第2章簡單事件的概率2.4概率的簡單應用（4大題型）分層練習考查題型一游戲的公平性1．（2022秋·浙江溫州·九年級校考階段練習）某口袋中有10個球，其中白球x個，綠球2x個，其余為黑球．甲從袋中任意摸出一個球，若為綠球則甲獲勝，甲摸出的球放回袋中，乙從袋中摸出一個球，若為黑球則乙獲勝，要使游戲對甲、乙雙方公平，則x應該是（

）A．3 B．4 C．1 D．2【答案】D【分析】游戲是否公平，關鍵要看游戲雙方獲勝的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數目是否相等即可．【詳解】解：由題意甲從袋中任意摸出一個球，若為綠球則獲勝；甲摸出的球放回袋中，乙從袋中摸出一個球，若為黑球則獲勝可知，綠球與黑球的個數應相等，也為2x個，列方程可得x+2x+2x=10，解得x=2，故選：D．【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．2．（2022春·九年級單元測試）小明和小剛各自擲一枚質地均勻的正方體骰子，若兩人的點數之和是奇數，則小明積1分，若兩人的點數之和是偶數，則小剛積1分，此游戲（

）A．對小明有利 B．對小剛有利 C．是公平的 D．無法判斷【答案】C【分析】游戲是否公平，關鍵要看游戲雙方取勝的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數目是否相等，據此來求解．【詳解】解：解：設(x，y)表示小明拋擲骰子點數是x，小剛拋擲骰子點數是y，則該概率屬于古典概型．所有的基本事件是：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，即有36種基本事件，其中點數之和為奇數的基本事件有：(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，3)，(6，5)，即有18種，所以小剛得(1分)的概率是，則小明得(1分)的概率是，則小明獲勝的概率與小剛獲勝的概率相同，游戲公平．故選：C．【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷，判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平，概率＝所求情況數與總情況數之比．3．（2023·四川成都·統考二模）口袋中有10個球（每個球除顏色外都相同），其中白球x個，紅球個，其余為藍球．從袋中隨機摸出一個球，摸到紅球則甲獲勝，摸到藍球則乙獲勝．要使游戲對甲、乙雙方公平，則x應該等于．【答案】2【分析】游戲是否公平，關鍵要看游戲雙方獲勝的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數目是否相等即可．【詳解】解：由題意：要想游戲公平，則雙方取勝的概率應相等，∵是放回試驗，∴紅球與藍球的個數應相等，也為個，列方程可得：，解得，故答案為：2．【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．4．（2023·河南駐馬店·統考三模）小明和小亮兩人用如圖所示的轉盤（轉盤被分成四個面積相等的扇形）做游戲，兩人各轉動轉盤一次，轉盤停止后記下指針指向的數字（若指針指在分界線上，不記，重新轉動），如果兩人轉得的數字之和為奇數，則小明勝；如果兩人轉得的數字之和為偶數，則小亮勝，你對這個游戲公平性的評價是．（填“公平”“對小明有利”或“對小亮有利”）

【答案】對小亮有利【分析】根據題意，畫樹狀圖，再運用概率公式求概率，判斷游戲公平性．【詳解】根據題意，畫樹狀圖如下．

由樹狀圖，可知共有16種等可能的結果，其中和為奇數的結果有6種，和為偶數的結果有10種，∴，．∵，∴這個游戲對小亮有利，故答案為：對小亮有利．【點睛】本題考查了畫樹狀圖或列表法求概率，熟練掌握概率公式是求解的關鍵．5．（2023春·山東東營·七年級統考期末）小明和小凡一起做游戲，在一個裝有2個紅球和3個白球（每個球除顏色外都相同）的袋子中任意摸出一個球，規定：摸到紅球小明勝，摸到白球小凡勝．(1)你認為這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由．(2)你若認為不公平，則請你修改游戲規則，使游戲對雙方公平．【答案】(1)不公平，理由見解析(2)見解析【分析】（1）根據概率公式分別計算出摸到紅球和白球的概率，比較大小即可得出答案；（2）答案不唯一，只需使兩者獲勝的概率相等即可．【詳解】（1）解：這個游戲對雙方不公平，（小明勝），（小凡勝），（小明勝）（小凡勝），這個游戲對雙方不公平．（2）將游戲規則可修改為：小明和小凡一起做游戲，在一個裝有3個紅球和3個白球（每個球除顏色外都相同）的袋子中任意摸出一個球，規定：摸到紅球小明勝，摸到白球小凡勝．游戲對雙方公平（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查游戲的公平性，判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．考查題型二概率在轉盤抽獎中的應用1．（2023春·九年級單元測試）如圖的四個轉盤中，轉盤3，4被分成8等分，若讓轉盤自由轉動一次停止后，指針落在陰影區域內可能性從大到小排列為（）A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②①【答案】A【詳解】解：圖1陰影部分為270°，圖2陰影部分為240°，圖3每份為45°，陰影部分共4份為180°，圖4每份為45°陰影部分共5份為225°，所以①②④③，故選A．2．（2020春·七年級課時練習）如圖，轉動轉盤，指向陰影部分的可能性為，指向空白部分的可能性為，則(

