湖北省黃石市黃石港區教研協作體2023-2024學年九年級上學期

質檢數學試卷（10月份）（解析版）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.（3分）下列y關于x的函數中，是二次函數的是（）

A.y=5x^B.y=22-2x

C.y=2x2-3/+1D.

2.(3分)如圖是杭州2022年亞運會會徽.在選項的四個圖中，能由如圖經過平移得到的

是()

19thAsianGames

Hangzhou2022

esfnsJndeArtjer19thAsianGdnws

ASSOSuorlseneHRHangzhou2022

Z20Znoqz6ueH)

saweoueisv卬61W

U%p*

C..D.

3.(3分)電影《長津湖》一上映，第一天票房2.05億元,若每天票房的平均增長率相同,

平均增長率記作無，方程可以列為()

A.2.05(l+2x)=10.53

B.2.05(1+x)2=10.53

C.2.05+2.05(1+x)2=10.53

D.2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53

4.（3分）如圖，在△ABC中，ZBAC=108°,且則NC的度數為（)

5.（3分）一元二次方程/+x-3=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.只有一個實數根D.沒有實數根

6.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，將點P（2,3）,則P，的坐標為（）

A.（3,2）B.（3,-1）C.（2,-3）D.（3,-2）

7.（3分）為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），

對應的兩條拋物線關于y軸對稱，AB=4cm,最低點C在x軸上，BD=2cm,則右輪廓

C.y=-A（x+3）2D.y=-A（x-3）2

4-4

8.（3分）如圖，在RtZXABC中，N84C=90°,。為BC邊上一點，將△AB。繞點A逆時

針旋轉90°得到連接BE,將AC平移得到。尸（點4、C的對應點分別為點D、

F）,若AB=3近,80=2則AF的長為（）

E

A.2^B.6C.672D.A/22

9.（3分）我國古代數學家研究過一元二次方程的正數解的幾何解法.以方程，+5x-14=0,

即x（x+5）=14為例說明（x+x+5）2同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的

面積，即4X14+52,因此x=2.小明用此方法解關于x的方程/+〃a-〃=0時，構造出

同樣的圖形，已知大正方形的面積為14,則（）

C.mW，〃=2D.m=2,5

m

2嗔

10.（3分）如圖，拋物線y=o?+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C(0,-1)

（-4,0）與（-3,0）之間（不包含這兩點），拋物線的頂點為。對稱軸是直線x=-2.下

列結論中正確的個數是（）

①abcVO；

卜2

②4c<—；

a

@a>4;

3

④若三點（-3,yi）,（-2,*）,（1,y3）均在函數圖象上，則

⑤若。=-1,則△48。是等邊三角形.

A.2B.3C.4D.5

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.（3分）在平面直角坐標系中，點（-3,2）關于原點對稱的點的坐標是.

12.（3分）1275年，我國南宋數學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：

直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步.問闊及長各幾步.意思是：矩形面積864

平方步，問寬和長各幾步.若設長為x步，則可列方程為.

13.（3分）如圖，若被擊打的小球飛行高度人（單位：m）與飛行時間？（單位：s）2,則小

球從飛出到落地所用的時間為5.

14.（3分）如圖，在矩形A8C￡）中，48=8,將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉得到矩形AEFG,

AE交CD于點H,則AH的長為.

2

15.（3分）實數a、b滿足a2-7?+2=0,y-76+2=0,則（a+b）-2ab

16.（3分）如圖，平面內三點A、B、C,A8=4,以BC為對角線作正方形8QCE,連接

AO則AD的最大值是

BD

三、解答題(本大題共8小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(8分)解方程

(1)，2%-3=0

(2)x(%-2)+x-2=0

18.(8分)如圖所示，點。是等邊△ABC內的任一點，連接04,OC,ZAOB=[50°,將

△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△AQC.

(1)求ND4O的度數；

(2)用等式表示線段OA,OB,OC之間的數量關系

19.(8分)如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖

所示的平面直角坐標系

(1)將aABC向右平移6個單位長度得到△AiBiCi請畫出△A181C1；

(2)畫出△A1B1C1關于點O的中心對稱圖形282c2;

(3)若將△ABC繞某一點旋轉可得到△42&C2,旋轉中心的坐標為.

y八

20.（8分）已知關于x的方程欠-3彳+1=0有實數根.

