第第頁中考數學總復習《二次函數的應用》專項測試卷(附答案)（考試時間：90分鐘；試卷滿分：100分）學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1.會利用二次函數的知識解決面積、利潤等最值問題．2.經過面積、利潤等最值問題的教學，學會分析問題，解決問題的方法，并總結和積累解題經驗。考點1：用二次函數的性質解決實際問題利用二次函數的性質解決許多生活和生產實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：（1）列出二次函數的解析式，列解析式時，要根據自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍（2）在自變量取值范圍內，運用公式法或配方法求出二次函數的最大值或最小值考點2：用二次函數圖象解決幾何問題二次函數與幾何知識聯系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關系為紐帶，把二次函數常與全相似、最大(小)面積、周長等結合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐標和線段長度的聯系，從圖形中建立二次函數的模型，從而使問題得到解決.解這類問題的關鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數的有關性質和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題目的【題型1：用二次函數解決拋物線型問題】【典例1】（2023?溫州）一次足球訓練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現以O為原點建立如圖所示直角坐標系．（1）求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）；（2）對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處？1．（2023?蘭州）一名運動員在10m高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面OB的高度y（m）與離起跳點A的水平距離x（m）之間的函數關系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為1m時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為3m時離水面的距離為7m．（1）求y關于x的函數表達式；（2）求運動員從起跳點到入水點的水平距離OB的長．2．（2023?河南）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數學知識對羽毛球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析．如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網AB與y軸的水平距離OA＝3m，CA＝2m，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足一次函數關系y＝﹣0.4x+2.8；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數關系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求點P的坐標和a的值；（2）小林分析發現，上面兩種擊球方式均能使球過網．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．3．（2023?陜西）某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型拱門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為48m2，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求給出了兩個設計方案．現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，點N在x軸上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，拋物線型拱門的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，點N′在x軸上，P′E′⊥O′N′，OE′＝E′N′．要在拱門中設置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面積記為S2，點A'，D'在拋物線上，邊B'C'在ON'上．現知，小華已正確求出方案二中，當A'B'＝3m時，，請你根據以上提供的相關信息，解答下列問題：（1）求方案一中拋物線的函數表達式；（2）在方案一中，當AB＝3m時，求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1，S2的大?。绢}型2：用二次函數解決最優化問題】【典例2】（2023?丹東）某品牌大米遠近聞名，深受廣大消費者喜愛，某超市每天購進一批成本價為每千克4元的該大米，以不低于成本價且不超過每千克7元的價格銷售．當每千克售價為5元時，每天售出大米950kg；當每千克售價為6元時，每天售出大米900kg，通過分析銷售數據發現：每天銷售大米的數量y（kg）與每千克售價x（元）滿足一次函數關系．（1）請直接寫出y與x的函數關系式；（2）超市將該大米每千克售價定為多少元時，每天銷售該大米的利潤可達到1800元？（3）當每千克售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？1．（2023?綿陽）隨著國家鄉村振興政策的推進，鳳凰村農副產品越來越豐富．為增加該村村民收入，計劃定價銷售某土特產，他們把該土特產（每袋成本10元）進行4天試銷售，日銷量y（袋）和每袋售價x（元）記錄如下：時間第一天第二天第三天第四天x/元15202530y/袋25201510若試銷售和正常銷售期間，日銷量y與每袋售價x的一次函數關系相同，解決下列問題：（1）求日銷量y關于每袋售價x的函數關系式；（2）請你幫村民設計，每袋售價定為多少元，才能使這種土特產每日銷售的利潤最大？并求出最大利潤．（利潤＝銷售額﹣成本）2．（2023?菏澤）某學校為美化學校環境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個一面靠墻（墻足夠長）的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A，B兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥．學校已定購籬笆120米．（1）設計一個使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；（2）在花園面積最大的條件下，A，B兩塊內分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價25元，芍藥每株售價15元，學校計劃購買費用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？3．（2023?黃石）某工廠計劃從現在開始，在每個生產周期內生產并銷售完某型號設備，該設備的生產成本為10萬元/件．設第x個生產周期設備的售價為z萬元/件，售價z與x之間的函數解析式是z＝，其中x是正整數．當x＝16時，z＝14；當x＝20時，z＝13．（1）求m，n的值；（2）設第x個生產周期生產并銷售完設備的數量為y件，且y與x滿足關系式y＝5x+20．①當12＜x≤20時，工廠第幾個生產周期獲得的利潤最大？最大的利潤是多少萬元？②當0＜x≤20時，若有且只有3個生產周期的利潤不小于a萬元，求實數a的取值范圍．【題型3：二次函數的綜合應用】【典例3】（2023?煙臺）如圖，拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AB＝4．拋物線的對稱軸x＝3與經過點A的直線y＝kx﹣1交于點D，與x軸交于點E．（1）求直線AD及拋物線的表達式；（2）在拋物線上是否存在點M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為⊙B上一個動點，請求出PC+PA的最小值．1．（2023?攀枝花）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過坐標原點O，且頂點為A（2，﹣4）．（1）求拋物線的表達式；（2）設拋物線與x軸正半軸的交點為B，點P位于拋物線上且在x軸下方，連接OA、PB，若∠AOB+∠PBO＝90°，求點P的坐標．2．（2023?