模塊整合六：導數及其應用第33課：導數的概念及運算【考點闡釋】《考試說明》要求：了解導數概念的實際背景，理解導數的幾何意義，能依據定義求幾個簡潔函數的導數，能利用導數公式表及導數的四則運算法則求簡潔函數的導數。本節的能級要求為導數的概念A級，其余為B級。【高考體驗】一、課前熱身（1）（2009江蘇卷）在平面直角坐標系中，點P在曲線上，且在其次象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為.（2）（2009寧夏海南卷文）曲線在點（0,1）處的切線方程為。（3）（2009全國卷Ⅰ理）已知直線y=x+1與曲線相切，則α的值為.（4）（2009江西卷理）設函數，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為. （5）（2009福建卷理）若曲線存在垂直于軸的切線，則實數取值范圍是_____________.（6）(2009陜西卷理)設曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為,令，則的值為.二、教材回來二1.函數的平均改變率一般地，函數在區間上的平均改變率為2.函數在處的導數（1）定義設函數在區間上有定義，，若無限趨于0時，比值無限趨于一個常數A，則稱在處可導，并稱該常數A為函數在點處的導數，記作（2）幾何意義函數在點處的導數的幾何意義是過曲線上的點的切線的斜率。3.基本初等函數的導數公式（C為常數）；（a為常數）；；；基；；；.4.導數的四則運算法則（1）=（2）=（3）=，。1；三、同步導學例1：已知質點M按規律做直線運動（位移單位：cm，時間單位：s）。當t=2，時，求；當t=2，時，求；求質點M在t=2時的瞬時速度。例2：求下列各函數的導數：（1）（2）（3）（4）例3：已知曲線y=（1）求曲線在x=2處的切線方程；（2）求曲線過點（2，4）的切線方程.四、高考定位1.了解導數概念的實際背景，理解導數的幾何意義，主要以填空題形式來考查；2.能依據導數定義求最基本函數的導數，能利用導數公式和導數的四則運算法則求簡潔函數的導數；3.會求切線的方程，區分在點處與過點的切線方程；4.導數運算每年必考，常與導數的應用交匯，考查導數的運算實力。【課堂互動】1.（2008江蘇卷）直線是曲線的一條切線，則實數b＝．2.（2009安徽卷理）已知函數在R上滿意，則曲線在點處的切線方程是 3.設f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),則f′(0)=_________4.（2009安徽卷文）設函數，其中，則導數的取值范圍是__________5.（2009江西卷）若存在過點的直線與曲線和都相切，則等于__________ 6.（2008海南、寧夏卷）設函數(a,b∈Z)，曲線在點處的切線方程為y=3.（1）求的解析式；（2）證明：曲線上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.【好題精練】1.一個物體的運動方程為其中y的單位：m，t的單位：s，那么物體在3s末的瞬時速度是_______.2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，則等于_______.3.設P為曲線C：y=x2+2x+3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍是，則點P橫坐標的取值范圍為_______. 4.若點P在曲線y=x3-3x2+(3-)x+上移動，經過點P的切線的傾斜角為，則角的取值范圍是_______. 5.（2008南通調研）給出下列的命題：=1\*GB3①若函數；=2\*GB3②若函數圖像上P(1,3)及鄰近點Q(1+則；=3\*GB3③加速度是動點位移函數對時間t的導數；=4\*GB3④，其中正確的命題是_______.6.（2009南通調研）曲線C：在x=0處的切線方程為_______.7.（2009徐州調研）.已知函數f(x)=sinx+cosx，則=.8.已知，，則.9.已知函數的導函數為，且滿意，則.10.設,則．11.求下列函數在x=x0處的導數.（1）f（x）=（2）12.設函數，曲線在點處的切線方程為．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．13.已知曲線Cy=x3－3x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x0,y0)(x0≠0)，求直線l的方程及切點坐標14.