（1）求k的取值范圍；

（2）若該方程有兩個實數根，分別為xi和冠，當XI+X2+XIX2=4時，求”的值.

21.（8分）我們將+Vb）-^（VI-Vb）稱為一對“對偶式”.可以應用“對偶式”求

解根式方程.比如小明在解方程A/24-X時,采用了如下方法：

由于G/24-X-V8-x）（V24-xW8-x）=-24-x）2-（V8-x）2=（24-x）-（8

-x）=16,

又因為<24-x=2?>所以j24-xWFx=8②，由①+②可得A/24-X=5-

將亞工7=5兩邊平方解得x=-1，代入原方程檢驗可得x=-1是原方程的解.

請根據上述材料回答下面的問題：

（1）若m=2-J§的對偶式為〃，則機x〃=；（直接寫出結果）

（2）方程夜7邁+7^40=16的解是；（直接寫出結果）

（3）蒯?.方程：Y4x2+6x-5+44x2-2x-5=4x,

22.（10分）某藥廠銷售部門根據市場調研結果，對該廠生產的一種新型原料藥未來兩年的

銷售進行預測，并建立如下模型：設第f個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），其

圖象是函數P=229（0<fW8）的圖象與線段AB的組合（單位：萬元），。與f之間滿

t+4

2t+8,0<t<12

足如下關系：Q=,

-t+44,12<t<24

(1)當8<fW24時，求P關于f的函數解析式;

(2)設第f個月銷售該原料藥的月毛利潤為w(單位：萬元)

①求w關于，的函數解析式；

②該藥廠銷售部門分析認為，336WwW513是最有利于該原料藥可持續生產和銷售的月

毛利潤范圍，求此范圍所對應的月銷售量P的最小值和最大值.

23.(10分)如圖，在RtZvlBC中，ZACB=90°,點。為AB邊上一點，連結CZ)

(1)如圖1,若NBCE=2NDBE,BE=4；

(2)如圖2,延長EB到點尸使EF=CE,分別連結CHA尸交EC于點G.求證：BF

=2EG；

(3)如圖3,若AC=AD,點M是直線AC上的一個動點，將線段繞點。順時針方

向旋轉90°得到線段“。，點P是AC邊上一點，Q是線段C。上的一個動點，連結尸Q,

請直接寫出的度數.

24.(12分)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線)=0?+版-3(a>0)與x軸交于A(-

1,0)、B(3,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P為直線BC下方拋物線上的一動點,PMLBC于點M,PN//y軸交BC于點N.求

線段PM的最大值和此時點P的坐標；

(3)點E為x軸上一動點，點Q為拋物線上一動點，是否存在以CQ為斜邊的等腰直角

三角形CEQ?若存在：若不存在，請說明理由.

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，共30?0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.（3分）下列y關于x的函數中，是二次函數的是（）

A.y=5x2B.y=21-2x

C.y=2jr-3^+1D.

x

【分析】根據二次函數的定義，y=oAbx+c（。、b、c為常數，〃W0）,判斷即可.

【解答】解：A、y=5/,是二次函數，故A符合題意；

B、y=22-2x,是一次函數；

C、y=（yjr-3JI6+1,不是二次函數；

D、故O不符合題意；

4

x

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵.

2.（3分）如圖是杭州2022年亞運會會徽.在選項的四個圖中，能由如圖經過平移得到的

是（）

?

19thAsianGames

Hangzhou2022

*?

29mBOnsJMrt)er19thAslanGames

SSOSuorlxensHHangzhou2022

ZZOZnoqz6ueH

saiu€Oueisv卬61

c.D.

【分析】根據平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小解答.

【解答】解：觀察各選項圖形可知，B選項的圖案可以通過平移得到.

故選：B.

【點評】本題考查了利用平移設計圖案，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形

的形狀和大小，學生易混淆圖形的平移與旋轉或翻轉.

3.(3分)電影《長津湖》一上映，第一天票房2.05億元，若每天票房的平均增長率相同，

平均增長率記作x,方程可以列為()

A.2.05(1+2%)=10.53

B.2.05(1+x)2=10.53

C.2.05+2.05(1+x)2=10.53

D.2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53

【分析】根據第一天的票房及增長率，即可得出第二天票房約2.05(1+x)億元、第三天

票房約2.05(1+x)2億元，根據三天后累計票房收入達10.53億元，即可得出關于x的

一元二次方程，此題得解.