)A．a>b B．a<b C．a=b D．無法確定【答案】C【詳解】由圖可知，陰影部分與空白部分的面積相等，故a=b.故選C.3．（2023秋·廣東茂名·九年級統考期末）如圖，一個轉盤被分為了A，B，C三個區域，自由轉動轉盤一次，當轉盤停止時，指針指向A區域的概率是．【答案】【分析】根據概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數；②符合條件的情況數目；二者的比值就是其發生的概率．依此即可求解．【詳解】解：∵A區域扇形的圓心角為90°，∴自由轉動轉盤一次，當轉盤停止時，指針指向A區域的概率是，故答案為：．【點睛】此題考查了概率公式，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）．4．（2023·江蘇鹽城·統考二模）小明參加了一個抽獎游戲：一個不透明的布袋里裝有1個紅球，2個藍球，4個黃球，8個白球，這些小球除顏色外完全相同．從布袋里摸出1球，摸到紅球、藍球、黃球、白球可分別得到獎金30元、20元、5元和0元，則小明摸一次球得到的平均收益是元．【答案】6【分析】求出任摸一球，摸到紅球、黃球、綠球和白球的概率，那么獲獎的平均收益可以用加權平均數的方法求得．【詳解】解：=2+4=6（元）故答案為6【點睛】此題主要考查了考查概率的計算和加權平均數的計算方法，理解獲獎平均收益實際就是求各種獎項的加權平均數．5．（2023秋·河南平頂山·九年級統考期末）某商場，為了吸引顧客，在“元旦”當天舉辦了商品有獎酬賓活動，凡購物滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次播獎的機會．規則如下：已知如圖是由轉盤和箭頭組成的兩個轉盤A、B，這兩個轉盤除了顏色不同外，其它構造完全相同，搖獎者同時轉動兩個轉盤，指針分別指向一個區域（指針落在分割線上時重新轉動轉盤），根據指針指向的區域顏色（如表）決定送禮金券的多少．指針指向兩紅一紅一藍兩藍禮金券（元）27927(1)請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉盤指針分別指向一紅區和一藍區的概率．(2)如果一名顧客當天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為實惠．【答案】(1)(2)方案一比較實惠【分析】（1）根據題意列出表格，然后根據概率公式求出結果即可；（2）先分別算出指針指在兩個紅色區域，兩個藍色區域的概率，算出按方案二獲得禮金券的平均值，最后進行比較即可得出答案．【詳解】（1）解：列表格如下：藍藍紅藍（藍，藍）（藍，藍）（藍，紅）紅（紅，藍）（紅，藍）（紅，紅）紅（紅，藍）（紅，藍）（紅，紅）∵由表格可知，共有9種等可能結果，其中轉盤指針分別指向一紅區和一藍區的情況數有5種，∴兩款轉盤指針分別指向一紅區和一藍區的概率．（2）解：∵，∴如果選擇方案二，獲得禮金券的平均值為：（元），∵，∴選擇方案一比較實惠．【點睛】本題主要考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，解題的關鍵是根據題意列出表格或畫出樹狀圖，熟練掌握概率的基本公式．考查題型三概率在比賽中的應用1．（2023·全國·九年級假期作業）在智力競答節目中，某參賽選手答對最后兩題單選題就能利通關，兩題均有四個選項，此選手只能排除第1題的一個錯誤選項，第2題完全不會，他還有兩次“求助”機會（使用可去掉一個錯誤選項），為提高通關概率，他的求助使用策略為（