球半徑以2的速度膨脹（1）半徑為5cm時，表面積的改變率是多少？（2）半徑為8cm時，體積的改變率是多少？第34課：導數在探討函數中的應用【考點闡釋】《考試說明》要求：了解函數的單調性和導數的關系，能利用導數探討函數的單調性，會求函數的單調區間；了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，會利用導數求函數的極大值和微小值（對多形式一般不超過三次）。本節的能級要求為B級。【高考體驗】一、課前熱身（1）（2009江蘇卷）函數的單調減區間為.（2）（2009蘇北四市調研）函數上的最大值為.（3）（2009鹽城調研）已知函數(是自然對數的底數),若實數是方程的解,且,則▲(填“＞”，“≥”，“＜”，“≤”).（4）（2009蘇、錫、常、鎮調研）若函數在定義域內是增函數，則實數的取值范圍是．（5）（2009通州調研）f（x）是定義在（0，＋∞）上的非負可導函數，且滿意，對隨意正數a、b，若a＜b，則的大小關系為．（6）（2008江蘇卷）f(x)=ax3-3x+1對于x∈［-1,1］總有f(x)≥0成立，則a=.二、教材回來1.函數的單調性與導數（1）設函數在某區間內可導，假如，那么函數在這個區間上為增函數；假如，那么函數在這個區間上為減函數；（2）函數為增函數的條件；2.函數的極值解方程，當時，（1）假如在旁邊的左側，右側，那么是極大值；（2）假如在旁邊的左側，右側，那么是微小值；3.求函數在上的最值（1）求函數在內的極值；（2）將函數得各極值與的函數值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個為最小值。三、同步導學例1：（2009通州調研）已知函數.（1）求函數的圖像在處的切線方程；（2）求的最大值；(3)設實數，求函數在上的最小值.例2：（2009南通調研）設a為實數，已知函數.（1）當a=1時，求函數的極值．（2）若方程=0有三個不等實數根，求a的取值范圍．例3：（2009南通調研）已知函數在[1，＋∞）上為增函數，且θ∈（0，π），，m∈R．（1）求θ的值；（2）若在[1，＋∞）上為單調函數，求m的取值范圍；（3）設，若在[1，e]上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．四、高考定位1.以解答題的形式考查應用導數探討函數的單調性和極值（最值）；2.利用函數的單調性求參數的范圍；3.利用數形結合思想，及函數的單調性推斷方程的根。【課堂互動】1.(2009南京師大附中期中)函數在（0，）內的單調增區間為.2.(2009蘇州中學期中)若函數在上是增函數，則實數的取值范圍是3.（2009通州調研）函數的圖像經過四個象限的充要條件是4.（2009鎮江調研）方程在[0，1]上有實數根，則m的最大值是5.（2009揚州調研）若函數滿意：對于隨意的都有恒成立，則的取值范圍是6.（2009蘇北四市調研）已知函數（1）試求所滿意的關系式；（2）若，方程有唯一解，求的取值范圍；（3）若，集合，試求集合。【好題精練】1．（2007年廣東文）函數的單調遞增區間是____________．2.（2009福建卷理）若曲線存在垂直于軸的切線，則實數取值范圍是_____________.3.若上是減函數，則的取值范圍是4.若函數有三個單調區間，則的取值范圍是5.（2007年江蘇9）已知二次函數的導數為，，對于隨意實數都有，則的最小值為________ 6．（2007年江蘇13）已知函數在區間上的最大值與最小值分別為，則7.函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則a=，b=8．已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10，則f(2)=___________9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1沒有極值，則a的取值范圍為10.,分別是定義在上的奇函數和偶函數，當時,，且，則不等式的解集是____11.（2009全國Ⅱ卷）設函數，其中常數a>1(1)探討f(x)的單調性;(2)若當x≥0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。12.（2009遼寧卷）設，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行。求a的值，并探討f（x）的單調性；證明：當13．