2021年山東省濟寧市中考數學試卷一、選擇題：本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求。1．（3分）若盈余2萬元記作+2萬元，則﹣2萬元表示（）A．盈余2萬元 B．虧損2萬元 C．虧損﹣2萬元 D．不盈余也不虧損2．（3分）一個圓柱體如圖所示，下面關于它的左視圖的說法其中正確的是（）A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 B．既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形 C．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形 D．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形3．（3分）下列各式中，正確的是（）A．x+2x＝3x2 B．﹣（x﹣y）＝﹣x﹣y C．（x2）3＝x5 D．x5÷x3＝x24．（3分）如圖，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度數是（）A．72°28′ B．101°28′ C．107°32′ D．127°32′5．（3分）計算÷（a+1﹣）的結果是（）A． B． C． D．6．（3分）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，正五邊形ABCDE中，∠CAD的度數為（）A．72° B．45° C．36° D．35°8．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的兩個實數根，則代數式m2+2m+n的值等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20229．（3分）如圖，已知△ABC．（1）以點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，交AC于點M，交AB于點N．（2）分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內部相交于點P．（3）作射線AP交BC于點D．（4）分別以A，D為圓心，以大于AD的長為半徑畫弧，兩弧相交于G，H兩點．（5）作直線GH，交AC，AB分別于點E，F．依據以上作圖，若AF＝2，CE＝3，BD＝，則CD的長是（）A． B．1 C． D．410．（3分）按規律排列的一組數據：，，□，，，，…，其中□內應填的數是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。11．（3分）數字6100000用科學記數法表示是．12．（3分）如圖，四邊形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，請補充一個條件，使△ABC≌△ADC．13．（3分）已知一組數據0，1，x，3，6的平均數是y，則y關于x的函數解析式是．14．（3分）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，點O為BC的中點，以O為圓心，以OB為半徑作半圓，交AC于點D，則圖中陰影部分的面積是．15．（3分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點A，對稱軸為直線x＝1．下面結論：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于﹣1且小于0．其中正確的是．（只填序號）三、解答題：本大題共7小題，共55分。16．（5分）計算：|﹣1|+cos45°﹣（）﹣1+．17．（7分）某校為了解九年級學生體質健康情況，隨機抽取了部分學生進行體能測試，并根據測試結果繪制了不完整的條形統計圖和扇形統計圖，請回答下列問題．（1）在這次調查中，“優秀”所在扇形的圓心角的度數是；（2）請補全條形統計圖；（3）若該校九年級共有學生1200人，則估計該校“良好”的人數是；（4）已知“不及格”的3名學生中有2名男生、1名女生，如果從中隨機抽取兩名同學進行體能加試，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求抽到兩名男生的概率是多少？18．（7分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C（2，0），點B（0，4），反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點A．（1）求反比例函數的解析式；（2）將直線OA向上平移m個單位后經過反比例函數y＝（x＞0）圖象上的點（1，n），求m，n的值．19．（8分）如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，點D是BC的中點，連接OD并延長交⊙O于點E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延長線于點P．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半徑．20．（8分）某商場購進甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場又購進一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提下，平均每天可賣出100箱．如調整價格，每降價1元，平均每天可多賣出20箱，那么當降價多少元時，該商場利潤最大？最大利潤是多少？21．（9分）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉化為平面圖形問題．（1）閱讀材料立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角．例如，正方體ABCD﹣A′B′C′D′（圖1），因為在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′與AB相交于點A，所以直線AB與AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的兩條直線AB與CC′所成的角．