【解答】解：???第一天票房約2.05億元，且以后每天票房的增長率為x,

第二天票房約2.05(2+x)億元，第三天票房約2.05(1+x)8億元.

依題意得:2.05+2.05(7+x)+2.05(1+x)7=10.53.

故選：D.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二

次方程是解題的關鍵.

4.(3分)如圖，在AABC中，ZBAC=108°,且A8'=CB',則NC的度數為()

【分析】由旋轉的性質可得由等腰三角形的性質可得NC=

NB=/ABB由三角形的外角性質和三角形內角和定理可求解.

【解答】解：

:.NC=NCAB，,

：.ZAB'B=ZC+ZCAB'=2ZC,

:將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△ABC,

.,.NC=/C,AB=AB',

：.ZB=ZAB'B=2ZC,

VZB+ZC+ZCAB=180°,

；.3/C=18O°-108°,

；.NC=24°,

.,.ZC=ZC=24°,

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，靈活運用這些的性質解決問題是

本題的關鍵.

5.(3分)一元二次方程f+x-3=0的根的情況是()

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.只有一個實數根D.沒有實數根

【分析】先計算判別式的值，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況.

【解答】解：；A=?-5X(-3)=13>0,

二方程有兩個不相等的兩個實數根.

故選：A.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程a^+bx+c=Q(a#0)的根與A=b2-4ac

有如下關系：當A>0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當A=0時，方程有兩個相

等的兩個實數根；當AV0時，方程無實數根.

6.(3分)如圖，在平面直角坐標系中，將點尸(2,3),則P的坐標為()

V小P

A.(3,2)B.(3,-1)C.(2,-3)D.(3,-2)

【分析】作PQLy軸于Q,如圖，把點P(2,3)繞原點O順時針旋轉90°得到點P'

看作把△OPQ繞原點。順時針旋轉90°得到△OPQ',利用旋轉的性質得到NPQ,

0=90°,ZQOQ'=90°,P'Q1=PQ=2,OQ'=。。=3,從而可確定P'點的坐

標.

【解答】解：作尸Q_Ly軸于。，如圖,

,:P（2,3）,

：.PQ=2,。。=3,

?.,點P（2,8）繞原點O順時針旋轉90°得到點P,相當于把△OPQ繞原點O順時針旋

轉90。得到△OP0,

：.ZP'Q'0=90°,ZQOQ'=90°,OQ'=OQ=3,

...點P'的坐標為（3,-7）.

故選：D.

【點評】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖

形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標.常見的是旋轉特殊角度如：30°,45°,60°,

90°,180°.

7.（3分）為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示）,

對應的兩條拋物線關于y軸對稱，AB=4cm,最低點C在x軸上，BD=2cm,則右輪廓

【分析】利用8、。關于），軸對稱，CH=\cm,BO=2CM可得到。點坐標為（1,1）,

由AB=4cm,最低點C在x軸上，則AB關于直線C”對稱，可得到左邊拋物線的頂點C

的坐標為（-3,0）,于是得到右邊拋物線的頂點C的坐標為（3,0）,然后設頂點式利

用待定系數法求拋物線的解析式.

【解答】解：?.?高C”=la〃，BD=2cm,。關于y軸對稱，

二。點坐標為（3,1）,

〃尤軸，AB=4cm,

...A8關于直線C”對稱，

左邊拋物線的頂點C的坐標為（-5,0）,

.?.右邊拋物線的頂點尸的坐標為（3,4）,

設右邊拋物線的解析式為y=a（x-3）2,

把。（2,1）代入得l=aX（3-3#,解得°=匡,

4

.?.右邊拋物線的解析式為>=工（x-3）2,

6

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數的應用：利用實際問題中的數量關系與直角坐標系中線段

對應起來，再確定某些點的坐標，然后利用待定系數法確定拋物線的解析式，再利用拋

物線的性質解決問題.