設函數，.⑴當時，求函數圖象上的點到直線距離的最小值；⑵是否存在正實數，使對一切正實數都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.14.(2009南京調研)已知函數（1）若函數在處的切線方程為，求的值；（2）若函數在為增函數，求的取值范圍；（3）探討方程解的個數，并說明理由。第35課：簡潔復合函數的導數【考點闡釋】《考試說明》要求：會求簡潔復合函數的導數，高考一般不單獨考查，為附加題部分學問。本節的能級要求為B級。【高考體驗】一、課前熱身（1）函數的導數是.（2）函數的導數是（3）函數的導數是（4）如y=f(x)是可導函數，且則當x=1時函數的導數值為（5）設函數的最大值為3，則f(x)的圖象的一條對稱軸的方程是.（6）已知則.二、教材回來若，，則，即三、同步導學例1:求函數的導數例2：有一個長度為5m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設其下端沿地板以3m/s的速度離開墻腳滑動，求當其下端離開墻腳14m時，梯子上端下滑的速度例3：（2009南通調研）已知函數記函數k為常數）.（1）若函數f(x)在區間上為減函數，求的取值范圍；（2）求函數f(x)的值域.四、高考定位1.對于函數求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特殊留意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必需留意變換的等價性，避開不必要的運算失誤2.復合函數求導法則，像鏈條一樣，必需一環一環套下去，而不能丟掉其中的一環必需正確分析復合函數是由哪些基本函數經過怎樣的依次復合而成的，分清其間的復合關系【課堂互動】1.y=esinxcos(sinx)，則y′(0)等于.2.函數的導數是3.如函數的導數為0，則x的值是4.若，且，則5.假如函數是可導函數，則y對x的導數是6.（2009南通調研）已知等式，其中ai（i=0，1，2，…，10）為實常數．求：（1）的值；（2）的值．【好題精練】1．函數的導數是2.函數的導數是3.函數的導數是4.函數在x=1處的導數值是5.函數fn(x)=n2x2(1－x)n(n為正整數)，則fn(x)在［0,1］上的最大值為6．曲線在點P（處的切線方程為7.函數的值域為8．如函數在x=處有最值，則9.在半徑為R的圓內，作內接等腰三角形，當底邊上高為_______時它的面積最大10.函數在上的最大值為______，最小值為______。11.求函數的導數(1)y=(x2－2x+3)e2x;(2);(3)y=12.在甲、乙兩個工廠，甲廠位于始終線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站13．（2009寧夏海南卷理）已知函數如，求的單調區間；若在單調增加，在單調削減，證明＜6.14.利用導數求和(1)Sn=1+2x+3x2+…+n(x≠0,n∈N*)(2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*)第36課：導數的綜合運用【考點闡釋】《考試說明》要求：會用導數解決某些實際問題，利用求導法解決一些實際應用問題是函數內容的接著與延長，這種解決問題的方法使困難問題變得簡潔化，因而已漸漸成為新高考的又一熱點本節的能級要求為B級。【高考體驗】一、課前熱身（1）(2009南通調研)水波的半徑以50的速度向外擴張，當半徑250cm時，圓面積的膨脹率是（2）已知函數，若直線對隨意的都不是曲線的切線，則的取值范圍為（3）（2009通州調研）設函數，若時，恒成立，則實數的取值范圍是_.（4）(2009鹽城調研)已知關于x的方程有三個不同的實數解，則實數k的取值范圍是（5）(2009南京調研)在平面直角坐標系xOy中，設A是曲線：與曲線：的一個公共點，若在A處的切線與在A處的切線相互垂直，則實數a的值是（6）（2009南通調研）設函數，記，若函數至少存在一個零點，則實數m的取值范圍是二、教材回來導數在實際生活中的應用主要是解決有關最大（小）值問題，一般應，則問題轉化為導數問題，解題中應當留意。三、同步導學例1：(2009淮安調研)已知函數，.（1）求的單調區間和極值；（2）設≥１，函數，若對于隨意，總存在，使得成立，求的取值范圍；（3）對隨意，求證：.例2：(2009南京調研)設，函數.當時,求曲線在處的切線方程;當時,求函數的最小值.