解決問題如圖1，已知正方體ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的兩直線BA′與AC所成角的大小．（2）如圖2，M，N是正方體相鄰兩個面上的點；①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是；②在所選正確展開圖中，若點M到AB，BC的距離分別是2和5，點N到BD，BC的距離分別是4和3，P是AB上一動點，求PM+PN的最小值．22．（11分）如圖，直線y＝﹣x+分別交x軸、y軸于點A，B，過點A的拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一交點為C，與y軸交于點D（0，3），拋物線的對稱軸l交AD于點E，連接OE交AB于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）求證：OE⊥AB；（3）P為拋物線上的一動點，直線PO交AD于點M，是否存在這樣的點P，使以A，O，M為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

2021年山東省濟寧市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求。1．（3分）若盈余2萬元記作+2萬元，則﹣2萬元表示（）A．盈余2萬元 B．虧損2萬元 C．虧損﹣2萬元 D．不盈余也不虧損【分析】根據正數和負數表示具有相反意義的量解答．【解答】解：﹣2萬元表示虧損2萬元，故選：B．【點評】本題考查了正數和負數的意義，正數表示盈余，負數表示虧損，這是解題的關鍵．2．（3分）一個圓柱體如圖所示，下面關于它的左視圖的說法其中正確的是（）A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 B．既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形 C．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形 D．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形【分析】圓柱體的左視圖是長方形，再根據長方形的對稱性進行判斷即可．【解答】解：圓柱體的左視圖是長方形，而長方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故選：A．【點評】本題考查簡單幾何體的左視圖以及軸對稱圖形和中心對稱圖形，掌握圓柱體左視圖的形狀，理解軸對稱圖形和中心對稱圖形的意義是正確判斷的前提．3．（3分）下列各式中，正確的是（）A．x+2x＝3x2 B．﹣（x﹣y）＝﹣x﹣y C．（x2）3＝x5 D．x5÷x3＝x2【分析】根據合并同類項，只把系數相加減，字母與字母的次數不變；同底數的冪相除，底數不變指數相減，冪的乘方，底數不變指數相乘，對各選項計算后利用排除法求解．【解答】解：A、應為x+2x＝3x，故本選項錯誤；B、應為﹣（x﹣y）＝﹣x+y，故本選項錯誤；C、（x2）3＝x2×3＝x6，，故本選項錯誤；D、x5÷x3＝x5﹣3＝x2，故本選項正確．故選：D．【點評】本題主要考查合并同類項法則，同底數冪的除法，冪的乘方，熟練掌握運算性質是解題的關鍵．4．（3分）如圖，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度數是（）A．72°28′ B．101°28′ C．107°32′ D．127°32′【分析】先根據AB∥CD求出∠C的度數，再由BC∥DE即可求出∠D的度數．【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝72°28′，∴∠C＝∠B＝72°28′，∵BC∥DE，∴∠D+∠C＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C＝107°32′，故選：C．【點評】本題考查的是平行線的性質，熟記平行線的性質定理是解題的關鍵．5．（3分）計算÷（a+1﹣）的結果是（）A． B． C． D．【分析】根據分式的混合運算法則進行計算，先算乘除，后算加減，如果有小括號先算小括號里面的．【解答】解：原式＝÷[]＝÷＝＝，故選：A．【點評】本題考查分式的混合運算，掌握運算順序和計算法則準確計算是解題關鍵．6．（3分）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數軸上表示出不等式組的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x≥﹣1，解不等式②，得x＜3，所以不等式組的解集是﹣1≤x＜3，在數軸上表示出來為：，故選：B．【點評】本題考查了解一元一次不等式組和在數軸上表示不等式組的解集，能根據不等式的解集求出不等式組的解集是解此題的關鍵．7．（3分）如圖，正五邊形ABCDE中，∠CAD的度數為（）A．72° B．45° C．36° D．35°【分析】首先可根據五邊形內角和公式求出每個內角的度數，然后求出∠CAB和∠DAE，即可求出∠CAD．【解答】解：根據正多邊形內角和公式可得，正五邊形ABCDE的內角和＝180°×（5﹣2）＝540°，則∠BAE＝∠B＝∠E＝＝108°，根據正五邊形的性質，△ABC≌△AED，∴∠CAB＝∠DAE＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°，故選：C．【點評】本題考查多邊形內角和公式，熟記正多邊形的性質是解題的關鍵．8．