2023.2024學年廣東省惠州市惠城區河南岸中學九年級（上）開

門考數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.要使式子GT?有意義，則》必須滿足（）

A.%>0B.%。-4C.xN—4D.%>—4

2.下列四個圖象中，y不是x的函數的是（）

3.為慶祝中國共產黨建黨100周年，某校開展主題為使在我心中》的繪畫、書法、攝影等

藝術作品征集活動，從八年級5個班收集到的作品數量（單位：件）分別為50、45、42、46、50,

則這組數據的眾數是（）

A.46B.45C.50D.42

4.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.FTB.04C.OJD.>/-50

5.雙減政策落地，各地學校大力提升學生核心素養，學生的綜合評價分學習、體育和藝術三

部分，學習成績、體育成績與藝術成績按5：3：2計入綜合評價，若宸宸學習成績為90分，

體育成績為80分，藝術成績為85分，則他的綜合評價得分為（）

A.84B.85C.86D.87

6.已知△4BC中，a、b、c分別是乙4、厶B、4C的對邊，下列條件中不能判斷△4BC是直角

三角形的是（）

A.=ZC-乙BB.a2=b2-c2

C.Q=3,匕=5,c=4D.a：b：c=2：3：4

7.平行四邊形的周長為24,相鄰兩邊的差為2,則平行四邊形的各邊長為（）

A.4,4,8,8B.5,5,7,7

C.5.5,5.5,6.5,6.5D.3,3,9,9

8.在函數y=-2x+b的圖象上有8（一2/2）兩個點，則下列各式中正確的是（）

A.y1<y2B.%<y2C.%>y2D.%>y2

9.如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形人B、D

的面積依次為6、10、24,則正方形C的面積為（）

A.4B.6C.8D.12

10.如圖，正方形4BCD的面積為1,A/IBE是等邊三角形，點E

在正方形ABCD內，在對角線4c上有一點P,使PD+PE的和最

小，則這個最小值為（）

A.1

B.V-2

C.<3

D.不能確定

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.已知a為正整數，且，京也為正整數，貝b的最小值為

12.甲、乙兩個芭蕾舞團的女學員身高的方差分別是s%=1.5、s：=2.5,則女學員身高更

整齊的是芭蕾舞團（填“甲”或"乙”）.

13.在菱形4BCD中，對角線AC和BD相交于點0,AC=4cm,BD=8cm,則這個菱形的面

積是cm2.

14.將直線y=2%上平移5個單位，得到直線的解析式.

15.如圖1,在矩形/BCD中，AB>AD,對角線AC,BC相交于點。，動點P由點4岀發，沿

AtBtC運動.設點P的運動路程為x,△40P的面積為y,y與％的函數關系圖象如圖②所示，

則BC邊的長為.

三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題8.0分）

計算：G+-X/32+V(-2)2-|2-<6|,

17.（本小題8.0分）

如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、ADk,且BE=DF,請判斷AE與CF的數量

關系，并說明理由.

18.（本小題8.0分）

已知：直線y=/ex+b與直線y=相交于點P（2,m）,與x軸、y軸分別交于點4、B,點B的

坐標為（0,2）.求直線y=kx+b的函數解析式及點4的坐標.

19.（本小題9.0分）

為切實做好校內“午托”工作，某學校食堂為參加“午托”的學生提供了四種價格的午餐供

其選擇，四種價格分別是46元；B：7元；C：8元；D：10元.為了解學生對四種午餐的購

買情況，學校隨機抽樣調查了一部分學生某天四種午餐的購買情況，依統計數據繪制成了如

部分同學購餐價格扇形統計圖

（1）求被抽查的學生人數及m的值，并補全條形統計圖;

（2）被抽查學生購買午餐費用的平均價為,眾數為,中位數為

（3）若該校參加“午托”的學生有1200人，請估計購買7元午餐的學生有多少人？

20.（本小題9.0分）

明朝數學家程大位在他的著作德法統宗丿中寫了一首計算秋千繩索長度的詞居江月丿：

“平地秋千未起，踏板一尺離地送行二步恰竿齊，五尺板髙離地…”翻譯成現代文為：如圖,

秋千。力靜止的時候，踏板離地高一尺04c=1尺），將它往前推進兩步（EB=10尺），此時踏

板升高離地五尺(BC=5尺)，求秋千繩索(04或0B)的長度.

21.(本小題9.0分)

為響應國家“全民閱讀，建設學習型社會”的倡議，營造讀書好，好讀書，讀好書的氛圍，

某校圖書館購進甲、乙兩種圖書，已知甲、乙兩種圖書的單價分別是25元和8元.