）A．兩次求助都用在第1題 B．兩次求助都用在第2題C．在第1第2題各用一次求助 D．兩次求助都用在第1題或都用在第2題【答案】D【分析】根據題意，分類討論，列舉或畫出樹狀圖列出等可能的情況，根據概率公式求出每一種情況下的概率，即可判斷．【詳解】解：①若兩次求助都用在第1題，假設D選項是第1題的正確選項，選手可以排除的是A選項，使用兩次求助時存在三種等可能的情況：第一種：求助排除AB選項，還剩CD兩個選項，答對的概率是，第二種：求助排除AC選項，還剩BD兩個選項，答對的概率是，第三種：求助排除BC選項，只剩D一個選項，答對的概率是1，因此第一題答對的概率為：，第2題答對的概率為，故此時該選手通關的概率為：；②若在第1第2題各用一次求助，假設D選項是第1題的正確選項，選手可以排除的是A選項，使用一次求助時存在三種等可能的情況：第一種：求助排除A選項，還剩BCD三個選項，答對的概率是，第二種：求助排除B選項，還剩CD兩個選項，答對的概率是，第三種：求助排除C選項，還剩BD兩個選項，答對的概率是，因此第一題答對的概率為：，第2題使用一次求助后，還剩3個選項，其中只有一個正確選項，因此答對的概率為，故此時該選手通關的概率為：；③兩次求助都用在第2題，畫樹狀圖如下：上層A、B、C表示第一題剩下的三個選項，下層A、B表示第二題剩下的二個選項，

共有6種等可能的結果，其中該選手通關的可能只有1種，故此時該選手通關的概率為：.∵，∴兩次求助都用在第1題或都用在第2題時，該選手通關的概率大，故選：D．【點睛】此題考查的是求概率問題，掌握畫樹狀圖的方法、概率公式和分類討論的數學思想是解決此題的關鍵．2．（2023·全國·九年級假期作業）2018（第七屆）綿陽之春國際車展將于2018年4月18日-22日在綿陽國際會展中心盛大舉行．某品牌汽車為了推廣宣傳，特舉行“趣味答題闖關贏大獎”活動，參與者需連續闖過三關方能獲得終極大獎．已知闖過第一關的概率為，連續闖過兩關的概率為，連續闖過三關的概率為，已經連續闖過兩關的參與者獲得終極大獎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設已經連續闖過兩關并獲得終極大獎的概率為，由獲得終極大獎是在連續闖過兩關的基礎上再闖過第三關，則存在概率關系：連續闖過兩關的概率與過第三關的概率之積等于連續闖過三關的概率，由此等量關系可得方程，解方程即可．【詳解】設已經連續闖過兩關并獲得終極大獎的概率為，由題意得，，解得：．故選：D．【點睛】本題考查了概率的求法，清楚連續闖兩關的概率與過第三關的概率之積等于連續闖三關的概率是解答本題的關鍵．3．（2022秋·九年級單元測試）拋擲兩枚普通的正方體骰子，把兩枚骰子的點數相加，若第一枚骰子的點數為1，第二枚骰子的點數為5，則是“和為6”的一種情況，我們按順序記作（1，5），如果一個游戲規定擲出“和為6”時甲方贏，擲出“和為9”時乙方贏，則這個游戲（填“公平”、“不公平”）．【答案】不公平【分析】列舉出所有情況，看“和為6”及“和為9”情況數占所有情況數的多少即可．【詳解】解：如圖所示：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）共有36種情況，和為6情況數是5種，所以甲贏的概率為；和為9的情況數有4種，所以概率為．∵＞，∴不公平．故答案為不公平．【點睛】此題考查用列表格的方法解決概率問題；得到“和為6”及“和為9”的情況數是解決本題的關鍵；用到的知識點為：概率等于所求情況數與總情況數之比．4．（2023春·全國·九年級專題練習）八年級的小亮和小明是好朋友，他們都報名參加學校的田徑運動會，將被教練隨機分進甲、乙、丙三個訓練隊，他倆被分進同一訓練隊的概率是．【答案】【詳解】解：假設小亮在甲，則小明有甲、乙、丙三種，那么他們要在同一隊的可能只有，同理，小亮在乙或丙，他們要在同一隊的可能也只有.5．（2023·河北·模擬預測）為迎接建黨100周年，甲、乙兩位學生參加了知識競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄這8次成績（單位：分），并按成績從低到高整理成如下表所示，由于表格被污損，甲的第5個數據看不清，但知道甲的中位數比乙的眾數大3．甲78798182x889395乙7580808385909295（1）求x的值；