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的兩個實數根，則代數式m2+2m+n的值等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】根據一元二次方程根的定義得到m2+m＝2021，則m2+2m+n＝2021+m+n，再利用根與系數的關系得到m+n＝﹣1，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的實數根，∴m2+m﹣2021＝0，∴m2+m＝2021，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的兩個實數根，∴m+n＝﹣1，∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．故選：B．【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程的解．9．（3分）如圖，已知△ABC．（1）以點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，交AC于點M，交AB于點N．（2）分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內部相交于點P．（3）作射線AP交BC于點D．（4）分別以A，D為圓心，以大于AD的長為半徑畫弧，兩弧相交于G，H兩點．（5）作直線GH，交AC，AB分別于點E，F．依據以上作圖，若AF＝2，CE＝3，BD＝，則CD的長是（）A． B．1 C． D．4【分析】利用作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，所以∠EAD＝∠FAD，EA＝ED，FA＝FD，再證明四邊形AEDF為菱形得到AE＝AF＝2，然后利用平行線分線段成比例定理計算CD的長．【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，∴∠EAD＝∠FAD，EA＝ED，FA＝FD，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠FAD＝∠EDA，∴DE∥AF，同理可得AE∥DF，∴四邊形AEDF為平行四邊形，而EA＝ED，∴四邊形AEDF為菱形，∴AE＝AF＝2，∵DE∥AB，∴＝，即＝，∴CD＝．故選：C．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了角平分線的性質和垂直平分線的性質．10．（3分）按規律排列的一組數據：，，□，，，，…，其中□內應填的數是（）A． B． C． D．【分析】分子為連續的奇數，分母為序號的平方+1，根據規律即可得到答案．【解答】解：觀察這排數據發現：分子為連續的奇數，分母為序號的平方+1，∴第n個數據為：．當n＝3時，□的分子為5，分母＝32+1＝10，∴這個數為＝，故選：D．【點評】本題考查了數字的探索規律，分子和分母分別尋找規律是解題的關鍵．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。11．（3分）數字6100000用科學記數法表示是6.1×106．【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：用科學記數法表示6100000，應記作6.1×106，故答案是：6.1×106．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．12．（3分）如圖，四邊形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，請補充一個條件AD＝AB（答案不唯一），使△ABC≌△ADC．【分析】本題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的條件是AD＝AB，理由是：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS），故答案為：AD＝AB（答案不唯一）．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．13．（3分）已知一組數據0，1，x，3，6的平均數是y，則y關于x的函數解析式是y＝+2．【分析】根據平均數的公式直接列式即可得到函數解析式．【解答】解：根據題意得：y＝（0+1+x+3+6）÷5＝+2．故答案為：y＝+2．【點評】本題主要考查平均數的概念，熟練掌握平均數的公式是解題的關鍵．14．（3分）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，點O為BC的中點，以O為圓心，以OB為半徑作半圓，交AC于點D，則圖中陰影部分的面積是﹣．【分析】根據題意，作出合適的輔助線，即可求得DE的長、∠DOB的度數，然后根據圖形可知陰影部分的面積是△ABC的面積減去△COD的面積和扇形BOD的面積，從而可以解答本題．【解答】解，連接OD，過D作DE⊥BC于E，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴sinC＝＝＝，BC＝＝＝2，∴∠C＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝BC＝，∴DE＝，∴陰影部分的面積是：2×2﹣﹣＝﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查扇形面積的計算、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．15．（3分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點A，對稱軸為直線x＝1．下面結論：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于﹣1且小于0．其中正確的是①②④．（只填序號）【分析】根據題意和函數圖象，可以判斷各個小題中的結論是否成立，本題得以解決．【解答】解：由圖象可得，a＜0，b＞0，c＞0，則abc＜0，故①正確；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正確；∵函數圖象與x軸的正半軸交點在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1，∴函數圖象與x軸的另一個交點在點（0，0）和點（﹣1，0）之間，故④正確；∴當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，∴y＝a+2a+c＜0，∴3a+c＜0，故③錯誤；故答案為：①②④．