自貢）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+4與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線解析式及B，C兩點坐標；（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D坐標；（3）該拋物線對稱軸上是否存在點E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2023?阜新）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝﹣x2+bx﹣c的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．（1）求這個二次函數的表達式．（2）如圖1，二次函數圖象的對稱軸與直線AC：y＝x+3交于點D，若點M是直線AC上方拋物線上的一個動點，求△MCD面積的最大值．（3）如圖2，點P是直線AC上的一個動點，過點P的直線l與BC平行，則在直線l上是否存在點Q，使點B與點P關于直線CQ對稱？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．4．（2023?浙江）在二次函數y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的圖象過點（2，1），則t的值為多少？（2）當0≤x≤3時，y的最小值為﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在這個二次函數的圖象上，且a＜b＜3．求m的取值范圍．一．選擇題（共7小題）1．在2023年中考體育考試前，小康對自己某次實心球的訓練錄像進行了分析，發現實心球飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實心球的飛行高度y（單位：米）與飛行的水平距離x（單位：米）之間具有函數關系y＝﹣x2+x+，則小康這次實心球訓練的成績為（）A．14米 B．12米 C．11米 D．10米2．物理課上我們學習了豎直上拋運動，若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運動時間t（單位：s）之間的函數關系如圖所示，下列結論：①小球在空中經過的路程是40m②小球拋出3s后，速度越來越快③小球拋出3s時速度為0④小球的高度h＝30m時，t＝1.5s其中正確的是（）A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③3．某超市銷售某款商品每天的銷售利潤y（元）與單價x（元）之間的函數關系式為y＝﹣x2+10x+125，則銷售這款商品每天的最大利潤為（）A．125元 B．150元 C．175元 D．200元4．向空中發射一枚炮彈，經過x秒后的高度為y米，且時間與高度y的關系式為y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮彈在第6秒與第14秒時的高度相等，則下列時間中炮彈所在高度最高的是（）A．第8秒 B．第9秒 C．第10秒 D．第11秒5．某水果銷售商有100千克蘋果，當蘋果單價為15元/千克時，能全部銷售完，市場調查表明蘋果單價每提高1元，銷售量減少6千克，若蘋果單價提高x元，則蘋果銷售額y關于x的函數表達式為（）A．y＝x（100﹣x） B．y＝x（100﹣6x） C．y＝（100﹣x）（15+x） D．y＝（100﹣6x）（15+x）6．飛機著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行的時間t（單位：s）的函數解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飛機著陸后滑行多長時間才能停下來（）A．10s B．20s C．30s D．40s7．如圖，小明在某次投籃中，球的運動路線是拋物線y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中籃圈中心，則他與籃圈底的距離l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m二．填空題（共3小題）8．如圖所示，要建一個長方形的養雞場，養雞場的一邊靠墻，如果用60m長的籬笆圍成中間有一道籬笆的養雞場，設養雞場的長為xm，當x＝m時，養雞場的面積最大．9．東方商廈將進貨單價為70元的某種商品按零售價100元一個售出時，每天能賣出20個，若這種商品的零售價在一定范圍內每降價1元，其日銷量就增加1個，為了獲取最大利潤，則應降價元．10．如圖，小明以拋物線為靈感，在平面直角坐標系中設計了一款高OD為14的獎杯，杯體軸截面ABC是拋物線的一部分，則杯口的口徑AC為．三．解答題（共4小題）11．如圖，學校要用一段長為32米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形花圃，墻長為14米．（1）若矩形ABCD的面積為96平方米，求矩形的邊AB的長．（2）要想使花圃的面積最大，AB邊的長應為多少米？最大面積為多少平方米？12．綜合與實踐問題情境：如圖1所示的是山西晉城景德橋，又名沁陽橋、西關大橋，是山西晉城市城區通往陽城、沁水的交通要道，是繼趙州橋之后我國現存歷史悠久的古代珍貴橋梁之一．橋拱截面OBA可以看作拋物線的一部分（如圖2），在某一時刻，橋拱內的水面寬約20米，橋拱頂點B到水面的距離為4米．模型建立：（1）如圖2，以該時刻水面為x軸，橋拱與水面的一個交點為原點建立直角坐標系，求橋拱部分拋物線的解析式．問題解決：（2）求在距離水面2米處橋拱寬度．（3）現有兩寬為4米，高3米（帶貨物）的小舟，相向而行，恰好同時接近拱橋，問兩小舟能否同時從橋下穿過，并說明理由．13．某服裝店購進一批秋衣，價格為每件30元．物價部門規定其銷售單價不高于每件60元，經市場調查發現：日銷售量y（件）是銷售單價x（元）的一次函數，且當x＝60時，y＝80；x＝50時，y＝100．在銷售過程中，每天還要支付其他費用450元．（1）求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求該服裝店銷售這批秋衣日獲利W（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；（3）當銷售單價為多少元時，該服裝店日獲利最大？最大獲利是多少元？14．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）在對稱軸上找一點Q，使△ACQ的周長最小，求點Q的坐標；（3）P是第四象限內拋物線上的動點，求△BPC面積S的最大值及此時P點的坐標．1．某種型號的小型無人機著陸后滑行的距離S（米）關于滑行的時間t（秒）的函數解析式是S＝﹣0.25t2+8t，無人機著陸后滑行（）秒才能停下來．A．8 B．16 C．32 D．642．豎直上拋的小球的高度h（m）與運動時間t（s）的函數表達式為h＝at2+bt，若小球在上拋后第3s與第7s時離地面距離相等，則下列時刻中小球的高度最高的是（）A．第4s B．第4.8s C．第4.9s D．第5.2s3．如圖，一場籃球賽中，籃球運動員跳起投籃，已知球出手時離地面高2.2m，與籃圈中心的水平距離為8m，當球出手后水平距離為4m時到達最大高度4m，設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3m．該運動員發現未投中，若假設出手的角度和力度都不變，要使投中，該運動員應該跳得比剛才投籃時（）A．高0.8m B．高0.4m C．低0.8m D．低0.4m4．有一座拋物線形拱橋，正常水位橋下面寬度為20米，拱頂距離水平面4米，如圖建立直角坐標系，若正常水位時，橋下水深6米，為保證過往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18米，則當水深超過多少米時，就會影響過往船只的順利航行（）A．6.24米 B．6.76米 C．7米 D．7.24米5．亞運會期間，我市賓館預訂火爆．某賓館有150間標準房，當標準房價格為100元時，每天都客滿．市場調查表明單間房價在100～200元之間（含100元，200元）浮動時，每提高10元，日均入住數減少6間．如果不考慮其他因素，為使客房的日營業收入最大，賓館可將標準房價格提高（）A．100元 B．75元 C．50元 D．25元6．飛機著陸后滑行的距離y（單位：米）關于滑行時間t（單位，秒）的函數解析式是．在飛機著陸滑行中，最后6秒滑行的距離為（）米．A．24 B．36 C．48 D．547．如圖，利用一個直角墻角修建一個DC∥AB的四邊形儲料場AB﹣CD，其中∠C＝120°，若新建墻BC與CD總長為12m，則該儲料場ABCD的最大面積是（）A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m28．已知二次函數y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3的圖象與函數y＝﹣x2+6x的圖象交于y軸一點，則m＝．9．如圖1，有一塊外邊緣呈拋物線型的廢材料，小成同學想廢舊利用，從中截取一個矩形ABCD，使矩形的頂點A、B落在材料的底邊MN上，C，D落在外邊緣的拋物線上，小成同學量得MN＝6dm，拋物線頂點處到邊MN的距離是9dm；于是，小成同學在圖紙上，以MN的中點為坐標原點，MN所在直線為x軸，以1dm為1個單位建立平面直角坐標系，如圖2所示．