2023-2024學年高中數學人教A版必修二6.4平面向量的應用同步練習一、選擇題1．在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°，則cA．7 B．7 C．19 D．192．在△ABC中，已知b2+A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形3．在△ABC中，D為BC的中點，3sin∠ADB=2sin∠ACB，BC=6，AB=42，則△ABC的面積為（）A．23 B．33 C．22 D．424．在△ABC中，若B=3A，則bA．(1，2) B．(2，5．海洋洞是地球罕見的自然地理現象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞.若要測量如圖所示的藍洞的口徑A，B兩點間的距離，現在珊瑚群島上取兩點C，D，測得CD=60m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°A．303m B．602m C．6．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足c?b=2bcosA.若λA．(?∞，22] B．(?∞7．十七世紀法國數學家皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”.它的答案是：當三角形的三個角均小于120°時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角120°；當三角形有一內角大于或等于120°時，所求點為三角形最大內角的頂點.在費馬問題中所求的點稱為費馬點，已知在△ABC中，已知C=23π，AC=1，BC=2，且點M在AB線段上，且滿足A．?1 B．?45 C．?38．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E為AD上一點，BE⊥AC，若BA=A．15 B．725 C．169．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，若sin(A+CA．[233，+∞) B．[10．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AC上的點，AC=2AB，CD=1，AE=3EC，∠ADB=∠EDC=α，則A．32 B．33 C．23二、多項選擇題11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，cA．若A=2π3，a=3，AB邊上的高為3B．若a=3，b=1，B=π6C．若A=2C，sinB=2sinCD．若tanA+tanB+12．在△ABC中，A=A．若BC=2，則B．若AC=3，則C．若△ABC的面積S=D．若△ABC為銳角三角形，則13．在△ABC中，|A．若AB?AC=1，則B．若AB?ACC．若tanA=34D．若|AB|=2|14．在△ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD=λA．若λ=1B．若λ=1C．若λ∈[D．若λ∈[15．窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列說法正確的是（）A．若函數f(x)=B．PA?PBC．AG在AB方向上的投影向量為?D．OA三、填空題16．海倫不僅是古希臘的數學家，還是一位優秀的測繪工程師，在他的著作《測地術》中最早出現了已知三邊求三角形面積的公式，即著名的海倫公式S=p(p?a)(p?b)(p?c)（其中p=12(17．在△ABC中，點D在邊BC上（不含端點），∠ABC=120°，BD=2，AB=BC，AD218．在△ABC中，若AC=2，B=π3，且sinA19．在△ABC中，B=60°，BA=2，CD=3BC，對任意u∈R，有|CA?(μ?1)BC|20．在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且3asinBcosC+bcosB+ccosC=021．在平面直角坐標系中，A(0，0)，B(1，2)兩點繞定點P按順時針方向旋轉四、解答題22．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且asin（1）求角A的大小；（2）若b=4，△ABC的面積S=23，求△ABC23．在ΔABC中，B=π3，點D在邊AB上，BD=1（1）若ΔBCD的面積為3，求CD（2）設∠DCA=θ，若AC=3，求24．在△ABC中，角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，其中b=2．（1）若A+C=120°，a=2c，求邊長c；（2）若A-C=15°，a=2csinA，求△ABC的面積．25．在△ABC中，點P為△（1）若點P在邊BC上，且BP=13PC，用AB，（2）若點P是△ABC①求證：PA+②若35sinA?PA26．某公司競標得到一塊地，如圖1，該地兩面臨湖（BC，CD面臨湖），AD=100m，∠DAC=∠BAC=45°，∠ABD=30（1）求BC，CD的長；（2）該公司重新設計臨湖面，如圖2，BD是以BD為直徑的半圓，P是BD上一點，BP，PD是一條折線觀光道，已知觀光道每米造價300元，若該公司預計用88000元建觀光道，問預算資金是否充足?27．某城市計劃新修一座城市運動主題公園，該主題公園為平面五邊形ABCDE（如圖所示），其中三角形ABE區域為兒童活動場所，三角形BCD區域為文藝活動場所，三角形BDE區域為球類活動場所，AB，BC，CD，DE，條件①：cos∠DBE=條件②：∠CDE=120注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.（1）求BD的長度；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求BE的長度；（3）在（2）的條件下，應該如何設計，才能使兒童活動場所（即三角形ABE）的面積最大？28．如圖，樹人中學在即將投入使用的新校門旁修建了一條專門用于跑步的紅色跑道，跑道由三部分組成：第一部分為曲線段ABCQ，該曲線段可近似看作函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0（1）求曲線段ABCQ的解析式；（2）若新校門位于圖中的B點，其離AE的距離為1.5千米，一學生準備從新校門筆直前往位于O點的立德樓，求該學生走過的路BO的長；（3）若點P在劣弧DE上（不含端點），點M和點N分別在線段OE和線段OD上，NP//OM，且PM⊥x軸.若梯形OMPN區域為學生的休息區域，記∠POE=θ，設學生的休息區域OMPN的面積為S，求S29．已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=(sinA（1）求角A；（2）若a=27，b＝4，求△30．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2a（1）求A；（2）點D在邊BC上，且BD=3DC，AD=4，求△ABC