例3：（2008年江蘇卷）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A,B及CD的中點P處，已知AB=20km,CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且A,B與等距離的一點O處建立一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO,BO,OP，設排污管道的總長為km．（Ⅰ）按下列要求寫出函數關系式：①設∠BAO=(rad)，將表示成的函數關系式；②設OP(km)，將表示成x的函數關系式．（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短思索題：四、高考定位1.以解答題的形式考查導數與三角函數，解析幾何，不等式等學問相結合的問題。會構造函數來求導。2.解決實際應用問題關鍵在于建立數學模型和目標函數把“問題情景”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化，形式化，抽象成數學問題，再劃歸為常規問題，選擇合適的數學方法求解【課堂互動】1．(2009淮安調研)已知，記,,…,,則____2.已知函數f(x)的定義域為，部分對應值如下表x－20－2－2xyOf(x)1－11為的導函數，函數的圖象如圖所示，若兩正數a，b滿意f(2a+b)<1，則的取值范圍是3.（2009蘇北四市調研）設曲線在點處的切線為，曲線在點處的切線為，若存在，使得，則實數的取值范圍是．4.對正整數n，設曲線在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為則數列的前n項和的公式是5．質點P在半徑為10cm的圓上逆時針作勻速圓周遠動，角速度為2，設A（10，0）為起始點，則時刻t時，點P在y軸上的射影點M的速度是6．（2009湖南卷理）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只須要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經預料，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元。假設橋墩等距離分布，全部橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為萬元。（Ⅰ）試寫出關于的函數關系式；（Ⅱ）當=640米時，需新建多少個橋墩才能使最小？【好題精練】1．已知函數y=a(x3-3x)的遞增區間為（-1，1），則a的取值范圍是2.（2007年江西理）設在內單調遞增，，則是的條件3.函數在處取得極值，則=4.已知函數是區間上單調遞減函數，則實數m的取值范圍是5.（2009南京調研）已知函數，，是其圖象上不同的兩點.若直線的斜率總滿意，則實數的值是6．曲線y=x(x+1)(2－x)有兩條平行于直線y=x的切線，則兩切線之間的距離是7.（2009鹽城三模）已知定義在R上的函數滿意，當時，.若對隨意的，不等式組均成立，則實數k的取值范圍是.8．酒杯的現狀為倒立的圓錐，杯深8cm，上口寬6cm，水以20的流量倒入杯中，當水深為4cm時，則水上升的瞬時速度是9.（08年天津卷）已知是函數的一個極值點，若直線與函數的圖象有3個交點，則的取值范圍10.設函數當時，恒有，則確定a的取值范圍是11.（2009通州調研）如圖所示，一條直角走廊寬為2米。現有一轉動敏捷的平板車，其平板面為矩形ABEF，它的寬為1米。直線EF分別交直線AC、BC于M、N，過墻角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；⑴若平板車卡在直角走廊內，且∠，試求平板面的長(用表示)；ABAB2m2mMNEDFPQCCl12.（2009北京理）設函數（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數的單調區間；（3）若函數在區間內單調遞增，求的取值范圍.13．（2009通州調研）函數．（1）試求f(x)的單調區間；（2）當a>0時，求證：函數f(x)的圖像存在唯一零點的充要條件是a=1；（3）求證：不等式對于恒成立．14.（2009揚州調研）已知函數（I）求曲線處的切線方程；（Ⅱ）求證函數在區間[0，1]上存在唯一的極值點，并用二分法求函數取得極值時相應x的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數據e≈2.7，≈1.6，e0.3≈1.3）（III）當試求實數的取值范圍。