（1）請你幫小成求出該拋物線的解析式；（2）小成截下的矩形ABCD的周長能否等于20dm？若能，請求出矩形的邊AB的長；若不能，請說明理由．10．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上是否存在一點P，使△ACP的面積等于△ACB的面積的一半？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使以A，C，M，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．11．綜合與探究如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（6，0）兩點，交y軸于點C，連接BC，AC．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是第四象限內拋物線上的一個動點，連接PB，PC，求△PBC面積的最大值，并求出此時點P的坐標；（3）點Q為拋物線對稱軸上一點，是否存在點Q，使△BCQ為直角三角形？若存在，請直接寫出Q的坐標；若不存在，請說明理由．12．二次函數y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經過點A（﹣4，0），B（1，0），與y軸交于點C，點P為第二象限內拋物線上一點．（1）求二次函數的表達式；（2）如圖1，連接PA，PC，AC，求S△PAC的最大值；（3）如圖2，過點P作PD⊥x軸于點D，連接BC、BP，當∠DPB＝2∠BCO時，求直線BP的表達式．13．某商店銷售一種商品，經市場調查發現：該商品的月銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數．其售價、月銷售量、月銷售利潤w（元）的三組對應值如表：售價x（元/件）150160180月銷售量y件14012080月銷售利潤w元420048004800注：月銷售利潤＝月銷售量×（售價﹣進價）．（1）根據上述信息求：①y關于x的函數解析式；②當x是多少時，月銷售利潤最大？最大利潤是多少？（2）由于某種原因，該商品的進價提高了m元/件（m＞0），物價部門規定該商品的售價不得超過165元/件，該商店在今后的銷售中，月銷售量與售價仍然滿足（1）中的函數解析式．若月銷售利潤最大是4620元，求m值．1．（2023?麗水）一個球從地面豎直向上彈起時的速度為10米/秒，經過t（秒）時球距離地面的高度h（米）適用公式h＝10t﹣5t2，那么球彈起后又回到地面所花的時間t（秒）是（）A．5 B．10 C．1 D．22．（2023?天津）如圖，要圍一個矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結論：①AB的長可以為6m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2；③菜園ABCD面積的最大值為200m2．其中，正確結論的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2022?廣安）如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降米，水面寬8米．4．（2022?甘肅）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數關系：h＝﹣5t2+20t，則當小球飛行高度達到最高時，飛行時間t＝s．5．（2023?宜昌）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝m．6．（2023?沈陽）如圖，王叔叔想用長為60m的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形羊圈ABCD，已知房屋外墻足夠長，當矩形ABCD的邊AB＝m時，羊圈的面積最大．7．（2023?濱州）某廣場要建一個圓形噴水池，計劃在池中心位置豎直安裝一根頂部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水平距離也為3m，那么水管的設計高度應為．8．（2023?陜西）某加工廠要加工一種拋物線型鋼材構件，如圖所示，該拋物線型構件的底部寬度OM＝12米，頂點P到底部OM的距離為9米．將該拋物線放入平面直角坐標系中，點M在x軸上．其內部支架有兩個符合要求的設計方案：方案一是“川”字形內部支架（由線段AB，PN，DC構成），點B，N，C在OM上，且OB＝BN＝NC＝CM，點A，D在拋物線上，AB，PN，DC均垂直于OM；方案二是“H”形內部支架（由線段A′B′，D′C′，EF構成），點B′，C′在OM上，且OB′＝B′C′＝C′M，點A′，D′在拋物線上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分別是A′B′，D′C′的中點．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）該加工廠要用某一規格的鋼材來加工這種構件，那么哪一個方案的內部支架節省材料？請說明理由．9．（2022?湘潭）為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數學興趣小組設計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據設計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應設計為多長？此時最大面積為多少？10．（2022?鄂爾多斯）某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個．（1）求第二批每個掛件的進價；（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經市場調查發現，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？11．（2023?青海）如圖，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A和點C（1，0），交y軸于點B（0，3）．（1）求此二次函數的解析式；（2）設二次函數圖象的頂點為P，對稱軸與x軸交于點Q，求四邊形AOBP的面積（請在圖1中探索）；（3）二次函數圖象的對稱軸上是否存在點M，使得△AMB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）．12．（2023?西藏）在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖甲，在y軸上找一點D，使△ACD為等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；（3）如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、Q兩點使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點的坐標，若不存在，請說明理由．參考答案與解析1.會利用二次函數的知識解決面積、利潤等最值問題．2.經過面積、利潤等最值問題的教學，學會分析問題，解決問題的方法，并總結和積累解題經驗?？键c1：用二次函數的性質解決實際問題利用二次函數的性質解決許多生活和生產實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：（1）列出二次函數的解析式，列解析式時，要根據自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍（2）在自變量取值范圍內，運用公式法或配方法求出二次函數的最大值或最小值考點2：用二次函數圖象解決幾何問題二次函數與幾何知識聯系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關系為紐帶，把二次函數常與全相似、最大(小)面積、周長等結合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐標和線段長度的聯系，從圖形中建立二次函數的模型，從而使問題得到解決.解這類問題的關鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數的有關性質和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題目的【題型1：用二次函數解決拋物線型問題】【典例1】（2023?溫州）一次足球訓練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現以O為原點建立如圖所示直角坐標系．（1）求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）；（2）對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處？