押題07第15-17題導數及其應用（九大題型）-沖刺2024年高考數學考點押題模擬預測卷（新高考專用）押題07第15-17題導數及其應用（九大題型）1．（2023·全國·高考真題）已知函數．(1)討論的單調性；(2)證明：當時，．押題07導數及其應用高考模擬題型分布表題型序號題型內容題號題型1單調性、極值問題1-6題型2求參數范圍7-12題型3最值問題13-16題型4證明不等式17-19題型5零點問題20-21題型6有解恒成立問題22-23題型7導數與三角函數24題型8導數與圓錐曲線25題型9導數與統計概率26題型1：單調性、極值問題1．（2024·重慶·模擬預測）已知函數在時取得極值.(1)求實數；(2)若，求的單調區間和極值.2．（20-21高二下·安徽滁州·開學考試）已知函數在處有極值.(1)求、的值；(2)求出的單調區間，并求極值.3．（23-24高三上·陜西咸陽·期中）已知函數.(1)若，求函數的極值；(2)求函數的單調區間.4．（23-24高三上·湖北·期中）已知函數.(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；(2)討論函數的單調性.5．（2020高二下·河南鄭州·學業考試）已知函數.（1）若是函數的極值點，求的值；（2）求函數的單調區間.6．（20-21高二上·山東臨沂·期末）已知函數．（1）當時，求曲線在處的切線方程．（2）時，若，求的定義域，并分析其單調性．題型2：求參數范圍7．（2024·山東煙臺·一模）已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.8．（2022高三上·河南·專題練習）已知函數．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若函數在處取到極小值，求實數m的取值范圍．9．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數．(1)當時，求函數的單調區間；(2)若，不等式在上存在實數解，求實數的取值范圍．10．（2024·陜西西安·一模）已知函數．(1)若，求的單調區間；(2)若在其定義域上單調遞增，求k的取值范圍．11．（2024·遼寧·一模）已知函數(1)討論的零點個數;(2)當時，|求a的取值范圍.12．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數在處的切線與直線平行．(1)求的單調區間；(2)當時，恒有成立，求k的取值范圍．題型3：最值問題13．（22-23高二下·河南·期中）已知函數在點處的切線方程為．(1)求實數和的值；(2)求在上的最大值（其中e是自然對數的底數）．14．（2024·江西南昌·一模）已知函數.(1)求的單調遞減區間；(2)求的最大值.15．（23-24高二上·江蘇揚州·期末）已知函數在處取得極小值5．(1)求實數a，b的值；(2)當時，求函數的最小值．16．（2024·安徽黃山·一模）已知函數在處取得極大值．(1)求的值；(2)求在區間上的最大值．題型4：證明不等式17．（2024·廣東廣州·一模）已知函數，.(1)求的單調區間和極小值；(2)證明：當時，.18．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知函數，其中．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求證：的極大值恒為正數．19．（2024·安徽合肥·一模）已知函數，當時，有極大值.(1)求實數的值；(2)當時，證明：.題型5：零點問題20．（23-24高三下·四川雅安·開學考試）已知函數．(1)若，當時，證明：．(2)若，證明：恰有一個零點．21．（23-24高三上·河南·期末）已知函數．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若，研究函數在上的單調性和零點個數．題型6：有解恒成立問題22．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.(1)求函數的極值；(2)若對任意有解，求的取值范圍.23．（2024·四川南充·二模）已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.題型7：導數與三角函數24．（2024·江蘇南通·二模）設函數.已知的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為，且.(1)若在區間上有最大值無最小值，求實數m的取值范圍；(2)設l為曲線在處的切線，證明：l與曲線有唯一的公共點.題型8：導數與圓錐曲線25．（2024·四川南充·二模）已知點是拋物線上的定點，點是上的動點，直線的斜率分別為，且，直線是曲線在點處的切線.(1)若，求直線的斜率；(2)設的外接圓為，試判斷直線與圓的位置關系，并說明理由.題型9：導數與統計概率26．（2024·全國·模擬預測）公元1651年，一個問題引發了數學家德梅赫、帕斯卡、費馬和惠更斯等人的討論，這三位當時全歐洲乃至全世界最優秀的科學家都給出了正確的解答．