【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征、拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答．三、解答題：本大題共7小題，共55分。16．（5分）計算：|﹣1|+cos45°﹣（）﹣1+．【分析】根據絕對值，特殊角的三角函數值，負整數指數冪，二次根式的化簡計算即可．【解答】解：原式＝﹣1+﹣+2＝﹣1+2＝3﹣1．【點評】本題考查了絕對值，特殊角的三角函數值，負整數指數冪，二次根式的化簡，考核學生的計算能力，注意（）﹣1＝．17．（7分）某校為了解九年級學生體質健康情況，隨機抽取了部分學生進行體能測試，并根據測試結果繪制了不完整的條形統計圖和扇形統計圖，請回答下列問題．（1）在這次調查中，“優秀”所在扇形的圓心角的度數是108°；（2）請補全條形統計圖；（3）若該校九年級共有學生1200人，則估計該校“良好”的人數是510人；（4）已知“不及格”的3名學生中有2名男生、1名女生，如果從中隨機抽取兩名同學進行體能加試，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求抽到兩名男生的概率是多少？【分析】（1）由360°乘以“優秀”的人數所占的比例即可；（2）求出這次調查的人數為：12÷30%＝40（人），得出及格的人數，補全條形統計圖即可；（3）由該校總人數乘以“良好”的人數所占的比例即可；（4）畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，抽到兩名男生的結果有2種，則由概率公式求解即可．【解答】解：（1）在這次調查中，“優秀”所在扇形的圓心角的度數是：360°×30%＝108°，故答案為：108°；（2）這次調查的人數為：12÷30%＝40（人），則及格的人數為：40﹣3﹣17﹣12＝8（人），補全條形統計圖如下：（3）估計該校“良好”的人數為：1200×＝510（人），故答案為：510人；（4）畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結果，抽到兩名男生的結果有2種，∴抽到兩名男生的概率為＝．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．也考查了條形統計圖和扇形統計圖．18．（7分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C（2，0），點B（0，4），反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點A．（1）求反比例函數的解析式；（2）將直線OA向上平移m個單位后經過反比例函數y＝（x＞0）圖象上的點（1，n），求m，n的值．【分析】（1）過A作AD⊥x軸于D，證明△BOC≌△CDA，可得OB＝CD，OC＝AD，根據C（2，0），B（0，4），得A（6，2），而反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點A，故2＝，解得k＝12，即可得反比例函數的解析式為y＝；（2）求出直線OA解析式為y＝x，可得將直線OA向上平移m個單位后所得直線解析式為y＝x+m，再由點（1，n）在反比例函數y＝（x＞0）圖象上，得n＝12，即直線OA向上平移m個單位后經過的點是（1，12），即可求出m＝．【解答】解：（1）過A作AD⊥x軸于D，如圖：∵∠ACB＝90°，∴∠OBC＝90°﹣∠BCO＝∠ACD，在△BOC和△CDA中，，∴△BOC≌△CDA（AAS），∴OB＝CD，OC＝AD，∵C（2，0），B（0，4），∴AD＝2，CD＝4，∴A（6，2），∵反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點A，∴2＝，解得k＝12，∴反比例函數的解析式為y＝；（2）由（1）得A（6，2），設直線OA解析式為y＝tx，則2＝6t，解得t＝，∴直線OA解析式為y＝x，將直線OA向上平移m個單位后所得直線解析式為y＝x+m，∵點（1，n）在反比例函數y＝（x＞0）圖象上，∴n＝＝12，∴直線OA向上平移m個單位后經過的點是（1，12），∴12＝+m，∴m＝．【點評】本題考查一次函數與反比例函數的綜合應用，涉及三角形全等的判定及性質，解題的關鍵是由△BOC≌△CDA得到OB＝CD，OC＝AD及待定系數法的運用．19．（8分）如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，點D是BC的中點，連接OD并延長交⊙O于點E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延長線于點P．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半徑．【分析】（1）由AB為直徑，可得∠ACB＝90°，又D為BC中點，O為AB中點，可得OD∥AC，從而∠ODB＝90°．由OB＝OE得∠OEB＝∠OBE，又∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，所以∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，又∠EBP＝∠EBC，得∠P＝∠OBD．又∠BOD+∠OBD＝90°，從而可得∠BOD+∠P＝90°，即∠OBP＝90°．則可證PB為⊙O切線；（2）由（1）可得OD＝1，從而PO＝7，可證明△BDP∽△OBP，從而得比例，解得BP＝，最后由勾股定理可求半徑OB．【解答】解：（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，又D為BC中點，O為AB中點，故OD＝，OD∥AC，∴∠ODB＝∠ACB＝90°．∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE，又∵∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，∴∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，又∠EBP＝∠EBC，∴∠P＝∠OBD．∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴∠BOD+∠P＝90°，∴∠OBP＝90°．又OB為半徑，故PB是⊙O的切線．（2）∵AC＝2，由（1）得OD＝＝1，又PD＝6，∴PO＝PD+OD＝6+1＝7．∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，∴△BDP∽△OBP．∴，即BP2＝OP?DP＝7×6＝42，∴BP＝．∴OB＝＝＝．故⊙O的半徑為．【點評】本題屬于主要考查了圓周角定理，三角形中位線性質定理，等腰三角形性質，圓切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識點．20．（8分）某商場購進甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場又購進一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提下，平均每天可賣出100箱．如調整價格，每降價1元，平均每天可多賣出20箱，那么當降價多少元時，該商場利潤最大？最大利潤是多少？【分析】（1）設甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x﹣5）元，根據題意列出方程，解方程即可，分式方程注意驗根；（2）設甲種商品降價a元，則每天可多賣出20a箱，利潤為w元，根據題意列出函數解析式，根據二次函數的性質求出函數的最值．【解答】解：（1）設甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x﹣5）元，根據題意得：+＝100，整理得：x2﹣18x+45＝0，解得：x＝15或x＝3（舍去），經檢驗，x＝15是原分式方程的解，符合實際，∴x﹣5＝15﹣5＝10（元），答：甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；（2）設甲種商品降價a元，則每天可多賣出20a箱，利潤為w元，由題意得：w＝（15﹣a）（100+20a）＝﹣20a2+200a+1500＝﹣20（a﹣5）2+2000，∵a＝﹣20，當a＝5時，函數有最大值，最大值是2000元，答：當降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元．【點評】本題考查二次函數的應用和分式方程的應用，關鍵是根據題意列出函數關系式．21．（9分）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉化為平面圖形問題．（1）閱讀材料立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角．例如，正方體ABCD﹣A′B′C′D′（圖1），因為在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′與AB相交于點A，所以直線AB與AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的兩條直線AB與CC′所成的角．解決問題如圖1，已知正方體ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的兩直線BA′與AC所成角的大小．（2）如圖2，M，N是正方體相鄰兩個面上的點；①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是丙；②在所選正確展開圖中，若點M到AB，BC的距離分別是2和5，點N到BD，BC的距離分別是4和3，P是AB上一動點，求PM+PN的最小值．【分析】（1）如圖1中，連接BC′．證明△A′BC′是等邊三角形，推出∠BA′C′＝60°，由題意可知∠C′A′B是兩條直線AC與BA′所成的角．（2）根據立方體平面展開圖的特征，解決問題即可．（3）如圖丙中，作點N關于AD的對稱點K，連接MK交AD于P，連接PN，此時PM+PN的值最小，最小值為線段MK的值，過點M作MJ⊥NK于J．利用勾股定理求出MK即可．【解答】解：（1）如圖1中，連接BC′．∵A′B＝BC′＝A′C′，∴△A′BC′是等邊三角形，∴∠BA′C′＝60°，∵AC∥A′C′，∴∠C′A′B是兩條直線AC與BA′所成的角，∴兩直線BA′與AC所成角為60°．（2）①觀察圖形可知，圖形丙是圖2的展開圖，故答案為：丙．②如圖丙中，作點N關于AD的對稱點K，連接MK交AD于P，連接PN，此時PM+PN的值最小，最小值為線段MK的值，過點M作MJ⊥NK于J．由題意在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，MJ＝5+3＝8，JK＝8﹣（4﹣2）＝6，∴MK＝＝＝10，∴PM+PN的最小值為10．【點評】本題考查軸對稱最短問題，平面展開圖，平行線的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是理解立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角，學會利用軸對稱的性質解決最短問題，屬于中考常考題型．22．（11分）如圖，直線y＝﹣x+分別交x軸、y軸于點A，B，過點A的拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一交點為C，與y軸交于點D（0，3），拋物線的對稱軸l交AD于點E，連接OE交AB于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）求證：OE⊥AB；（3）P為拋物線上的一動點，直線PO交AD于點M，是否存在這樣的點P，使以A，O，M為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據直線y＝﹣x+分別