應用題-經典應用題-牛吃草問題基本

知識-O星題

課程目標

知識點__________________考試要求具體要求________________________考察頻率

牛吃草問題基本知識C1.了解牛吃草問題的概念。少考

2能.夠準確理解牛吃草的解題原

理。

3.可以熟練運用牛吃草公式來解決

牛吃草問題。_____________________

知識提要

牛吃草問題基本知識

?概述

牛吃草問題：又稱為消長問題，是英國偉大的科學家牛頓在他的＜普遍算術＞一書中提出的

一個數學問題，所以也稱為“牛頓問題”，俗稱"牛吃草問題

解決該問題要抓住兩個關鍵量：草的生長速度和草原的原草量

?公式:

設定1頭牛1天吃草量為'T';（I）草的生長速度=（對應牛的頭數X

吃的較多的天數-對應牛的頭數X吃的較少天數）÷（吃的較多天數-吃的較少天數）（2）原有

草量=牛的頭數X吃的天數-草的生長速度X吃的天數(3)吃的天數=原有草量÷(牛的頭數-

草的生長速度)(4)牛的頭數=原有草量÷吃的天數+草的生長速度。

?牛吃草的變型

“牛吃草'’問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題等等，只有理解了“牛吃草'’問題的

本質和解題思路，才能以不變應萬變，輕松解決此類問題.

精選例題

牛吃草問題基本知識

1.一個水池有一根進水管不間斷地進水，還有若干根相同的抽水管.若用24根抽水管抽水，

6小時即可把池中的水抽干；若用21根抽水管抽水，8小時可把池中的水抽干.若用16根抽

水管，需要小時可把水池中的水抽干.

【答案】18

【分析】設1根抽水管1小時抽1份水.每小時新進水量：

(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)，

水池中原有水量：

(21-12)×8=72(份)，

如果用16根抽水管，抽干水需要：

72÷(16-12)=18(小時).

2.一個蓄水池有1個進水口和15個出水口，水從進水口勻速注入，當池中有一半的水時，如

果打開9個出水口，9小時可以把水排空；如果打開7個出水口，18小時可以把水排空.如

果是一滿池水，打開全部出水口放水，那么經過時分水池剛好被排空.

【答案】7；12

【分析】設每個出水口每小時的出水量為1,則進水口每小時的進水量為：

(7X18-9×9)÷(18-9)=5,

半池水的量為：

(9-5)X9=36,

所以一池水的量為72.如果打開全部15個出水口，排空水池所需要的時間為：

72÷(15-5)=7.2(小時)，

即7小時12分鐘.

3.一個大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不斷流入，若安排4臺污水處理設備，36

天可將池中的污水處理完；若安排5臺污水處理設備，27天可將池中的污水處理完；若安排

7臺污水處理設備，天可將池中的污水處理完.

【答案】18

【分析】牛吃草問題變形.

不妨設一臺污水處理設備一天處理一份污水，

每天新流入的污水：

（4×36-5×27）÷（36-27）=1（份）.

原有的污水量：

4×36-l×36=108（份）.

分牛法：1臺污水處理設備處理每天新流入的污水，剩下6臺設備處理原有污水

108÷（7-1）=18（天）.

4.某超市平均每小時有60人排隊付款，每個收銀臺每小時能應付80人，某天某時段內，該

超市只有一個收銀臺工作，付款開始4小時就沒有顧客排隊了；如果叫當時有兩個收銀臺工作,

那么付款開始小時就沒人排隊了.

【答案】0.8

【分析】設1個收銀員1小時處理1份（80人）

則每小時新增人：M=W份

804

原有人數：1x4-jx4=l份

從2個收銀臺中分出:來專門處理“新增草量”

則1÷（2-1）=0.8（小時）

所以0.8小病后就無人排隊.

5.《火星救援》中，馬克不幸沒有跟上其他5名航天員飛回地球，獨自留在了火星，馬克必

須想辦法生存，等待救援.馬克的居住艙內留有每名航天員5天的食品和50千克的非飲用水,

還有一個足夠大的菜園，馬克計劃用來種植土豆，30天后每平方米可以收獲2.5千克，但是

需要灌溉4千克的水.馬克每天需要吃1.875千克土豆，才可以維持生存，則食品和土豆可供

馬克最多可以支撐天.