該問題如下：設兩名賭徒約定誰先贏局，誰便贏得全部賭注元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨立．在甲贏了局，乙贏了局時，賭博意外終止．賭注該怎么分才合理？這三位數學家給出的答案是：如果出現無人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續進行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注．(1)甲、乙賭博意外終止，若，，，，，求甲應分得的賭注；(2)記事件為“賭博繼續進行下去乙贏得全部賭注”，試求當，，時賭博繼續進行下去甲贏得全部賭注的概率；當時，求事件發生的概率的最大值．押題07第15-17題導數及其應用（九大題型）1．（2023·全國·高考真題）已知函數．(1)討論的單調性；(2)證明：當時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導，再分類討論與兩種情況，結合導數與函數單調性的關系即可得解；（2）方法一：結合（1）中結論，將問題轉化為的恒成立問題，構造函數，利用導數證得即可.方法二：構造函數，證得，從而得到，進而將問題轉化為的恒成立問題，由此得證.【解析】（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，則，當且僅當時，等號成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.押題07導數及其應用高考模擬題型分布表題型序號題型內容題號題型1單調性、極值問題1-6題型2求參數范圍7-12題型3最值問題13-16題型4證明不等式17-19題型5零點問題20-21題型6有解恒成立問題22-23題型7導數與三角函數24題型8導數與圓錐曲線25題型9導數與統計概率26題型1：單調性、極值問題1．（2024·重慶·模擬預測）已知函數在時取得極值.(1)求實數；(2)若，求的單調區間和極值.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出函數的導函數，依題意可得，即可求出參數的值，再檢驗即可；（2）由（1）可得，利用導數求出函數的單調區間與極值.【解析】（1）因為，所以，由題意得，即，解得，經檢驗符合題意；（2）由（1）得，，則，由得或，得，即的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，所以的極大值為，極小值為2．（20-21高二下·安徽滁州·開學考試）已知函數在處有極值.(1)求、的值；(2)求出的單調區間，并求極值.【答案】(1)，(2)答案見解析【分析】（1）由題意可得出，即可解得實數、的值；（2）利用導數與函數單調性的關系可求得函數的增區間和減區間，由此可得出函數的極值.【解析】（1）解：因為，該函數的定義域為，，則，解得，此時，，經檢驗，，合乎題意.因此，，.（2）解：因為，該函數的定義域為，，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數的遞減區間為，遞增區間為，函數的極小值為，無極大值.3．（23-24高三上·陜西咸陽·期中）已知函數.(1)若，求函數的極值；(2)求函數的單調區間.【答案】(1)函數的極大值為，無極小值(2)答案見解析【分析】（1）求導，即可根據函數的單調性求解最值，（2）求導，分類討論即可根據導函數的正負確定函數的單調性.【解析】（1）當時，，其定義域為，.令，則.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，函數的極大值為，無極小值.（2），，當時，，在上單調遞增；當時，由，得，若，則,若，則，單調遞減，當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為，綜上，當時，函數的單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.4．（23-24高三上·湖北·期中）已知函數.(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；(2)討論函數的單調性.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求導，根據導函數幾何意義和平行關系得到方程，求出，從而得到，求出切線方程；（2）求定義域，求導，對導函數因式分解，分，和三種情況，討論得到函數的單調性.【解析】（1），由已知，∴得又∴曲線在點處的切線方程為化簡得：（2）定義域為R，，令得或①當即時，令得或，令得，故在單調遞減，在，上單調遞增；②當即時，恒成立，故在R上單調遞增；③當即時，令得或，令得，在上單調遞減，在，上單調遞增；綜上，當時，在單調遞減，在，上單調遞增；當時，在R上單調遞增；當時，在上單調遞減，在，上單調遞增；5．（2020高二下·河南鄭州·學業考試）已知函數.（1）若是函數的極值點，求的值；（2）求函數的單調區間.