答案解析部分1．答案:A解析：在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°

由余弦定理得c2=a2+b2-2ab2．答案:C解析：由余弦定理知b2+c2?a2=2bccosA，又b2+c2?a2=bc，∴cosA=12，∴A=π3，

由2cosBsinC=sin3．答案:D解析：如圖：

易知在?ACD中由正弦定理知ADAC=sin∠ACBsin∠ADC=sin∠ACBsin∠ADB=32，設AC=2m，AD=3m

在?ABD和?ABC由余弦定理得cosB=AB2+BD2-AD22AB·BD=AB2+B4．答案:C解析：由正弦定理可得ba=sinBsinA=sin3AsinA=sinA+2AsinA=sinAcos2A+cosAsin2A5．答案:D解析：在△BCD中，∠DCB=∠DCA+∠ACB=135°，∠CBD=180°-∠DCB+∠CDB=30°，

由正弦定理DCsin∠CBD=BDsin∠DCB，可得BD=DCsin∠DCBsin∠CBD=60×2212=602（m），

在△ACD中，∠ADC=∠ADB+∠BDC=150°，∠CAD=180°-∠ADC+∠DCA6．答案:C解析：解：∵c-b=2bcosA，

∴sinC-sinB=2sinBcosA，

又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴可得sinAcosB-sinBcosA=sinB，

即sinA-B=sinB，

∵角A，B，C均為銳角，

∴A-B=B，即A=2B，C=π-3B，

∴cosC-B=cosπ-4B=-cos4B=-cos2A=2sin2A-1，

∵角A，B，C均為銳角，

∴0＜2B＜π20＜π-3B＜π2

∴π6＜B＜π4，

7．答案:C解析：在△ABC中由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=1+4+2=7，∴AB=7，

cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=5714，

設CM=BM=x，

在△MBC中由余弦定理得cosB=BM2+BC2-MC22BM·BC=x2+4-x24x=5714，解得x=275，

∴S8．答案:D解析：解：由題意可建立如圖所示的平面直角坐標系，

則B0，0，A0，3，C4，0，

則BA→=0，3，AC→=4，-3，

設BE→=a，3，

因為BE⊥AC，

所以BE→·AC→=0，

所以4a-9=0，9．答案:C解析：解：因為sin(A+C)=2Sb所以sinB=acsin所以b2=a可得c?2acos再由正弦定理得sinC?2因為sinC?2所以sin(B?A)=sinA，所以B?A=A得B=2A或B=π（舍去）.

因為△ABC是銳角三角形，則0<A<π20<2A<π20<π所以tan可知y=t+13t在(所以y=t+13t的取值范圍為(23故答案為：C.分析sin(A+C)=2Sb2?a2結合面積公式，可得出b2=a10．答案:D解析：設CE=m，則AE=3m，AB=2m，AC=4m，