【答案】130

【分析】馬克擁有的食品可以支撐：

5×6=30（天）；

馬克有水：

50×6=300（千克）；

這些水可以種土豆：

300÷4×2.5=187.5（千克）;

這些土豆可以供馬克吃：

187.5÷1.875=IOO（天），

則馬克可以支撐：

30+100=130（天）.

6.若2臺收割機3天可以收割小麥450畝，則用7臺收割機收割2100畝小麥需

要天.

【答案】4

【分析】由題意，知1臺收割機1天可收割小麥

450÷2÷3=75（畝），

所以用7臺收割機收割2100畝小麥需要

2100+7+75=4（天）.

7.有三塊草地，面積分別是5、15、25畝.草地上的草一樣厚，而且長得一樣快.第一塊草

地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天，則第三塊草地可供頭牛

吃60天.

【答案】45

【分析】設每頭牛每天的吃草量為1份.

第一塊草地，5苗原有草量+5畝30天長的草=10x30=300（份），

則每畝草量=原有草量+每畝面積30天長的草=300÷5=60（份）：

第二塊草地，15畝原有草量+15畝45天長的草=28×45=1260（份），

即每畝面積原有草量+每畝面積45天長的草=1260÷15=84（份）.

所以每畝面積每天長草量（84-60）÷（45-30）=1.6（份）.

每畝原有草量=60-30×1.6=12（份）.

第三塊草地面積是25畝，60天新生長的草量為：1.6X60X25=2400（份），（2400+12×

25）÷60=45（頭），所以第三塊草地可供45頭牛吃60天.

8.11頭牛10天可吃完5公頃草地上的草，12頭牛14天可吃完6公頃草地上的草.假設每

公頃草地上的草量相等，每頭新生長的草量的相等，每頭牛每天的吃草量也相等，那么8公頃

草地可供19頭牛吃天.

【答案】8

【分析】關鍵是先求出每公頃地原有的草和每天每公頃地新長出的草.

假設1頭牛1天吃草量為“1”.

根據“11頭牛10天可吃完5公頃草地上的草”可以分別求出：①5公頃草地原有的草和10天

中新長出的草量共IlxlO=110；②每公頃草地原有的草及10天中新長出的草量ll×10÷

5=22.

根據“12頭牛14天可吃完6公頃草地上的牧草”可以求出每公頃地中原有草及14天新長出的

草量12X14÷6=28.

再次求出每公頃草地中每天新長出的草量（28-22）÷（14-10）=1.5

求出8公頃草地可供19頭牛吃的天數（22-1.5×10）×8÷（19-1.5×8）=8（天）.

9.有一塊草地，每天都有新的草長出.這塊草地可供9頭牛吃12天，或可供8頭牛吃16

天.開始只有4頭牛在這塊草地上吃草，從第7天起又增加了若干頭牛來吃草，又吃了6天

吃完了所有的草.假設草的生長速度每天都相同，每頭牛每天的吃草量也相同，那么從第7

天起增加了頭牛來吃草.

【答案】10

【分析】設每頭牛每天的吃草量為1份.

每天長草：（8X16-9X12）÷（16-12）=5（份）

原有草:108-5X12=48（份）

共吃12天，后6天需要牛的頭數：[48+（5-4）X6]÷6+5=14（頭）

增加牛的頭數：14-4=10（頭）.

10.一只船被發現漏水時.已經進了一些水，水均勻進入船內.如果10人淘水，3小時淘完；

如果5人淘水，8小時淘完.如果要求2小時淘完，需要安排人淘水.

【答案】14

【分析】將1人1小時淘的水看做1份，則10人3小時淘30份，5人8小時淘40份，這

說明5小時船進水40-30=10（份），即每小時進水2份，船里原有水30-2×3=24（份）.

要求2小時淘完，則需要24÷2+2=14（人）.

11.某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多.從開始檢票到等候檢

票的隊伍消失，若同時開5個檢票口則需30分鐘，若同時開6個檢票口則需20分鐘.如果

要使隊伍10分鐘內消失，至少需同時開個檢票口.

【答案】9

【分析】將1個檢票口1分鐘通過的人看做1份，則5個檢票口30分鐘通過人150份，6

個檢票口20分鐘通過人120份，這說明10分鐘來人150-120=30(份)，即每分鐘來人3

份.原有人數150-3X30=60(份)，要使隊伍10分鐘消失，至少需要60+10+3=9(個)

檢票口.