【答案】（1）拋物線的函數表達式為y＝﹣（x﹣2）2+3；球不能射進球門；（2）當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處．【解答】解：（1）∵8﹣6＝2∴拋物線的頂點坐標為（2，3）設拋物線為y＝a（x﹣2）2+3把點A（8，0）代入得：36a+3＝0解得a＝﹣∴拋物線的函數表達式為y＝﹣（x﹣2）2+3；當x＝0時，y＝﹣×4+3＝＞2.44∴球不能射進球門．（2）設小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3把點（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3解得m＝﹣5（舍去）或m＝1∴當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處．1．（2023?蘭州）一名運動員在10m高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面OB的高度y（m）與離起跳點A的水平距離x（m）之間的函數關系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為1m時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為3m時離水面的距離為7m．（1）求y關于x的函數表達式；（2）求運動員從起跳點到入水點的水平距離OB的長．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）根據題意可得，拋物線過（0，10）和（3，7），對稱軸為直線x＝1設y關于x的函數表達式為y＝ax2+bx+c∴解得：∴y關于x的函數表達式為y＝﹣x2+2x+10；（2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+10解得x＝+1或x＝﹣+1（舍去）∴運動員從起跳點到入水點的水平距離OB的長為（+1）米．2．（2023?河南）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數學知識對羽毛球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析．如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網AB與y軸的水平距離OA＝3m，CA＝2m，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足一次函數關系y＝﹣0.4x+2.8；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數關系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求點P的坐標和a的值；（2）小林分析發現，上面兩種擊球方式均能使球過網．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．【答案】（1）點P的坐標為（0，2.8）；a的值是﹣0.4；（2）選擇吊球方式，球的落地點到C點的距離更近．【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8∴點P的坐標為（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8解得：a＝﹣0.4∴a的值是﹣0.4；（2）∵OA＝3m，CA＝2m∴OC＝5m∴C（5，0）在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣2+1（舍去）或x＝2+1≈3.82∵|7﹣5|＞|3.82﹣5|∴選擇吊球方式，球的落地點到C點的距離更近．3．（2023?陜西）某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型拱門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為48m2，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求給出了兩個設計方案．現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，點N在x軸上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，拋物線型拱門的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，點N′在x軸上，P′E′⊥O′N′，OE′＝E′N′．要在拱門中設置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面積記為S2，點A'，D'在拋物線上，邊B'C'在ON'上．現知，小華已正確求出方案二中，當A'B'＝3m時，，請你根據以上提供的相關信息，解答下列問題：（1）求方案一中拋物線的函數表達式；（2）在方案一中，當AB＝3m時，求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1，S2的大?。敬鸢浮浚?）方案一中拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+x；（2）S1＝18m2；S1＞S2．【解答】解：（1）由題意知，方案一中拋物線的頂點P（6，4）設拋物線的函數表達式為y＝a（x﹣6）2+4把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4解得：a＝﹣∴y＝﹣（x﹣6）2+4＝﹣x2+x；∴方案一中拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+x；（2）在y＝﹣x2+x中，令y＝3得：3＝﹣x2+x；解得x＝3或x＝9∴BC＝9﹣3＝6（m）∴S1＝AB?BC＝3×6＝18（m2）；∵18＞12∴S1＞S2．【題型2：用二次函數解決最優化問題】【典例2】（2023?丹東）某品牌大米遠近聞名，深受廣大消費者喜愛，某超市每天購進一批成本價為每千克4元的該大米，以不低于成本價且不超過每千克7元的價格銷售．當每千克售價為5元時，每天售出大米950kg；當每千克售價為6元時，每天售出大米900kg，通過分析銷售數據發現：每天銷售大米的數量y（kg）與每千克售價x（元）滿足一次函數關系．（1）請直接寫出y與x的函數關系式；（2）超市將該大米每千克售價定為多少元時，每天銷售該大米的利潤可達到1800元？（3）當每千克售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）根據題意設y＝kx+b當每千克售價為5元時，每天售出大米950kg；當每千克售價為6元時，每天售出大米900kg則解得：則y與x的函數關系式；y＝﹣50x+1200（4≤x≤7）（2）∵定價為x元，每千克利潤（x﹣4）元由（1）知銷售量為y＝﹣50x+1200（4≤x≤7）則（x﹣4）（﹣50x+1200）＝1800解得：x1＝22（舍去），x2＝6∴超市將該大米每千克售價定為6元時，每天銷售該大米的利潤可達到1800元；（3）設利潤為W元根據題意可得：W＝（x﹣4）（﹣50x+1200）即W＝﹣50x2+1400x﹣4800＝﹣50（x﹣14）2+5000∵a＝﹣50＜0，對稱軸為x＝14∴當x＜14時，W隨x的增大而增大又∵4≤x≤7∴x＝7時，W最大值＝﹣50（7﹣14）2+5000＝2550（元）∴當每千克售價定為7元時，每天獲利最大，最大利潤為2550元．1．（2023?綿陽）隨著國家鄉村振興政策的推進，鳳凰村農副產品越來越豐富．為增加該村村民收入，計劃定價銷售某土特產，他們把該土特產（每袋成本10元）進行4天試銷售，日銷量y（袋）和每袋售價x（元）記錄如下：時間第一天第二天第三天第四天x/元15202530y/袋25201510若試銷售和正常銷售期間，日銷量y與每袋售價x的一次函數關系相同，解決下列問題：（1）求日銷量y關于每袋售價x的函數關系式；（2）請你幫村民設計，每袋售價定為多少元，才能使這種土特產每日銷售的利潤最大？并求出最大利潤．（利潤＝銷售額﹣成本）【答案】（1）y＝﹣x+40；（2）每袋的銷售價應定為25元，每日銷售的最大利潤是225元．【解答】解：（1）依題意，根據表格的數據，設日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數關系式為y＝kx+b得解得故日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數關系式為：y＝﹣x+40；（2）依題意，設利潤為w元得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400配方，得w＝﹣（x﹣25）2+225∵﹣1＜0∴當x＝25時，w取得最大值，最大值為225故要使這種土特產每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價應定為25元，每日銷售的最大利潤是225元．2．（2023?