山西省臨汾市2022-2023學年八年級上學期期末數學試卷

一、單選題

1.下列四個實數中，是無理數的是（）

A.-2B.1C.V2D.3.1415926

2.下列運算結果正確的是（）

A.a2-a5=a10B.(—2a2)=—8a6

C.24a3b2+3ab2=8a2bD.a2+a3=a5

3.如圖，在△ABC中，AB=AC,點P為△ABC內一點，連接PA、PB、PC,乙4PBH乙4PC,求證:

PBPC,用反證法證明時，第一步應假設（）

A

A.ABACB.PB=PCC.^APB=^APCD.乙PBC=乙PCB

4.如下是某地區2022年12月12-21日每天最高氣溫的統計表:

日期12月12日12月13日12月14日12月15日12月16日

最高氣溫2℃-3℃3℃3℃-3℃

日期12月17日12月18日12月19日12月20日12月21日

最高氣溫-4℃1℃2℃3℃2℃

在這10天中，最高氣溫為3汽出現的頻率是（）

A.20%B.50%C.40%D.30%

5.如圖，陰影部分是在一個邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形后得到的圖形，將陰影部

分通過割、拼，形成新的圖形.給出下列四種割拼方法，每種割拼方法都能夠驗證平方差公式，其中用到的

數學思想是（）

①②

③④

1

A.數形結合思想B.分類思想C.公理化思想D.函數思想

6.2022年2月28日，國家統計局發布《中華人民共和國2021年國民經濟和社會發展統計公報》（簡稱

《公報》）.如圖所示是《公報》中顯示的“2017—2021年社會消費品零售總額及其增長速度”的統計圖，根

據統計圖得出如下結論，其中正確的是（）

2017—2021年社會消費品零售總額及其增長速度

億元%

600000s

500000

400000

300000

200000

100000

°201720182019202020211

A.2017-2021年期間社會消費品零售總額逐年增長

B.2017—2021年期間社會消費品零售總額先減后增

C.2017-2021年期間2017年社會消費品零售總額比上年增長率最低

D.2017-2021年期間2021年社會消費品零售總額比上年增長率最高

7.若（%+a）Q—5）=/+人％—io,貝!Jab—a+b的值是（）

A.—11B.-7C.—6D.—55

8.小華同學周末在家做家務，不慎把家里的一塊三角形玻璃打碎成如圖所示的四塊，現在要去玻璃店配

一塊完全一樣的玻璃，可以選擇的方法是（）

A.帶①②去B.帶②③去C.帶③④去D.帶②④去

9.已知在△ABC中，乙4,乙B,ZC的對邊分別記為a,b,c,則下列條件不能判定△ABC為直角三角形的

是（）

A.zB=Z.C—Z-AB.a：b：c=3：4：5

c.c2+b2=a2D.zx：ZB：Zf=5：12：13

10.如圖，在△ABC中，ZBAC的平分線交BC于點D,過點D分別作DEIAC,DF1AB,垂足分別為

E,F,連接EF.有下列四個結論：①ZAEF=NAFE；②AD垂直平分"；③S.FD：S^ED=BF：CE;

@EF||BC.其中一定正確的是（）

2

A

A①②③氏①③④C.①②④D.②③④

BDC

二、填空題

11.若a+b=3,ab=2,則a?+b2=.

12.命題“等腰三角形的兩個底角相等."的逆命題是.

13.喜歡探索數學知識的小明遇到一個新的定義：對于三個正整數，若其中任意兩個數乘積的算術平方根

都是整數，則稱這三個正整數為“和諧組合”，其結果中最小的整數稱為“最小算術平方根”，最大的整數稱

為“最大算術平方根”.例如1，4,9這三個數，71號=2,715^9=3,"3西=6,其結果都是整數，

所以1,4.9三個數稱為“和諧組合”，其中最小算術平方根是2,最大算術平方根是6.若2,8,18三個數

是“和諧組合”，則其中最小算術平方根與最大算術平方根的和是.

14.如圖，在△ABC中，乙B=AC,D,E,F分別是邊BC,AC,AB上的點，且BF=CD,BD=CE.若

乙4=104°,貝ikEDF的度數為1

第14題圖

15.如圖，有一張長方形片ABC。，AB=8cm,BC=10cm.點E為CD上一點,將紙片沿AE折

疊，BC的對應邊B,C'恰好經過點D,則線段DE的長為cm.