12.李大爺在草地上放養一群牛，草地每天均勻生長，如果他再買進3頭牛，則會提前2天將

草吃完，如果他賣出3頭牛，則會推遲4天才能將草吃完，那么這片草地放養原來那群牛，會

用天將草吃完.

【答案】8

【分析】設一頭牛一天吃一份草.設原有X頭牛，y天吃完，原有草量ɑ,每天長b?

可得方程：

xy=a+by

(x+3)(y-2)=α+ft(y-2)

(x-3)(y+4)=α+b(y+4)

可得y=8.

13.一片草地，草每天生長量相同，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛24天可將草吃完.現

有若干頭牛吃了6天后，賣掉4頭牛，余下的牛再吃2天將草吃完.原來共有頭牛.

【答案】40

【分析】設每頭牛每天的吃草量為1份，草的生長速度：(17X30-19x24)÷6=9

原有草量=(17-9)×30=240(份).

若干頭牛吃6天，設是X頭牛吃6天

(X-9)X6+(x-4-9)X2=240得X=40.

所以原來有40頭牛.

14.有一片草場，10頭牛8天可以吃完草場上的草；15頭牛，如果從第二天開始每天少一頭,

可以5天吃完.那么草場上每天長出來的草夠頭牛吃一天.

【答案】5

【分析】設每頭牛每天吃的草是1份，則前8天10頭牛共吃了

8×10=80（份）；

15頭牛每天減少一頭5天共吃了

15+14+13+12+11=65（份），

所以一天草場長草

（80-65）÷3=5（份）,

夠5頭牛吃一天.

15.解放軍戰士在洪水不斷沖毀大壩的過程中要修好大壩.若10人需45分鐘，20人需20分

鐘，則14人修好大壩需分鐘.

【答案】30

【分析】設每個人1分鐘修好1份.

10×45=450（份）,

20X20=400（份），

每分鐘新沖毀:

（450-400）÷（45-20）=2（份）,

原先沖毀：

450-2×45=360（份），

360÷（14-2）=30（分鐘）.

16.牧場上的青草每天都勻速生長，這片青草可供27頭牛吃6周，或者供23頭牛吃9周.那

么，這片青草可供21頭牛吃周.

【答案】12

【分析】將1頭牛1周吃的草看做1份，則27頭牛6周吃162份，23頭牛9周吃207份,

這說明3周時間牧場長草207-162=45（份），即每周長草15份，牧場原有草162-15X

6=72（份）.21頭牛中的15頭牛吃新長出的草，剩下的6頭牛吃原有的草，吃完需72÷6=

12（周）.

17.小方用一個有洞的杯子從水缸里往三個同樣的容積的空桶中舀水.第一個桶距水缸有1米,

小方用3次恰好把桶裝滿；第二個桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶裝滿.第三個桶距

水缸有3米，那么小方要多少次才能把它裝滿？（假設小方走路的速度不變，水從杯中流出的

速度也不變）

【答案】6

【分析】小方裝第二個桶比第一個桶多用了一杯水，同時多走了2X4—Ix3=5（米）路，

所以從杯中流出的速度是IX5=0.2（杯/米），于是1桶水原有水量等于3-3X0.2=2.4（杯）

水，所以小方要2.4-（1-3X0.2）=6（次）才能把第三個桶裝滿.

18.學校有一片均勻生長的草地，可以供18頭牛吃40天，或者供12頭牛與36只羊吃25天,

如果1頭牛每天的吃草量相當于3只羊每天的吃草量.請問：這片草地讓17頭牛與多少只羊

一起吃，剛好16天吃完？

【答案】48只

【分析】根據題中牛、羊吃草量的關系，題目轉化為可以供18頭牛吃40天，或者供24頭

牛吃25天.設1頭牛1天吃1份草，則草地上每天新長草

（18×40-24×25）÷（40-25）=8（份），

原有草量為

24X25-25X8=400（份），

所以這片草地可供400÷16+8=33（頭）牛吃16天，相當于17頭牛、（33-17）x3=48（

只）羊吃16天.