菏澤）某學校為美化學校環境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個一面靠墻（墻足夠長）的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A，B兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥．學校已定購籬笆120米．（1）設計一個使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；（2）在花園面積最大的條件下，A，B兩塊內分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價25元，芍藥每株售價15元，學校計劃購買費用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？【答案】（1）垂直于墻的邊為20米，平行于墻的邊為60米，花園面積最大為1200平方米；（2）最多可以購買1400株牡丹．【解答】解：（1）設垂直于墻的邊為x米，圍成的矩形面積為S平方米，則平行于墻的邊為（120﹣3x）米根據題意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200∵﹣3＜0∴當x＝20時，S取最大值1200∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60∴垂直于墻的邊為20米，平行于墻的邊為60米，花園面積最大為1200平方米；（2）設購買牡丹m株，則購買芍藥1200×2﹣m＝（2400﹣m）株∵學校計劃購買費用不超過5萬元∴25m+15（2400﹣m）≤50000解得m≤1400∴最多可以購買1400株牡丹．3．（2023?黃石）某工廠計劃從現在開始，在每個生產周期內生產并銷售完某型號設備，該設備的生產成本為10萬元/件．設第x個生產周期設備的售價為z萬元/件，售價z與x之間的函數解析式是z＝，其中x是正整數．當x＝16時，z＝14；當x＝20時，z＝13．（1）求m，n的值；（2）設第x個生產周期生產并銷售完設備的數量為y件，且y與x滿足關系式y＝5x+20．①當12＜x≤20時，工廠第幾個生產周期獲得的利潤最大？最大的利潤是多少萬元？②當0＜x≤20時，若有且只有3個生產周期的利潤不小于a萬元，求實數a的取值范圍．【答案】（1）m＝﹣，n＝18；（2）①工廠第14個生產周期獲得的利潤最大，最大的利潤是405萬元；②a的取值范圍400＜a≤403.75．【解答】解：（1）把x＝16時，z＝14；x＝20時，z＝13代入y＝mx+n得：解得m＝﹣，n＝18；（2）①設第x個生產周期創造的利潤為w萬元由（1）知，當12＜x≤20時，z＝﹣x+18∴w＝（z﹣10）y＝（﹣x+18﹣10）（5x+20）＝（﹣x+8）（5x+20）＝﹣x2+35x+160＝﹣（x﹣14）2+405∵﹣＜0，12＜x≤20∴當x＝14時，w取得最大值，最大值為405∴工廠第14個生產周期獲得的利潤最大，最大的利潤是405萬元；②當0＜x≤12時，z＝15∴w＝（15﹣10）（5x+20＝25x+100∴w＝則w與x的函數圖象如圖所示：由圖象可知，若有且只有3個生產周期的利潤不小于a萬元∴當x＝13，15時w＝403.75當x＝12，16時，w＝400∴a的取值范圍400＜a≤403.75．【題型3：二次函數的綜合應用】【典例3】（2023?煙臺）如圖，拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AB＝4．拋物線的對稱軸x＝3與經過點A的直線y＝kx﹣1交于點D，與x軸交于點E．（1）求直線AD及拋物線的表達式；（2）在拋物線上是否存在點M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為⊙B上一個動點，請求出PC+PA的最小值．【答案】（1）直線AD的解析式為y＝x﹣1；拋物線解析式為y＝x2﹣6x+5；（2）存在，點M的坐標為（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；（3）．【解答】（1）解：∵拋物線的對稱軸x＝3，AB＝4∴A（1，0），B（5，0）將A（1，0）代入直線y＝kx﹣1，得k﹣1＝0解得k＝1∴直線AD的解析式為y＝x﹣1；將A（1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，得，解得∴拋物線的解析式為y＝x2﹣6x+5；（2）存在點M∵直線AD的解析式為y＝x﹣1，拋物線對稱軸x＝3與x軸交于點E∴當x＝3時，y＝x﹣1＝2∴D（3，2）①當∠DAM＝90°時設直線AM的解析式為y＝﹣x+c，將點A坐標代入得﹣1+c＝0解得c＝1∴直線AM的解析式為y＝﹣x+1解方程組，得或∴點M的坐標為（4，﹣3）；②當∠ADM＝90°時設直線DM的解析式為y＝﹣x+d，將D（3，2）代入得﹣3+d＝2解得d＝5∴直線DM的解析式為y＝﹣x+5解方程組，解得或∴點M的坐標為（0，5）或（5，0）綜上，點M的坐標為（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；（3）如圖，在AB上取點F，使BF＝1，連接CF∵PB＝2∴∵∴又∵∠PBF＝∠ABP∴△PBF∽△ABP∴，即PF＝PA∴PC+PA＝PC+PF≥CF∴當點C、P、F三點共線時，PC+PA的值最小，即為線段CF的長∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4∴CF＝∴PC+PA的最小值為．1．（2023?攀枝花）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過坐標原點O，且頂點為A（2，﹣4）．（1）求拋物線的表達式；（2）設拋物線與x軸正半軸的交點為B，點P位于拋物線上且在x軸下方，連接OA、PB，若∠AOB+∠PBO＝90°，求點P的坐標．【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）P（，﹣）．【解答】解：（1）設拋物線的表達式為y＝a（x﹣2）2﹣4將O（0，0）代入得：4a﹣4＝0解得a＝1∴y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；（2）過A作AT⊥y軸于T，過P作PK⊥x軸于K，如圖：設P（m，m2﹣4m）在y＝x2﹣4x中，令y＝0得x＝0或x＝4∴B（4，0）；∵∠AOB+∠AOT＝90°，∠AOB+∠PBO＝90°∴∠AOT＝∠PBO∵∠ATO＝90°＝∠PKB∴△AOT∽△PBK∴＝∵A（2，﹣4）∴＝解得m＝或m＝4（此時P與B重合，舍去）∴P（，﹣）．2．（2023?自貢）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+4與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線解析式及B，C兩點坐標；（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D坐標；（3）該拋物線對稱軸上是否存在點E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+4，點C的坐標為（0，4），點B的坐標為（1，0）．（2）點D的坐標為（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）（3）E的坐標為（﹣1，）．【解答】解：（1）把點A的坐標代入解析式得b＝∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+4∴點C的坐標為（0，4），點B的坐標為（1，0）．（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：①若AC為對角線，設AC的中點為F，則根據中點坐標公式可得F的坐標為（﹣，2）設點D的坐標為（a，b），則有解得a＝﹣4，b＝4，此時點D的坐標為（﹣4，4）②若以AB為對角線，設AB的中點為F，則F的坐標為（﹣1，0）設點D的坐標為（a，b），則有解得a＝﹣2，b＝﹣4，此時點D的坐標為（﹣2，﹣4）③若以BC為對角線，設BC的中點為F，則點F的坐標為（，2）設點D的坐標為（a，b），則有解得a＝4，b＝4，此時點D的坐標為（4，4）綜上所述，點D的坐標為（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）；（3）存在，理由如下：∵tan∠ACO＝＝＜1∴∠ACO＜45°∴E不可能出現在直線AC下方，也不可能在直線AC上當點E在直線AC上方時，∠ACE＝45°，過點E作EM⊥AC，如圖：根據點A（﹣3，0）和點C（0，4）可得直線AC的解析式為y＝，設直線AC與對稱軸交于點H∴點H（﹣1，），HC＝∵EH∥y軸∴∠EHM＝∠HCO∴tan∠EHM＝tan∠HCO＝＝∴EM＝HM∵∠ACE＝45°∴EM＝CM∴HC＝HM+CM，即＝HM+HM解得HM＝∴EM＝在Rt△EMH中，EH＝解得EH＝∴E的縱坐標為＝∴點E的坐標為（﹣1，）．3．（2023?