第第頁六年級奧數知識試題「分解質因數」

質數中只有一個偶數，就是2，其他質數都是奇數.但是奇數不肯定是質數，例如，15，33，.

例1○+(□+△)=209.

在○、□、△中各填一個質數，使上面算式成立.

解：209可以寫成兩個質數的乘積，即

209=1119.

不論○中填11或19，□+△肯定是奇數，那么□與△是一個奇數一個偶數，偶質數只有2，不妨假定△內填2.當○填19，□要填9，9不是質數，因此○填11，而□填17.

這個算式是11(17+2)=209，

11(2+17)=209.

解例9的首要一步是把209分解成兩個質數的乘積.把一個整數分解成假設干個整數的乘積，特別是一些質數的乘積，是解決整數問題的一種常用方法，這也是這一節所講解并描述的主要內容.

一個整數的因數中，為質數的因數叫做這個整數的質因數，例如，2，3，7，都是42的質因數，6，14也是42的因數，但不是質因數.

任何一個合數，假如不考慮因數的順次，都可以唯一地表示成質因數乘積的形式，例如

360=222335.

還可以寫成360=23325.

這里23表示3個2相乘，32表示2個3相乘.在23中，3稱為2的指數，讀作2的3次方，在32中，2稱為3的指數，讀作3的2次方.

例2有四個同學，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的'年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少?

解：我們先把5040分解質因數

5040=243257.

再把這些質因數湊成四個連續自然數的乘積：

243257=78910.

所以，這四名同學的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

利用合數的質因數分解式，不難求出該數的約數個數(包括1和它本身).為尋求一般方法，先看一個簡約的例子.

我們知道24的約數有8個：1，2，3，4，6，8，12，24.對于較大的數，假如一個一個地去找它的約數，將是很麻煩的事.

由于24=233，所以24的約數是23的約數(1，2，22，23)與3的約數(1，3)之間的兩兩乘積.

11，13，21，23，221，223，231，233.

這里有42=8個，即(3+1)(1+1)個，即對于24=233中的23，有(3+1)種選擇：1，2，22，23，對于3有(1+1)種選擇.因此共有(3+1)(1+1)種選擇.

這個方法，可以運用到一般情形，例如，

144=2432.

因此144的約數個數是(4+1)(2+1)=15(個).

例3在100至150之間，找出約數個數是8的全部整數.

解：有8=7+1;8=(3+1)(1+1)兩種狀況.

(1)27=128，符合要求，

37150，所以不再有其他7次方的數符合要求.

(2)23=8，

813=104，817=136，符合要求.

33=27;

只有275=135符合要求.

53=135，它乘以任何質數都大于150，因此共有4個數合要求：128，104，135，136.

利用質因數的分解可以求出假設干個整數的最大公約數和最小公倍數.先把它們各自進行質因數分解，例如

720=24325，168=2337.

那么每個公共質因數的最低指數次方的乘積就是最大公約數，上面兩個整數都含有質因數2，較低指數次方是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數是

233=24.

在求最小公倍數時，很明顯每個質因數的最高指數次方的乘積是最小公倍數.請留意720中有5，而168中無5，可以認為較高指數次方是51=5.720與168的最小公倍數是

243257=5040.

例4兩個數的最小公倍數是180，最大公約數是30，已知其中一個數是90，另一個數是多少?

解：180=22325，

30=235.

對同一質因數來說，最小公倍數是在兩數中取次數較高的，而最大公約數是在兩數中取次數較低的，從22與2就知道，一數中含22，另一數中含2;從32與3就知道，一數中含32，另一數中含3，從一數是

90=2325.

就知道另一數是

2235=60.

還有一種解法：

另一數肯定是最大公約數30的整數倍，也就是在