19.把一片均勻生長的大草地分成三塊，面積分別為5公頃、15公頃和24公頃.如果第一塊

草地可以供10頭牛吃30天，第二塊草地可以供28頭牛吃45天，那么第三塊草地可以供多

少頭牛吃80天？

【答案】42

【分析】方法一：列方程組，設1公頃草地的原有草量為工份，1公頃草地的生長速度為y

份，

$\left\{\begin{gathered}

5x+5y?times30&=10?times30?hfillW

15x+15y?times45&=28?times45?hfillW

?end{gathered}\right.$,解得$\left\{\begin{gathered}

x=12?hfi∏??

y=1.6?hfillW

?end{gathered)?right.S,所以第三塊草地80天吃完可供(12×24+1.6×24×80)÷80=42(

頭)牛?

方法二：設1頭牛1天吃1份草，則1公頃草的生長速度為(28×45÷15-10×30÷5)÷

(45-30)=1.6,1公頃草地的原有草量為28X45÷15—1.6x45=12,要把第三塊草地80

天吃完可供(12×24+1.6×24×80)÷80=42(頭)牛.

20.林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內吃光，21只猴子可在12周內吃光，問

如果要4周吃光野果，則需有多少只猴子一起吃？（假設野果生長的速度不變）

【答案】33只

【分析】設一只猴子一周吃的野果為1份，野果的生長速度是

(21X12-23X9)÷(12-9)=15(份)，

原有的野果為

(23-15)×9=72(份),

如果要4周吃光野果，則需有72÷4+15=33(只)猴子一起吃.

21.畫展9點開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多,

如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9點5分就沒有人排

隊.求第一個觀眾到達的時間.

【答案】8:15

【分析】設每一個入場口每分鐘通過的人數為1份，每分鐘來的人為：

(3×9-5X5)÷(9-5)=0.5(份)，

原有的人為：

(3-0.5)×9=22.5(份)，

這些人來到畫展，所用時間為：

22.5÷0.5=45(分)，

所以第一個觀眾到達的時間為8點15分.

22.有一片牧場，草每天都在均勻地生長.如果在牧場上放養24頭牛，那么6天就把草吃完

7;如果只放養21頭牛，那么8天才把草吃完.請問：要使得草永遠吃不完，最多可以放養

多少頭牛？

【答案】12頭

【分析】設1頭牛1天吃1份草，則草的生長速度為

(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)，

要使得草永遠吃不完，那么就要保證原草不被吃掉，放養的牛每天只吃新生長的草量，因此最

多放養12頭牛.

23.某建筑工地開工前運進一批磚，開工后每天運進相同數量的磚，如果派250個工人砌磚墻,

6天可以把磚用完，如果派160個工人，10天可以把柄用完，現在派120名工人砌了10天后,

又增加5名工人一起砌，還需要再砌幾天可以把磚用完？

【答案】4

【分析】工前運進的磚相當于“原有草量”，開工后每天運進相同的磚相當于“新生長的草”，

工人砌磚相當于“牛在吃草所以設1名工人1天砌磚數量為“1”，那么每天運來的磚為

（160×10-250×6）÷（10-6）=25,原有磚的數量為：（250-25）x6=1350.

如果120名工人砌10天，將會砌掉10天新運來的磚以及950原有的磚，還剩1350-950=

400的原有的磚未用，變成120+5=125（人）來砌磚，還需要：400+（125-25）=4（天）.

24.牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長.這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃

10天，問可供25頭吃幾天？

【答案】5天

【分析】設1頭牛1天的吃草量為1份，根據題意可得：10頭牛吃20天共吃了

10×20=200（份），

15頭牛吃10天共吃了

15×10=150（份），

草的生長速度是每天新長：

（200-150）÷（20-10）=5（份）,

那么原有草量為：

200-5×20=IOO（份），

供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天新長的草，剩下20頭牛需要100÷20=5（天）可將原有

牧草吃完，即牧場上的牧草可供25頭牛吃5天.

25.一片均勻生長的草地，如果有15頭牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初這15

頭牛在草地上吃了2天后，又來了2頭牛，則總共7天就可以把草吃完.如果起初這15頭牛

吃了2天后，又來了5頭牛，再過多少天可以把草吃完？

【答案】4天

【分析】設1頭牛1天吃1份草，則15頭牛吃8天一共吃草：

15x8=120（份），

15頭牛在草地上吃了2天后來了2頭牛總共吃了7天，這時的吃草量一共是：

15×2+17×5=115（份），

所以草的生長速度為：

（120-115）÷（8-7）=5（份），

草地上原有草量為：

15×8-5×8=80（份），

起初這15頭牛吃了2天后，原有的草量還剩下：

80-（15-5）×2=60（份），

又來了5頭牛，共有20頭牛，派5頭牛吃每天新長的草，再過60÷（20-5）=4（天）可以把

草吃完.

