專題2-6阿基米德三角形與焦點三角形內切圓目錄知識點梳理 2阿基米德焦點三角形性質（弦AB過焦點F時） 2阿基米德三角形一般性質（弦AB不經過焦點F時） 3題型一阿基米德焦點三角形 52023屆·黃岡中學5月二模·T6 52023屆·武漢市武昌區五月質檢T16 5山東省濟南市2022屆高三二模 52023屆成都七中高三月考 62024屆嘉興市九月統考T15 6題型二常規型阿基米德焦點三角形 6安徽省2023屆高三A10聯盟二模 62024屆·廣東省四校第一次聯考 82023屆·黑龍江哈師大附中校考 82023·深圳市二模 8廣東省東莞市第四高級中學2023屆高三三模數學試題 8題型三雙曲線焦點三角形的內切圓 9湖南省長沙市第一中學2024屆高三上學期月考(二) 9安徽省（九師聯盟）2023屆二模 10山東省濰坊市2023屆高三下學期高中學科核心素養測評 10長沙市雅禮中學2022-2023高三月考 10湖北省八市2023屆高三下學期3月聯考數學試題 11題型四雙曲線焦的兩個焦點三角形與兩個內切圓 12重慶市巴蜀中學2023屆高考適應性月考（七）數學試題 122023·安徽淮北·一模 132023·長沙周南中學三模 13題型五橢圓的焦點三角形的內切圓 152023屆·浙江省重點中學拔尖學生培養聯盟6月適應性考試 152023·長郡中學押題卷 152023·汕頭金山中學三模 162023·湖北襄陽五中5月模擬 17知識點梳理阿基米德焦點三角形性質（弦AB過焦點F時）性質1：MF⊥AB；性質2：MA⊥MB；性質3：MN∥x軸；性質4：S△ABM最小值為p2對于點A，B:①拋物線焦點弦與拋物線的交點 ②由準線上一點向拋物線引兩條切線所對應的切點對于點M③過焦點弦的一個端點所作的切線與準線的交點，④過焦點弦的兩個端點所作兩條切線的交點滿足以上①③或①④或②③或②④的三個點所組成的三角形即為“底邊過焦點的阿基米德三角形”阿基米德三角形一般性質（弦AB不經過焦點F時）【性質1】阿基米德三角形底邊上的中線PM平行于拋物對稱軸．【性質2】若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點拋物線內部的定點，則點P的軌跡為直線記，，，M為弦AB的中點，點C為拋物線內部的定點半代入得出切線PA，PB的方程，再得出則，則，下略【性質3】若P點軌跡為直線，且該直線與拋物線沒有公共點，則定點.設P點坐標，半代入得出切點弦AB的直線方程，進而得出定點C的坐標【性質4】阿基米德三角形的面積的最大值為.【性質5】，重點題型·歸類精重點題型·歸類精練題型一阿基米德焦點三角形2023屆·黃岡中學5月二模·T6設拋物線的焦點為F,過F的直線交C于A,B兩點,分別以A,B為切點作C的切線，，若與交于點P，且滿足，則|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.82023屆·武漢市武昌區五月質檢T16已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與交于A，B兩點，C在A處的切線與C的準線交于P點，連接BP．若|PF|＝3，則的最小值為_____山東省濟南市2022屆高三二模（多選）過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點（A在第一象限），M為線段AB的中點.M在拋物線的準線l上的射影為點N，則下列說法正確的是（）A.的最小值為4 B.C.△NAB面積的最小值為6 D.若直線AB的斜率為，則已知動圓過點，且與直線相切，記動圓的圓心軌道為，過上一動點作曲線的兩條切線，切點分別為，直線與軸相交于點，下列說法不正確的是（

）A．的方程為B．直線過定點C．為鈍角（為坐標原點）D．以為直徑的圓與直線相交已知點，從拋物線的準線上一點引拋物線的兩條切線，，且，為切點，則點到直線的距離的最大值是（