阜新）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝﹣x2+bx﹣c的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．（1）求這個二次函數的表達式．（2）如圖1，二次函數圖象的對稱軸與直線AC：y＝x+3交于點D，若點M是直線AC上方拋物線上的一個動點，求△MCD面積的最大值．（3）如圖2，點P是直線AC上的一個動點，過點P的直線l與BC平行，則在直線l上是否存在點Q，使點B與點P關于直線CQ對稱？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）Q（1﹣，﹣）或（1+，）．【解答】解：（1）由題意得y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）如圖1作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°∴∠CAO＝∠ACO＝45°∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°拋物線的對稱軸是直線：x＝∴y＝x+3＝﹣1+3＝2∴D（1，2）∵C（0，3）∴CD＝故只需△MCD的邊CD上的高最大時，△MCD的面積最大設過點M與AC平行的直線的解析式為：y＝x+m當直線y＝x+m與拋物線相切時，△MCD的面積最大由x+m＝﹣x2﹣2x+3得x2+3x+（m﹣3）＝0由Δ＝0得32﹣4（m﹣3）＝0得m﹣3＝∴x2+3x+＝0∴x1＝x2＝﹣∴y＝﹣（﹣）2﹣2×+3＝y＝x+3＝﹣+3＝∴ME＝∴MQ＝ME?sin∠MEQ＝ME?sin45°＝∴S△MCD最大＝＝；（3）如圖2當點P在線段AC上時，連接BP，交CQ于R∵點B和點Q關于CQ對稱∴CP＝CB設P（t，t+3）由CP2＝CB2得2t2＝10∴t1＝﹣，t2＝（舍去）∴P（﹣，3﹣）∵PQ∥BC∴∴CR＝QR∴四邊形BCPQ是平行四邊形∵1+（﹣）﹣0＝1﹣，0+（3﹣）﹣3＝﹣∴Q（1﹣，﹣）；如圖3當點P在AC的延長線上時，由上可知：P（，3+）同理可得：Q（1+，）綜上所述：Q（1﹣，﹣）或（1+，）．4．（2023?浙江）在二次函數y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的圖象過點（2，1），則t的值為多少？（2）當0≤x≤3時，y的最小值為﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在這個二次函數的圖象上，且a＜b＜3．求m的取值范圍．【答案】（1）t＝；（2）t的值為；（3）3＜m＜4或m＞6．【解答】解：（1）將（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：1＝4﹣4t+3解得：t＝；（2）拋物線y＝x2﹣2tx+3對稱軸為x＝t．若0＜t≤3，當x＝t時函數取最小值∴t2﹣2t2+3＝﹣2解得t＝；若t＞3，當x＝3時函數取最小值∴9﹣6t+3＝﹣2解得（不符合題意，舍去）；綜上所述，t的值為；（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在這個二次函數的圖象上∴二次函數y＝x2﹣2tx+3的對稱軸直線x＝t即為直線x＝＝m﹣1∴t＝m﹣1∵t＞0∴m﹣1＞0解得m＞1∵m﹣2＜m∴A在對稱軸左側，C在對稱軸右側在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3∴拋物線y＝x2﹣2tx+3與y軸交點為（0，3）∴（0，3）關于對稱軸直線x＝m﹣1的對稱點為（2m﹣2，3）∵b＜3∴4＜2m﹣2解得m＞3；①當A（m﹣2，a），B（4，b）都在對稱軸左側時∵y隨x的增大而減小，且a＜b∴4＜m﹣2解得m＞6此時m滿足的條件為m＞6；②當A（m﹣2，a）在對稱軸左側，B（4，b）在對稱軸右側時∵a＜b∴B（4，b）到對稱軸直線x＝m﹣1距離大于A（m﹣2，a）到對稱軸直線x＝m﹣1的距離∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2）解得：m＜4此時m滿足的條件是3＜m＜4綜上所述，3＜m＜4或m＞6．一．選擇題（共7小題）1．在2023年中考體育考試前，小康對自己某次實心球的訓練錄像進行了分析，發現實心球飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實心球的飛行高度y（單位：米）與飛行的水平距離x（單位：米）之間具有函數關系y＝﹣x2+x+，則小康這次實心球訓練的成績為（）A．14米 B．12米 C．11米 D．10米【答案】B【解答】解：當y＝0時，則﹣x2+x+＝0解得x＝﹣2（舍去）或x＝12．故選：B．2．物理課上我們學習了豎直上拋運動，若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運動時間t（單位：s）之間的函數關系如圖所示，下列結論：①小球在空中經過的路程是40m②小球拋出3s后，速度越來越快③小球拋出3s時速度為0④小球的高度h＝30m時，t＝1.5s其中正確的是（）A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③【答案】D【解答】解：①由圖象知小球在空中達到的最大高度是40m；故①錯誤；②小球拋出3秒后，速度越來越快；故②正確；③小球拋出3秒時達到最高點即速度為0；故③正確；④設函數解析式為：h＝a（t﹣3）2+40把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得∴函數解析式為把h＝30代入解析式得，解得：t＝4.5或t＝1.5∴小球的高度h＝30m時，t＝1.5s或4.5s，故④錯誤；故選D．3．某超市銷售某款商品每天的銷售利潤y（元）與單價x（元）之間的函數關系式為y＝﹣x2+10x+125，則銷售這款商品每天的最大利潤為（）A．125元 B．150元 C．175元 D．200元【答案】B【解答】解：∵y＝﹣x2+10x+125＝﹣（x﹣5）2+150，且a＝﹣1＜0，開口向下∴當x＝5時，y有最大值，最大值y＝150∴銷售這款商品每天的最大利潤為150元．故選：B．4．向空中發射一枚炮彈，經過x秒后的高度為y米，且時間與高度y的關系式為y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮彈在第6秒與第14秒時的高度相等，則下列時間中炮彈所在高度最高的是（）A．第8秒 B．第9秒 C．第10秒 D．第11秒【答案】C【解答】解：∵此炮彈在第6與第14秒時的高度相等∴拋物線的對稱軸是直線x＝＝10∴炮彈所在高度最高是10秒故選：C．5．某水果銷售商有100千克蘋果，當蘋果單價為15元/千克時，能全部銷售完，市場調查表明蘋果單價每提高1元，銷售量減少6千克，若蘋果單價提高x元，則蘋果銷售額y關于x的函數表達式為（）A．y＝x（100﹣x） B．y＝x（100﹣6x） C．y＝（100﹣x）（15+x） D．y＝（100﹣6x）（15+x）【答案】D【解答】解：根據題意得，y＝（100﹣6x）（15+x）故選：D．6．飛機著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行的時間t（單位：s）的函數解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飛機著陸后滑行多長時間才能停下來（）A．10s B．20s C．30s D．40s【答案】B【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0∴函數有最大值當t＝﹣＝﹣＝20（秒）即飛機著陸后滑行20秒能停下來故選：B．7．如圖，小明在某次投籃中，球的運動路線是拋物線y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中籃圈中心，則他與籃圈底的距離l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m【答案】C【解答】解：如圖把C點縱坐標y＝3.05代入y＝0.2x2+3.5中得：x＝±1.5（舍去負值）即OB＝1.5所以l＝AB＝2.5+1.5＝4．故選：C．二．填空題（共3小題）8．如圖所示，要建一個長方形的養雞場，養雞場的一邊靠墻，如果用60m長的籬笆圍成中間有一道籬笆的養雞場，設養雞場的長為xm，當x＝30m時，養雞場的面積最大．【答案】見試題解答內容【解答】解：設養雞場的長為xm，則寬為m，設養雞場的面積為S根據題意可得S＝x（）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣30）2+300∵﹣＜0∴拋物線開口向下∴當x＝30時，S有最大值即當x＝30m時，養雞場的面積最大故答案為：30．9．東方商廈將進貨單價為70元的某種商品按零售價100元一個售出時，每天能賣出20個，若這種商品的零售價在一定范圍內每降價1元，其日銷量就增加1個，為了獲取最大利潤，則應降價5元．【答案】5．【解答】解：設降價x元時，則日銷售可以獲得最大利潤為W，由題意，得W＝（100﹣70﹣x）（20+x）∴W＝﹣x2+10x+600∴W＝﹣（x﹣5）2+625∵a＝﹣1＜0∴當x＝5時，W最大＝625．