（2）現要從中選派一人參加競賽，從統計或概率的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由．【答案】（1）x=84；（2）從統計的角度考慮，派甲參賽比較合適，理由見解析；從概率的角度考慮，派乙參賽比較合適，理由見解析．【分析】（1）根據眾數、中位數的計算方法分別計算即可；（2）解法1：從平均數、方差以及數據的變化趨勢分析．解法2：從概率的角度以及數據的變化趨勢分析．【詳解】解：（1）依題意，可知甲的中位數為，乙的眾數為80，∴，解得x=84．（2）解法一：派甲參賽比較合適．理由如下：，，，，因為，，所以甲的成績較穩定，派甲參賽比較合適．解法二：派乙參賽比較合適．理由如下：從概率的角度看，甲獲得85以上（含85分）的概率，乙獲得85分以上（含85分）的概率，因為P1＜P2，所以派乙參賽比較合適．【點睛】考查平均數、眾數和中位數的意義，方差，概率等知識點，熟悉相關性質是解題的關鍵．考查題型四概率的其他應用1．（2022秋·浙江杭州·九年級統考期末）一個密碼箱的密碼，每個數位上的數都是從0到9的自然數．若要使不知道密碼的人一次就撥對密碼的概率小于，則密碼的位數至少需要設（

）A．五位 B．四位 C．三位 D．二位【答案】B【分析】分別求出取一位數、兩位數、三位數、四位數時一次就撥對密碼的概率，再根據所在的范圍解答即可．【詳解】解：∵取一位數時一次就撥對密碼的概率為；取兩位數時一次就撥對密碼的概率為；取三位數時一次就撥對密碼的概率為；取四位數時一次就撥對密碼的概率為；∵，∴密碼的位數至少需要四位，故選項B正確．故選：B．【點睛】本題考查概率的求法與運用，一般方法為：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現種結果，那么事件的概率．2．（2023秋·湖北恩施·九年級統考期末）某小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統計了某一結果出現的頻率，繪制了如圖的折線統計圖，則符合這一結果的實驗最有可能的是（

）A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃C．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區別，從中任取一球是黃球D．擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是6【答案】D【分析】根據利用頻率估計概率得到實驗的概率在0.17左右，再分別計算出四個選項中的概率，然后進行判斷．【詳解】解：A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”的概率是，不符合題意；B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是，不符合題意；C．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區別，從中任取一球是黃球的概率是，不符合題意；D．擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是6的概率是，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數很多，或各種可能結果發生的可能性不相等時，一般通過統計頻率來估計概率．3．（2022秋·九年級單元測試）某船隊要對下月是否出海作出決策，若出海后是好天氣，可得收益5000元；若出海后天氣變壞，將要損失2000元；若不出海，無論天氣好壞都要承擔1000元的損失費，船隊隊長通過上網查詢下月的天氣情況后，預測下月好天氣的機會是，壞天氣的機會是，則作出決策為（填“出海”、“不出海”）．【答案】出海【分析】利用概率算出獲得收益的平均值比較即可．【詳解】解：預測下月好天氣的機會是，壞天氣的機會是，，下月是好天氣的可能性壞天氣的可能性；又若出海后是好天氣，可得收益5000元；若出海后天氣變壞，將要損失2000元；若不出海，無論天氣好壞都要承擔1000元的損失費，出海的話，獲得平均收益（獲得收益的數學期望）（元，不出海：（元，，船隊隊長作出決策為：出海．故答案為：出海．【點睛】本題主要考查概率的實際應用，能夠通過概率算出平均收獲是解題關鍵．4．（2022秋·九年級課時練習）現有1，2，3，…，9九個數字，甲、乙輪流從中選出一個數字，從左至右依次填入下圖所示的表格中（表中已出現的數字不再重復使用），每次填數時，甲會選擇填入后使表中現有數據平均數最大的數字，乙會選擇填入后使表中現有數據中位數最小的數字．如圖，若表中第一個數字是4，甲先填，則滿足條件的填法有種，請你在表中空白處填出一種符合要求的填數結果．4【答案】6，9182【分析】根據填數時，甲會選擇填入后使表中現有數據平均數最大的數字，可知，甲每次都會選最大的數字；再根據乙選擇數字的方法判斷滿足條件的填法即可．【詳解】解：∵甲會選擇填入后使表中現有數據平均數最大的數字，表中第一個數字是4，甲先填，∴第二個數字為9，第四個數字為8，∵乙會選擇填入后使表中現有數據中位數最小的數字．∴第三個數字可以為1，2，3，第五個數字可以為1,2，且不能與第三個數字相同，即第三個數字有3種選法，第五個數字有2種選法，∴滿足條件的填法有6種，表中空白處可以為9182．故答案為：6，9182【點睛】本題考查概率的知識，解題的關鍵是理解甲選數字的方法，乙選數字的方法，根據其選數字的方法知道其所選數字．5．（2023春·山西運城·七年級統考期末）某市林業局積極響應習總書記“青山綠水就是金山銀山”的號召，特地考察一種花卉移植的成活率，對本市這種花卉移植成活的情況進行了調查統計，并繪制了如圖所示的統計圖．