三'解答題

16.(1)分解因式：4a2+12ab+9b2：

(2)先化簡，再求值：(3以3—6a2b2)+3ab+(2a+b)(2a—b),其中a=2,b=1.

17.如圖，網格中每個小正方形的邊長都是1,點A、B、C、D都在格點上.

(1)線段AB的長度是,線段CD的長度是

3

(2)若EF的長為由，那么以AB、CD、EF三條線段為邊能否構成直角三角形，并說明理由.

18.如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC邊的中點，延長BC至點E,使CE=CD.

(1)利用尺規作NBDE的平分線DM,交BE于點M.(要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母)

(2)求ZCDM的度數.

19.材料：常見的分解因式的方法有提公因式法和公式法，而有的多項式既沒有公因式，也不能直接運用

公式分解因式，但是某些項通過適當的調整能構成可分解的一組，用分組來分解一個多項式的因式，這種

方法叫做分組分解法.如/+2%y+y2—i6,我們仔細觀察這個式子會發現，前三項符合完全平方公式，

分解后與后面的部分結合起來又符合平方差公式，可以繼續分解，過程為/+2%y+y2_16=(久+y)2-

42=(x+y+4)(%+y-4).它并不是一種獨立的分解因式的方法，而是為提公因式或運用公式分解因式

創造條件.

解答下列問題：(1)分解因式：2a2-8a+8；(2)請嘗試用上面材料中的方法分解因式必+3%—

3y.

20.國際足聯世界杯(FIFAWorldCup),簡稱“世界杯”，是由全世界國家級別球隊參與，象征足球界最高

榮譽，并具有最高知名度和最大影響力的足球賽事.世界杯每四年舉辦一次，任何國際足聯會員國(地

區)都可以派出代表隊報名參加這項賽事.第22屆世界杯足球賽在卡塔爾舉行，為了解同學們對卡塔爾

世界杯的了解情況，某數學興趣小組利用課余時間在全校抽取了部分學生進行問卷調查，將調查結果分為

四個等級(A.不了解；B.了解較少；C.了解較多；D.十分了解)進行統計，并將統計結果繪制成如

下兩幅不完整的統計圖:

調查結果條形統計圖調查結果扇形統計圖

請你根據統計圖提供的信息，解答下列問題：

（1）求被調查的學生總人數.

（2）補全條形統計圖與扇形統計圖.

（3）在扇形統計圖中，表示“C”所在的扇形圓心角的度數為。.

（4）從以上統計圖中你能得出什么結論？說說你的想法.（寫出一條即可）

21.如圖，某火車站內部墻面MN上有破損處（看作點A）,現維修師傅需借助梯子DE完成維修工作.梯子

的長度為5m,將其斜靠在這面墻上，測得梯子底部E離墻角N處3瓶，維修師傅爬到梯子頂部使用儀器測

量，此時梯子頂部D距離墻面破損處1m.

（1）該火車站墻面破損處A距離地面有多高？

（2）如果維修師傅要使梯子頂部到地面的距離為4.8m.那么梯子底部需要向墻角方向移動多少米?

22.綜合與實踐

在等腰三角形紙片ABC中，AB^AC,ABAC=36。.現要將其剪成三張小紙片，使每張小紙片都是等

腰三角形（不能有剩余）.下面是小文借助尺規解決這一問題的過程，請閱讀后完成相應的任務.

作法：如圖1.

①分別作AB,AC的垂直平分線，交于點P；

②連接P4PB,PC

結論：沿線段PB,PC剪開，即可得到三個等腰三角形

理由：?.?點P在線段4B的垂直平分線上，

/..（依據）

5

同理，得R4=PC

：.PA=PB=PC

：.APAB,APBC,APAC都是等腰三角形.

任務：（1）上述過程中，橫線上的結論為,括號中的依據

為.

（2）受小文的啟發，同學們想到另一種思路：如圖2,以點B為圓心，BC長為半徑作弧，交AC于點D,

交AB于點E.在此基礎上構造兩條線段（以圖中標有字母的點為端點）作為裁剪線，也可解決問題.請在

圖2中畫出一種裁剪方案，并求出得到的三個等腰三角形及相應頂角的度數.

