2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江高一下冊三月檢測數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.求值tan(—1140)=()

A.3B.73C.-3D.->/3

33

【正確答案】D

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡后再利用特殊角的正切值可得所求結(jié)果.

【詳解】tan(-l140°)=-tan1140°=-tan(1080°+60°)=-tan60。=-6.

故選：D.

2.已知非零向量貝是"a=b”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【正確答案】B

【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】如圖所不，04=4,08=〃,OC=c,8A=a—8，當(dāng)AB丄OC時(shí)，a—b與c垂直,

1|-0,所以。?,成立，此時(shí)aw》，

不是“=人的充分條件，

當(dāng)a=b時(shí)，a—8=0，..(a—3)，c=0，c=0,成立，

="［是a=。的必要條件，

綜上，"7：=W是",；=X”的必要不充分條件

故選：B.

3.已知非零向量滿足H=2慟，且（“-力丄則“與b的夾角為

71匹九一2兀-5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【正確答案】B

【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與

化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由（a-勿丄b得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用

向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角.

【詳解】因?yàn)椋╝-%）丄6,所以（a—3.匕=6/為—匯=0,所以“丿=力-，所以

ab聞21式

COS6>=R1「=5而=5,所以"與人的夾角為彳‘故選民

對(duì)向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角

的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為［0,用.

4.為了得到函數(shù)y=sin（2x-2）的圖象，可以將函數(shù)y=sin2x的圖象（）

A.向左平移「個(gè)單位B.向右平移g個(gè)單位C.向左平移白個(gè)單位D.向右平移3個(gè)單位

661212

【正確答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)丫=4血（5+。）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論.

【詳解】解：y=sin（2x-^）=sin2（x--^）,

o12

故將函數(shù)丫=$布2》的圖象向右平移3個(gè)單位，可得y=sin（2x-J）的圖象，

126

故選：D.

5.一ABC中，點(diǎn)M為邊AC上的點(diǎn)，且AM=2MC,若3M=/13A+〃BC,則幾一〃的值是

（）

A.—1B.1C.—D.—

33

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，由平面向量基本定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

2

【詳解】因?yàn)锳A/=2MC，則

所以BA/=BA+AM=8A+§AC=a4+§（BC-a4）=dA+dC，

121

且+則4=3，〃=],所以4-〃=-].

故選:D

6.已知cos（?-a）=|,sin（7+萬）=-j|,/仁[，?），則sin（tz+4）的

值為（）

16「56-63-33

A.——B.—C.——D.——

65656565

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意可知，（?+夕）再結(jié)合題意可得

sin（?-a）=-|,cos（?+夕）=得，又（a+〃）=（?+尸,利用兩角差的正弦公

式，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閍e（?岑｝所以（:勾+利,

z

r2

又n

si4

I

.

所以cose+6卜》sine+可*,

又（。+小仔+4仔-

所以sin(0+〃)=sin

了+抄in

7.在AABC中，cos￡=且,BC=1,AC=5,則AB=

25

A.40B.730C.x/29D.2石

【正確答案】A

【詳解】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.

詳解：因?yàn)閏osC=Zcos?C-1=2x(—-1=-之，

255

所以。2=巒+62-26必cosC=l+25-2xlx5x(—1)=32r.c=40,選A.

點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈

活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.

8.如圖，在平面四邊形中，AB1BC,ADLCD,ZBAD=\2O,AB=AD=l,

若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則4E8E的最小值為

為

A

A.0

16

【正確答案】A

【詳解】分析：由題意可得為等腰三角形，△BCD為等邊三角形，把數(shù)量積AB8E

分拆，設(shè)。E=rDC(0Wl),數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。

詳解：連接BD,取AD中點(diǎn)為0,可知△A8O為等腰三角形，而丄8C,AO丄8,所以

△88為等邊三角形，BD=上。設(shè)。E=/OC(0W1)

23-2

AEBE=(AD+DE).(BD+DE)=A>BD+DE(AD+BD)+DE=7+BDDE+DE

=3r2--r+-(0<r<l)

22

121

所以當(dāng)匕時(shí),上式取最小值記,選兒

點(diǎn)睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量

都用基底表示。同時(shí)利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。

二、多選題

9.根據(jù)下列條件，能確定向量”是單位向量的是()

A.?=(1,1)B.〃=(-1,0)

C.a=(cos38°,cos520)D.a-哨刎卜。)

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)單位向量的定義判斷即可;

【詳解】解：模為1的向量為單位向量，對(duì)于A：)=仏1),所以卜卜爐不二夜，故A錯(cuò)

誤;

對(duì)于B：a=(-1,0),則忖=J(-l『+02=1,故a=(-1,0)為單位向量，故B正確;

對(duì)于C：a=(cos38°,cos52°),貝川4=Jcos，38。+cos?52。=Jcos?38。+sin:38。=1,故

“=(cos38o,cos52。)為單位向量，故C正確;

m

=防(卜卜°)為單位向量，故D正確;

對(duì)于D：a==1,故“

故選：BCD

三、單選題

10.在AABC中,已知〃==4,c=3f則cosA=()

A丄B.受

A.2C.2D

22

【正確答案】A

【分析】由余弦定理直接求解即可.

