2024屆福建省龍巖市武平縣第二中學高三下學期聯合考試數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復平面內，復數z=i對應的點為Z，將向量繞原點O按逆時針方向旋轉，所得向量對應的復數是（）A． B． C． D．2．一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個圓錐軸截面底角的大小是（）A． B． C． D．3．已知數列中，，若對于任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．4．已知集合，則集合真子集的個數為（）A．3 B．4 C．7 D．85．的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為A．-40 B．-20 C．20 D．406．如圖，圓是邊長為的等邊三角形的內切圓，其與邊相切于點，點為圓上任意一點，，則的最大值為（）A． B． C．2 D．7．已知為圓的一條直徑，點的坐標滿足不等式組則的取值范圍為（）A． B．C． D．8．在復平面內，復數對應的點的坐標為（）A． B． C． D．9．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB的中點，若，且，則面積的最大值是()A． B． C． D．10．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．11．有一改形塔幾何體由若千個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8，如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1，那么該塔形中正方體的個數至少是（）A．8 B．7 C．6 D．412．運行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為300，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．春節期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發，為了打贏疫情防控阻擊戰，我省某醫院選派2名醫生，6名護士到湖北、兩地參加疫情防控工作，每地一名醫生，3名護士，其中甲乙兩名護士不到同一地，共有__________種選派方法.14．已知多項式的各項系數之和為32，則展開式中含項的系數為______．15．數列的前項和為，則數列的前項和_____．16．已知向量，，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內角，，所對的邊分別是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）在中，角的對邊分別為，且滿足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面積為，，求和的值.19．（12分）已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．20．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的極坐標方程以及曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點，且，點的坐標為，求的面積.21．（12分）在中，內角的對邊分別為，且（1）求；（2）若，且面積的最大值為，求周長的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為(為參數)．在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程；(2)若點坐標為，圓與直線交于兩點，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由復數z求得點Z的坐標，得到向量的坐標，逆時針旋轉，得到向量的坐標，則對應的復數可求.【詳解】解：∵復數z=i（i為虛數單位）在復平面中對應點Z（0，1），

∴＝(0，1)，將繞原點O逆時針旋轉得到，

設＝(a，b)，，則，即，

又，解得：，∴，對應復數為.故選：A.【點睛】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.2、D【解析】

設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達圓錐表面積與球的表面積公式,進而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎題.3、B【解析】

先根據題意，對原式進行化簡可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立轉化為恒成立，再利用函數性質解不等式即可得出答案.【詳解】由題，即由累加法可得：即對于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點睛】本題主要考查了數列的通項的求法以及函數的性質的運用，屬于綜合性較強的題目，解題的關鍵是能夠由遞推數列求出通項公式和后面的轉化函數，屬于難題.4、C【解析】

解出集合，再由含有個元素的集合，其真子集的個數為個可得答案.【詳解】解：由，得所以集合的真子集個數為個.故選：C【點睛】此題考查利用集合子集個數判斷集合元素個數的應用，含有個元素的集合，其真子集的個數為個，屬于基礎題.5、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應的常數項=80，由5-2r=-1得r=3,對應的常數項=-40，故所求的常數項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數項==-40+80=406、C【解析】

建立坐標系，寫出相應的點坐標，得到的表達式，進而得到最大值.【詳解】以D點為原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標系，設內切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據三角形面積公式得到，可得到內切圓的半徑為可得到點的坐標為：故得到故得到，故最大值為：2.故答案為C.【點睛】這個題目考查了向量標化的應用，以及參數方程的應用，以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數、不等式、三角函數等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉化為解不等式或求函數值域，是解決這類問題的一般方法.7、D【解析】

首先將轉化為，只需求出的取值范圍即可，而表示可行域內的點與圓心距離，數形結合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設圓心為，則,過作直線的垂線，垂足為B，顯然，又易得，所以，，故.故選：D.【點睛】本題考查與線性規劃相關的取值范圍問題，涉及到向量的線性運算、數量積、點到直線的距離等知識，考查學生轉化與劃歸的思想，是一道中檔題.8、C【解析】

利用復數的運算法則、幾何意義即可得出．【詳解】解：復數i（2+i）＝2i﹣1對應的點的坐標為（﹣1，2），故選：C【點睛】本題考查了復數的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．9、A【解析】

根據正弦定理可得，求出，根據平方關系求出.由兩端平方，求的最大值，根據三角形面積公式，求出面積的最大值.【詳解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點，且，，即，即，，當且僅當時，等號成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數量積運算，屬于中檔題.10、A【解析】