圖2

（3）如圖3,在等腰三角形紙片力BC中，AB^AC,ABAC=108。.請在圖3中設計出一種裁剪方案，將

該三角形紙片分成三個等腰三角形.（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，說明裁剪線）

23.在直線m上依次取互不重合的三個點D,A,E,在直線m上方有AB=AC,且滿足NBDA=NAEC

=ZBAC=a.

Cc

DAEmDAEmDAEm

（圖1）（圖2〉（圖3）

（1）如圖1,當a=90。時，猜想線段DE,BD,CE之間的數量關系是_____

（2）如圖2,當0。＜（1＜：18（）。時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請

說明理由；

6

(3)拓展與應用：如圖3,當a=120。時，點F為NBAC平分線上的一點，且AB=AF,分別連接FB,

FD,FE,FC,試判斷ADEF的形狀，并說明理由.

7

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：A、-2屬于有理數，則此項不符合題意；

B、4是分數，屬于有理數，則此項不符合題意；

C、魚是無理數，則此項符合題意；

D、3.1415926是有限小數，屬于有理數，則此項不符合題意；

故答案為：C.

【分析】根據無理數的定義逐項判斷即可。

2.【答案】B

【解析】【解答】解：A.a2-az=a7,不符合題意；

B.(-2。2『=一8。6，符合題意；

C.24a3b24-3ab2-8a2,不符合題意；

D.a?與不能合并，不符合題意；

故答案為：B.

【分析】利用同底數募的乘法、積的乘方、幕的乘方、合并同類項及單項式除以單項式的計算方法逐項判

斷即可。

3.【答案】B

【解析】【解答】解：假設PB=PC,

在^APB和小APC中，

AB=AC,PB=PC,AP=AP,

Z.AAPBAPC,

，NAPB=NAPC,

與已知NAPBr/APC相矛盾，

假設結論不成立，

APB/PC成立.

.??用反證法證明時，第一步應假設B成立.

故答案為：B.

【分析】利用反證法的書寫要求求解即可。

8

4.【答案】D

【解析】【解答】解：依題意，最高氣溫為3。(：出現的頻率是再x100%=30%,

故答案為：D.

【分析】利用頻率的定義及計算方法求解即可。

5.【答案】A

【解析】【解答】解：根據題意，用到的數學思想是數形結合思想，

故答案為：A.

【分析】利用數學思想求解即可。

6.【答案】D

【解析】【解答】解：A.?.?391981<408017,，2020年的零售總額比2019年的零售總額少，故2017

-2021年期間社會消費品零售總額逐年增長錯誤，不符合題意；

B.由折線統計圖可知，2017—2021年期間社會消費品零售總額先增再減又增，不符合題意；

C.2017-2021年期間2017年社會消費品零售總額與上年增長率無法比較，不符合題意；

D.：12.5%>-3.9%,..乜。*—2021年期間2021年社會消費品零售總額比上年增長率最高正確，符合

題意.

故答案為：D.

【分析】根據折線統計圖和條形統計圖中的數據逐項判斷即可。

7.【答案】A

【解析】【解答】解：?.,(尤+a)(x-5)=x2—5x+ax—5a,(%+a)(x-5)—x2+bx—10，

x2—E>x+ax—5a=x2+bx—10,

-5+a=b,-5a=-10,

a=2,b=-3,

.".ab—a+b=-6-2-3=-ll,

故答案為：A.

【分析】由多項式與多項式的乘法法則將等式的左邊展開，進而根據多項式的性質得-5+a=b,-5a=-10求出

a、b,進而可得ab-a+b的值.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：A、帶①②去，符合ASA判定，選項符合題意；

B、帶②③去，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，不符合任何判定方法，選項不符合題意；

9

C、帶③④去，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，不符合任何判定方法，選項不符合題意;

D、帶②④去，僅保留了原三角形的兩個角和部分邊，不符合任何判定方法，選項不符合題意;

故答案為：A.