26.一個裝滿了水的水池有一個進水閥及三個口徑相同的排水閥，如果同時打開進水閥及一個

排水閥，則30分鐘能把水池的水排完，如果同時打開進水閥及兩個排水閥，則10分鐘把水

池的水排完.問：關閉進水閥并且同時打開三個排水閥，需要多少分鐘才能排完水池的水？

【答案】5分鐘

【分析】設一個排水閥1分鐘排水量為1份，進水閥1分鐘進水量為：

（l×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份），

水池原有水量為：

（1-0.5）×30=15（份），

關閉進水閥并且同時打開三個排水閥需要15÷3=5（分鐘）排完水.

27.一片茂盛的草地，每天的生長速度相同，現在這片青草16頭牛可吃15天，或者可供100

只羊吃6天，而4只羊的吃草量相當于1頭牛的吃草量，那么8頭牛與48只羊一起吃，可以

吃多少天？

【答案】9

【分析】1頭牛1天的吃草量為“1”,摘錄條件，將它們轉化為如下形式方便分析：

16頭牛15天16x15=240：原有草量+15天生長的草量

100只羊（25頭牛）6天25x6=150：原有草量+6天生長的草量

從上易發現：1天生長的草量=10;那么原有草量：150—10x6=90；

8頭牛與48只羊相當于20頭牛的吃草量，其中10頭牛去吃新生草，那么剩下的10頭牛吃

原有草，90只需9天，所以8頭牛與48只羊一起吃，可以吃9天.

28.2006年夏天，我國某地遭遇了嚴重干旱，政府為了解決村民飲水問題，在山下的一眼泉水

旁修了一個蓄水池，每小時有40立方米泉水注人池中.第一周開動5臺抽水機2.5小時就把

一池水抽完，接著第二周開動8臺抽水機1.5小時就把一池水抽完.后來由于旱情嚴重，開動

13臺抽水機同時抽水.請問幾小時可以把這池水抽完？

【答案】0.9小時

【分析】設一臺抽水機一小時的抽水量為1份，則泉水的注水速度是

（5×2.5-8×1.5）÷（2.5-1.5）=0.5（份）

池水的原有水量為2.5X5-2.5X0.5=11.25（份）.

所以，使用13臺抽水機，抽完池水需要的時間為11.25+（13-0.5）=0.9（小時）.

29.牧場上有一片勻速生長的草地，可借27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供多

少頭牛吃18周？

【答案】19頭

【分析】設1頭牛1周的吃草量為1份，草的生長速度為每周生長

(23×9-27×6)÷(9-6)=15(份)，

原有草量為：

(27-15)×6=72(份)，

可供72÷18+15=19(頭)牛吃18周.

30.有一塊勻速生長的草場，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天.那么它可供幾頭

牛吃20天？

【答案】14頭

【分析】設1頭牛1天的吃草量為1份.每天生長的草量為：

(12×25-24×10)÷(25-10)=4(份)；

原有草量為：

(24-4)×10=200(份).

20天里，草場共提供草

200+4×20=280(份)，

可以讓280÷20=14(頭)牛吃20天.

31.一個露天水池底部有若干同樣大小的進水管.這天蓄水時恰好趕上下雨，每分鐘注入水池

的雨水量相同.如果打開24根進水管，5分鐘能注滿水池；如果打開12根進水管，8分鐘能

注滿水池；如果打開8根進水管，多少分鐘能將水池注滿？

【答案】10分鐘

【分析】設1根進水管1分鐘進水1份，則雨水的注水速度為每分鐘

(24×5-12×8)÷(8-5)=8(份),

水池容量為

24×5+8×5=160(份)，

如果打開8根進水管160÷(8+8)=10(分鐘)能將水池注滿.

32.由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少.如果某塊草地上

的草可供25頭牛4天，或可供16頭牛吃6天.那么可供10頭牛吃多少天？

【答案】9天

【分析】設1頭牛1天的吃草量為1份，牧場上的草每天自然減少

(25×4-16×6)÷(6-4)=2(份),

原來牧場有草

(25+2)×4=108(份),

可供10頭牛吃的天數是:

108÷(10+2)=9(天).