第37課：定積分【考點闡釋】《考試說明》要求：了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念，會用微積分基本定理求定積分。高考時為附加題部分內容。本節的能級要求為A級【高考體驗】一、課前熱身（1）.（2）.（3）若<3，則t的取值范圍.（4）若，則a，b，c的大小關系是（5）由曲線，，，所圍成的面積為（6）圖中,陰影部分的面積是.二、教材回來1.求曲邊梯形面積的步驟=1\*GB3①=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④。2.定積分的定義一般地，設函數在區間上有定義，將區間等分成n個小區間，每個小區間長度為，在每個小區間上取一點，依次為作和假如無限趨近于0時，無限趨近于常數S，那么稱S為函數在區間上的記為S=其中，f(x)稱為，，a稱為，b稱為。3.定積分的幾何意義在區間上的代數和（即x軸上方的面積減去x下方的面積）。4.微積分基本定理對于被積函數f（x），假如，則=三、同步導學例2：計算下列定積分：（1）；（2）；（3）例3：(蘇州市2009屆高三三校聯考)已知二次函數為常數）；.若直線1、2與函數f（x）的圖象以及1，y軸與函數f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.（1）求、b、c的值（2）求陰影面積S關于t的函數S（t）的解析式；例4：(2009鹽城調研)如圖所示，已知曲線，曲線與關于點對稱，且曲線與交于點O、A，直線與曲線、、軸分別交于點、、，連結.y（Ⅰ）求曲邊三角形（陰影部分）的面積;y（Ⅱ）求曲邊三角形（陰影部分）的面積.四、高考定位1.“分割、近似求和、取極限”的數學思想，弄清定積分的幾何意義，會求曲線圍成的面積；2.定積分在物理中的應用。3.微積分基本定理公式【課堂互動】1.已知自由落體的運動速度v=gt（g為常數），則當t時，物體下落的距離是2.曲線與兩坐標軸所圍成圖形的面積為3.=4.(2009蘇州中學期中)由所圍成的封閉圖形的面積為5.下列積分的值等于1的是=1\*GB3①;=2\*GB3②;=3\*GB3③;=4\*GB3④6.（2008鹽城一模）過點A（6，4）作曲線的切線l（1）求切線l的方程；（2）求切線l與x軸以及曲線所圍成的封閉圖形的面積S【好題精練】1.=2.一物體在力F(x)(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x=0處運動到x=4（單位：m）處，則力F（x）做的功為3.拋物線及其在點A（1，0）和點B(3,0)處的切線所圍成的圖像面積是4.已知是一次函數，其圖象過點（3，4），且，則的解析式為5.，則三者大小關系式6.由及x軸圍成的介于0與之間的平面圖形的面積，利用定積分應表達為7.假如1N力能拉長彈簧，為將彈簧拉長6cm，所耗費的功是8.由曲線所圍成圖形的面積是____________9.計算=10.在曲線上的某點A處做一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.切點A的坐標為，切線方程為.11.已知,求值,使.12.設直線與拋物線所圍成的圖形面積為S,它們與直線圍成的面積為T,若U=S+T達到最小值,求值;并求此時平面圖形繞軸一周所得旋轉體的體積.13.（2009南京師范附中調研）設是二次函數，方程有兩個相等的實根，且。（1）求的表達式；（2）求的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積；（3）若直線（把）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求的值。14.（2009南通調研）先閱讀：如圖，設梯形ABCD的上、下底邊的長分別是a，b（a＜b），高為h，求梯形的面積．DDACB方法一：延長DA、CB交于點O，過點O作CD的垂線分別交AB、CD于E，F，則．設即．．方法二：作AB的平行線MN分別交AD、BC于M、N，過點A作BC的平行線AQ分別交MN、DC于P、Q，則．設梯形AMNB的高為，．再解下面的問題：已知四棱臺ABCD－A′B′C′D′的上、下底面的面積分別是，棱臺的高為h，類比以上兩種方法，分別求出棱臺的體積（棱錐的體積=底面積高）．