北師大版高一數學必修第二冊第五章復習及測試題第五章復數1.概念：形如(a，b∈R)的數叫做復數，其中叫做虛數單位，全體復數所成的集合叫做復數集。復數通常用字母表示，即(a，b∈R)2.復數的分類

對于復數【a，b】，當且僅當b=0時，它是實數；當且僅當a=b=c=0時，它是實數0；當b≠0時，它叫做虛數，當a＝0且b≠0時，它叫做純虛數.

顯然，實數集R,是復數集C的真子集，即.

3.復數相等的充要條件

在復數集C=中任取兩個數，【a，b，c，d∈R】，

規定：與相等當且僅當a=c且b=d，即當且僅當兩個復數的實部與實部相等，虛部與虛部相等時，兩個復數才相等。4.對于復數的定義要注意以下幾點：①(a，b∈R)被稱為復數的代數形式，其中表示與虛數單位相乘②復數的實部和虛部都是實數，否則不是代數形式（2）分類：滿足條件(a，b為實數)復數的分類a＋bi為實數?b＝0a＋bi為虛數?b≠0a＋bi為純虛數?a＝0且b≠05.復數的模定義：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值.記法：復數z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).6.共軛復數定義：當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也叫共軛虛數.表示：z的共軛復數用eq\x\to(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi.知識點2復數的加、減運算及其幾何意義復數加法與減法的運算法則1.設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2.對任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1；(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).復數加減法的幾何意義如圖，設復數z1，z2對應向量分別為eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))與復數z1＋z2對應，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))與復數z1－z2對應.知識點3.復數的乘、除法則復數乘法的運算法則和運算律1.復數的乘法法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.復數乘法的運算律對任意復數z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝z2z1結合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3復數除法的法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意兩個復數，則eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).知識點4.復數的三角表示三角表示及相關概念一般地，任何一個復數z=a+bi,都可以表示為r=（cos+icos）的形式

其中，r是復數z的模；是以x軸的非負半軸為始，向量所在射線（射線OZ)為終邊的角，叫做復數z=a+bi的輻角．r(cos+isin)叫做復數z=a+bi的三角表示式，簡稱三角形式。為了與三角形式區分開來，a+bi叫做復數的代數表示式，簡稱代數形式。

（2)規定：在0≤<2π范圍內的輻角的值為輻角的主值．通常記作argz,即0≤argz<2π.復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義根據復數的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到，

=（cos+isin）·（cos+isin）

=（cos+isin）（cos+isin）

=[(coscos-sinsin)]

=[cos（+）+isin（+）

則

(cos+isin)·(cos+isin)

=[cos(+)+isin(+)]

這就是說，兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.

復數除法運算的三角表示

設=(cos+isin),=(cos,+isin),且≠.因為

(cos+isin)·[cos(-)+isin(-)]=(cos+isin)，

所以根據復數除法的定義，有，

[cos(-)+isin(-]

這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.