【詳解】在中，已知a=b=4,c=3,

4?+32-1316+9-13_1

由余弦定理得：cosA

2x4x3242

故選：A

四、多選題

11.在直角梯形A88中，CD//AB,ABJ.BC,CD=\,AB=BC=2,E為線段8c的中

點(diǎn)，貝！I()

TT1Tf3f1一

A.AC=AD-i--ABB.DE=-AB——AD

242

(->ff

C?ABCD=2D-AEAC=6

【正確答案】ABD

【分析】利用向量的線性運(yùn)算證明選項(xiàng)A,B正確；利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積計(jì)算選項(xiàng)

C,D,即得解.

DC

-------7T

【詳解］/，E

—>—>—>—>1—>

A項(xiàng)，AC=AD+DC=AD+-AB,故A正確；

TTT1/->T、T1/-?I-*\T3T1T

B項(xiàng)，DE=AE-AD=-\^AC+AB\-AD=-^\AD+-AB\+AB-AD,=^AB--ADf故

B正確；

c項(xiàng)，因?yàn)?%與cb反向共線，DC=^AB=\,所以低.cb=_2,故C不正確；

D項(xiàng)，AE-AC=-{AC+AB\-AC=-AC+-AB-AC=-x8+-x2x2>/2xcos45o

2(丿2222

=6,故D正確.

故選：ABD.

方法點(diǎn)睛：平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，常用的方法有：（1）定義法W/=|力日|cosc；（2）

坐標(biāo)法：工=入/+%%?要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.

12.在./IBC中，角A、B、C所對(duì)的邊的長分別為。、b、J下列命題中正確的是（）

A.若tanA+tan8+tanC>0,則/3C一定是銳角三角形

B.若acosB=6cosA+c,貝I_ABC一定是直角三角形

C.若$淪4+5布8=$出（7（854+8$8）,則1ABe—定是鈍角三角形

D.若cos24=陪，貝LABC一定是銳角三角形

22c

【正確答案】AB

【分析】由已知結(jié)合兩角和的正切公式檢驗(yàn)A,由正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡可求A,

進(jìn)而可判斷8,由和差角公式進(jìn)行化簡可求C,進(jìn)而可判斷選項(xiàng)C,由二倍角公式及正弦定

理，和差角公式進(jìn)行化簡可判斷。.

【詳解】因?yàn)閠anA+tanB+tanC=tanAtanBtanC>0,

又一ABC中不可能有兩個(gè)鈍角，

故tanA>0,tanB>0,tanC>0,

所以A,B,C都為銳角，A正確；

因?yàn)椤os3=力cosA+c,

由正弦定理得sinAcosB=sinBcos/A+sinC,

即sin(A-B)=sinC,

所以A—B=C,即A=B+C,

因?yàn)锳+3+C=2A=〃，

所以A.,

所以/WC一定是直角三角形，8正確；

因?yàn)閟inA+sin8=sinC(cosA+cosB),

所以sin(B+C)+sinB=sinC(cosA4-cosB),

整理得(sin8+sinA)cosC=0,

因?yàn)?由3+5抽。>0,

所以cosC=0,即C=5,一定是直角三角形，C錯(cuò)誤;

Ba+c

因?yàn)閏os2—=

I+cosBa+c1a

所以---=—i--

22c22c

asinA

即nncos5=—=------,

csinC

所以sinA=sinCeosB=sin(B4-C)=sinBcosC+sinCeosB,

所以sin3cosc=0,

因?yàn)閟in3>0,

故cosC=0,即C為直角，則43c一定是直角三角形，。錯(cuò)誤.

故選：AB

五、填空題

ifrrr>_

13.已知向量〃、］滿足,|=回=1,：+4=>/3,則|24十年

【正確答案】近

【分析】將卜+4=6,兩邊同時(shí)平方，即可求得兩向量乘積，再將要求的關(guān)系式平方代入

即可.

【詳解】14Tbi=1，|。+0=道，（“+庁=/+2“丿+戸=3，解得a.b=g,所以

|2a+b/=4a+4a-b+b=7，貝lJ|2a+Z?|=x/7.