(1)學校第一次購買甲、乙兩種圖書共100本，且恰好支出1820元，求第一購買了甲、乙兩種

圖書各多少本？

(2)若學校準備再次購買甲、乙兩種圖書共210本，且甲種圖書的數量不低于乙種圖書數量的

一半，請問怎么購買費用最少？最少費用是多少元？

22.(本小題12.0分)

如圖，在中，AC,BD相交于點0,AB=AD,AC=8,BD=6,CE//BD,BE//AC,

連接0E,BC與0E相交于點P,連接DP.

(1)求4B的長；

(2)求證：OE=AD；

(3)求DP的長.

OE

AB

23.(本小題12.0分)

如圖，在平面直角坐標系中，直線，1：y=-刀+5與y軸交于點4,直線，2與x軸、y軸分別交

于點8(-4,0)和點C,且與直線，［交于點。(2,m).

(1)求直線％的解析式；

(2)若點E為線段BC上一個動點，過點E作EF丄x軸，垂足為F,且與直線厶交于點G,當EG=6

時，求點G的坐標；

(3)若在平面上存在點“，使得以點4,C,D,H為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出

點H的坐標.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：要使式子CTR有意義，

即x+420,

x>—4.

故選：C.

根據二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數是非負數.進行計算即可得出答案.

本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練應用二次根式有意義的條件進行計算是解決本題的

關鍵.

2.【答案】D

【解析】解：由函數的定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y,對于x的每一個確定的值，y都

有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數，

選項A、B、C中的圖象，y是％的函數，故4、B、C不符合題意；

選項。中的圖象，y不是x的函數，故。符合題意.

故選：D.

設在一個變化過程中有兩個變量x與y,對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么

就說y是x的函數，由此即可判斷.

本題考查函數的概念，關鍵是掌握函數的定義.

3.【答案】C

【解析】解：「SO出現了2次，出現的次數最多，

這組數據的眾數是50.

故選：C.

根據眾數的定義：一組數據中出現次數最多的數，依此即可得出答案.

此題考查了眾數，眾數是一組數據中出現次數最多的數，注意眾數不止一個.

4.【答案】B

【解析】解：4、/^=嘗，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

8、E是最簡二次根式，故此選項符合題意；

c、CN=/馬=音，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

D、<50=5<7,不是最簡二次根式，故此選項不符合題意.

故選：B.

根據最簡二次根式的定義即可選出正確選項.

本題考查最簡二次根式，解題的關鍵是掌握最簡二次根式的定義：被開方數不含能開的盡的因數

或因式，被開方數的因數數整數，因式是整式.

5.【答案】C

【解析】解：根據題意，他的綜合評價得分為管J85X2=86（分）.

故他的總成績是86分.

故選：C.

根據加權平均數的計算方法即可求解.

本題考查加權平均數，解答本題的關鍵是明確題意，利用加權平均數的計算方法解答.

6.【答案】D

【解析】解：?乙4=NC—

，Z.C=Z.A+CB.

vNA+4B+4。=180°,

???2ZC=180°.

???ZC=90°.

此時，是直角三角形.

B.,:a2=b2—c2,

???a2+c2=h2.

??.△ABC是直角三角形.

Ca=3,b=5,c=4,

???a2+&2=c2.

??.△ABC是直角三角形.

D.va：b：c=2：3：4,

???設a=2%,b—3%,c-4x.

?

??Q2+力2=4%2+9%2―13%2,C2——16/,

???a24-b2c2.

不是直角三角形.

故選：D.

根據三角形內角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解決此題.

本題主要考查三角形內角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟練掌握三角形內角和

定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解決本題的關鍵.

7.【答案】B

【解析】解：設兩鄰邊分別為x,y,

,^__(2(x+y)=24

由題HH意可rz得s員-/2，

解得O

所以平行四邊形的各邊長為5,5,7,7,

故選:B.

利用平行四邊形兩組對邊相等，進而再利用周長及兩邊的關系建立方程組即可求解.

主要考查了平行四邊形的基本性質，并利用性質解題.平行四邊形基本性質：①平行四邊形兩組

對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行

四邊形的對角線互相平分.

8.【答案】A

【解析】解：???一次函數解析y=-2x+b中的—2<0,

該函數圖象上的點的y值隨x的增大而減小.

又：1>-2,

"yi<72-

故選：A.

根據一次函數圖象的增減性即可得到結論.