模塊整合六：導數及其應用第33課：導數的概念及運算一、課前熱身（1）（-2，15），（2），（3）2，（4），（5），（6）-2二、教材回來（1）；（2）；；點；；（3）0；；cosx;-sinx;；；；；（4）；；三、同步導學例2（1）8.02（2）8.002；（3）8例3：(1)∵∴y′（2）y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.（3）∵y=∴（4），∴例4：（1）∵y′=x2,∴在點P（2，4）處的切線的斜率k=|x=2=4.∴曲線在點P（2，4）處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）設曲線y=與過點P（2，4）的切線相切于點，則切線的斜率k=|=.∴切線方程為即∵點P（2，4）在切線上，∴4=即∴∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.【課堂互動】1.ln2－1，2.，3.解析設g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),則f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！答案n!，4.，5.或，6（1），于是解得或因為a,bZ，故（2）在曲線上任取一點．由知，過此點的切線方程為．令x=1，得，切線與直線x=1交點為．令y=x，得，切線與直線y=x的交點為．直線x=1與直線y=x的交點為(1,1)．從而所圍三角形的面積為．所以，所圍三角形的面積為定值2.【好題精練】1.5，2.cos2x+cosx，3.,4.,5.=1\*GB3①=2\*GB3②，6.y=2x+3，7.0，8.，9.6，10.cosx.11.（1）∵∴=0.（2）∵∴12.（Ⅰ）方程可化為．當時，，又，于是解得故．（Ⅱ）設為曲線上任一點，由知曲線在點處的切線方程為，即．令得，從而得切線與直線的交點坐標為．令得，從而得切線與直線的交點坐標為．所以點處的切線與直線，所圍成的三角形面積為．故曲線上任一點處的切線與直線，所圍成的三角形的面積為定值，此定值為．13.由l過原點，知k=(x0≠0),點(x0,y0)在曲線C上，y0=x03－3x02+2x0,∴=x02－3x0+2y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+22x02－3x0=0,∴x0=0或x0=由x≠0,知x0=∴y0=()3－3()2+2·=－∴k==－∴l方程y=－x切點(，－)14.（1）；（2）第34課：導數在探討函數中的應用一、課前熱身（1）（2），（3）＜，（4），（5），（6）4二、教材回來1.（1）；（2）必要不充分條件2.（1）；（2）3.(1);(2)端點處；。三、同步導學例1（Ⅰ）定義域為又函數的在處的切線方程為：，即（Ⅱ）令得當時，，在上為增函數當時，，在上為減函數（Ⅲ），由（2）知：在上單調遞增，在上單調遞減．在上的最小值當時，當時，例2(1)依題有，故.由x02+0－0+↗極大值↘微小值↗得在時取得極大值，在時取得微小值.(2)因為，所以方程的兩根為a－1和a+1，明顯，函數在x=a－1取得極大值，在x=a+1是取得微小值.因為方程=0有三個不等實根，所以即解得且.故a的取值范圍是.例3（1）由題意，≥0在上恒成立，即．∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，只須，即，只有．結合θ∈（0，π），得．（2）由（1），得．．∵在其定義域內為單調函數，∴或者在[1，＋∞）恒成立．等價于，即，而，（）max=1，∴．等價于，即在[1，＋∞）恒成立，而∈（0，1]，．綜上，m的取值范圍是．（3）構造，．當時，，，，所以在[1，e]上不存在一個，使得成立．當時，．因為，所以，，所以在恒成立．故在上單調遞增，，只要，解得．故的取值范圍是．【課堂互動】1.，2.，3.，4.0，5.．6.1）由，得∴b、c所滿意的關系式為．（2）由，，可得．方程，即，可化為，令，則由題意可得，在上有唯一解，令，由，可得，當時，由，可知是增函數；當時，由，可知是減函數．故當時，取極大值．由函數的圖象可知，當或時，方程有且僅有一個正實數解．故所求的取值范圍是或．（3）由，，可得．由且且且．當時，；當時，；當時（），；當時，且；當時，∪．注：可干脆通過探討函數與的圖象來解決問題．【好題精練】1.，2.，3.，4.，5.，6.32,7.a=4,b=-11,8.11或18,9.［-1，2］,10.(－∞，－3)∪(0，3),11.（1）由知，當時，，故在區間是增函數；當時，，故在區間是減函數；當時，，故在區間是增函數。綜上，當時，在區間和是增函數，在區間是減函數。