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）利用，解得，再檢驗可得答案；（2）求導后，對分和討論，根據可得增區間，可得遞減區間.【解析】（1）函數定義域為，，因為是函數的極值點，所以，解得（舍）或經檢驗，時，是函數的極值點，所以.（2）若，，所以函數的單調遞增區間為，無遞減區間；若，令，解得，令，解得，所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.綜上所述：，函數的單調遞增區間為，無遞減區間；當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.【點睛】本題考查了根據函數的極值點求參數，考查了分類討論思想，考查了由導數求單調區間，屬于基礎題.6．（20-21高二上·山東臨沂·期末）已知函數．（1）當時，求曲線在處的切線方程．（2）時，若，求的定義域，并分析其單調性．【答案】（1）；（2）定義域為，單調性見解析.【分析】（1）根據導數的幾何意義，可得切線斜率為，再由根據點斜式即可得解；（2）由可得，再通過導數研究函數單調性即可.【解析】（1）當時，，所以

又，所以曲線在處的切線方程為．（2）當時，，∴函數的定義域為，∴，當時，，當時，，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減.題型2：求參數范圍7．（2024·山東煙臺·一模）已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據斜率關系，即可求導求解，（2）求導判斷函數的單調性，即可求解函數的最值求解.【解析】（1）由于的斜率為，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故當時，單調遞增，當時，單調遞減，故當時，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為8．（2022高三上·河南·專題練習）已知函數．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若函數在處取到極小值，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，即可根據點斜式求解直線方程，（2）求導，分類討論的取值，即可結合函數的單調性求解極值.【解析】（1）由題意，，則，又，故所求的切線方程為．（2）由題意，，故．若，則，故當時，，當時，，故當時，函數取到極小值；若，則令，解得或，要使函數在處取到極小值，則需，即，此時當時，，當時，，當時，，滿足條件．綜上，實數m的取值范圍為．9．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數．(1)當時，求函數的單調區間；(2)若，不等式在上存在實數解，求實數的取值范圍．【答案】(1)單調增區間為，單調減區間為(2)【分析】（1）根據導函數的正負判斷函數的遞增遞減區間即得；（2）通過代入不等式整理成在上存在實數解問題，故可轉化成求函數在得最小值問題，計算即得.【解析】（1）當時，，∴，由，得，由，得，所以函數的單調增區間為，單調減區間為；（2）原條件等價于：在上存在實數解．化為在上存在實數解，令，

則，∴在上，，得，故在上單調遞增，∴的最小值為，∴時，不等式在上存在實數解．10．（2024·陜西西安·一模）已知函數．(1)若，求的單調區間；(2)若在其定義域上單調遞增，求k的取值范圍．【答案】(1)遞增區間是，，遞減區間是；(2).【分析】（1）求出函數的導數，把代入并求出的單調區間.（2）由（1）的信息，結合單調性建立恒成立的不等式，再分離參數求解即得.【解析】（1）函數的定義域為，求導得，當時，，當或時，，當時，，因此函數在，上單調遞增，在上單調遞減，所以函數的遞增區間是，，遞減區間是.（2）由（1）知，，由在其定義域上單調遞增，得，則，當時，，當且僅當時取等號，因此，解得，當時，，在上遞增，所以k的取值范圍是【點睛】方法點睛：用導數求函數的單調區間或判斷函數的單調性問題時應注意如下幾方面：①在利用導數討論函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域；②不能隨意將函數的2個獨立的單調遞增（或遞減）區間寫成并集形式；③利用導數解決含參函數的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數形結合思想的應用.11．（2024·遼寧·一模）已知函數(1)討論的零點個數;(2)當時，|求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)的取值范圍為【分析】（1）構造函數，首先利用導數判斷函數的大致圖象，結合分類討論思想求解可得答案；（2）將原不等式轉化為，再利用導數結合虛設零點的方法解不等式即可.【解析】（1）令，則當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，作出的大致圖象如下圖所示：