【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。

9.【答案】D

【解析】【解答】解：A、=—Z^+ZB+ZC=180°,

.??2NC=180。，AZC=90°,

.二△ABC為直角三角形，不符合題意；

B、Va：b：c=3：4：5,

設。=3k(kH0),貝！Jb=4k,c=5k,

.'-a2+必=(3k)2+(4k)2=25k2=(5k)2=c2>

：./,C=90°,不符合題意；

C、c2+b2^a2,△ABC為直角三角形，不符合題意；

D、Vz4：ZB：ZC=5：12：13,

.??設乙4=5x。，ZB=12久。，ZC=13%。，

/.5%+12%+13%=180,解得久=6,

AzC=78°,

...△ABC不是直角三角形，符合題意；

故答案為：D.

【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的內角和逐項判斷即可。

10.【答案】A

【解析】【解答】解：BC是NBAC的平分線，DELAC,DF1AB,

DF=DE

在^AED^^,AFC中

AAED=^-AFD

Z-DAE=Z-DAF

LAD=AD

??.△AEF=△AFE^AAS}

AE=AF

??.Z.AEF=Z-AFE

10

故①符合題意；

由①可知=AE=AF,

：.AC垂直平分EF

故②符合題意；

11

S^BFD=qBF?DF'S^CED=20E?DE

c±BF?DFr)r

,、4BFD=2_________="

S^CED^CE-DEDE

故③符合題意；

???乙4FE不一定等于乙4BC

EF||BC不一定符合題意

故④不一定符合題意；

綜上①②③符合題意，

故答案為：A.

【分析】利用全等三角形的判定方法和性質逐項判斷即可。

1L【答案】5

【解析】【解答】解：：a+b=3,ab=2,

a2+b2=(a+b)2-2ab=9-4=5.

故答案為：5.

【分析】根據a2+b2=(a+b)2-2ab,代入計算即可.

12.【答案】有兩個角相等的三角形是等腰三角形

【解析】【解答】對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另外一個命題的結論和條件，那么這兩

個命題叫做互逆命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題.由此可得“等腰三

角形的兩個底角相等”的逆命題是“兩個角相等的三角形是等腰三角形”..

【分析】根據對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另外一個命題的結論和條件，那么這兩個

命題叫做互逆命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題.

13.【答案】16

【解析】【解答】解：VV2X18=6,V23T8=4,M18X8=12,

,最小算術平方根是4,最大算術平方根是12,

.??最小算術平方根與最大算術平方根的和是4+12=16.

故答案為：16.

11

【分析】根據題干中的計算方法分別求出最小算術平方根是4,最大算術平方根是12,再計算即可。

14.【答案】38

【解析】【解答】M：VAB=AC,

??Z.B—zC,

在△3。尸與△CED中，

BF=CD

?：乙B=乙C,

、BD=CE

BDF=△CED(SAS}.

Z.BFD=Z.CDE.

???乙4=104°,

??.z.B=ZC=38°.

???Z.FDC=Z,B+乙BFD,

:.Z.EDF==38°.

故答案為：38.

【分析】先利用“SAS”證明△BDFCED,可得NBFD=乙CDE,再利用角的運算求出NB=ZC=38°,

最后結合NFDC=ZB+ZBFD求出NEDF=ZB=38。即可。

15.【答案】5

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是長方形，

.?.AD=BC=10,CD=AB=8,ZB=ZC=90°.

根據折疊的性質，得AB=AB'=8,CE=CE=8-DE,B'C=CB=10,ZB'=ZB=90°.

在R3AB'D中，由勾股定理，得B'D=VxD2-AB'2=6.

：.C'D=10-6=4.

在R3EC'D中，由勾股定理，得CE2+CD2=DE2.

：.(8-DE)2+42=DE2.

解得DE=5.

故答案是：5.

【分析】根據折疊的性質得到線段和角相等，然后在R3AB'D中，由勾股定理求出B'D的長，則可得

出CD的長，再在RSEC'D利用勾股定理進行計算即可求DE的長.

16.【答案】(1)解：4a2+12ab+9b2

=(2a+3b)2；

12

(2)解：(3ai>3—6a2b2)+3ab+(2a+b)(2a—b)

=b2-2ab+4a2—b2

=4a2—lab.

當a=2,b—1時，

原式=4x22-2x2x1=12.