）A． B． C．2 D．32023屆成都七中高三月考過點作拋物線的兩條切線，切點分別為和，又直線經過拋物線的焦點，那么=.2024屆嘉興市九月統考T15已知是拋物線：的焦點，點，過點的直線與交于，兩點，是線段的中點．若，則直線的斜率．（多選）已知拋物線：，過其準線上的點作的兩條切線，切點分別為，，下列說法正確的是（

）A． B．當時，C．當時，直線的斜率為2 D．面積的最小值為4題型二常規型阿基米德焦點三角形安徽省2023屆高三A10聯盟二模（多選）已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線與交于、兩點，且，，若過點、分別作的兩條切線交于點，則下列各選項正確的是（

）A． B．C． D．以為直徑的圓過點2024屆·廣東省四校第一次聯考過向拋物線引兩條切線，切點分別為,又點在直線上的射影為，則焦點與連線的斜率取值范圍是.（2023秋·海南·高三統考期末）已知，是拋物線上位于不同象限的兩點，分別過，作的切線，兩條切線相交于點，為的焦點，若，，則（

）A． B． C． D．42023屆·黑龍江哈師大附中校考已知拋物線，過點向拋物線作兩條切線，切點分別為，，則.2023·深圳市二模（多選）設拋物線C：的焦點為F，過拋物線C上不同的兩點A，B分別作C的切線，兩條切線的交點為P，AB的中點為Q，則（

）A．軸 B． C． D．（多選）已知拋物線，過其準線上的點作的兩條切線，切點分別為A、B，下列說法正確的是（

）A． B．當時，C．當時，直線AB的斜率為2 D．直線AB過定點廣東省東莞市第四高級中學2023屆高三三模數學試題（多選）已知拋物線，為坐標原點，點為直線上一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，則（

）A．拋物線的準線方程為 B．直線一定過拋物線的焦點C．線段長的最小值為 D．已知拋物線：，直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.已知的方程為，過直線上的動點作的兩條切線，切點分別為，證明：直線恒過定點．題型三雙曲線焦點三角形的內切圓湖南省長沙市第一中學2024屆高三上學期月考(二)雙曲線的左，右焦點分別為，，右支上有一點M，滿足，的內切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為．已知點分別為雙曲線的左?右焦點，過點的直線交雙曲線的右支第一象限于點，若的內切圓的半徑為1，則直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．已知點為雙曲線右支上一點，點，分別為雙曲線的左右焦點，點是△的內心（三角形內切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍是．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，若上存在點，滿足（為坐標原點），且的內切圓的半徑等于，則雙曲線的離心率為．（2024屆·云南昆明一中校考）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的左支交于，兩點，若，則的內切圓周長為.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是雙曲線上一點，且（為坐標原點），若內切圓的半徑為，則C的離心率是（

）A． B． C． D．安徽省（九師聯盟）2023屆二模已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是圓（）與的一個交點，若的內切圓的半徑為a，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．山東省濰坊市2023屆高三下學期高中學科核心素養測評已知雙曲線的左，右焦點分別為，，點與拋物線的焦點重合，點P為與的一個交點，若△的內切圓圓心的橫坐標為4，的準線與交于A，B兩點，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．長沙市雅禮中學2022-2023高三月考（多選）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，為雙曲線右支上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為、．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（

）A．雙曲線的離心率B．當點異于頂點時，的內切圓的圓心總在直線上C．為定值D．的最小值為（多選）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，P為雙曲線C右支上的動點，過P作兩漸近線的垂線，垂足分別為A，B.若圓與雙曲線C的漸近線相切，則（

）A．的最小值為B．為定值C．雙曲線C的離心率D．當點P異于頂點時，的內切圓的圓心總在直線上（多選）過雙曲線右焦點的直線交雙曲線右支于兩點，的內切圓分別切直線于點，內切圓的圓心為，半徑為，則（