請你根據統計圖提供的信息，回答下列問題：(1)這種花卉成活的頻率穩定在___________附近，估計成活概率為___________．（精確到0.1）(2)該林業局已經移植這種花卉20000棵．①估計這批花卉成活的棵樹；②根據市政規劃共需要成活90000棵這種花卉，估計還需要移植多少棵？【答案】(1)0.9，0.9(2)①18000棵，②80000棵【分析】（1）根據統計圖可得頻率，根據頻率與概率的關系可得概率；（2）①用20000乘以成活的概率即可；②方法一：用移植的總棵樹減去已經移植的棵樹；方法二：用還需成活的棵樹除以成活的概率．【詳解】（1）由圖可知，這種花卉成活的頻率穩定在0.9附近，估計成活概率為0.9．故答案為：0.9，0.9；（2）①（棵）答：這種花卉成活率約18000棵．②方法一：（棵）答：估計還要移植80000棵．方法二：（棵）答：估計還要移植．【點睛】本題考查了用頻率估計概率，已知概率求數量，理解概率的意義是解答本題的關鍵．1．（2023·河南駐馬店·校聯考二模）甲、乙兩人一起玩如圖4的轉盤游戲，將兩個轉盤各轉一次，指針指向的數的和為正數，甲勝，否則乙勝，這個游戲（

）A．公平 B．對甲有利 C．對乙有利 D．公平性不可預測【答案】A【分析】采用列表法列舉分別求出指針指向的數的和為正數的概率和為非正數的概率，比較二者概率即可作答．【詳解】列表如下：總的情況數為8種，為正數的情況有4種，為非正數的情況有4種，指針指向的數的和為正數的概率為：；指針指向的數的和為非正數的概率為：；∵，概率相同，∴甲、乙獲勝的概率相同，即游戲對二人公平，故選：A．【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數與總情況數之比．2．（2023春·全國·九年級專題練習）甲、乙兩人玩“石頭，剪刀，布”的游戲，約定只玩一局，描述錯誤的是（

）A．甲，乙獲勝的概率均低于0.5 B．甲，乙獲勝的概率相同C．甲，乙獲勝的概率均高于0.5 D．游戲公平【答案】C【分析】根據游戲結局共有三種情形，其中甲、乙獲勝的概率都為，即可求解．【詳解】解：甲、乙兩人玩“石頭，剪刀，布”的游戲，約定只玩一局，結局有甲獲勝（乙輸）、平局、乙獲勝（甲輸），三種結局，其中，甲、乙獲勝的概率都為，則A，B，D，選項正確，C選項錯誤．故選C【點睛】本題考查了概率公式求概率，游戲的公平性，求得概率是解題的關鍵．3．（2022秋·九年級單元測試）甲乙兩人玩一個游戲，他們輪流從磚墻上拿下一塊或兩塊相鄰的磚．縫隙可能會產生的新的墻，墻只有一磚高．例如，如圖，一組（4，2）的墻磚可以通過一次操作變成以下中的任何一種：（3，2），（1，2，2），（2，1，2），（4），（4，1），（2，2）或（1，1，2）．若甲先開局，而拿下最后一塊磚的選手獲勝，對于以下開局，甲沒有必勝策略的開局是（

）A．（6，1，1） B．（6，2，1） C．（6，3，1） D．（6，2，2）【答案】A【分析】根據游戲規則總結規律然后分析各個選項得出結論即可．【詳解】解：A選項中6個連續的磚墻無論甲先拿幾塊對方都能拿到最后一塊，后面的兩個1塊的磚墻需要拿兩次，符合題意；B選項中后面的一個2塊連續的墻磚，一個1塊的墻磚即可以分三次也能兩次拿完，∴6個連續的磚墻無論誰拿到最后一塊，甲都能拿下最后一塊磚，不符合題意；C選項先拿走6塊連續墻磚邊上的兩個，無論對方怎么拿都讓他拿到這6塊連續墻磚的最后一塊，然后拿3塊連續墻磚邊上的兩個即可保證甲能拿最后一塊；不符合題意；D選項同理B，后面的兩個2塊連續的墻磚，即可以分三次也能分四次拿完，∴6個連續的磚墻無論誰拿到最后一塊，甲都能拿下最后一塊磚，不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查推理能力，根據游戲規則總結磚墻的變化規律是解題的關鍵．4．（2023秋·九年級單元測試）有2個信封，第一個信封內的四張卡片上分別寫有1，2，3，4，第二個信封內的四張卡片上分別寫有5，6，7，8，甲、乙兩人商定了一個游戲，規則是：從這兩個信封中各隨機抽取一張卡片，得到兩個數．為了使大量次游戲后對雙方都公平，獲勝規則不正確的是（