故#i

14...ABC的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為”,6,c.若b=6,a=2c,B=g，則一M。的面積為

【正確答案】6>/3

【分析】本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于c的方程，應(yīng)用。的關(guān)系、三角形面積公式計(jì)

算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)

算求解能力的考查.

【詳解】由余弦定理得尸=巒+/—為ccosB,

所以（2c>+/-2x2cxcx丄=6*2,*S

2

即=12

解得C=2^,C=-26（舍去）

所以a=2c=45

SSIABC=3acsin8=/x4^3x2,^3x=6^3.

本題涉及正數(shù)開平方運(yùn)算，易錯(cuò)點(diǎn)往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開方導(dǎo)致錯(cuò)誤.解答此類問

題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計(jì)算.

15.已知點(diǎn)。是銳角“ABC的外心，AB=8,AC=12,A=j,^AO=xAB+yAC,則

2x+3y=

【正確答案】j

【分析】先應(yīng)用外心是垂直平分線的交點(diǎn)，再應(yīng)用數(shù)量積的幾何意義求得A。和AC-AO

列出方程組求解即可.

【詳解】如圖，點(diǎn)。在AB、AC上的射影是點(diǎn)。、E,它們分別為AB、AC的中點(diǎn).

由數(shù)量積的幾何意義,可得荏.疝=,耳.］而卜32,AC-Ad=\AC\-\AE\=12.

AB-AC=ABxACxcosA=8xl2x丄=48

2

依題意有AB-AO=xA3'+yAC?AB=64x+48y=32，BP4x+3y=2.

同理厶。.40=x43-4。+)&。2=48犬+144_丫=72，即2x+6y=3?

將兩式相力口得6x+9y=5,所以2x+3y=g.

故答案為：

六、雙空題

3

16.如圖，在四邊形ABC。中，ZB=60\AB=3,BC=6,h.AD=ABC,ADAB=一-,

2

則實(shí)數(shù)/l的值為,若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=1,則。M-￡W的最小

值為.

【分析】可得NBAD=120,利用平面向量數(shù)量積的定義求得2的值，然后以點(diǎn)B為坐標(biāo)原

點(diǎn)，8c所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M（x,0）,則點(diǎn)N（x+l,O）（其中0Wx<5）,

得出DM-DN關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得DM-DN的最小值.

【詳解】AD=ABC，AAD//BC,.-.ZBAD=180-ZB=120,

ABAD=ABCAB=A\BC\-JAfi|cos120

=2x6x3x(-g)=-94=~~,

解得a=丄，

o

以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xBy,

BC=6,.-.C(6,0),

?：\AB\=3,ZABC=6O°,，A的坐標(biāo)為A

VXVAD=-BCM\\D設(shè)M（x,0）,則N（x+l,0）（其中04xK5）,

6

3⑻3

DM=\x--DN=x——

222

DM.ON=(x-|)(x-9+(容)=x2-4x+y=(x-2)2+y,

所以，當(dāng)x=2時(shí)，取得最小值了.

.113

故小T-

本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力,

屬于中等題.

七、解答題

17.計(jì)算

7T1［、一

(1)已知一5Vx<0,sinx+cosx=g,求sinx—cosx的值；

(2)已知向量a=(l,2)g=(2,-2),c=(l,/l).^c//(la+b),求7

7

【正確答案】(1)-二

⑵3

【分析】（1）根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得2sinxcosx=-不，再由

JT

--<x<0,可得sinx,cosx的正負(fù)，從而得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

?124

【詳解】（1）由sinx+cosx=—可得，sin2x+cos2x+2sinxcosx=—,所2sinxcosx=-----,

52525

jr

因?yàn)椤?lt;x<0,所以sinx<0,cosx>0,

2

則sinx-cosx=-^（sinx-cosx）2=->/l-2sinxcosx=一11+奈=--^.

（2）因?yàn)閍=（l,2）］二（2,—2）,c=（Vl）,則2。+匕=（2,4）+（2,—2）=（4,2）,

且0〃（2〃+6）,則;=（，可得

18.己知。為等邊..A8C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，|A8|=2,A8=§AO,且線段BC上存在點(diǎn)E,

41.

使得AEugAO+mAC.

（1）試確定點(diǎn)E的位置，并說明理由；

⑵求AEQC的值.

【正確答案】（1）E為靠近點(diǎn)8的一個(gè)三等分點(diǎn)，理由見解析

(2)-y

【分析】（1）用平面向量的線性關(guān)系找出點(diǎn)所在的位置；（2）用向量4艮AC分別表示出向

量AE,DC利用向量數(shù)量積公式計(jì)算.

