-2024學年遼寧省大連市九年級（下）期初數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列圖形中，是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.拋物線的圖象一定經過(

)A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限3.下列事件中屬于必然事件的是(

)A.隨機購買一張電影票，座位號恰好是偶數

B.在裝有2個黃球和3個白球的盒子中摸出一個球是紅球

C.拋一枚質地均勻的硬幣，反面朝上

D.七年級370名學生中至少有2名學生生日是同一天4.如圖，四邊形ABCD是圓內接四邊形，E是BC延長線上一點，若，則的大小是(

)A.

B.

C.

D.5.如圖，是正五邊形ABCDE的外接圓，點P為上的一點，則的度數為(

)A.

B.

C.

D.

6.如圖，，AF：：5，BC：：1，則AE：EC的值為(

)A.5：2

B.1：4

C.2：1

D.3：27.如圖，和都是直角三角形，其中一個三角形是由另一個三角形旋轉得到的，下列說法正確的是(

)A.旋轉中心是點B

B.旋轉角是

C.既可以順時針旋轉又可以逆時針旋轉

D.旋轉角是8.如圖，中，點D在線段AC上，連接BD，要使與相似，只需添加一個條件即可，這個條件不能是(

)A.

B.

C.

D.9.一個扇形的半徑為3，圓心角為，則該扇形的面積是(

)A. B. C. D.10.初三年級甲、乙、丙、丁四個級部舉行了知識競賽，如圖，平面直角坐標系中，x軸表示級部參賽人數，y軸表示競賽成績的優秀率該級部優秀人數與該級部參加競賽人數的比值，其中描述甲、丁兩個級部情況的點恰好在同一個反比例函數的圖象上，則這四個級部在這次知識競賽中成績優秀人數的多少正確的是(

)

A.甲>乙>丙>丁 B.丙>甲=丁>乙 C.甲=丁>乙>丙 D.乙>甲=丁>丙二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若反比例函數圖象的一支在第三象限，則k的取值范圍是______.12.若點，，都在二次函數為常數的圖象上，則，，的大小關系是______.13.把點繞原點旋轉后得到點B，則點B的坐標為______.14.如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，中，點A在反比例函數的圖象上，點B在x軸上，，于點C，若，則k的值為______.

15.如圖，矩形ABCD中，，，P是線段BC上一動點，連接AP并將AP繞P順時針旋轉得到線段連接DE，直線DE交BC于設，，則y與x之間的函數關系式為______.

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.本小題10分

二次函數的圖象經過點，當時，函數的最小值為

求該二次函數的解析式并畫出它的圖象；

當時，結合函數圖象，直接寫出y的取值范圍；

直線與拋物線和直線的交點分別為點C，點D，點C位于點D的上方，結合函數的圖象直接寫出m的取值范圍．17.本小題8分

《九章算術》是我國古代著名數學經典，其中對勾股定理的論述比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小：以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺.如圖，已知弦尺，弓形高寸，注：1尺寸問這塊圓柱形木材的直徑是多少寸？18.本小題9分

“清遠市2023年的首場馬拉松比賽”共設兩個項日，分別是“半程馬拉松”公里和“迷你馬拉松”約5公里

為估算本次賽事參加“迷你馬拉松”的人數，組委對部分參賽選手作如表調查：調查總人數2050100200500參加“述你馬拉松”人數153372139356參加“迷你馬拉松”頻率請估算本次賽事參加“迷你馬拉松”人數的概率為______；精確到

小明來自北京市，小軍來自長沙市、小紅來自清遠市、小麗來自廣州市四人報名參加“迷你馬拉松”志愿者遴選，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好錄取兩名來自廣東省外的志愿者的概率.19.本小題8分

如圖，為了估計河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點A，在近岸取點B，使AB與河岸垂直，在近岸取點C，E，使，，AE與BC交于點已測得，，，求河寬20.本小題8分

如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點和點

求這兩個函數表達式；

根據圖象直接寫出一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍.21.本小題8分

如圖，AB為的直徑，C為BA延長線上的一點，D為上一點，于點E，交CD于點F，且

求證：CD是的切線；

若，，求的半徑．22.本小題12分

小蕾家與外婆家相距270km，她假期去看望外婆，返回時，恰好有一輛順路車可以帶小蕾到A服務區，于是，小蕾與爸爸約定，她先搭乘順路車到A服務區，爸爸駕車到A服務區接小蕾回家．兩人在A服務區見面后，休息了一會兒，然后小蕾乘坐爸爸的車以的速度返回家中．返回途中，小蕾與自己家的距離和時間之間的關系大致如圖所示．

