考點突破練16函數(shù)的圖象與性質(zhì)BDC解析

∵26>4,∴f(26)=log5(26-1)=2.又2<4,∴f(f(26))=f(2)=e2-2=1.故選C.C5.(2023陜西西北工大附中期末)設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),且?x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則(

)A.f(-2)<f(-3)<f(1)

B.f(-3)<f(-2)<f(1)C.f(-1)<f(-2)<f(3)

D.f(-1)<f(3)<f(-2)C解析

由題意f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),所以f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),f(1)<f(2)<f(3),即f(-1)<f(-2)<f(3),故選C.CC∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù),排除A,C;當(dāng)x∈(0,1)時,ln|x|<0,x2+2>0,∴f(x)<0,排除B.故選D.C9.若函數(shù)f(x)滿足f(2-x)+f(x)=-2,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(

)A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1D解析

(方法一)函數(shù)f(x)滿足f(2-x)+f(x)=-2,可得f(1-x)+f(1+x)=-2,即為[f(1-x)+1]+[f(1+x)+1]=0,即f(-x+1)+1=-[f(x+1)+1],所以函數(shù)y=f(x+1)+1為奇函數(shù).(方法二)由函數(shù)f(x)滿足f(2-x)+f(x)=-2,得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,-1)對稱,將f(x)的圖象向左平移1個單位長度,再向上平移一個單位長度后,其圖象關(guān)于原點對稱,即f(x+1)+1的圖象關(guān)于原點對稱,則f(x+1)+1為奇函數(shù).故選D.B解析

∵x∈(0,1]時,f(x)=x(x-1),f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1),即f(x)的圖象如圖所示:A解析

令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1).從而f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x),從而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期為6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2,f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,C13.已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù),f(1)=0,f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x).若g(x+1)是偶函數(shù),則g(-0.5)=(

)A.-3 B.-2 C.2

D.3D解析

由g(x+1)是偶函數(shù),得g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,則有g(shù)(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(2-x-1)f(2-x),當(dāng)x≠1時,整理得f(x)+f(2-x)=0,∴f(x)的圖象關(guān)于(1,0)對稱.又f(x)是偶函數(shù),∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱,∴f(x)的周期為T=4×(1-0)=4,∴f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2,g(-0.5)=g[2-(-0.5)]=g(2.5)=1.5f(2.5)=3.D22解析

令y=f(x)=(x-1)2+ax+

,整理得f(x)=x2+(a-2)x+cos

x+1,∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2+(2-a)x+cos

x+1,∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù),∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos

x+1=x2+(2-a)x+cos

x+1,解得a=2.17.(2023四川內(nèi)江一模)已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且對任意的x都有f(x+1)=-f(x),當(dāng)0<x<1時,有f(x)=4x+3,則f(3.5)=

.

解析

由題得f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)的周期為2,所以f(3.5)=f(4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-(40.5+3)=-5.-501解析

根據(jù)題意可以用0,2為a的取值的分界點,研究函數(shù)f(x)的性質(zhì).當(dāng)a<0時,f(x)=-ax+1,x<a,該函數(shù)的值域為(-∞,-a2+1),故整個函數(shù)沒有最小值;當(dāng)a=0時,f(x)=-ax+1,x<a,該函數(shù)的值域為{1},而函數(shù)f(x)=(x-2)2,x≥a的值域為[0,+∞),即存在最小值為0,故a的一個取值可以為0;當(dāng)0<a≤2時,f(x)=-ax+1,x<a,該段函數(shù)的值域為(-a2+1,+∞),而函數(shù)f(x)=(x-2)2,x≥a的值域為[0,+∞),若存在最小值,則需滿足-a2+1≥0,于是結(jié)合0<a≤2可得0<a≤1;當(dāng)a>2時,f(x)=-ax+1,x<a,該段函數(shù)的值域為(-a2+1,+∞),而函數(shù)f(x)=(x-2)2,x≥a的值域為[(a-2)2,+∞),若存在最小值,則滿足-a2+1≥(a-2)2,此時無解.綜上,a的取值范圍為[0,1],故a的最大值為1.00解析

令x=y=1,f(2)+f(0)=2f2(1),∴f(2)=-1,令x=2,y=1,f(3)+f(1)=2f(2)f(1),∴f(3)=0,令y=1,則f(x+1)+f(x-1)=0,即f(x+1)=-f(x-1),可得f(x+2)=-f(x),f(x)=-f(x+2)=f(x+4),f(x)的周期T=4,f(1)=0,f(2)=-1,f(3)=0,f(4)=f(0)=1,∴x為奇數(shù)時,f(x)=0,n為奇數(shù)時,n2也為奇數(shù),即f(n2)=0;n為偶數(shù)時,n2為4的整數(shù)倍,則f(n2)=1.∴f(12)+f(22)+…+f(2

0232)=0+1+0+1+…+0+1+0=1

011,n2+(n+1)2=2n2+2n+1=2n(n+1)+1,由n∈Z,則n(n+1)為偶數(shù),記n2+(n+1)2=2n(n+1)+1=4kn+1,kn∈Z,12+22+…+2

0232=(12+22)+(32+42)+…+(2

0212+2

0222)+2

0232=4(k1+k3+…