）A．第一個信封內取出的數作為橫坐標，第二個信封內取出的數作為縱坐標，所確定的點在直線上甲獲勝，所確定的點在直線上乙獲勝B．取出的兩個數乘積不大于15甲獲勝，否則乙獲勝C．取出的兩個數乘積小于20時甲得3分，否則乙得6分，游戲結束后，累計得分高的人獲勝D．取出的兩個數相加，如果得到的和為奇數，則甲獲勝，否則乙獲勝【答案】A【分析】利用列表法分別求出各選項中各自情況情況數即可得出答案．【詳解】解：在上的點有，，，四點；在上的點有，，三點，因此該游戲不公平，故A符合題意；取出兩個數的乘積不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8種情況，取出兩個數的乘積大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8種情況，因此該游戲公平，故B項不符合題意；取出的兩個數乘積小于20的情況數為10種，可得分，取出的兩個數乘積不小于小于20的情況數為6種，可得分，因此該游戲公平，故C項不符合題意；取出的兩個數相加和為奇數有8種，和不為奇數的有8種，因此該游戲公平，故D項不符合題意故答案為：A．【點睛】本題主要考查了游戲的公平性，求出各選項中對應情況數是解題的關鍵．5．（2022·北京朝陽·統考模擬預測）一個不透明的袋子中裝有1個紅球，2個綠球，除顏色外無其他差別，從中隨機摸出一個球，然后放回搖勻，再隨機摸出一個．給出下列結論：①第一次摸出的球是紅球，第二次摸出的球一定是綠球；②第一次摸出的球是紅球，第二次摸出的球不一定是綠球；③第一次摸出的球是紅球的概率是；④兩次摸出的球都是紅球的概率是．其中正確的結論個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由隨機事件的意義、概率公式、畫樹狀圖法分別分析求解即可．【詳解】解：①第一次摸出的球是紅球，第二次摸出的球不一定是綠球，①錯誤；②第一次摸出的球是紅球，第二次摸出的不一定是綠球，②正確；③第一次摸出的球是紅球的概率是，③正確；④畫樹狀圖如圖：共用9種等可能結果數，兩次摸出的球都是紅球的結果有1個，∴兩次摸出的球都是紅球的概率是，④正確；有3個正確結論，故選：C．【點睛】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率和隨機事件的意義，解題關鍵是明確相關定義，熟練運用列舉法求概率．6．（2023春·廣東梅州·七年級校考階段練習）在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，這些球除顏色外完全相同，其中有5個黃球，4個藍球．若隨機摸出一個藍球的概率為，則隨機摸出一個紅球的概率為．【答案】/【分析】設紅球有個，根據“隨機摸出一個藍球的概率為”，可以求出紅球的個數，最后根據概率公式即可得出隨機摸出一個紅球的概率．【詳解】解：設紅球有個，隨機摸出一個藍球的概率為，，解得：，經檢驗，是所列方程的解，∴紅球有3個，∴隨機摸出一個紅球的概率為：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了概率公式的應用，用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．7．（2022秋·貴州六盤水·九年級統考期中）小李和小王在拼圖游戲中，從如圖三張紙片中任取兩張，如拼成房子，則小李贏；否則，小王贏．你認為這個游戲公平嗎？（填“公平”或“不公平”）．【答案】不公平【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與拼成房子的情況，再利用概率公式求解即可求得小李贏與小王贏的概率，比較概率大小，即可知這個游戲是否公平．【詳解】解：設三張紙片分別用A，B，C表示畫樹狀圖得：共有6種等可能的結果，能拼成房子的有4種情況，這個游戲不公平故答案為：不公平【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷，解題關鍵是掌握判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．8．（2022秋·九年級單元測試）如圖，有8張標記數字1-8的卡片．甲、乙兩人玩一個游戲，規則是：甲、乙兩人輪流從中取走卡片；每次可以取1張，也可以取2張，還可以取3張卡片（取2張或3張卡片時，卡片上標記的數字必須連續）；最后一個將卡片取完的人獲勝．若甲先取走標記2，3的卡片，乙又取走標記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，則（填“甲”或“乙”）一定獲勝；若甲首次取走標記數字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案是．（只填一種方案即可）【答案】甲取走標記5，6，7的卡片（答案不唯一）【分析】由游戲規則分析判斷即可作出結論．【詳解】解：若甲先取走標記2，3的卡片，乙又取走標記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，為4，5或5，6，則剩余的卡片為1，6或1，4，然后乙只能取走一張卡片，最后甲將一張卡片取完，則甲一定獲勝；若甲首次取走標記數字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：乙取走5，6，7，則甲再取走4和8中的一個，最后乙取走剩下的一個，則乙一定獲勝，故答案為：甲；5，6，7（答案不唯一）．