8.（3分）如圖，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,。為8C邊上一點，將△ABQ繞點A逆時

針旋轉90°得到△ACE,連接BE,將4c平移得到OF（點A、C的對應點分別為點￡>、

F）,若AB=3&,B￡>=2則AF的長為（）

【分析】旋轉的性質可得BD=CE=2,/ACE=/A8O=45°,由勾股定理得到BE,由

“SAS”可證aABE好△。次，可得BE=AF,于是得到結論.

【解答】解：；NBAC=90°,AB=AC,

：.ZABC^ZACB=45°,8C=&,

?.?將△AB。繞點A逆時針旋轉90°得到△4CE,

：.BD=CE=2,ZACE=ZABD=45°,ZDAE=90",

AZBCE=90°,

BE=V36+4=3A/TO；

；NBAC=ND4E=90°,

...NBAC+/D4E=180°,

：.ZBAE+ZDAC=\S00,

：AC平移得到DF,

：.AC=DF=AB,AC//DF,

：.ZADF+ZDAC=\S00,

：.ZADF=ZBAE,

在△A8E和△。船中，

，AB=DF

?ZBAE=ZADF.

AE=AD

：./\ABE^^DFA（SAS）,

：.BE=AF=2yflQ,

故選：A.

【點評】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質等知識，靈活運

用性質性質解決問題是本題的關鍵

9.（3分）我國古代數學家研究過一元二次方程的正數解的幾何解法.以方程x?+5x-14=0,

即x（x+5）=14為例說明（x+x+5）2同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的

面積，即4X14+52,因此x=2.小明用此方法解關于x的方程/+3-"=0時，構造出

同樣的圖形，己知大正方形的面積為14,則（）

Xx+5

D.m=2,

n2

【分析】畫出方程/+，如-〃=0的拼圖過程，由面積之間的關系得〃?=4,4"+4=14,

即可得出結論.

/n=V4=6—,

2

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，理解一元二次方程的正數解的幾何解法是解

題的關鍵.

10.（3分）如圖，拋物線y=o?+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C（0,-1）

（-4,0）與（-3,0）之間（不包含這兩點），拋物線的頂點為。對稱軸是直線x=-2.下

列結論中正確的個數是（）

①abcVO；

卜2

②4c~；

a

③a＞』

3

④若三點（-3,yi）,（-2,*）,（1,”）均在函數圖象上，則"＞”＞丁1；

⑤若。=-1,則△48。是等邊三角形.

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據二次函數圖象與系數的關系判斷①；根據圖象與x軸的解得即可判斷②；

與對稱軸得出b=4a,進而得出y=ax2+bx+c=ax2+4ax-\=a(x+2)2-4a-1,令y=0,

解方程求得較小的一個根為-而工-2<-3,解不等式即可判斷③；由各點到對稱軸

的距離即可判斷④；當“=-1時，拋物線的解析式為y=-(x+2)2+3,求得。(-2,

3),再求得與x軸的交點，即可判斷⑤.

【解答】解：???圖象的開口向下，

??CL0,

??,圖象與y軸的交點為(0,-3),

/.c=-1,

??,拋物線的對稱軸為-2,

4a

.\b=4a<6f

?\abc<0f

，①符合題意，

???拋物線與x軸有兩個交點,

:.序-8〃c>0，

???〃vo,

???②不符合題意,

由題意得：y=ax2+bx+c=ax3+4ea-\=a（尤+7）2-4<z-8,

???當y=0時，較小的一個根為-

:.-4-2<-3,

解得4<-』，

6

二③不合題意，

丁點（-3,yi）,（-3,”），（b”）中，到對稱軸直線x=-2距離最大的是（1,”），

到（-2,”）在對稱軸上，

.,.），4>丁1>”；

???④不合題意，

當〃=-3時，拋物線的解析式為y=-（x+2）2+6,

：.D（-2,3）,

取y=4,得-（x+2）2+8=0,

解得XI=-JE-2,X2=A/3-2,

（-V3-8,B（后0）,

：.AD=BD=AB=5y/3,

...△ABO是等邊三角形，

⑤符合題意，

...符合題意的有①⑤，

故選：A.

【點評】本題主要二次函數的圖形和性質，關鍵是要牢記二次函數解析中的系數對圖象

的影響，二次項系數影響圖象的開口方向，。、匕影響圖象的對稱軸，c影響圖象與y軸

的交點.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.（3分）在平面直角坐標系中，點（-3,2）關于原點對稱的點的坐標是（3,-2）.