第五章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分)1.設復數z=-1+2i(i為虛數單位),則復數z的共軛復數z在復平面上對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因為復數z=-1+2i,共軛復數為-1-2i,則其對應的點為(-1,-2),該點在第三象限.故選C.答案C2.若z(1+i)=2i,則z=()A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i解析z=2i1+i=2i(1-i)答案D3.設z=1-i1+i+2i,則|z|=A.0 B.12 C.1 D.解析z=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i)(1-i)(答案C4.在復平面內,O為原點,向量OA對應的復數為-1+2i,若點A關于直線y=-x的對稱點為點B,則向量OB對應的復數為()A.-2+i B.-2-iC.1+2i D.-1+2i解析復數-1+2i對應的點為A(-1,2),點A關于直線y=-x的對稱點為B(-2,1),所以向量OB對應的復數為-2+i.故選A.答案A5.已知i是虛數單位,在復平面內,復數-2+i,1-3i對應的點分別為A,B,則A,B兩點之間的距離為()A.5 B.10 C.5 D.25解析在復平面內,復數-2+i對應的點為A(-2,1),復數1-3i對應的點為B(1,-3),所以AB=(3,-4),即|AB|=32+(-4)2答案C6.已知復數z1=cos23°+isin23°和復數z2=cos37°+isin37°,則z1·z2為()A.12+32iC.12-32i解析z1z2=cos(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos60°+isin60°=12+答案A7.設f(n)=1+i1-in+1-i1+in(n∈N),則f(n)可取的值有(A.1個 B.2個C.3個 D.無數個解析因為f(n)=1+i1-in+1-i1+in=in+(-i)n(f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2.故選C.答案C8.在如圖所示的復平面內,復數z1,z2,z3對應的向量分別是OA,OB,OC,則復數zA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由題圖知z1=3+2i,z2=-2+2i,z3=1-2i,則z32z1+3z2=1-2i10i=-15-1答案C二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分)9.給出下列命題,其中是真命題的是()A.純虛數z的共軛復數是-zB.若z1-z2=0,則z1=zC.若z1+z2∈R,則z1與z2互為共軛復數D.若z1-z2=0,則z1與z2互為共軛復數解析根據共軛復數的定義,顯然A是真命題;若z1-z2=0,則z1=z2,當z1,z2均為實數時,則有z1=z2,當z1,z2是虛數時,z1≠z2,所以B是假命若z1+z2∈R,則z1,z2可能均為實數,但不一定相等,或z1與z2的虛部互為相反數,但實部不一定相等,所以C是假命題;若z1-z2=0,則z1=z2,所以z1與z2互為共軛復數,故D是真命題.故選AD答案AD10.已知復數z=1+2i(i為虛數單位),則下列結論錯誤的是()A.|z|=3 B.z2≥0C.|z-z|=2 D.z·z=5解析|z|=12+22=5,故A不正確;z2=1+4i2+4i=-3+4i,不能和0比較大小,故B不正確;z=1-2i,|z-z|=4,故C不正確;z·z=(1+答案ABC11.實數x,y滿足(1+i)x+(1-i)y=2,設z=x+yi,則下列說法正確的是()A.z在復平面內對應的點在第一象限B.|z|=2C.z的虛部是iD.z的實部是1解析實數x,y滿足(1+i)x+(1-i)y=2,可化為x+y-2+(x-y)i=0,所以x+y-所以z=x+yi=1+i.z在復平面內對應的點的坐標為(1,1),位于第一象限,故A正確.|z|=1+1=2,故Bz的虛部是1,故C錯誤.z的實部是1,故D正確.故選ABD.答案ABD12.已知集合M={m|m=in,n∈N+},其中i為虛數單位,則下列元素屬于集合M的是()A.(1-i)(1+i) B.1C.1+i1-i D.(1解析根據題意,M={m|m=in,n∈N+}中,當n=4k(k∈N+)時,in=1;當n=4k+1(k∈N+)時,in=i;當n=4k+2(k∈N+)時,in=-1;當n=4k+3(k∈N+)時,in=-i,所以M={-1,1,i,-i}.(1-i)(1+i)=2?M,A不符合題意;1-i1+i=(1-i1+i1-i=(1+i)(1-i)2=-2i?M,D不符合題意.故選BC.答案BC三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.復數11+i的實部為.解析11+i=1-答案114.12+32i÷3(cos120°-isin300°)=解析12+32i÷3(cos120°-isin300=(cos60°+isin60°)÷3(cos120°+isin120°)=13[cos(60°-120°)+isin(60°-120°=13[cos(-60°)+isin(-60°=1312-32答案1615.已知復數z1=-2+i,z2=a+2i(i為虛數單位,a∈R).若z1·z2為實數,則a的值為;z1-z2=.

解析因為z1·z2=(-2+i)(a+2i)=(-2a-2)+(a-4)i為實數,所以a-4=0,解得a=4.則z1-z2=-2+i-(4+2i)=-2+i-4-2i=-6-i.答案4-6-i16.若|z-1|=|z+1|,則|z-1|的最小值為.

解析設z=a+bi(a,b∈R),則|(a-1)+bi|=|(a+1)+bi|.所以(a即a=0,所以z=bi(b∈R),所以|z-1|min=|bi-1|min=(-1故當b=0時,|z-1|的最小值為1.答案1四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知復數z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i(i為虛數單位),試求實數m分別取什么值時,z分別為:(1)實數;(2)虛數;(3)純虛數.解(1)由m2+2m所以當m=-2時,z是實數.(2)由m2+2m+1>0,m2+3m所以當m∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞)時,z是虛數.(3)由題意得m即m2+3m+2≠0,m2+2m18.(12分)計算:(1+解原式=32=2=62-19.(12分)已知i是虛數單位,O為坐標原點,向量OA對應的復數為3+2i,將向量OA向上平移3個單位長度,再向左平移2個單位長度,將得到的向量記為O'A'(1)向量O'A(2)點O'對應的復數;(3)向量A'O解(1)如圖所示,O為原點,點A的坐標為(3,2),向上平移3個單位長度,再向左平移2個單位長度后,點O'的坐標為(-2,3),點A'的坐標為(1,5),坐標平移不改變OA的方向和模.(1)向量O'A'對應的復數為(2)點O'對應的復數為-2+3i;(3)向量A'O'對應的復數為-320.(12分)已知關于x的方程x2-ax+ab=0,其中a,b為實數.(1)設x=1-3i(i是虛數單位)是方程的根,求a,b的值;(2)證明:當ba>14,且a>0解(1)因為x=1-3i是方程的根,所以1+3i也是方程的根,由根與系數的關系得1-3i+1+3i=a,得(1-3i)(1+3i)=ab,解得a=2,b=2;(2)證明:因為ba>14,所以因為a>0,所以4a(4b-a)>0,即4ab-a2>0,所以Δ=a2-4ab<0,所以原方程無實數根.21.(12分)已知z是復數,z-3i為實數,z-5i2-i為純虛數(1)求復數z;(2)求z1-解(1)設z=a+bi(a,b∈R),由z-3i=a+(b-3)i為實數,可得b=3,又由z-5i解得a=-1,即z=-1+3i;(2)z1-i=所以z1-i=|-2+i22.(12分)已知復數w滿足w-4=(3-2w)i(