【點睛】本題考查游戲公平性，理解游戲規則是解答的關鍵．9．（2022秋·九年級課時練習）在課后服務時間，甲乙兩班進行籃球比賽，在選擇比賽場地時，裁判員采用了同時擲兩枚完全相同硬幣的方法：如果兩枚硬幣朝上的面不同，則甲班優先選擇場地；否則乙班優先選擇場地．這種選擇場地的方法對兩個班級（填“公平”或“不公平”）．【答案】公平【分析】要判斷這種方法是否公平，只要看所選取的方法，使這兩個隊優先選擇比賽場地的可能性是否相等即可．【詳解】解：根據題意畫樹狀圖如下：由上圖可知，甲班優先選擇場地的概率，乙班優先選擇場地的概率，故這兩個隊優先選擇比賽場地的可能性相等，這種選擇場地的方法對兩個班級公平．【點睛】本題主要考查了游戲規則公平性的判斷，會畫樹狀圖求等概率事件的概率是做出本題的關鍵．10．（2023·北京·北京師大附中校考三模）如圖，在8個格子中依次放著分別寫有字母a～h的小球．甲、乙兩人輪流從中取走小球，規則如下：①每人首次取球時，只能取走2個或3個球；后續每次可取走1個，2個或3個球；②取走2個或3個球時，必須從相鄰的格子中取走；③最后一個將球取完的人獲勝．（1）若甲首次取走寫有b，c，d的3個球，接著乙首次也取走3個球，則（填“甲”或“乙”）一定獲勝；（2）若甲首次取走寫有a，b的2個球，乙想要一定獲勝，則乙首次取球的方案是．【答案】乙e，f．【分析】（1）乙首次也取走3個球，但必須相鄰，有兩種取法，分類討論即可判斷；（2）分乙取三個球和乙取二個球兩種情況討論，再在乙取二個球的情況下，再分乙取c，d，乙取d，e，乙取e，f，三種情況討論；當乙取e，f時，再分三種情況討論即可求解．【詳解】解：（1）∵甲首次取走寫有b，c，d的3個球，∴還剩下a，，e，f，g，h，又∵乙首次也取走3個球，但必須相鄰，∴乙可以取e，f，g或f，g，h，若乙取e，f，g，只剩下a，，h，∵它們不相鄰，∴甲只能拿走一個，故乙拿走最后一個，故乙勝；同理，若乙取f，g，h，只剩下a，，e，∵它們不相鄰，∴甲只能拿走一個，故乙拿走最后一個，故乙勝；枚答案為：乙；（2）∵甲首次取走a，b二個球，還剩下c，d，e，f，g，h，①若乙取三個球:若乙取c，d，e或f，g，h，那么剩下的球是連著的，故若甲取走剩下的三個，則甲勝；若乙取d，e，f，此時甲取g，則c，h，不相鄰，則甲勝；若乙取e，f，g，此時甲取d，則c，h，不相鄰，則甲勝；②若乙取二個球:若乙取c，d，此時甲取f，g，那么剩下e，h，不相鄰，則甲勝；若乙取d，e，此時甲取f，g，則c，h，不相鄰，則甲勝；若乙取e，f，此時甲取c，d或g，h，則乙勝；若甲取c或d，那么乙取g或h，則乙勝；若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下2個球不相鄰，則乙勝；因此，乙一定要獲勝，那么它首次取e，f，故答案為：e，f．【點睛】本題考查了邏輯推理，關鍵是明確最后一個將球取完的人獲勝．11．（2023春·河南鄭州·七年級河南省實驗中學校考期末）如圖，一個均勻的轉盤被平均分成10等份，分別標有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數字．轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向的數字即為轉出的數字．兩人參與游戲：一人轉動轉盤，另一人猜數，若所猜數字與轉出的數字相符，則猜數的人獲勝，否則轉動轉盤的人獲勝．猜數的規則從下面兩種中選一種：①猜“是3的倍數”或“不是3的倍數”；②猜“是大于6的數”或“不是大于6的數”．如果輪到你猜數，那么為了盡可能獲勝，你將選擇哪一種猜數方法？怎樣猜？請說明理由．【答案】選擇①，猜“不是3的倍數”，理由見解析【分析】根據規則可能出現的結果數有10種，分別算出“是3的倍數”的概率、“不是3的倍數”的概率、“是大于6的數”的概率、“不是大于6的數”的概率，比較大小選擇概率大的即可．【詳解】解：①共有“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”10種等可能出現的結果數，“是3的倍數”的有“3、6、9”3種，“不是3的倍數”的有“1、2、4、5、7、8、10”7種，“是3的倍數”的概率，“不是3的倍數”的概率，②共有“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”10種等可能出現的結果數，“是大于6的數”的有“7、8、9、10”4種，“不是大于6的數”的有“1、2、3、4、5、6”6種，“是大于6的數”的概率，“不是大于6的數”的概率，，選擇①，猜“不是3的倍數”，最可能獲勝．【點睛】本題考查了概率的計算，根據規則計算概率是解題的關鍵．12．（2023秋·山西大同·九年級大同一中校考期末）如圖是兩個自由轉動的轉盤，盤A被分成四等份，分別標有1，2，3，4四個數字，轉盤B被分成三等份，分別標有5，6，7三個數字．小王和小李用這兩個轉盤做游戲，若兩個轉盤轉出的數字之積為奇數，則小王勝，若兩個轉盤轉出的數字之積為偶數，則小李勝．（如果指針恰好指在分界線上，就得重轉，直到指針指向某一數字為止．）