求小蕾從外婆家到A服務區的過程中，y與x之間的函數關系式；

小蕾從外婆家回到自己家共用了多長時間？23.本小題12分

如圖，正方形ABCD的邊長為a，射線AM是外角的平分線，點E在邊AB上運動不與點A、B重合，點F在射線AM上，且，CF與AD相交于點G，連結EC、EF、

求證：；

求的周長用含a的代數式表示；

試探索：點E在邊AB上運動至什么位置時，的面積最大．答案和解析1.【答案】D

【解析】解：選項A、B、C都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．

選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．

故選：

根據中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．

本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．2.【答案】D

【解析】解：拋物線的頂點為且開口向下，

拋物線一定經過第三，四象限，

故選：

根據拋物線的頂點坐標和開口方向求解．

本題考查二次函數圖象的性質，解題關鍵是掌握二次函數的性質，根據解析式開口方向及頂點位置求解．3.【答案】D

【解析】解：A、隨機購買一張電影票，座位號恰好是偶數，是隨機事件，故A不符合題意；

B、在裝有2個黃球和3個白球的盒子中摸出一個球是紅球，是不可能事件，故B不符合題意；

C、拋一枚質地均勻的硬幣，反面朝上，是隨機事件，故C不符合題意；

D、七年級370名學生中至少有2名學生生日是同一天，是必然事件，故D符合題意；

故選：

根據隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，即可解答．

本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關鍵．4.【答案】B

【解析】解：四邊形ABCD是圓內接四邊形，

，

而，

，

而，

故選：

根據圓內接四邊形的對角互補得到，而與為鄰補角，得到

本題考查了圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補．也考查了鄰補角的定義以及等角的補角相等．5.【答案】D

【解析】解：如圖，連接OA，OC，

是正五邊形，

，

，

故選：

連接OA，OC，求出的度數，再根據圓周角定理即可解決問題．

本題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．6.【答案】C

【解析】解：，

，

：：5，

，

即，

：：1，，

，

，

，

，

故選：

根據平行線分線段成比例定理得出，，求出，，再求出即可．

本題考查了平行線分線段成比例定理，能熟記平行線分線段成比例定理是解此題的關鍵，注意：一組平行線截兩條直線，所截得的線段對應成比例．7.【答案】C

【解析】解：A、由旋轉的性質可知，通過旋轉得到，它的旋轉中心是點C，故選項A不符合題意；

B、，

旋轉角為，故選項B不符合題意；

C、兩個三角形，既可看成是順時針旋轉又可看成是逆時針旋轉，旋轉角都是，故選項C符合題意；

D、旋轉角是或，故選項D不符合題意；

故選：

由旋轉的性質分別對各個選項進行判斷即可．

本題考查了旋轉的性質、直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形的性質，由旋轉的性質得出旋轉中心為點C是解題的關鍵．8.【答案】A