在△ABC中，由正弦定理可得ABsinC=ACsinB，則sinB=ACABsinC=2sinC，

在△ABD中，由正弦定理可得ABsin∠ADB=ADsinB，即2msinα=ADsinB，

在△CDE中，由正弦定理可得CEsin∠EDC=DEsinC，即msinα=DEsinC，

整理得：2=ADsinBDEsinC=AD2DE，即AD=4DE，

在△ADE11．答案:A,C,D解析：對A：作AB邊上的高為CD，因為A=2在Rt△BCD中，由正弦定理可得32sin因為∠CBD∈(0，π2)所以∠BCA=π?2π3對B：因為a=3，b=1，B=π6，解得sinA=32，因為A∈(0，π)，所以A=π3或A=對C：因為A=2C，sinB=2sin又sinB=2sinC，所以sin所以sin3C=因為C∈(0，π)，sinC>0，所以2cos所以C=π6或C=5π6，當C=5π6時，A=2C=5對D：因為tan(A+B)=所以tanA+所以tanA+因為角A，B，C最多有一個鈍角，所以tanA，因為tanAtanB因為A，B，C∈(0，π)，所以A，B，C∈(0，π故答案為：ACD.分析對A：在直角三角形中利用正弦定理求解，即可分析判斷；對B：利用正弦定理求解可判斷；對C：根據和差公式化解求得角C即可；對D：利用正切的和差公式化簡可得tanAtan12．答案:B,D解析：對A：由正弦定理ABsinC=BCsinA，可得sinC=ABsinABC=2×122=22，

因為AB>BC，則C>A=π6，可得C∈π4，π，

所以C=π4或C=3π4，故A錯誤；

對B：由余弦定理：BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=4+3-2×2×3×32=1，

所以BC=113．答案:A,B,D解析：對A：因為BC→=AC→-AB→，則BC→2=AC→2-2AC→·AB→+AB→2，

即4=AC→2-2+AB→2，可得AC→2+AB→2=6，

因為D為BC邊上的中點，則AD→=12AB→+12AC→，

可得AD→2=14AB→2+12AB→·AC→+14AC→2=14×6+12=2，即AD→14．答案:A,C,D解析：對A：因為AD=λAC(λ∈R)，λ=12，所以AD=CD，

在△ABD中，ABsin∠ADB=ADsinθ，則csinθ=ABsinθ=ADsin∠ADB，

在△BCD中，BCsin∠CDB=CDsin(B?θ)，則asin(B?θ)=BCsin(B?θ)=CDsin∠CDB，

因為∠ADB=π?∠CDB，所以sin∠ADB=sin∠CDB，

所以csinθ=asin(B?θ)，故A正確；

對C：因為S△ABD+S△BCD=S△ABC，

所以12c?BDsinθ+12a?BDsin(B?θ)=12acsinB，

則sinθa+sin(B?θ)c=sin15．答案:A,B解析：如圖，以GC為x軸，AE為y軸，建立平面直角坐標系，

設oc=a，在△COD中，∠COD=π4由余弦定理可得a2+a2-22=2a2cosπ4，解得

∴Ca，0，G-a，0，A0，-a，B2a2，-2a2，D2a2，2a2，Px，y，AB?=2a2，2-2a16．答案:15解析：由題意可得：p=2+3+42=92，△ABC的面積S=92(92?2)(917．答案:4解析：解：設AB=BC=t(t>2)，則CD=t-2，

由余弦定理可得AD2=AB2+BD2故答案為：4分析由余弦定理求出AD18．答案:677解析：解：由正弦定理可得：bsinB=2R=所以ac=127，由余弦定理可得：所以4=(a+c)2?2×127又因為ac=127，所以a，c可以看成是一元二次方程所以(x?677)(x?2故AB=677故答案為：677或分析由正弦定理可求出ac=127，再由余弦定理可得a+c=19．答案:21解析：由|CA?(μ?1)BC|≥|AC|得|BA→?μBC→|≥|AC→|，由減法與數乘的幾何意義，AC為點A到BC的垂線段，得∠ACB=90°，

由BA=2，B=60°，得BC=1，AC=3，CD=3，故BD=4，

在△ABD中，由余弦定理可得∠BAD=90°，

設D關于直線AB對稱點為Q，連接BQ，連接CQ交AB于P，則∠DBQ=120°20．答案:2π3解析：如圖，

第一問：∵3asinBcosC+bcosB+ccosC=0∴cosB≠0，cosC≠0，

由正弦定理得3sinAsinBcosC+sinBcosB+sinAcosC=0，化簡得3sinAcosB+sinBcosCsinB+sinC21．答案:?解析：由題意的定點P在AA'和BB'的中垂線交點上，畫出如下圖：