故答案為：5．10．如圖，小明以拋物線為靈感，在平面直角坐標系中設計了一款高OD為14的獎杯，杯體軸截面ABC是拋物線的一部分，則杯口的口徑AC為9．【答案】9．【解答】解：∵OD為14∴令14＝x2+5解得x＝±∴A（﹣，14），C（，14）∴AC＝﹣（﹣）＝9故答案為：9．三．解答題（共4小題）11．如圖，學校要用一段長為32米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形花圃，墻長為14米．（1）若矩形ABCD的面積為96平方米，求矩形的邊AB的長．（2）要想使花圃的面積最大，AB邊的長應為多少米？最大面積為多少平方米？【答案】（1）12米；（2）AB邊的長應為9米時，有最大面積，且最大面積為126平方米．【解答】解：（1）設AB為x米，則BC＝（32﹣2x）米由題意得：x（32﹣2x）＝96解得：x1＝4，x2＝12∵墻長為14米，32米的籬笆∴32﹣2x≤14，2x＜32∴9≤x＜16∴x＝12∴AB＝12答：矩形的邊AB的長為12米；（2）設AB為x米，矩形的面積為y平方米，則BC＝（32﹣2x）米∴y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128∵9≤x＜16，且﹣2＜0，故拋物線開口向下∴當x＝9時，y有最大值是126答：AB邊的長應為9米時，有最大面積，且最大面積為126平方米．12．綜合與實踐問題情境：如圖1所示的是山西晉城景德橋，又名沁陽橋、西關大橋，是山西晉城市城區通往陽城、沁水的交通要道，是繼趙州橋之后我國現存歷史悠久的古代珍貴橋梁之一．橋拱截面OBA可以看作拋物線的一部分（如圖2），在某一時刻，橋拱內的水面寬約20米，橋拱頂點B到水面的距離為4米．模型建立：（1）如圖2，以該時刻水面為x軸，橋拱與水面的一個交點為原點建立直角坐標系，求橋拱部分拋物線的解析式．問題解決：（2）求在距離水面2米處橋拱寬度．（3）現有兩寬為4米，高3米（帶貨物）的小舟，相向而行，恰好同時接近拱橋，問兩小舟能否同時從橋下穿過，并說明理由．【答案】（1）；（2）在距離水面2米處橋拱寬度為米；（3）兩小舟能同時從橋下穿過，理由見解析．【解答】解：（1）由題意得，點O和點A的坐標分別為（0，0）和（20，0）∵B為函數頂點∴B（10，4）設拋物線解析式為y＝a（x﹣h）2+k∵頂點B（10，4）∴y＝a（x﹣10）2+4再將O（0，0）代入解析式可得，a（0﹣10）2+4＝0解得∴拋物線的解析式為；（2）由題意得，令y＝2可得，解得∴橋拱寬度為：（米）（3）兩小舟能同時從橋下穿過，理由如下：∵兩小舟的高均為3米∴當y＝3時，解得x1＝15，x2＝5∴最大能通行的寬度為：15﹣5＝10（米）∵兩小周寬為4米∴10＞4+4＝8∴兩小舟能同時從橋下穿過．13．某服裝店購進一批秋衣，價格為每件30元．物價部門規定其銷售單價不高于每件60元，經市場調查發現：日銷售量y（件）是銷售單價x（元）的一次函數，且當x＝60時，y＝80；x＝50時，y＝100．在銷售過程中，每天還要支付其他費用450元．（1）求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求該服裝店銷售這批秋衣日獲利W（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；（3）當銷售單價為多少元時，該服裝店日獲利最大？最大獲利是多少元？【答案】（1）y與x的函數關系式為y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）W與x之間的函數關系式為W＝﹣2x2+260x﹣6450；（3）當銷售單價為60元時，該服裝店日獲利最大，最大值為1950元．【解答】解：（1）設y＝kx+b，根據題意得：解得：k＝﹣2，b＝200∵秋衣進價為30元，銷售單價不高于每件60元∴30≤x≤60∴y與x的函數關系式為y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）由題意得：W＝（x﹣30）y﹣450＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2x2+260x﹣6450∴W與x之間的函數關系式為W＝﹣2x2+260x﹣6450；（3）W＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000∵﹣2＜0∴x＜65時，W隨x的增大而增大∵30≤x≤60∴當x＝60時，W有最大值，最大值為1950∴當銷售單價為60元時，該服裝店日獲利最大，最大值為1950元．14．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）在對稱軸上找一點Q，使△ACQ的周長最小，求點Q的坐標；（3）P是第四象限內拋物線上的動點，求△BPC面積S的最大值及此時P點的坐標．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）將點A（﹣1，0），B（3，0），代入y＝ax2+bx﹣3∴解得∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）連接CB交對稱軸于點Q∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4∴拋物線的對稱軸為直線x＝1∵A、B關于對稱軸x＝1對稱∴AQ＝BQ∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC當C、B、Q三點共線時，△ACQ的周長最小∵C（0，﹣3），B（3，0）設直線BC的解析式為y＝kx+b∴解得∴y＝x﹣3∴Q（1，﹣2）；（3）過點P作PG∥y軸交BC于點G設點P坐標為（t，t2﹣2t﹣3），則G（t，t﹣3）∴PG＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t∴S＝×3×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+∴當t＝時，S的最大值為此時P（，﹣）．1．某種型號的小型無人機著陸后滑行的距離S（米）關于滑行的時間t（秒）的函數解析式是S＝﹣0.25t2+8t，無人機著陸后滑行（）秒才能停下來．A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【解答】解：∵S＝﹣0.25t2+8t＝﹣0.25（t﹣16）2+64，﹣0.25＜0∴當t＝20時，S取得最大值64∴無人機著陸后滑行16秒才能停下來故選：B．2．豎直上拋的小球的高度h（m）與運動時間t（s）的函數表達式為h＝at2+bt，若小球在上拋后第3s與第7s時離地面距離相等，則下列時刻中小球的高度最高的是（）A．第4s B．第4.8s C．第4.9s D．第5.2s【答案】C【解答】解：由題意可知：小球在發射后第上拋后第3s與第7s時離地面距離相等則函數h＝at2+bt的對稱軸為直線t＝＝5故在t＝s時，小球的高度最高題中給的四個數據只有C第4.9s最接近5s故在第4.9s時小球最高故選：C．3．如圖，一場籃球賽中，籃球運動員跳起投籃，已知球出手時離地面高2.2m，與籃圈中心的水平距離為8m，當球出手后水平距離為4m時到達最大高度4m，設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3m．該運動員發現未投中，若假設出手的角度和力度都不變，要使投中，該運動員應該跳得比剛才投籃時（）A．高0.8m B．高0.4m C．低0.8m D．低0.4m【答案】A【解答】解：由題意可得，拋物線的對稱軸為直線x＝4，運動員和與籃圈中心距對稱軸的距離相等∴運動員出手的位置距地面的高度應該與籃圈中心距地面的高度一樣∴運動員出手的位置距地面的高度為3m∵3﹣2.2＝0.8∴要使此球恰好通過籃圈中心，運動員應該跳得比開始高0.8m故選：A．4．有一座拋物線形拱橋，正常水位橋下面寬度為20米，拱頂距離水平面4米，如圖建立直角坐標系，若正常水位時，橋下水深6米，為保證過往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18米，則當水深超過多少米時，就會影響過往船只的順利航行（）A．6.24米 B．6.76米 C．7米 D．7.24米【答案】B【解答】解：根據題意可得：該拋物線經過（﹣10，﹣4），（10，﹣4）設拋物線解析式為y＝ax2把（10，﹣4）代入y＝ax2得：4＝100a解得：∴該拋物線解析式為把x＝9代入得：∴此時水深為：（4﹣3.24）+6＝6.76（米）故選：B．5．亞運會期間，我市賓館預訂火爆．某賓館有150間標準房，當標準房價格為100元時，每天都客滿．市場調查表明單間房價在100～200元之間（含100元，200元）浮動時，每提高10元，日均入住數減少6間．如果不考慮其他因素，為使客房的日營業收入最大，賓館可將標準房價格提高（）A．100元 B．75元 C．50元 D．25元【答案】B【解答】解：設賓館客房租金每間日租金提高10x元將有6x間客房空出，客房租金總收入為y由題意可得：y＝（100+10x）（150﹣6x）（0≤10x≤200）．＝﹣60（x+10）（x﹣25）則函數的對稱軸為x＝（25﹣10）＝7.5當x＝7.5時函數取得最大值則7.5×10x＝75（元）故選：B．