第一章空間向量與立體幾何1.1.1空間向量及其線性運算新課導入在滑翔的過程中，飛行員會受到來自不同方向、不同大小的力，如繩索的拉力、風力、重力等，這些力在同一平面內嗎？新知探究問題1平面向量是什么？你能類比平面向量給出空間向量的概念嗎？一、空間向量的有關概念平面向量的概念空間向量的概念

平面內，既有大小又有方向的量，稱為平面向量，平面向量的大小叫做向量的長度或模，記作

或|a|.

空間中，既有大小又有方向的量，稱為空間向量，空間向量的大小叫做向量的長度或模，記作

或|a|.新知探究問題2如何表示平面向量？你能類比平面向量的表示，給出空間向量的表示嗎？平面向量的表示法空間向量的表示法

(1)有向線段

A(起點)B(終點)a(2)字母

a，b，c，…(3)坐標表示：a＝(x，y)(1)有向線段(2)字母a，b，c，…(3)坐標表示：a＝(x，y，z)新知探究問題3在學習平面向量時，我們還學習了不少新的概念.你還記得有哪些嗎？你能把這些概念推廣到空間向量中嗎？平面向量的相關概念

空間向量的相關概念零向量：單位向量：相等向量：相反向量：模為0的向量，記作

0

；零向量的方向任意；模為1的向量；模和方向都相同的兩個向量，記作a＝b；模相同，方向相反的兩個向量，記作

a＝－b

；新知探究問題3在學習平面向量時，我們還學習了不少新的概念.你還記得有哪些嗎？你能把這些概念推廣到空間向量中嗎？平面向量的相關概念共線向量：方向相同或相反的兩個非零向量，叫做共線向量或平行向量，記作

a//b；

空間向量的相關概念規定:零向量和任意向量共線.共線（平行）向量：若表示空間向量的有向線段所在直線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a//b；規定:零向量和任意向量共線.新知探究平面向量的線性運算①加法：

②減法：

③數乘：

問題4平面向量的線性運算有哪些？我們如何研究這些運算？三角形和平行四邊形法則新知探究二、空間向量的線性運算和運算律追問1空間向量的線性運算如何進行？ba.Oα空間向量的線性運算

轉化平面向量的線性運算新知探究二、空間向量的線性運算和運算律平面向量的運算律空間向量的運算律

①交換律：②結合律：③分配律：①交換律：②結合律：③分配律：a+b＝b+a；a+(b+c)＝(a+b)

+c，λ(μa)＝(λμ)a；(λ+μ)a＝λa+

μa，λ(a+b)＝λa+

λb.a+b＝b+a；a+(b+c)＝(a+b)

+c，λ(μa)＝(λμ)a；(λ+μ)a＝λa+

μa，λ(a+b)＝λa+

λb.問題5空間向量線性運算律的證明和平面向量有哪些異同，如何證明空間向量的加法結合律？新知探究探究1：如圖1.1-6,在平行六面體

中,分別標出

表示的向量.從中你能體會向量加法運算的交換律和結合律嗎?一般地,三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關系?平行六面體法則：共起點，連對角當堂訓練課本：P5新知探究探究2：對任意兩個空間向量

如果

有什么位置關系？反過來，

有什么位置關系時，平面向量共線的充要條件空間向量共線的充要條件

對任意兩個平面向量

a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，

使a＝λb

.

追問(1)

你還記得兩個向量共線的充要條件嗎？這個充要條件對于空間向量也成立嗎？

對任意兩個空間向量

a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，

使a＝λb

.新知探究如右圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.對于直線l上任意一點P，由向量共線的充要條件可知，存在唯一確定的實數λ

，使得=λa.也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定.新知探究追問(2)

任意兩個空間向量都可以通過平移，移到同一平面內，三個向量呢？ab.Oαcp

任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能共面，也可能不共面.

如何判斷三個向量是否共面呢？

新知探究追問(3)

你還記得平面向量基本定理的內容嗎？它和三個空間向量共面有什么關系？ab.Oαpp＝xa+yb若向量a，b是平面α內兩個不共線的向量，則α內任意一個向量p，存在唯一的有序實數對(x，y)

，使得：

p＝xa+yb.ab.Oαp若p在α內，則有p＝xa+yb；若p＝xa+yb，則p在α內.p新知探究平面向量基本定理空間向量共面的充要條件

若向量a，b是平面α內兩個不共線的向量，則α內任意一個向量p，存在唯一的有序實數對(x，y)

，使得：p＝xa+yb.ab.Oαp兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使得：p＝xa+yb.ABC新知探究三、共面向量定理及其推論①空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對(x,y)，使②P、A、B、C四點共面的充要條件是對空間任意一點O，ACBP典例剖析例1

如圖,已知平行四邊形ABCD,從平面AC