【分析】根據平面直角坐標系內兩點關于原點對稱橫縱坐標互為相反數，即可得出答案.

【解答】解：根據平面直角坐標系內兩點關于原點對稱橫縱坐標互為相反數，

；?點（-3,2）關于原點對稱的點的坐標是（6,

故答案為（3,-2）.

【點評】本題主要考查了平面直角坐標系內兩點關于原點對稱橫縱坐標互為相反數，難

度較小.

12.（3分）1275年，我國南宋數學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：

直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步.問闊及長各幾步.意思是：矩形面積864

平方步，問寬和長各幾步.若設長為X步，則可列方程為x（*-12）=864.

【分析】由長和寬之間的關系可得出寬為（x-12）步，根據矩形的面積為864平方步，

即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：???長為x步，寬比長少12步，

.,?寬為（%-12）步.

依題意，得：xCx-12）=864.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數學常識，找準等量關系，正

確列出一元二次方程是解題的關鍵.

13.（3分）如圖，若被擊打的小球飛行高度〃（單位：加）與飛行時間/（單位：s）2,則小

【分析】根據關系式，令〃=0即可求得f的值為飛行的時間

【解答】解：

依題意，令〃=0得

0=20?-2?

得f（20-5f）=3

解得f=0（舍去）或f=4

即小球從飛出到落地所用的時間為5s

故答案為4.

【點評】本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用.此題為數學建模題，關鍵在

于讀懂小球從飛出到落地即飛行的高度為0時的情形，借助二次函數解決實際問題.此

題較為簡單

14.（3分）如圖，在矩形ABCO中，AB=8,將矩形ABC。繞點A逆時針旋轉得到矩形AEFG,

AE交CD于點則AH的長為6.25.

【分析】根據旋轉的性質得到AE=AB=8,設A”=C〃=x,根據勾股定理即可得到結論.

【解答】解：???將矩形ABC3繞點4逆時針旋轉得到矩形AEFG,

.?.AE=AB=8,

"：DH=EH,

：.AH=CH,

設AH=CH=x,

：.DH=8-x,

VZD=90°,

.\ADJ+DH2^AH2,

即22+（8-x）6=/,

解得：x=6.25,

即AH的長為3.25,

故答案為：6.25.

【點評】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，勾股定理，熟練掌握旋轉的性質及勾股

定理解直角三角形是解題的關鍵.

2

15.（3分）實數〃、匕滿足J-7a+2=0,02-76+2=0,則（a+b）-2ab=2或生.

ab2

【分析】分類討論：當易得原式=2；當。#江可把。、b看作方程7-7x+2=o

的兩根，根據根與系數的關系得到a+b=l,ab=2,然后利用整體代入的方法可計算出

原式=生.

2

【解答】解：當。=萬，原式=2；

當貝I」/-7x+2=0的兩根，

所以a+Z?=6,ab=2,

所以原式=處至=至，

82

2

即（a+b）Tab的值為2或9.

ab2

故答案為5或變.

2

【點評】本題考查了根與系數的關系：若xi,X2是一元二次方程"2+法+°=0（〃W0）的

兩根時，Xl+X2=—殳，XIX2——.

aa

16.（3分）如圖，平面內三點A、B、C,A3=4,以8。為對角線作正方形BDCE,連接

A。則AD的最大值是上運.

-2一

【分析】將△AB。繞點。順時針旋轉90°得到△COM.由旋轉不變性可知：4B=CM=

4,DA=DM.ZADM=9QQ,推出△AOM是等腰直角三角形，推出AD=^AM,推

2

出當4M的值最大時，4。的值最大，利用三角形的三邊關系求出4M的最大值即可解決

問題.

【解答】解：將△ABQ繞點。順時針旋轉90°,得AMCD

且/A￡>M=90°,

.?.△AOM是等腰直角三角形，

：.AD=^-AM,

4

AO最大，只需AM最大，AM<AC+CM,

.?.當且僅當A、C、M在一條直線上，AM最大,

此時4￡>=返工加=百巨，

22

故答案為：回巨.

2

【點評】本題考查正方形的性質，動點問題，三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是

學會添加常用輔助線，用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型.