當時，，無零點；當時，，得，由上圖知：當，即時，無零點；當或，即或時，有1個零點；當，即時，有2個零點.（2）當時，顯然在上單調遞增，由（1）知，在區間上有唯一的零點，即，當時，由得，即，設函數，則，在上單調遞減，所以，解得，當時，，由得，即，設，則，由得，所以在上單調遞增，所以，解得，綜上，由得，綜上：的取值范圍為.【點睛】方法點睛：求解函數零點個數的步驟：（1）確定函數定義域；（2）計算導數；（3）求出導數等于0的根；（4）用導數為0的根將定義域分成若干個區間，確定函數的單調區間；（5）結合零點存在性定理判斷出零點個數.12．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數在處的切線與直線平行．(1)求的單調區間；(2)當時，恒有成立，求k的取值范圍．【答案】(1)單調遞增區間為，單調遞減區間為(2)【分析】（1）借助導數的幾何意義計算可得，借助導數的正負即可得函數的單調性；（2）通過變形，可將原問題轉化為在上，恒成立，從而構造函數，借助導數求取在上的最小值即可得.【解析】（1）由已知可得的定義域為，，所以，即，所以，，令，得，令，得，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）將不等式整理得：，可化為，問題轉化為在上，恒成立，即，令，，則，令，則，，所以在單調遞減，，即，所以在單調遞減，，所以的取值范圍是．【點睛】關鍵點點睛：最后一問關鍵點在于將原問題通過變形參變分離，轉化為在上，恒成立，從而構造對應函數，借助導數求取在上的最小值即可得.題型3：最值問題13．（22-23高二下·河南·期中）已知函數在點處的切線方程為．(1)求實數和的值；(2)求在上的最大值（其中e是自然對數的底數）．【答案】(1)，(2)【分析】（1）對函數求導，根據導數的幾何意義可求的值，再根據切線過切點求的值；（2）根據導數與函數單調性的關系，分析函數在給定區間上的單調性，再求函數的最大值.【解析】（1）因為所以，由題意可得，，解得:，.（2）由(1)可得，所以，且，易得，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，又，，且，即最大值為：.14．（2024·江西南昌·一模）已知函數.(1)求的單調遞減區間；(2)求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求導得，令可求的單調遞減區間；（2）由（1）易判斷在時單增，在時單減，進而求出.【解析】（1），令，得，即，所以的單調遞減區間為；（2）當時，單調遞增；當時，單調遞減，所以，即的最大值為.15．（23-24高二上·江蘇揚州·期末）已知函數在處取得極小值5．(1)求實數a，b的值；(2)當時，求函數的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意得到，，求出，，檢驗后得到答案；（2）求導，得到函數單調性，進而得到極值和最值情況，得到答案.【解析】（1），因為在處取極小值5，所以，得，此時所以在上單調遞減，在上單調遞增所以在時取極小值，符合題意所以，．又，所以．（2），所以列表如下：0123001↗極大值6↘極小值5↗10由于，故時，．16．（2024·安徽黃山·一模）已知函數在處取得極大值．(1)求的值；(2)求在區間上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，然后令求出，代入驗證是否符合題意即可；（2）求導，確定函數在區間上的單調性，進而可求最大值.【解析】（1）由已知令得或，當時，令得或，令得，故函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，此時函數在處取極大值，在處取極小值，與函數在處取得極大值不符；當，即時，令得或，令得，故函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，此時函數在處取極大值，在處取極小值，符合題意；所以；（2）由（1）得，，令，得，函數單調遞增，令，得，函數單調遞減，所以.題型4：證明不等式17．（2024·廣東廣州·一模）已知函數，.(1)求的單調區間和極小值；(2)證明：當時，.【答案】(1)遞增區間為，遞減區間為，極小值為1；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數的導數，利用導數求出單調區間及極值.（2）根據給定條件，構造函數，利用導數結合基本不等式推理即得.【解析】（1）函數，，求導得，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增；當時，單調遞減，所以的遞增區間為；遞減區間為，的極小值為.（2）當時，令，求導得，令，求導得，函數在上單調遞增，則，在上單調遞增，因此，所以.18．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知函數，其中．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求證：的極大值恒為正數．