【解析】解：在與中，由于，若添加或，

滿足“兩角對應相等的兩個三角形相似”，故要使與相似，可添加一個條件B或

在與中，由于，若添加，即，

滿足“兩邊對應成比例夾角相等的兩個三角形相似”，故要使與相似，可添加一個條件

在與中，若添加，由于不能說明，也不能說明三邊對應成比例，

故要使與相似，不能添加一個條件

故選：

利用相似三角形的判定定理，逐個試驗得結論．

本題主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關鍵．9.【答案】A

【解析】解：根據題意，

故選：

直接代入扇形的面積公式即可得出答案．

本題考查了扇形的面積公式，屬于基礎題，解答本題的關鍵是熟練掌握扇形的面積公式：10.【答案】D

【解析】解：根據題意，可知xy的值即為該校的優秀人數，

描述甲、丁兩級部情況的點恰好在同一個反比例函數的圖象上，

甲、丁兩級部的優秀人數相同，

點乙在反比例函數圖象上面，點丙在反比例函數圖象下面，

乙級部的xy的值最大，即優秀人數最多，丙級部的xy的值最小，即優秀人數最少，

故選：

根據題意可知xy的值即為該級部的優秀人數，再根據圖象即可確定乙級部的優秀人數最多，丙級部的優秀人數最少，甲、丁兩級部的優秀人數相同．

本題考查了反比例函數的圖象上點的坐標特征，結合實際含義理解圖象上點的坐標含義是解題的關鍵．11.【答案】

【解析】解：的圖象的一支在第三象限，

，

解得

故答案為：

先根據反比例函數的性質得出，再解不等式即可得出結果．

本題考查了反比例函數的圖象和性質：當時，圖象分別位于第一、三象限；當時，圖象分別位于第二、四象限．12.【答案】

【解析】解：由二次函數為常數可知，對稱軸為直線，

，

二次函數開口向上，當時，函數取得最小值，即最小，

且在時，y隨x的增大而增大，

而點A的對稱點為，

，

故答案為：

先求出二次函數的開口方向，對稱軸，再找到點A的對稱點為，由自變量范圍并結合函數的增減性來判斷、、的大小．

本題考查了二次函數的增減性質，利用增減性來比較函數值的大小．熟悉二次函數增減性和找到點A的對稱點是解題的關鍵．13.【答案】

【解析】解：根據點繞坐標原點旋轉得到點B，可知A、B兩點關于原點對稱，

點B坐標為，

故答案為

根據中心對稱的性質解決問題即可．

本題主要考查了旋轉的性質及關于原點及y軸對稱的點的坐標的特點．14.【答案】6

【解析】解：，，，

，

又曲線位于第一象限，

故答案為：

利用等腰三角形的性質以及反比例函數中k的幾何意義即可解決問題．

本題考查反比例函數圖象上的點的性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．15.【答案】

【解析】解：如圖1，過點E作于H，

將AP繞P順時針旋轉得到線段PE，

，，

，，

，

在和中，

，

≌，

，，，

，，

，

又，

∽，

，

，

，

，

古答案為：

過點E作于H，由“AAS”可證≌，可得，，由相似三角形三角形的性質可表示出FH，再表示出PF即可求解；

本題考查矩形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積，熟練掌握以上知識是解題關鍵．16.【答案】解：當時，二次函數的最小值為，

二次函數的圖象的頂點為，

二次函數的解析式可設為，

二次函數的圖象經過點，

解得

該二次函數的解析式為；

如圖，

當時，；當時，，

當時，；

由圖象可得或

【解析】設頂點式，再把代入求出a得到拋物線解析式，然后利用描點法畫出二次函數圖象；

根據圖象可得答案；

先畫出直線，則可得到直線與拋物線的交點坐標為，，然后寫出拋物線在直線上方所對應的自變量的范圍即可．

本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．也考查了二次函數的性質．17.【答案】解：設的半徑為

，

，

在中，，，，

則有：，

解得：，

的直徑為26寸．

【解析】設的半徑為在中，，，，則有，解方程即可．

本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型．18.【答案】

【解析】解：由表格中數據可得：本次賽事參加“迷你馬拉松”人數的概率為：

故答案為：；

小明來自北京市記為甲，小軍來自長沙市記為乙、小紅來自清遠市記為丙、小麗來自廣州市記為丁，

畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的情況，其中恰好錄取兩名來自廣東省外的志愿者的情況有2種，

則恰好錄取兩名來自廣東省外的志愿者的概率為

利用表格中數據進而估計出參加“迷你馬拉松”人數的概率；

畫樹狀圖，共有12種等可能的情況，再由概率公式求解即可．

此題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統計圖和扇形統計圖．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數與總情況數之比．19.【答案】解：，，

，

又對頂角相等，

∽，

，

即，

解得

答：河的寬度AB為

【解析】求出和相似，根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解．

本題考查了相似三角形的應用，主要利用了相似三角形對應邊成比例，確定出相似三角形是解題的關鍵．20.【答案】解：點在反比例函數的圖象上，

，

反比例函數解析式為：

點在上，

將點，代入，得

一次函數的解析式為：

一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍為：或

【解析】將B的坐標代入反比例函數的解析式即可求出m的值，然后將A的坐標代入反比例函數解析式即可求出n的值．最后將A、B的坐標代入一次函數的解析式即可求出一次函數的解析式．

根據圖象即可求得．

本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，解題的關鍵是根據待定系數法求出兩函數的解析式，注意數形結合，本題屬于中等題型．21.【答案】證明：連接OD，

，

，

，

，

，

，

，

，

是的半徑，

是的切線；

在中，，

，

設，，

，

為的直徑，

，

，

，

，

，

是的中位線，

，

，

，，

∽，

，

，

，，

∽，

，

，

或舍去，

的半徑為

【解析】連接OD，根據垂直定義可得，從而可得，再根據等腰三角形的性質，可得，從而可得，進而可得，即可解答；

根據已知可設，，從而可得，根據直徑所對的圓周角是直角可得，從而可得，進而可得OE是的中位線，即可求出，然后證明A字模型相似三角形∽，利用相似三角形的性質可得，最后再證明∽，利用相似三角形的性質即可解答．

本題考查了相似三角形的判定與