【解析】【分析】(1)利用完全平方公式因式分解即可；

(2)先利用整式的混合運算的計算方法化簡，再將a、b的值代入計算即可。

17.【答案】(1)V13;2V2

(2)解：以AB、CD、EF三條線段為邊能構成直角三角形，

理由：VAB=V13,CD=2V2,EF=V5,

.\CD2+EF2=(2V2)2+(V5)2=8+5=13=AB2,

...以AB、CD、EF三條線段為邊能構成直角三角形.

【解析】【解答］解：(1)由圖可得，

AB=V32+22=V13-CD=722+22-2V2,

故答案為：V13,2V2;

【分析】(1)利用勾股定理求出AB和CD的長即可；

(2)利用勾股定理的逆定理判斷即可。

18.【答案】(1)解：如解圖.

A

(2)解：是等邊三角形，D是ZC的中點,

."ACB=60。，BDLAC.

"BDC=90°.

VCD=CE,

."COE=ACED.

XV^ACB=乙CDE+乙CED,

:.乙CDE=乙CED=30°.

:.乙BDE=乙BDC+乙CDE=120°.

平分NBDE,

13

1

?"EDM="BDE=60°.

"CDM=乙EDM-乙CDE=30°.

【解析】【分析】（1）根據要求作出圖象即可；

（2）先求出ZBDE=ZBDC+ZCDE=120。，再根據角平分線的定義可得NEDM=aZBDE=60。，最后

利用角的運算求出“DM=乙EDM-乙CDE=30。即可。

19.【答案】（1）解：原式=2（。2—4a+4）

=2（a—2）2

（2）解：原式=（x+y）（久—y）+3（%—y）

=（%—y）（x+y+3）

【解析】【分析】（1）先提取公因式2,再利用完全平方公式因式分解即可；

（2）利用分組分解因式的計算方法求解即可。

20.【答案】（1）解：34+17%=200（人）.

答：被調查的學生總人數為200.

（2）解：“B”對應的人數為200X35.5%=71人,

“C”所對應的百分比為患x100%=20%

補全條形統計圖和扇形統計圖補圖如下：

（4）解：對卡塔爾世界杯十分了解的學生人數最少；對卡塔爾世界杯了解較少的學生人數最多等.

【解析】【解答］解：（3）“C”所在的扇形圓心角的度數為360X20%=72°；

故答案為：72.

【分析】（1）利用“D”的人數除以對應的百分比可得總人數；

（2）先求出“B”的人數，再作出條形統計圖和“C”的百分比即可；

（3）利用360。乘以“C”的百分比可得圓心角；

（4）根據統計圖中的信息求解即可。

21.【答案】（1）解：根據題意，得在RtADEN中，DE=5m,EN=3m,

由勾股定理，得DN=7DE2-EN2=7s2-32=大叫.

14

9：AD=Im,

：.AN=AD+DN=l+4=5(m).

答：該火車站墻面破損處A距離地面的高度為57n.

(2)解：如圖，此時3c是梯子移動后的位置.

~~17777f777777777Tz7777~

?在中，BC—5m,CN=4.8m.

22

/?由勾股定理，得BN=A/BC-CN=452—4.82=Z(m).

7P

:.BE=EN-BN=3-j=|(m).

答：梯子底部需要向墻角方向移動得爪.

【解析】【分析】(1)先利用勾股定理求出DN的長，再利用線段的和差求出AN的長即可;

(2)先利用勾股定理求出BN的長，再利用線段的和差求出BE的長即可。

22.【答案】(1)P4=PB；線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

(2)解：答案不唯一，如圖，連接BD,DE,貝UBD,DE即為所求.

"：AB=AC,"=36。，

1

：.Z.ABC=Z.ACB=|x(180°-36°)=72°.

VFD=BC,

:?乙BDC=乙BCD,

:?乙DBC=180°-72°x2=36°,

???△3D。是頂角為36。的等腰三角形.

?:乙DBE=4ABC-LDBC=36°,

：.BD=BE,

???△3DE是頂角為36。的等腰三角形.

15

1

■:乙BED=乙BDE=1x(180°-36°)=72°,

：.^AED=180°-(BED=108°,

：.Z.ADE=