（2）由（=1\*ROMANI）知，當時，在或處取得最小值。由假設知即解得1<a<6故的取值范圍是（1，6）12.（Ⅰ）.有條件知，，故.于是.故當時，＜0；當時，＞0.從而在，單調削減，在單調增加.（Ⅱ）由（Ⅰ）知在單調增加，故在的最大值為，最小值為.從而對隨意，，有.而當時，.從而13.⑴由得，令得∴所求距離的最小值即為到直線的距離⑵假設存在正數，令則由得：∵當時，，∴為減函數；當時，，∴為增函數.∴∴∴∴的取值范圍為14.（1）因為：，又在處的切線方程為所以解得：（2）若函數在上恒成立。則在上恒成立，即：在上恒成立。所以有（3）當時，在定義域上恒大于，此時方程無解；當時，在上恒成立，所以在定義域上為增函數。，，所以方程有惟一解。當時，因為當時，，在內為減函數；當時，在內為增函數。所以當事人時，有微小值即為最小值。當時，，此方程無解；當時，此方程有惟一解。當時，因為且，所以方程在區間上有惟一解，因為當時，，所以所以因為，所以所以方程在區間上有惟一解。所以方程在區間上有惟兩解。綜上所述：當時，方程無解；當時，方程有惟一解；當時方程有兩解。第35課：簡潔復合函數的導數一、課前熱身（1）6cos3x（2），（3），（4）—2，（5），（6）10二、教材回來；三、同步導學例1(2)解y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－byv=x,y=sinγγ=ωxy′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′=3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′)=3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)(3)解法一設y=f(μ),μ=,v=x2+1,則y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v－·2x=f′()··2x=解法二y′=［f()］′=f′()·()′=f′()·(x2+1)·(x2+1)′=f′()·(x2+1)·2x=f′()例2設經時間t秒梯子上端下滑s米,則s=5－,當下端移開14m時，t0=,又s′=－(25－9t2)·(－9·2t)=9t,所以s′(t0)=9×=0875(m/s)例3（1）因為f(x)在區間上為減函數，所以對隨意的且恒有成立.即恒成立.因為，所以對且時，恒成立.又<1，所以（2）.下面分兩種狀況探討：（1）當時，是關于x的增函數，值域為（2）當時，又分三種狀況：①當時，因為，所以即.所以f(x)是減函數，.又，當，所以f(x)值域為.②當k=1時，，且f(x)是減函數，故f(x)值域是③當時，是增函數，，.下面再分兩種狀況：（a）當時，的唯一實根，故，是關于x的增函數，值域為；（b）當時，的唯一實根，當時，，當時，；.故f(x)的值域為.綜上所述，f(x)的值域為；（）；（）；（）.【課堂互動】1解析y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=12.，3.，4.1，5.—，6.（1）在中，令，得．令，得．所以．（2）等式兩邊對x求導，得．在中，令x=0，整理，得．【好題精練】1.，2.，3.，4.-1，5.解析∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=時取得最大值，最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+16.,7.,8.2,9.解析設圓內接等腰三角形的底邊長為2x,高為h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2R－h),于是內接三角形的面積為S=x·h=從而令S′=0,解得h=R,由于不考慮不存在的狀況，所在區間(0,2R)上列表如下h(0,R)R(,2R)S′+0－S增函數最大值減函數由此表可知，當x=R時，等腰三角形面積最大答案R10.,11.(1)(2)（3）12.