本題考查了一次函數圖象上點坐標特征.熟練掌握一次函數的性質是解題的關鍵.

9.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的幾何意義，知道直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊

的平方.

根據勾股定理的幾何意義：S正方形A+S正方形B-S正方形E-S正方形D~S正方形c=S土方形E解得即可?

【解答】

解：由題意：S正方形A+S正方形B~S正方形E，S正方形D~S正方形c-S正方形E，

"S正方形A+S正方形B~S正方切—S正方形c

???正方形4、B、。的面積依次為6、10、24,

"一S正方形c=6+10,

:?S正方形c=8.

故選：C.

10.【答案】A

【解析】解：???正方形中B與。關于AC對稱，

???PB=PD,

PD+PE=PB+PE=BE,此時PC+PE最小,

???正方形4BCD的面積為1,AABE是等邊三角形，

BE=1,

PD+PE最小值是1,

故選：A.

由正方形的對稱性可知，PB=PD,當B、P、E共線時PO+PE最小，求岀BE即可.

此題主要考查軸對稱-最短路線問題，要靈活運用對稱性解決此類問題.

11.【答案】3

【解析】解：v<12^=2/^.且開方的結果是正整數，

???3a為某數的平方，

又「3x3=9,9是滿足題意最小的被開方數，

a的最小值為3.

故答案為：3.

首先將被開方數化簡，然后找到滿足題意的最小被開方數即可.

本題考查了二次根式的定義，知道開方結果為正整數被開方數必為平方數.先化簡再討論是本題

的關鍵.

12.【答案】甲

【解析】【分析】

根據方差的意義求解即可.

本題主要考查方差，方差是反映一組數據的波動大小的一個量.方差越大，則平均值的離散程度

越大，穩定性也越小；反之，則宜與其平均值的離散程度越小，穩定性越好.

【解答】

解：5=L5、s；=2.5,

?1?s懦<S；,

???女學員身高更整齊的是芭蕾舞團甲，

故答案為：甲.

13.【答案】16

【解析】解：AC=4cm,BD=8cm,

二菱形的面積=jx4x8=16(cm2).5-------------------V)

故答案為，16.

C.

根據菱形的面積等于對角線乘積的一半解答即可得到結論.

本題主要考查利用對角線求菱形面積的方法，熟記''菱形的面積等于對角線乘積的一半”是解決

問題的關鍵.

14.【答案】y=2x+5

【解析】解：直線y=2%上平移5個單位，得到直線的解析式為y=2%+5,

故答案為：y=2x+5.

根據“上加下減”的原則進行解答即可.

本題考查的是一次函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減”的原則是解答此題的關鍵.

15.【答案】4

【解析】解：從圖象看，當點P到達點B時，△AOP的面積為6,此時AAOP的高為^BC,

40P的面積=gx4Bx=6,解得4B-BC=24①,

而從圖②看，AB+BC=10(2),

聯立①②并解得｛縱二:.

故答案為：4.

當點P到達點B時，AAOP的面積為6,此時AAOP的高為^BC,則6=gxABx《BC),解得4B?

BC=24,而4B+BC=10,即可求解.

本題考查的是動點問題的函數圖象，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關

系，進而求解.

16.【答案】解：原式=，石+2—(，石—2)

=2/7-V-6+2-/7+2

=4.

【解析】根據二次根式的性質、二次根式的加減運算以及乘除運算法則即可求出答案.

本題考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練運用二次根式的加減運算、乘除運算法則，本

題屬于基礎題型.

17.【答案】解：AE=CF,AE〃CF.理由如下:

在平行四邊形48CD中，AD//BC,AD=BC.

vBE=DF,

CE=AF,

???四邊形4ECF是平行四邊形.

:.AE=CF,AE//CF.

【解析】只要證明四邊形4ECF是平行四邊形，則可知線段4E與線段CF有怎樣的數量關系和位置

關系.

本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵.平行四邊形

的五種判定方法與平行四邊形的性質相呼應，每種方法都對應著一種性質，在應用時應注意它們

的區別與聯系.

18.【答案】解：把P(2,m)代入y=得：m=1,

???P(2,l),

把P(2,l)、B(0,2)分別代入y=kx+b得：db=(

解得：卜=T,

lb=2

1.r

???y=--x+2.

令y=0得：—得刀+2=0,

解得：x=4,

???點力的坐標為(4,0).

【解析】先求出P點坐標，再根據P和B點坐標求出直線、=/^+6的函數解析式即可.

本題考查了一次函數的解析式、交點坐標，明確一次函數的相關性質并數形結合，是解題的關鍵.