33.第一、二、三號牧場的面積依次為3公頃、5公頃、7公頃，三個牧場上的草長得一樣密,

且生長得一樣快.有兩群牛，第一群牛2天將一號牧場的草吃完，又用5天將二號牧場的草吃

完.在這7天里，第二群牛剛好將三號牧場的草吃完.如果第一群牛有15頭，那么第二群牛

有多少頭？

【答案】15

【分析】設1公頃草地的原有草量為X份，1公頃草地的生長速度為y份，

根據題意列方程組得

(3x+3yX2=15X2

(5x+5yX(2+5)=15X5

解得

(x=8

Iy=1

因此第二群牛有(8x7+7x7xl)÷7=15(頭).

34.一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫，5臺抽水機連續20天可抽干；6臺同樣的抽

水機連續15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？

【答案】12臺

【分析】設每臺抽水機每天的抽水量為1份，則每天流入的水為

(20×5-6×15)÷(20-15)=2(份)；

原有的水量為

5X20-20X2=60(份),

若6天抽完，共需抽水機

(60+6×2)÷6=12(臺).

35.經測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年.假設地球

上新生資源的增長速度是一定的，那么為了使人類有不斷發展的潛力，地球上最多能養活多少

億人？

【答案】70億

【分析】設每億人每年消耗資源量為1份.

每年新生資源量：(80X300-100×100)÷(300-100)=70(份)

即為保證不斷發展，地球上最多養活70億人.

36.一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫.5臺抽水機連續20天可抽干；6臺同樣的抽

水機連續15天可抽干.

(1)水庫原有的水與20天流入的水可供多少臺抽水機抽1天？

(2)水庫原有的水與15天流入的水可供多少臺抽水機抽1天？

(3)每天流入的水可供多少臺抽水機抽1天？

(4)原有的水可供多少臺抽水機抽1天？

(5)若6天抽完，共需抽水機多少臺？

【答案】(1)100；(2)90；(3)2；(4)60；(5)12

【分析】(1)20x5=100(臺)；

(2)6×15=90(臺)；

(3)(100-90)÷(20-15)=2(臺)；

(4)100-20x2=60(臺)；

(5)60÷6+2=12(臺).

37.一片草地，有15頭牛吃草，8天可以把全部草吃完.如果起初這15頭牛吃了兩天后，又

來了2頭牛，則總共7天就可以把草吃完.如果起初這15頭牛吃了兩天后，又來了5頭牛，

則需要多少天才能吃完？

【答案】4

【分析】設1頭牛1天吃的草量為1份，本題可以把15頭牛吃了兩天忽略不看，只看后邊

的情況，則題目變為15牛吃6天，17頭牛吃5天，20頭牛吃幾天，所以每天生長的草量為

(15×6-17×5)÷(6-5)=5(份),原草量為(15-5)×6=60(份),天數為60÷

(20-5)=4(天).

38.有一塊勻速生長的草場，可供12頭牛吃24天，或可供15頭牛吃12天，那么它可供幾頭

牛吃18天?可供21頭牛吃幾天？

【答案】13頭；6天.

【分析】設1頭牛1天吃的草量為1份，每天生長的草量為(12X24-15X12)÷

(24-12)=9(份)，原有草量為：12X24—9x24=72(份)，則(72+18x9)÷18=13(頭

),所以它可供13頭牛吃18天；而9頭牛每天專吃新長的草，剩下的21-9=12(頭)牛每

天都吃原有的草.72+12=6(天)后就沒有草了，所以草場可供21頭牛吃6天.

39.如下圖所示，一塊正方形草地被分為完全相同的四塊以及中間的陰影部分.已知草一開始

是均勻分布，且以恒定的速度均勻生長.但如果某塊地上的草被吃光，就不再生長（因為草根

也被吃掉了）.老農先帶著一群牛在1號草地上吃草，兩天后把1號草地上的草全部吃完（這

期間其他草地的草正常生長）.之后他讓一半牛在2號草地上吃草，另一半在3號草地上吃草,

結果又過了6天，這兩個草地上的草也全部吃完.最后，老農把I的牛放在陰影草地上吃草，

而剩下的牛放在4號草地上，最后發現兩塊草地上的草同時吃完.如果一開始就讓這群牛在整

塊草地上吃草，那么吃完這些草需要多少天？

【答案】IlO

【分析】設牛的頭數為[2,5]=10頭，設一頭牛一天吃一份草，所以1,2,3,4號草地的

生長速度為

5

(5×6-10×2)÷6=",

原有草量為

550

2×10——×2=,

33

陰影分配牛的頭數是4的1.5倍，所以陰影草地的成長速度和原有草量都是4號的1.5倍，所

以整塊草地的生長速度為

5555

—×4+—×1.5=―,

336

原有草量為

5050275

y×4+y×l,5=-)

一開始就讓這群牛在整塊草地上吃草，那么吃完這些草需要

亍275乂/1°一5百5?)=11°(天T).