）

A．切點與右焦點重合 B．C． D．湖北省八市2023屆高三下學期3月聯考數學試題如圖，為雙曲線的左右焦點，過的直線交雙曲線于兩點，為線段的中點，若對于線段上的任意點，都有成立，且內切圓的圓心在直線上.則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．題型四雙曲線焦的兩個焦點三角形與兩個內切圓重慶市巴蜀中學2023屆高考適應性月考（七）數學試題已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作直線與雙曲線的右支交于兩點，若內切圓與內切圓的半徑的乘積為，則雙曲線的離心率為 （）A．B．C．D．（多選）雙曲線的左、右焦點分別是，過的直線與雙曲線右支交于兩點，記和的內切圓半徑分別為和，則（

）A．和的內切圓圓心的連線與軸垂直B．為定值C．若，則的離心率D．若，則的漸近線方程為已知點，分別是雙曲線的左右焦點，過的直線與該雙曲線交于，兩點（點位于第一象限），點是△內切圓的圓心，則；若的傾斜角為，△的內切圓面積為，△的內切圓面積為，則為.2023·安徽淮北·一模已知雙曲線C：過點，則其方程為，設，分別為雙曲線C的左右焦點，E為右頂點，過的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點（其中點A在第一象限），設M，N分別為，的內心，則的取值范圍是．已知，，是雙曲線C：的左右焦點，過的直線與雙曲線左支交于點A，與右支交于點B，與內切圓的圓心分別為，，半徑分別為，，則的橫坐標為；若，則雙曲線離心率為.2023·長沙周南中學三模已知雙曲線方程是，過的直線與雙曲線右支交于，兩點（其中點在第一象限），設點、分別為、的內心，則的范圍是.雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，分別是雙曲線的兩個焦點，過上焦點作斜率的直線交雙曲線上支于點,若，的內心分別是，且，則雙曲線的離心率為.（多選）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，M為C的右頂點，過的直線與C的右支交于A，B兩點（其中點A在第一象限），設點P，Q分別為，的內心，R，r分別為，內切圓的半徑，則（

）A．點M在直線PQ上 B．點M在直線PQ的左側C． D．（多選）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內切圓的半徑為的內切圓的半徑為，若，則（

）A．、在直線上 B．雙曲線的離心率C．內切圓半徑最小值是 D．的取值范圍是（多選）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，離心率為，焦點到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于、兩點，若、分別為與的內心，則（

）A．的漸近線方程為B．點與點均在同一條定直線上C．直線不可能與平行D．的取值范圍為（多選）雙曲線的光學性質：從雙曲線一個焦點出發的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.已知為坐標原點，，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線的右支于，兩點，且在第一象限，，的內心分別為，，其內切圓半徑分別為，，的內心為.雙曲線在處的切線方程為，則下列說法正確的有（

）A．點、均在直線上 B．直線的方程為C． D．題型五橢圓的焦點三角形的內切圓2023屆·湖南師范大學附屬中學月考(三)已知橢圓的左?右焦點分別為為上不與左?右頂點重合的一點，為的內心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．2023屆·浙江省重點中學拔尖學生培養聯盟6月適應性考試（多選）雙曲線的左、右焦點分別，具有公共焦點的橢圓與雙曲線在第一象限的交點為，雙曲線和橢圓的離心率分別為的內切圓的圓心為，過作直線的垂線，垂足為，則（

）A．到軸的距離為B．點的軌跡是雙曲線C．若，則D．若，則（2023·四川宜賓·統考二模）已知橢圓的左，右焦點分別為，，點在橢圓上，為的內心，記，的面積分別為，且滿足，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．2023·長郡中學押題卷若橢圓的離心率為，兩個焦點分別為，，為橢圓上異于頂點的任意一點，點是的內心，連接并延長交于點，則（

）A．2 B． C．4 D．（2023·江西·校聯考模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上異于長軸端點的動點，，分別為的重心和內心，則（

）A． B． C．2 D．（2023·浙江高二聯考）已知橢圓的左右焦點分別為，，P為橢圓上異于長軸端點的動點，分別為的重心和內心，則（

）A． B． C． D．2已知為坐標原點，為橢圓的左、右焦點，，是橢圓上異于頂點的一點，點是以為底的等腰的內切圓的圓心，過作于點，，則橢圓的離心率為.（多選）設，為橢圓：的兩個焦點，為上一點且在第一象限，為的內心，且內切圓半徑