解法一依據題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設C點距D點xkm,則∵BD=40,AC=50－x,∴BC=又設總的水管費用為y元，依題意有y=30(5a－x)+5a(0＜xy′=－3a+,令y′=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一個極值點，依據實際問題的意義，函數在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50－x=20(km)∴供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最省解法二設∠BCD=Q,則BC=,CD=40cotθ,(0＜θ＜),∴AC=50－40cotθ設總的水管費用為f(θ),依題意，有f(θ)=3a(50－40·cotθ)+5a=150a+40a∴f′(θ)=40a·令f′(θ)=0,得cosθ=依據問題的實際意義，當cosθ=時，函數取得最小值，此時sinθ=,∴cotθ=,∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最省13.（Ⅰ）當時，，故當當從而單調削減.(Ⅱ)由條件得：從而因為所以將右邊綻開，與左邊比較系數得，故又由此可得于是14.(1)當x=1時Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);當x≠1時，∵x+x2+x3+…+xn=,兩邊都是關于x的函數，求導得(x+x2+x3+…+xn)′=()′即Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=(2)∵(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn,兩邊都是關于x的可導函數，求導得n(1+=C+2Cx+3Cx2+…+nC,令x=1得，n·=C+2C+3C+…+nC,即Sn=C+2C+…+nC=n·第36課：導數的綜合運用一、課前熱身（1），（2），（3）(－∞，1)，（4）或，（5）設,所以在處的切線斜率為，在處的切線的斜率為，又在處的切線與在處的切線相互垂直，所以，即，又，所以，代入得，將，代入得，故答案填寫4.（6）二、教材回來建立好目標函數；實際意義三、同步導學例1(1)∵∴當＞１時，＜０，當０＜＜１時，＞０．∴的單調遞增區間為，單調遞減區間為，極大值為．(２)∵（≥１）∴當時，，單調遞減，此時值域為．由(1)得，當時，值域為，由題意可得：≤－１，所以１≤≤.（3）令，則，∵，∴，原不等式等價于由（1）知在上單調遞減，∴，即令，∵，當時，，∴在上單調遞增，∴，即綜上所述，對隨意，恒有成立.例2（1）當時，令得所以切點為（1，2），切線的斜率為1，所以曲線在處的切線方程為：。（2）①當時，，，恒成立。在上增函數。故當時，②當時，，（）（i）當即時，在時為正數，所以在區間上為增函數。故當時，，且此時(ii)當，即時，在時為負數，在間時為正數。所以在區間上為減函數，在上為增函數故當時，，且此時(iii)當；即時，在時為負數，所以在區間[1,e]上為減函數，故當時，。綜上所述，當時，在時和時的最小值都是。所以此時的最小值為；當時，在時的最小值為，而，所以此時的最小值為。當時，在時最小值為，在時的最小值為，而，所以此時的最小值為所以函數的最小值為例3（Ⅰ）①由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，則,故，又OP＝10－10ta，所以，所求函數關系式為②若OP=(km)，則OQ＝10－，所以OA=OB=所求函數關系式為（Ⅱ）選擇函數模型①，令0得sin，因為，所以=，當時，，是的減函數；當時，，是的增函數，所以當=時，。這時點P位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊km處。【課堂互動】1.，2.，3.，4.，5.20cos2t(cm/s)，6.（Ⅰ）設須要新建個橋墩，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，得，所以=64當0<<64時<0，在區間（0，64）內為減函數；當時，>0.在區間（64，640）內為增函數，所以在=64處取得最小值，此時，故需新建9個橋墩才能使最小。【好題精練】1.a<0，2.充要條件，3.2，4.，5.，6.。提示：y=-x+x+2x,∴y′=-3x+2x+2.所求直線與直線y=x平行.∴k=1.令y′=1,即3x－2x－1=0,(3x+1)(x－1)=0,x=－或1,x=－時,y=(－)+－=－,x=1時,y=-1+1+2×1=2.故切點為A,B(1,2)。切線方程為:l:y+=x+,即x－y－=0,l:y－1=x－2,即x-y+1=0,兩切線間的距離為:d==.7.（-3，2）；8.,9.,10.,11.（1）EF=DM+DN-MF-EN=（）