19.【答案】7.68元8元8元

【解析】解：(1)被抽查的學生人數有：6+12%=50(人)，

m%=l-12%-36%-14%=38%,即m=38；

7元的人數有：50x36%=18（人），

6x6+18x7+19x8+7x10

(2)被抽查學生購買午餐費用的平均價為:=7.68（元）,

50

???8出現了19次，出現的次數最多,

二眾數是8元;

?.?共有50個數，中位數是低25、26個數的平均數,

中位數是：等=8(元);

故答案為：7.68兀，8兀，8兀;

(3)根據題意得:

1200x36%=432(A),

答：估計購買7元午餐的學生有432人.

(1)根據6元的人數和所占的百分比，求出調查的總人數，再用整體1減去其它所占的百分比，求出

m的值，然后用總人數乘以7元的人數所占的百分比，求出7元的人數，從而補全統計圖；

(2)根據平均數的計算公式、眾數和中位數的定義即可得出答案；

(3)用該校的總人數乘以購買7元午餐的學生所占的百分比即可.

此題主要考查了條形統計圖與扇形統計圖，讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題

的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據.

20.【答案】解：設。4=0B=x尺，

vEC=BD=5尺，AC=1尺，

EA=EC-AC=5-1=4(尺)，OE=OA-AE=(x-4)尺，

在中，0E=(x-4)尺，08=x尺，EB=10尺，

根據勾股定理得：/=(%—4)2+102,

整理得：8x=116,即2x=29,

解得：x=14.5.

則秋千繩索的長度額14.5尺.

【解析】此題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵.設04=0B=x尺，

表示出0E的長，在直角三角形0E8中，利用勾股定理列出關于*的方程，求出方程的解即可得到

結果.

21.【答案】解：(1)設購買甲種圖書a本，乙種圖書b本，根據題意，得：

(a+b=100

(25a+8b=1820)

解甌謂

答：購買甲種圖書60本，乙種圖書40本；

(2)設購買費用為w元，購買乙種圖書工本，則買甲種圖書(210-x)本，根據題意，得：

w=25(210—%)+8%

=-17x4-5250,

由甲種圖書的數量不低于乙種圖書數量的一半，得：

210—x>

解得x<70,

???w=-17%+5250,-17<0,

w隨X的增大而減小，

當％=70時，狀最小=-17X70+5250=4060元，

此時210-70=140元，

答：當購買甲種圖140本，購買乙種圖書70本時，購買費用最少，最少費用是4060元.

【解析】(1)根據題意列方程組解答即可；

(2)設購買費用為w元，購買乙種圖書x本，數量根據題意w與x的關系式，并根據題意列不等式得

出工的取值范圍，再根據一次函數的增減性解答即可.

本題考查二元一次方程組、一元一次不等式、一次函數的應用，解題的關鍵是明確題意，找岀所

求問題需要的條件.

22.【答案】解：(1)?.?四邊形4BCD是平行四邊形，AC=8,BD=6,

DO=BO=^BD=3,AO=^AC=4,

y.'-AB=AD,

：.AO1BD,即乙408=90°,

在RtAAOB中，根據勾股定理可得：AB2=AO2+BO2,

AAB=?42+32=5.

⑵???CE//OB,BE/IOC,

???四邊形BOCE是平行四邊形，

又?：厶AOB=90°,

平行四邊形80CE是矩形，

:.0E=BC,

???四邊形4BCC是平行四邊形，

??.AD=BC,

0E=AD.

(3)如圖所示，過點P作PF_LBD交BD于點F,

圖1

???四邊形BOCE是矩形，

11

???P04EO,PB=”C,E0=BC.

:?PO=PB,

又??.PFA.BD,

113

???尸0=加0=/3=全

又,；PB=3BC,

.??PF是△OBE的中位線，

：.PF=^CO=^x4=2,

在RtAOOF,根據勾股定理可得：DP2=PF2+DF2,

；.DP2=22+(|+3產

??DP=J22+(|+3>=粵.

【解析】(1)證四邊形4BCD是菱形，得。A=4,0B=3,ACLBD,再由勾股定理即可求解；

(2)證四邊形BOCE是平行四邊形，再由菱形的性質得AO=BC,AC1BD,貝IJ/BOC=90。，即可

得出結論；

(3)過點P作PF丄BC交BC于點F,求出F0=|,由三角形中位線定理求出PF=2,然后由勾股定

理求解即可.

本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識；

熟練掌握矩形的判定與性質