=sin4x-cos,比的最小正周期是TT,命題①正確；

對于②，終邊在y軸上的角的集合是{a|a=kn+^,kEZ},.?.命題②錯誤；

對于③,:久6(0,今時，函數/'(x)=x—s譏％的導數f'(x)=1—cosx>0,

/(x)>/(0)=0,

???x>sinx,則只有％=0時s譏0=0,

又函數y=sin%與y=%均為奇函數，

???在同一坐標系中，函數y=的圖象與函數y=%的圖象只有1個公共點，命題③錯誤；

對于④，把函數y=3s譏(2%+$的圖象向右平移?

得到y=3sin[2(x--)+-]=3sin2x.

"63

???命題④正確.

???正確的命題是①④.

故答案為：①④.

①展開平方差公式，利用平方關系結合二倍角余弦公式化簡，求出最小正周期后加以判斷；

②直接寫出終邊在y軸上的角的集合加以判斷；

③由xe(0,^)時函數y=S譏乂與y=x的交點情況，結合函數y=sinx與y=比均為奇函數加以判斷;

④直接由函數圖象平移得到函數V=3s譏(2久+$的圖象向右平移千所得函數解析式，從而判斷命題

真假.

本題考查命題的真假判斷與應用，考查了與三角函數有關的函數的圖象與性質，利用函數單調性判

斷函數

y=sinx的圖象與函數y=比的圖象交點是解答該題的關鍵，是中檔題.

16.答案：9

解析：解：?.?函數"x)=sin(2x—若不等式/⑶卻在區間[―9河上有解，

oZZ-J

??.sin(2x—￡)21在區間[―，河上有解，即當xe時，sin(2x—g)21能成立.

ODDO

2x--6￡[L―-2,2m--6]J,2m-62m>~3,

則M的最小值為以

故答案為：

由題意，當尤e[—3機]時，sin(2x—￡)21能成立，故有2小一￡2三由此求得小的范圍.

DOOZ

本題主要考查正弦函數的圖象和性質，函數的能成立問題，屬于中檔題.

17.答案：解：⑴；m=(s譏B,1—cosB)與向量元=(2,0)所成角為以

???m?n=2sinB=Jsi/B+(1—cosB?x2xcos1,

:.4sin2B=2—2cosB,

BP4(1-COS2B)=2-2COS^,

即(cosB—V)(2cosB+1)=0

解得：cosB=1(舍)，或COS8=-3，

又由B為三角形內角，

c27r

*'?B=—；

3

O^rr

(2)由(1)知，B若,

???4+C=巴

3

???sinA+sinC=sinA+sin(^—A)=：sinA+cosA=sin(/+1)

77

V0<i4<-,

3

7T.,7127r

???一</+一<一,

333

???日<sin(4+g)<1,

sinA+sinCG(亨,1].

解析：⑴由向量沅=(s譏B,l—cosB),向量元=(2,0),且記與元的夾角為爭我們可以構造一個關于

角B的三角方程，解方程后，即可求出一個關于B的三角函數，結合B的取值范圍，即可求出8的大

小；

(2)由(1)的結論，我們可得a+C=g,貝Usi7M+sinC=sinG4+§,然后結合力的取值范圍，根據正

弦型函數的性質，我們即可求出sbM+s譏C的取值范圍

cos。=需篙是向量中求夾角的唯一公式，要求大家熟練掌握.函數y=As譏(3X+9)(4>0,3>0)

中，最大值或最小值由2確定，由周期由3決定，即要求三角函數的周期與最值一般是要將其函數的

解析式化為正弦型函數，再根據最大值為|川，最小值為-MI，周期7進行求解.如果求其在區

間上的值域和最值，則要結合圖象進行討論.

18.答案:解:(1)當刀<0時，則—x>0,

由當久之0時，/(%)=%2—2%—1,

貝！］/(_久)=(―%)2—2(一%)—1=%2+2%—1,

,."(%)是偶函數，

???/(—%)=/(%)=%2+2%—1,

2

j、(x—2x—l,x>0；

???/W=^+2x-l,x<0

(2)由圖象可知，當l<zn<2時，h(x)=g(x)-m有6個零點.

解析：(1)利用函數的奇偶性，轉化求解函數的解析式即可.

(2)畫出函數的圖象，然后判斷零點個數即可求解.

本題考查函數與方程的應用，考查數形結合以及計算能力，中檔題.

19.答案：解：(1)若(優石>為銳角，則五不>0,且反與至不同方向.

由3?3=刀+2>0，解得%>—2.

當x=2時，N與石同方向，二久>一2且％K之.

(2)a+2b=(1+2x,4)，2a—b-(2—x,3)>(a+2b)1(2a—fa).

(a+2K)-(2a-b)=(1+2x)(2-x)+12=0,化為-2/+3x+14=0.

解得x-(或x=-2.

解析：(1)利用向量夾角公式即可得出，注意去掉同方向情況；

(2)利用向量垂直與數量積的關系即可得出.

熟練掌握向量夾角公式、向量垂直與數量積的關系是解題的關鍵.

20.答案：解：水池的底面積為等=1600^2,

設水池底面長為x米，則寬為幽米，

X

設總造價為/(%),則/(%)=160000+80x2x2x(%+等)

>160000+320x2%.—=185600,

7x

當且僅當％=至"即x=40時取等號.

X

???當水池底面長和寬均為40米時，總造價最低.

解析：設水池底面長為x,用x表示出總造價，得出總造價關于K的函數，利用基本不等式即可得出最

小值.

本題考查了基本不等式在函數求最值中的應用，屬于中檔題.

21.答案：解：=心力

|X-1I=1x4-2X3=-2,

4一1的伴隨矩陣GTI)*=[,:2],

L—D1」

-21

A=3_1,

.22.

'=["]=E，

??.8與/互為逆矩陣，

-1

B=Af

[-21

B-r=3_i.

.22.

解析：本題考查逆變換與逆矩陣，考查矩陣乘法的運算，屬于一般題.

由力T=1方即可求得矩陣a,==矩陣4和8互為逆矩陣'B-r=A,即可求得矩

陣B-1.

22.答案：解：(1)當6=1時，f(%)=x2+ax+1,

?."(x)在[-2,2]上存在零點,

x2+ax+l=0在[-2,2]上有解

顯然x=0不是方程解，所以/+a尤+1=。在[—2,0)U(0,2]上有解

即。=一無一(在[-2,0)U(0,2]上有解

根據對勾函數性質可知y=a=-x-5在[-2,-1],[1,2]上遞減，

在(一1,0)(0,1)上遞增

則a的取值范圍為(一8,-2]U[2,+8)；

(2)xG[-2,3],函數/'(x)=x2+ax+b開口向上,

???f^max=max{f(-2),/(3)},

???/(-2)=4-2a+6,/(3)=9+3a+b,

?,*f(3)—f(2)=9+3a+b—4+2a—