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導，再根據導數的幾何意義即可得解；（2）分，和三種情況討論，再結合極大值的定義即可得出結論.【解析】（1），當時，，，又，故曲線在處的切線方程為；（2），解得知，，若，當或時，，當時，，所以在，遞減，遞增，故極大值為；若，則，所以函數單調遞減，無極大值；若，當或時，，當時，，所以在，遞減，遞增，故極大值，綜上，的極大值恒為正數．【點睛】思路點睛：利用導數求函數極值的步驟如下：（1）求函數的定義域；（2）求導；（3）解方程，當；（4）列表，分析函數的單調性，求極值：①如果在附近的左側，右側，那么是極小值；②如果在附近的左側，右側，那么是極大值.19．（2024·安徽合肥·一模）已知函數，當時，有極大值.(1)求實數的值；(2)當時，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據題中條件列出方程組，解出驗證即可；（2）變形不等式，構造函數利用函數單調性證明即可.【解析】（1）函數的定義域為，且，因為時，有極大值，所以，解得，經檢驗，當時，在時有極大值，所以；（2）由（1）知，，當時，要證，即證，即證：.設，則，因為，所以，所以在上單調遞增，所以，即，即，故當時，.題型5：零點問題20．（23-24高三下·四川雅安·開學考試）已知函數．(1)若，當時，證明：．(2)若，證明：恰有一個零點．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據題意，求導可得，即可得到在上單調遞增，再由，即可證明；（2）根據題意，構造函數，求導可得，即在上單調遞增，再結合，即可證明.【解析】（1）證明：因為，所以，．當時，，則在上單調遞增，所以當時，．（2）．令，則．令，則．當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以，所以，則在上單調遞增．因為，所以恰有一個零點，則恰有一個零點．21．（23-24高三上·河南·期末）已知函數．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若，研究函數在上的單調性和零點個數．【答案】(1)(2)在上單調遞增；1【分析】（1）當時，求出，，從而可求出切線方程.（2）當時，利用導數求出在上單調遞增．又，從而可求解.【解析】（1）當時，，則，則，，所以曲線在點處的切線方程為．（2）當時，，則，當時，，，，則，故在上單調遞增．又因為，所以在上的零點個數為．題型6：有解恒成立問題22．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.(1)求函數的極值；(2)若對任意有解，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為1，無極大值；(2).【分析】（1）利用導數研究函數的單調性即可求極值；（2）由題意可得任意有解，設，分、及討論即可求解.【解析】（1），得，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以的極小值為，無極大值；（2）對任意即，設，，①當時，單調遞增，單調遞增，，成立；②當時，令單調遞增，單調遞增，，成立；③當時，當時，單調遞減，單調遞減，，不成立.綜上，.23．（2024·四川南充·二模）已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出導函數，按照的正負分類討論，由的正負可得單調性；（2）將不等式變形為，令，對求導，再令，由的單調性判斷的符號，進而確定的單調性，求出的最大值即可求出的取值范圍.【解析】（1）由題意知的定義域為，

，當時，，在上單調遞減；

當時，令，，故方程有兩個不同的實數根，分別為，，且，，

當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.綜上可知，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；（2）由可得，即，設，，則，設，，因為，則在上單調遞減，且，所以當時，，即，所以在上單調遞增，當時，，即，所以在上單調遞減，所以的最大值為，所以，即的取值范圍為.題型7：導數與三角函數24．（2024·江蘇南通·二模）設函數.已知的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為，且.(1)若在區間上有最大值無最小值，求實數m的取值范圍；(2)設l為曲線在處的切線，證明：l與曲線有唯一的公共點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據周期以及可求解，進而根據整體法即可求解，（2）求導，根據點斜式求解切線方程，進而構造函數，利用導數判斷函數的單調性，即可求解.【解析】（1）由題意可得周期，故，，由于，故，故，當時，，由于在區間上有最大值無最小值，故，解得，故（2），，，故直線方程為，令，則，故在定義域內單調遞增，又，因此有唯一的的零點，故l與曲線有唯一的交點，得證.題型8：導數與圓錐曲線25