(1)請用樹狀圖或列表法，分別求出小王和小李獲勝的概率；(2)這個游戲規則公平嗎?如果不公平，請你設計一個公平合理的游戲規則．【答案】(1)小王勝的概率，小李勝的概率，(2)不公平，理由見詳解【分析】（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果；（2）因為小王勝的概率，小李勝的概率，可判斷所以這個游戲不公平．設計對游戲雙方公平的游戲規則只要他們獲勝的概率相等即可．【詳解】（1）畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中奇數有4種可能，偶數有8種可能；小李勝：勝兩個數字的積為偶數的概率是：．小王勝：兩個數字的積為奇數的概率是：．（2）這個游戲不公平，理由如下：小王勝的概率，小李勝的概率，則，所以這個游戲不公平．對游戲雙方公平的游戲規則可為：若轉出的兩數之積為3的倍數，小王勝；否則小李勝，．【點睛】本題考查了游戲公平性：先利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果數，然后根據概率的概念分別計算出游戲雙方獲勝的概率，再比較大小進行判斷．也考查了利用列表法或樹狀圖法求概率．13．（2023春·重慶南岸·七年級統考期末）不透明的箱子里有8個除數字號碼外其余均相同的小球，分別標有1，2，2，3，3，4，5，5．現隨機地從中摸出一個，求：(1)直接寫出摸出標有數字4的小球的概率和摸出標的數字小于4的小球的概率；(2)小敏和小穎想利用摸球來決定游戲勝負，規則如下：每人隨機從這8個球摸出一個小球，如果號碼為奇數小敏贏，如果為偶數則小穎贏，請問這個游戲公平嗎？請說明理由．【答案】(1)摸出標有數字4的小球的概率為；摸出標的數字小于4的小球的概率為；(2)這個游戲不公平，理由見解析【分析】（1）直接運用概率公式求解即可；（2）分別求出摸到奇數的概率和偶數的概率，比較即可．【詳解】（1）在1，2，2，3，3，4，5，5這8個數中，只有一個4，所以，摸出標有數字4的小球的概率為；小于4的數字有1，2，2，3，3共5個，所以，摸出標的數字小于4的小球的概率為；（2）在1，2，2，3，3，4，5，5這8個數中，奇數有5個，偶數有3個，所以，摸到號碼為奇數的概率為；摸到號碼為偶數的概率為；∵，∴這個游戲不公平．【點睛】本題考查了概率公式和游戲公平性，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種可能，那么事件A的概率，注意本題是放回實驗．解決本題的關鍵是得到相應的概率，概率相等就公平，否則就不公平．14．（2023春·四川達州·九年級校考階段練習）為增強教育服務能力，持續提升市民幸福指數，某學校根據《達州市中小學生課后服務實施意見》，積極開展延時服務，提供了聲樂，體鍛，科創，書法四種課程，為了解學生需求，該校隨機對本校部分學生進行了“你選擇哪類