首先找出與面所成角，根據所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據同角三角函數關系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設中點為，連接，，可知，，同時易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎題.11、A【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長為：，從下往上第三層正方體的棱長為：，從下往上第四層正方體的棱長為：，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8，則從下往上第二層正方體的棱長為：，從下往上第三層正方體的棱長為：，從下往上第四層正方體的棱長為：，從下往上第五層正方體的棱長為：，從下往上第六層正方體的棱長為：，從下往上第七層正方體的棱長為：，從下往上第八層正方體的棱長為：，∴改形塔的最上層正方體的邊長小于1，那么該塔形中正方體的個數至少是8.故選：A.【點睛】本小題主要考查正方體有關計算，屬于基礎題.12、B【解析】

由，則輸出為300，即可得出判斷框的答案【詳解】由，則輸出的值為300，，故判斷框中應填？故選：．【點睛】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解析】

先求出每地一名醫生，3名護士的選派方法的種數，再減去甲乙兩名護士到同一地的種數即可.【詳解】解：每地一名醫生，3名護士的選派方法的種數有，若甲乙兩名護士到同一地的種數有，則甲乙兩名護士不到同一地的種數有.故答案為：.【點睛】本題考查利用間接法求排列組合問題，正難則反，是基礎題.14、【解析】

令可得各項系數和為，得出,根據第一個因式展開式的常數項與第二個因式的展開式含一次項的積與第一個因式展開式含x的一次項與第二個因式常數項的積的和即為展開式中含項，可得解.【詳解】令，則得，解得，所以展開式中含項為：，故答案為：【點睛】本題主要考查了二項展開式的系數和，二項展開式特定項，賦值法，屬于中檔題.15、【解析】

解：兩式作差，得，經過檢驗得出數列的通項公式，進而求得的通項公式，裂項相消求和即可．【詳解】解：兩式作差，得化簡得，檢驗：當n=1時，，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列；，，令故填：．【點睛】本題考查求數列的通項公式，裂項相消求數列的前n項和，解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論，側重考查運算能力．16、【解析】

求出，然后由模的平方轉化為向量的平方，利用數量積的運算計算．【詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【點睛】本題考查求向量的模，掌握數量積的定義與運算律是解題基礎．本題關鍵是用數量積的定義把模的運算轉化為數量積的運算．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據正弦定理先求得邊c，然后由余弦定理可求得邊b；（Ⅱ）結合二倍角公式及和差公式，即可求得本題答案.【詳解】（Ⅰ）因為，由正弦定理可得，，又，所以，所以根據余弦定理得，，解得，；（Ⅱ）因為，所以，，，則．【點睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，屬基礎題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】

（Ⅰ）運用正弦定理和二角和的正弦公式，化簡，即可求出角的大小；（Ⅱ）通過面積公式和，可以求出，這樣用余弦定理可以求出，用余弦定理求出，根據同角的三角函數關系，可以求出，這樣可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理可知：,已知，所以，,所以有.（Ⅱ），由余弦定理可知：,,.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、面積公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函數關系，考查了運算能力.19、（1）；（2）【解析】

（1）,對函數求導,分別求出和,即可求出在點處的切線方程;（2）對求導,分、和三種情況討論的單調性,再結合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,所以,則,故曲線在點處的切線方程為.（2）因為,所以,①當時,在上恒成立,則在上單調遞增,從而成立,故符合題意;②當時,令,解得,即在上單調遞減,則,故不符合題意;③當時,在上恒成立,即在上單調遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導數研究函數的單調性,考查了不等式恒成立問題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.20、（1）的極坐標方程為，的直角坐標方程為（2）【解析】

（1）先把曲線的參數方程消參后，轉化為普通方程，再利用求得極坐標方程.將，化為，再利用求得曲線的普通方程.（2）設直線的極角，代入，得，將代入，得，由，得，即，從而求得，，從而求得，再利用求解.【詳解】（1）依題意，曲線，即，故，即.因為，故，即，即.（2）將代入，得，將代入，得，由，得，得，解得，則.又，故，故的面積.【點睛】本題考查極坐標方程與直角坐標方程、參數方程與普通方程的轉化、極坐標的幾何意義，還考查推理論證能力以及數形結合思想，屬于中檔題.21、（1）（2）【解析】

（1）利用二倍角公式及三角形內角和定理，將化簡為，求出的值，結合，求出A的值；（2）寫出三角形的面積公式，由其最大值為求出.由余弦定理，結合，，求出的范圍，注意.進而求出周長的范圍.【詳解】解：（1）整理得解得或(舍去)又；（2）由題意知，又，，又周長的取值范圍是【點睛】本題考查了二倍角余弦公式，三角形面積公式，余弦定理的應用，求三角形的周長的范圍問題.屬于中檔題.22、（1）（2）【解析】試題分析：（1