三、解答題(本大題共8小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(8分)解方程

(1)/-2x-3=0

(2)x(x-2)+x-2=0

【分析】(1)利用因式分解法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得.

【解答】解：(1)VA2-lx-6=0,

(x-3)(x+8)=0,

則x-3=5或x+l=0,

解得X6=3,xi--7；

(2)Vx(x-2)+x-2=7,

(x+1)(x-2)=2,

.?.x+l=0或x-2=0,

解得xi=-4,X2=2.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關鍵.

18.(8分)如圖所示，點。是等邊△ABC內的任一點，連接。4,OC,NAOB=150°,將

△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△AOC.

(1)求/D4O的度數；

(2)用等式表示線段OA,OB,OC之間的數量關系

A

D

\\

B匕-------—

【分析】(1)根據旋轉變換的性質、四邊形內角和為360。計算即可；

(2)連接。￡),證明△OCO是等邊三角形，得出OC=OD=CD,ZCOD/CDO=60°,

根據勾股定理可得出結論.

【解答】解：(1),.,NAO5=150°,ZBOC=120°,

AZAOC=90°,

由旋轉的性質可知，/OC￡)=60°,

.*.ZDAO=360o-60°-90°-120°=90°；

(2)線段。4,OB2+OB2=OC5.

如圖，連接on

：△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△AOC,

A/XADC^^BOC,ZOCD=60°.

：.CD=OC,/A￡>C=NBOC=120°,

?**/\OCD是等邊三角形，

：.OC=OD^CD,NCOZ)=NC￡>O=60°,

：NAO"150°,NBOC=120°,

AZAOC=90°,

AZAOD=30°,ZADO=60°.

AZDAO=90°.

在RtZVLDO中，ZDAO=90Q,

：.OA2+AD2=OD4.

：.O^+OB1=Od'.

【點評】此題考查了等邊三角形的性質和判定，旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是解

本題的關鍵.

19.（8分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖

所示的平面直角坐標系

（1）將AABC向右平移6個單位長度得到△AIBICI請畫出△A181C1；

（2）畫出關于點0的中心對稱圖形282c2；

（3）若將△ABC繞某一點旋轉可得到282c2,旋轉中心的坐標為（-3,0）.

【分析】（1）利用平移變換的性質分別作出A,B,C的對應點Ai,Bi,。即可;

（2）利用中心對稱變換的性質分別作出Ai,Bi,Ci的對應點A2,B2,C2即可；

（3）對應點連線的交點即為旋轉中心.

【解答】解：（1）如圖，△4BC3即為所求；

(2)如圖，282c6即為所求;

(3)旋轉中心。的坐標為(-3,0),

故答案為：(-8,0).

【點評】本題考查作圖-旋轉變換，平移變換，中心對稱變換等知識，掌握旋轉變換,

平移變換，中心對稱變換的性質是解題的關鍵.

20.(8分)已知關于x的方程依2-3x+l=0有實數根.

(1)求4的取值范圍;

(2)若該方程有兩個實數根，分別為xi和X2,當XI+X2+XI%2=4時，求k的值.

【分析】(1)分％=0及%￥0兩種情況考慮：當％=0時，原方程為一元一次方程，通過

解方程可求出方程的解，進而可得出k=0符合題意；當2。時，由根的判別式△》()

可得出關于人的一元一次不等式，解之即可得出々的取值范圍.綜上，此問得解；

(2)利用根與系數的關系可得出Xl+X2=3,X1X2=—,結合X1+X2+XIX2=4可得出關于女

kk

的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論.

【解答】解：(1)當％=0時，原方程為-3x+7=0,

解得：X——,

3

；.k=0符合題意；

當&K0時，原方程為一元二次方程，

?.?該一元二次方程有實數根，

；.△=(-7)2-4XZX62。，

解得：kW

4

綜上所述，%的取值范圍為上

4

(2)和也是方程近2-8x+l=0的兩個根，

O1

.*.X8+X2=—,X7X2=--

kk

VX5+,T2+X1X6=4,

?\3+2=4,

kk

解得：k=l,

經檢驗，攵=2是分式方程的解.

的值為1.