方法二：假設1至4號草地每塊面積為ɑ,生長速度為V,1號草地2天吃完，草總量為α+

2v；2號和3號草地，接著6天吃完，草總量為2a+16v;6天吃完的草總量應為2天吃完

草總量的3倍，即：

3（α+2v）=2a+16v,

可得α=10u,牛群每天吃草64又方的牛放在陰影部分的草地中吃草，另外§的牛放在4號

草地吃草，它們同時把草場上的草吃完，說明陰影部分為4號草地的1.5倍；相當于整個草地

面積為5.5a,即55%每天長草5.5力于是，草可吃

55vT

7~~M=IlO（天）.

6v-5.5v

40.某個售票處在賣票之前，就已經有人排隊，到開始賣票時，已經排了75人.賣票后，由于

每分鐘來買票的人數一樣多，因此，一個窗口花15分鐘才不再有人排隊.如果開兩個窗口，

則經過5分鐘不再有人排隊.如果開三個窗口，則經過幾分鐘不再有人排隊？

【答案】3分鐘

【分析】設每個窗口每分鐘買票的人數為1份，則15-5=10（分鐘）內前來檢票的人數為:

1X15-2x5=5（份），所以每分鐘前來檢票的人數為：5÷10=0.5（份）；開始檢票前等待

的人數為：（1一0.5）乂15=7.5（份）.要開3個窗口，經過7.5÷（3-0.5）=3（分鐘）就不再

有人排隊.

41.早晨6點，某火車進口處已有一些名旅客等候檢票進站，此時，每分鐘還有若干人前來進

口處準備進站.這樣，如果設立4個檢票口，15分鐘可以放完旅客，如果設立8個檢票口，7

分鐘可以放完旅客.現要求5分鐘放完，需設立幾個檢票口？

【答案】11

【分析】設1個檢票口1分鐘放進1個單位的旅客.

（1）1分鐘新來多少個單位的旅客：（4X15-8X7）÷（15-7）=1個）；

（2）檢票口開放時已有多少個單位的旅客在等候：4×15-∣×15=52∣（4-）;

（3）5分時間內檢票口共需放進多少個單位的旅客：52：+（：*5=55（個）；

（4）設立幾個檢票口：55÷5=ll（j）.

42.一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，

如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現在打開13個水龍頭，問要多少時間才能

把水放空？

【答案】54分鐘.

【分析】先計算1個水龍頭每分鐘放出水量.2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水

4X60=240(立方米).時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是240^^(5義150-

8X90)=8(立方米)，8個水龍頭1個半小時放出的水量是8x8x90,其中90分鐘內流入

水量是4X90,因此原來水池中存有水8x8x90-4x90=5400(立方米).打開13個水龍

頭每分鐘可以放出水8X13,除去每分鐘流入4,其余將放出原存的水，放空原存的5400,

需要5400+(8X13-4)=54(分鐘).所以打開13個龍頭，放空水池要54分鐘.

本題實際上是牛吃草問題的變形，水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分

開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.

43.進入冬季后，有一片牧場上的草開始枯萎，因此草會均勻地減少.現在開始在這片牧場上

放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天.如果有

20只羊，這片牧場可以吃多少天？

【答案】40

【分析】設1頭羊1天吃1份草，則草的減少速度為(38×25-30×30)÷(30-25)=10,

原有草量為38×25+10x25=1200,如果放養20頭羊最多吃1200÷(20+10)=40(天).

44.一片草地，可供5頭牛吃30天，也可供4頭牛吃40天，如果4頭牛吃30天，又增加了

2頭牛一起吃，還可以再吃幾天？

【答案】6

【分析】1頭牛1天的吃草量為“1”,那么每天生長的草量為(4×40-5×30)÷(40-

30)=1,原有草量為：(5-1)x30=120.如果4頭牛吃30天，那么將會吃去30天的新生

長草量以及90原有草量，此時原有草量還剩120-90=30,而牛的頭數變為6,現在就相當

于：”原有草量30,每天生長草量1,那么6頭牛吃可以30÷(6-I)=6(天)吃完.