∵AA'中點坐標為2，2，直線AA'斜率為1，∴AA'中垂線方程為y-2=-1x-2，即x+y-4=0，

同理可得BB'中垂線方程為x=3，

聯立x+y-4=0x=3，解得定點P3，1，

又BP=B'P=1-32+2-12=5，BB'=4，∴cosθ=cos∠BPB'=B22．答案:（1）解：因為asinB+3又因為B∈(0，故sinA+3cosA=0，得到tanA=?（2）解：因為b=4，△ABC的面積S=23所以S=12bc在△ABC中，由余弦定理得a2所以a=27，故△ABC的周長為6+2解析：(1)利用正弦定理化邊為角可得tanA=?3，再結合角A的范圍可求出角A的大小；

(2)根據三角形的面積公式求出c，再利用余弦定理求出a，進而求出△23．答案:（1）解：因為SΔBCD=3又因為B=π3，BD=1，所以在ΔBDC中，由余弦定理得，即CD2=16+1?2×4×1×（2）解：在ΔACD中，DA=DC，因為∠A=∠DCA=θ，則又AC=3，由正弦定理，有AC所以CD=3在ΔBDC中，∠BDC=2θ，由正弦定理得，CDsinB=化簡得cos因為0<θ<∵0<π2所以π2?θ解得θ=π6解析：(1)先利用面積公式可得BC=4，再利用余弦定理運算求解；

(2)在△ACD、△BDC中，利用正弦定理整理得24．答案:（1）解：∵A+C=120°，且a=2c，∴sinA=2sinC=2sin(120°-A)=3cosA+sinA，∴cosA=0，又因為0<A<180°所以A=90°∵A+C=120°∴C=120°-A=120°-90°=30°，∴B=60°，∵b=2，tan∴c=（2）解：a=2csinA，則sinA=2sinCsinA，sinA>0，∴sinC=∵A-C=15°，∴C為銳角，∴C=45°，A=60°，B=75°，∴a∴a=∴S解析：(1)利用正弦定理和和差角公式進行化簡，即可求出cosA=0，進而求出角A，B，C，再利用勾股定理即可求出邊c.

(2)利用正弦定理先求出sinC=22，根據25．答案:（1）解：如圖：過點P作PD∥CA交AB于點D，PE∥所以AP=AD+AE，由BP=同理AEAC=BPBC=（2）解：①如圖：延長AP交BC于點F，因為點P是△ABC的重心，所以點F為BC的中點，且AP=2PF所以PA=?2PF，即PA+2PF=②點P是△ABC的重心時，由①知PA+PB所以35sinA：由正弦定理知a：b：c=sin由余弦定理得cos∠BAC=解析：（1）過點P作PD∥CA交AB于點D，PE∥BA交AC于點E，得四邊形ABCD為平行四邊形，再利用向量的平行四邊形法則及向量的線性運算化簡表示AP即可；

（2）①延長AP交BC于點F，因為點P是△ABC的重心，利用重心概念及向量的線性運算即可證明；②點P是△ABC的重心時，由26．答案:（1）解：因為AD=100m，∠DAC=∠BAC=45°，∠ABD=30°，所以在△ABD中，∠ADB=60°，BD=200m，在△ABC中，∠ACB=60°，由正弦定理可得：AB所以100332在△DCB中，由余弦定理可得：=200故BC=CD=100（2）解：BD是以BD為直徑的半圓，P是BD上一點，所以∠DPB=90°，設∠PDB=α，α∈(0，所以PD+PB=200(因為α∈(0，π所以PD+PB=2002因為觀光道每米造價300元，所以該觀光道所用資金為(60000而600002解析：(1)在△ABC中，利用正弦定理求出BC=1002m，在△DCB中，利用余弦定理求BC=CD=1002m；

(2)設∠PDB=α，α∈(27．答案:（1）解：在△BCD中，由余弦定理得：BD2（2）解：若選條件①，由（1）知：BD=6，在△BDE中，由余弦定理得：D解得：BE=?145（舍）或BE=10，若選條件②，∵BC=CD，∠BCD=12