【點評】本題考查了根的判別式、根與系數的關系、一元二次方程的定義、解一元一次

方程以及解分式方程，解題的關鍵是：(1)分出=0及ZN0兩種情況，找出&的取值范

圍；(2)利用根與系數的關系結合M+X2+JOT2=4,找出關于攵的分式方程.

21.(8分)我們將(立正)與小F)稱為一對“對偶式”.可以應用“對偶式”求

解根式方程.比如小明在解方程亞。'-7^=2時，采用了如下方法：

由于G/24-x-V8-x)(V24-X-h/8-x)—“24-x)2-(V8-x)2~(24-x)-(8

-x）=16,

又因為<24-x-VFx=2?.所以）24-x=8②，由①+②可得/24-x=5，

將收工7=5兩邊平方解得x=-1.代入原方程檢驗可得x=-1是原方程的解.

請根據上述材料回答下面的問題：

（1）若m=2-巡的對偶式為〃，則，"X〃=1；（直接寫出結果）

（2）方程Mx+42Wx+10=16的解是39；（直接寫出結果）

（3）解方程：*\/4X^+6X-5Wix^-2x-5=4x-

【分析】（1）由定義直接可得答案；

（2）求出（A/X+42Wx+10）（Vx+42-Vx+10）=32，根據己知得到

Vx+42-Vx+10=2）兩式相加可得Ux+42=9,再求解即可；

（3）同（2）的方法求解即可.

【解答】解：（1）m=2-?的對偶式為n=4+E，

???mXn=（2-V5）（2W3）=8；

故答案為：1;

（2）Vx+42Wx+10=16①,

A（Vx+42Wx+10）（V^42-Vx+10）=（V^42）2-Wx+10）5=32'

.".Vx+42-Vx+10=2②。x+42=9.

；.x=39；

故答案為：39.

（3）V8X2+6X-4+^4X2-6X-5=4x①，

,,（V3X2+6X-8+V4X2-5X-5）“4v）+6x-5-A/3X2-2X-3）=8x,

,74x，+6x-5->\/5X2-2X-2=2②,

①+②得：1\/4X6+6X-5=4X+1'

A4X4+6X-5=6?+l+3x,

??x--3.

【點評】本題考查二次根式，平方差公式，涉及新定義，無理方程等知識，解題的關鍵

是掌握二次根式運算的相關法則.

22.（10分）某藥廠銷售部門根據市場調研結果，對該廠生產的一種新型原料藥未來兩年的

銷售進行預測，并建立如下模型：設第，個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），其

圖象是函數尸=2型（0VfW8）的圖象與線段A8的組合（單位：萬元），。與f之間滿

t+4

'2t+8,0<t<12

足如下關系:

-t+44,12<t<24

（1）當8V/W24時，求P關于r的函數解析式；

（2）設第/個月銷售該原料藥的月毛利潤為卬（單位：萬元）

①求卬關于，的函數解析式；

②該藥廠銷售部門分析認為，336WwW513是最有利于該原料藥可持續生產和銷售的月

毛利潤范圍，求此范圍所對應的月銷售量P的最小值和最大值.

【分析】（1）設8<fW24時，P=kt+b,將A（8,10）、B（24,26）代入求解可得P=

z+2；

（2）①分0<rW8、8<rW12和12VfW24三種情況，根據月毛利潤=月銷量X每噸的

毛利潤可得函數解析式；

②求出8c忘12和12V/W24時，月毛利潤W在滿足336WwW513條件下f的取值范圍,

再根據一次函數的性質可得P的最大值與最小值，二者綜合可得答案.

【解答】解：（1）設8VfW24時，P=kt+b,

將A（8,10）,26）代入

[5k+b=10

l24k+b=26，

解得：。口，

lb=2

：.P=t+2i

(2)①當0<rW8時，w=(7f+8)xl20.

t+4

當7<rW12時，w=(2r+8)(r+2)=2?+12r+16；

當12V/W24時，卬=(7+44)(r+8)=-P+42汁88；

②當8＜，W12時，w=4「+12f+16=2(r+3)2-2,

.?.3VW12時,w隨f的增大而增大,

當2(r+3)7-2=336時，解得f=10或尸-16(舍)，

當，=12時，卬取得最大值，

此時月銷量P=t+2在/=10時取得最小值12,在r=12時取得最大值14；

當12C/W24時，w=-#+42什88=-(r-21)2+529,

當f=12時，w取得最小值448,

由-G-21)2+529=513得f=17或f=25,

...當12V/W17時,448cwW513,

此時P=t+7的最小值為14,最大值為19；

綜上，此范圍所對應的月銷售量產的最小值為12噸.