45.有一牧場，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛則24天可以吃完.現有若干頭牛吃了6天

后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完.問：原來有多少頭牛吃草(草均勻生長)？

【答案】40

【分析】設1頭牛1天的吃草量為“1”,那么每天生長的草量為(17X30—19x24)÷

(30-24)=9,原有草量為：(17-9)×30=240.現有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，

余下的牛再吃兩天便將草吃完，如果不賣掉這4頭牛，那么原有草量需增加4x2=8才能恰

好供這些牛吃8天，所以這些牛的頭數為(240+8)÷8+9=40(頭).

46.一片勻速生長的牧草，如果讓馬和牛去吃，15天將草吃盡；如果讓馬和羊去吃，20天將

草吃盡；如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡.已知牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天的吃

草量，現在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？

【答案】12天

【分析】根據題意可得：

15天馬和牛吃草量=原有草量+15天新生長草量……①

20天馬和羊吃草量=原有草量+20天新長的草量……（2）

30天牛和羊（等于馬）吃草量=原有草量+30天新生長草量……③

由①X2-③可得：

30天牛吃草量=原有草量，

所以：

牛每天吃草量=原有草量÷30;

由③可知，

30天羊吃草量=30天新生長草量，

所以：

羊每天吃草量=每天新生長草量；

設馬每天吃的草為3份，將上述結果帶入②得：

原有草量=20X3=60（份），

所以：

牛每天吃草量=60÷30=2（份）.

這樣如果同時放牧牛、羊、馬，可以讓羊去吃新生長的草，牛和馬吃原有的草，可以吃:

60÷（2+3）=12（天）.

47.有一片草場，草每天的生長速度相同.若14頭牛30天可將草吃完，70只羊16天也可將

草吃完（4只羊一天的吃草量相當于一頭牛一天的吃草量）.那么，17頭牛和20只羊多少天

可將草吃完？

【答案】10天

【分析】“4只羊一天的吃草量：相當于1頭牛一天的吃草量”，所以可以設一頭牛一天的食

量為1份，那么，14頭牛30天吃了14X30=420（份），而70只羊16天吃了16X70+

4=280（份）.所以草場在（30-16）天內增加了（420-280）份，每天增加10份，原來的草

量為420-IOx30=120（份），所以如果安排17頭牛和20只羊，即每天食草17+20+4=

22（份），經過120÷（22-IO）=IO（天），可將草吃完.

48.牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長.這片牧場可供27頭牛吃6天，可供23頭牛吃9

天.那么，可供21頭牛可吃幾天？

【答案】12天

【分析】設1頭牛1天的吃草量為1份，根據題意可得：

27頭牛吃6天共吃：27X6=162（份）是原有草量和6天新生草,

23頭牛吃9天共吃：23X9=207（份）是原有草量和9天新生草,

每天新長的草量:

(207-162)÷(9-6)=15(份),

原有草量：

162-15×6=72（份），

派15頭牛去吃每天新生草，則吃完原有草需要：

72÷（21-15）=12（天），

即可供21頭牛吃12天.

49.小明從甲地步行去乙地，出發一段時間后，小亮有事去追趕他，若騎自行車，每小時行15

千米，3小時可以追上；若騎摩托車，每小時行35千米，1小時可以追上；若開汽車，每小

時行45千米，多少分鐘能追上.

【答案】45

【分析】本題是“牛吃草''和行程問題中的追及問題的結合.小明在3-1=2（小時）內走了

15X3-35X1=10（千米），那么小明的速度為10+2=5（千米/時），追及距離為

（15-5）X3=30（千米）.汽車去追的話需要：30÷（45-5）=*小時）=45（分鐘）.

50.牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長.這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃

10天.如果供25頭牛可吃幾天？

【答案】5

【分析】設1頭牛1天的吃草量為“1”，10頭牛吃20天共吃了10X20=200份；15頭牛

吃10天共吃了15X10=150份.第一種吃法比第二種吃法多吃了200-150=50份草，這

50份草是牧場的草20-10=10天生長出來的，所以每天生長的草量為50÷10=5,那么

原有草量為：200—5x20=100.

供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天生長的草，剩下20頭牛需要100÷20=5（天）可將原有

牧草吃完，即它可供25