6．飛機著陸后滑行的距離y（單位：米）關于滑行時間t（單位，秒）的函數解析式是．在飛機著陸滑行中，最后6秒滑行的距離為（）米．A．24 B．36 C．48 D．54【答案】D【解答】解：當y取得最大值時，飛機停下來則y＝﹣1.5t2+60t＝﹣1.5（t﹣20）2+600此時t＝20，飛機著陸后滑行600米才能停下來．因此t的取值范圍是0≤t≤20；即當t＝20﹣6＝14時，y＝546所以600﹣546＝54（米）故選：D．7．如圖，利用一個直角墻角修建一個DC∥AB的四邊形儲料場AB﹣CD，其中∠C＝120°，若新建墻BC與CD總長為12m，則該儲料場ABCD的最大面積是（）A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m2【答案】C【解答】解：如圖，過點C作CE⊥AB于E則四邊形ADCE為矩形∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°設CD＝AE＝xm則∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m在Rt△CBE中，∠CEB＝90°∴BE＝BC＝（6﹣x）m∴AD＝CE＝BE＝（6﹣x）m，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝（x+6）m∴梯形ABCD面積S＝（CD+AB）?CE＝（x+x+6）?（6﹣x）＝﹣x2+3x+18＝﹣（x﹣4）2+24∴當x＝4時，S最大＝24．即CD長為4m時，使梯形儲料場ABCD的面積最大為24m2；故選：C．8．已知二次函數y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3的圖象與函數y＝﹣x2+6x的圖象交于y軸一點，則m＝﹣1或3．【答案】見試題解答內容【解答】解：依題意，在y＝﹣x2+6x中，x＝0時，y＝0；在y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3中x＝0時，y＝m2﹣2m﹣3＝0；即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝﹣1或3．9．如圖1，有一塊外邊緣呈拋物線型的廢材料，小成同學想廢舊利用，從中截取一個矩形ABCD，使矩形的頂點A、B落在材料的底邊MN上，C，D落在外邊緣的拋物線上，小成同學量得MN＝6dm，拋物線頂點處到邊MN的距離是9dm；于是，小成同學在圖紙上，以MN的中點為坐標原點，MN所在直線為x軸，以1dm為1個單位建立平面直角坐標系，如圖2所示．（1）請你幫小成求出該拋物線的解析式；（2）小成截下的矩形ABCD的周長能否等于20dm？若能，請求出矩形的邊AB的長；若不能，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+9；（2）能，AB＝2dm．【解答】解：（1）設拋物線的表達式為：y＝ax2+9由MN＝6知，點N（3，0）將點N的坐標代入拋物線表達式得：0＝9a+9解得：a＝﹣1則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+9；（2）能，AB＝2，理由：設點C（m，﹣m2+9）則BC＝﹣m2+9，CD＝2m則矩形ABCD的周長＝2（CD+BC）＝2（﹣m2+9+2m）＝20解得：m＝1則AB＝CD＝2（dm）故矩形的邊AB的長為2dm．10．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上是否存在一點P，使△ACP的面積等于△ACB的面積的一半？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使以A，C，M，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）故﹣3a＝3解得：a＝﹣1故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x+3…①；（2）過點B作直線AC的平行線n交y軸于點N，過點P作AC的平行線交y軸于點m∵△ACP的面積等于△ACB的面積的一半∴CM＝CN由點A、C的坐標得，解得直線AC的表達式為：y＝x+3設直線n的解析式為y＝x+q將B（1，0）代入，得：1+q＝0，即q＝﹣1則直線n的表達式為：y＝x﹣1故點N（0，﹣1）即ON＝1，則CN＝4，CM＝CN＝2則OM＝CO+CM＝2+3＝5故點M（0，5）則直線m的表達式為：y＝x+5…②聯立①②并解得：x＝﹣1或﹣2故點P（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）方法一：當MC∥AQ且MC＝AQ時，M與C關于對稱軸x＝﹣1對稱∴AQ＝MC＝2∴Q1（﹣1，0），Q2（﹣5，0）②當AC∥MQ且AC＝MQ時因為平行四邊形是中心對稱圖形并且中心對稱點在x軸上，所以點M到x軸的距離為3．設M（m，﹣m2﹣2m+3）∴﹣m2﹣2m+3＝﹣3∴m2+2m﹣6＝0∴∴，；綜上：存在點Q有四個，分別為：Q1（﹣1，0），Q2（﹣5，0），，．方法二：點M（m，n），n＝y＝﹣m2﹣2m+3①當AC是對角線時，則解得：，即點Q（﹣1，0）；②當AM是對角線時，則解得：故點Q（﹣5，0）；③當AQ是對角線時，則解得：即點Q（2﹣，0）或（2+，0）故點Q的坐標為：（2﹣，0）或（2+，0）或（﹣5，0）或Q（﹣1，0）．11．綜合與探究如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（6，0）兩點，交y軸于點C，連接BC，AC．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是第四象限內拋物線上的一個動點，連接PB，PC，求△PBC面積的最大值，并求出此時點P的坐標；（3）點Q為拋物線對稱軸上一點，是否存在點Q，使△BCQ為直角三角形？若存在，請直接寫出Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x2﹣5x﹣6；（2）面積的最大值為27；P（3，﹣12）；（3）存在．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（6，0）代入y＝x2+bx+c，得∴拋物線的解析式為y＝x2﹣5x﹣6（2）過P作PD⊥x軸，交BC于點E當x＝0時，y＝﹣6∴C（0，﹣6）設直線BC的表達式為y＝kx+b1將B（6，0），C（0，﹣6）代入，得∴y＝x﹣6設P（m，m2﹣5m﹣6），E（m，m﹣6）∴PE＝（m﹣6）﹣（m2﹣5m﹣6）＝6m﹣m2∴S△PBC＝S△PCE+S△PBE＝＝＝＝﹣3（m﹣3）2+27∵﹣3＜0∴當m＝3時，S最大＝27當m＝3時，m2﹣5m﹣6＝﹣12∴P（3，﹣12）；（3）存在，理由：由拋物線的表達式知，其對稱軸為，故設點由點C、B、Q的坐標得，BC2＝72當BC為斜邊時，則解得：m＝即點Q或；當BQ為斜邊時，則＝解得：；即點；當CQ為斜邊時，則＝解得：即點綜上，點Q的坐標為：12．二次函數y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經過點A（﹣4，0），B（1，0），與y軸交于點C，點P為第二象限內拋物線上一點．（1）求二次函數的表達式；（2）如圖1，連接PA，PC，AC，求S△PAC的最大值；（3）如圖2，過點P作PD⊥x軸于點D，連接BC、BP，當∠DPB＝2∠BCO時，求直線BP的表達式．【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）8；（3）y＝﹣x+．【解答】解：（1）設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）則y＝a（x+4）（x﹣1）＝a（x2+3x﹣4）則﹣4a＝4解得：a＝﹣1則拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣3x+4；（2）由拋物線的表達式知，點C（0，﹣4）由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：y＝x+4如圖1，過點P作PH∥y軸交AC于點H設點P（x，﹣x2﹣3x+4），則點H（x，x+4）則S△PAC＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝（﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4）×4＝2（﹣x2﹣4x）∵﹣2＜0，故S△PAC存在最大值當x＝﹣2時，S△PAC的最大值為8；（3）作點B關于y軸的對稱點N（﹣1，0），如圖2則∠BCN＝2∠BCO＝∠DPB由點B、N、C的坐標得，BC＝BN＝過點B作BT⊥CN于點T則S△BCN＝BN×CO＝CN×BT即2×4＝×BT則BT＝則sin∠BCN＝＝則tan∠CBN＝＝tan∠DPB則tan∠DBP＝則直線BP的表達式為：y＝﹣（x﹣1）＝﹣x+．13．某商店銷售一種商品，經市場調查發現：該商品的月銷售量y（件）是售價