23

【詳解】（1）因?yàn)锳B=§A。，所以=

431.21

所以AE=—x—AB+—AC=—A5+—AC,

92333

^BE=AE-AB^-AC--AB=-(AC-AB)=-BC,

3333

故點(diǎn)E為靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn).

3

(2)因?yàn)椤=￡)A+AC=qAB+4C,

所以AE.￡>C=(：AB+gAc)(-；AB+AC),

,11,

=-|A8『+-ABAC+-AC2,

63

1萬47

=-4+-|A^|-|AC|-cos-+-=一一.

6333

19.在中，角4,8,C所對(duì)的邊分別為“也c.已知a=2y/2,b=5,c=y/n.

(I)求角C的大小；

(II)求sinA的值；

(III)求sin(2A+?)的值.

【正確答案】(I)C=f;(IDsinA=:(III)sin(2A+三］

413I4J26

【分析】(I)直接利用余弦定理運(yùn)算即可；

(n)由(I)及正弦定理即可得到答案；

(III)先計(jì)算岀sinAcosA,進(jìn)一步求出sin24cos2A,再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.

【詳解】(I)在一中，由“=2應(yīng)力=5,c=J萬及余弦定理得

cose1%八J8+25J13二正,

2ab2x2y2X52

又因?yàn)橐弧＂?所以cq

(H)在一MC中‘由C=%"2"c=》及正弦定理，可得

242x—2拒

.qsinC

sinA=-----2

c13

(III)由知角A為銳角，由sin4=2辿3,可得cosA=V1—sin2A=

1313

1225

進(jìn)而sin2A=2sinAcosA=w，cos2A=2cosA-l=—

所以sin（2A+￡）=sin2Acos—+cos2Asin—=—x+—x—.

44413213226

【點(diǎn)晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考

查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.

20.設(shè)f（x）=2sinxc°sx-2cos+

（1）求/（x）的單調(diào)增區(qū)間及對(duì)稱中心；

⑵當(dāng)時(shí)，小+聿）=|,求cos2x的值.

【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是19+E，；+E］（/GZ）：對(duì)稱中心

L44JI2丿

⑵山

10

【分析】（1）先利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡得到/（x）=2sin2x-l,整體法求解函數(shù)的

單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱中心；

（2）先求出sin（2x+］）=g,結(jié)合xe（0,1J得到標(biāo)+梟6,兀），

從而求出cos（2x+］）=-|,利用余弦差角公式進(jìn)行求解.

【詳解】（1）由題意得：/（x）=sin2x-14-cosf2^+^j=sin2x-l+sin2x=2sin2x-l,

ITTTJT7T

由——+2E<2x<—4-2kjt(kGZ),可得——+H<x<—+kn(keZ)；

2244

所以/⑶的單調(diào)遞增區(qū)間是-＞嗚+ES

“TT

令2x=E,ksZ,解得：x=y,k￡Z,此時(shí)函數(shù)值為-1,

所以對(duì)稱中心為

(-1=2

(2)v/=2sin2x+]

r?5

4

sinI2.x4—

I35

兀4兀

x嗚,2x+

?,-r3'3

TtJint.以兀、.兀84

?.,當(dāng)+時(shí)，sin2x4—>sin———>一，

3,23325

C兀、71.f_兀、.兀

cos2%=cos2x+-=cos2x+—cos—+sin2x+—sin—

LI3丿3.(3丿313丿3

一，丄+±x與473-3

525210

21.在邊長為1的等邊三角形ABC中，￡＞為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，上丄他且交AB于點(diǎn)

E.DFA8且交AC于點(diǎn)凡

⑴求I28E+OFI的值

（2）求（Q￡+QF）-D4的最小值.

【正確答案】（1）1

【分析】（1）設(shè)=根據(jù)題意找到其他邊長，對(duì)所求進(jìn)行平方結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算

即可求出；（2）將GDE+OFAD4化為關(guān)于x的關(guān)系式即可求出最值.

【詳解】（1）設(shè)3E=x,xe（0,g）,一MC為邊長為1的等邊三角形，DEJ.AB,

...NBDE=30,BD=2x,DE=瓜,DC=l-2xt

DF//AB,..OFC為邊長為l-2x的等邊三角形，

/.（2BE+DF^=4BE2+4BE-DF+DF?=4x2+4x（1-2x）xcos0+（1-2x）2=b

/.|2BE+DF|=1.

BD

(2)DF//AB,:.DE工DF,

2

(DE+DF)DA=(DE+DF)(DE-i-EA)=DE+DFEA

2

=（6x『+（j_2x）x