【點評】本題主要考查二次函數的應用，掌握待定系數法求函數解析式及根據相等關系

列出分段函數的解析式是解題的前提，利用二次函數的性質求得336WwW513所對應的

f的取值范圍是解題的關鍵.

23.(10分)如圖，在中，乙4c8=90°，點。為A8邊上一點，連結C。

(1)如圖1,若NBCE=2NDBE,BE=4；

(2)如圖2,延長EB到點F使EF=CE,分別連結CF,AF交EC于點G.求證：BF

=2EG；

(3)如圖3,若AC=AD,點M是直線AC上的一個動點，將線段繞點。順時針方

向旋轉90°得到線段M7),點P是AC邊上一點，。是線段CQ上的一個動點，連結尸Q,

請直接寫出NPQM的度數.

圖1圖3

【分析】(1)設則NBCE=2x,利用三角形的內角和定理列出方程求出x值,

再利用直角三角形的性質求得BC值，依據三角形的面積公式即可求得結論：

(2)延長FE到“，使E，=EF,連接A/7,CH,利用線段垂直平分線的性質和全等三

角形的判定與性質得到AH=8F,/AHC=N8FC=45°,進而得出/AHF=NAHC+N

CHF=45°+45°=90°,再利用三角形的中位線定理解答即可得出結論；

(3)過點D作DE±AD,交AC的延長線于點E,作點P關于CD的對稱點P',連接

P'C,P'Q,P'M',AM',利用旋轉的性質和全等三角形的判定與性質得到EAL

AM',得到點在過點A且垂直于AC的直線上運動；由三角形的三邊關系定理得到

QP'+QM'MM',從而得到當P',Q,M'在一條直線上時，QP'+QM'=P'

M',此時PQ+QM的值最小；由題意畫出圖形后，通過說明四邊形PCP'。是菱形，

再利用菱形的對角相等得出/PQP'=NPCP，=135。，則結論可求.

【解答】⑴解：???)4C8=90°,AC=BC,

：.ZABC=45°.

設則NBCE=2x,

ZACE=9Q°-NBCE=90°-2x,

"：BE±CD,

:.NBDE=90°-NDBE=90°-x,

ZADC=1800-ACD-ZA=7x+45°.

■:NBDE=NADC,

.,.90°-x=45°+2x,

...x=15°,

：.ZBCE=30°,

\'BE±CD,

:.BC=2BE=2,

."C=BC=8,

.?.△ABC的面積=工xAC3C=32；

8

(2)證明：延長FE到“，使E”=EF,CH,

H

?:EF=CE,BELCD,

：?NECF=NEFC=45°.

VBE1CD,EH=EF9

，C￡：垂直平分FT7,

:.CH=CF,

：.4/CHF=/CFH=45°,

AZHCF=900.

VZACB=90°,

???NACB=NHCF,

：.NACH=NBCF.

在△4(?”和ABC/中，

%C=BC

<ZACH=ZBCF，

CH=CF

A/\ACH^/\BCF(SA5),

：.AH=BF,NAHC=NBFC=45°.

AZAHF=ZAHC+ZCHF=450+45°=90°

；.AHLHF,

VCD1EF,

:?CE〃AH,

°：EH=EF,

???GE為△砌〃的中位線，

：.AH=2GE,

：.BF=2EG；

(3)解：NPQM的度數為45°.理由：

過點。作力E_LA￡),交4c的延長線于點E,連接P'C,P'M',如圖,

VZBAC=45°,DELAD,

：.ZE=ZBAC=45°,

：.AD=DE.

?.,將線段MD繞點D順時針方向旋轉90°得到線段MD,

：.DM'=DM,NMDM'=90°,

VZ^D￡=90°,

：.ZADE^ZMDM',

：.ZADM'=NMDE.

在△ADM和△E￡)M中，

DM=DM7

<NADM'=NEDM，

AD=ED

△ADM'學2EDM(SAS),

/.ZDAM'=/￡>EM=45°,

ZEAM=ZEAB+ZDAM'=90°,