穩定的現象穩定的擺不穩定的擺穩定性是系統的重要特性，是系統正常工作的必要條件。外部穩定性通過系統的輸入-輸出關系來描述系統的穩定性。內部穩定性通過零輸入下的狀態運動響應來描述系統的穩定性。描述穩定性有兩種方法在研究運動的內部穩定性時，為體現出系統自身結構的特點，常限于研究沒有外部輸入作用時的系統。也就是說內部穩定性表現為系統的零輸入響應，即在輸入恒為零時，系統的狀態演變的趨勢。李雅普諾夫穩定性理論是確定系統穩定性的更一般性理論，不僅適用于線性定常系統，而且適用于非線性、時變系統。

利用線性系統微分方程的解來判斷系統穩定性。由于間接法需要解系統微分方程，并非易事，所以間接法的應用受到了很大的限制。李雅普諾夫第一法（間接法）先利用經驗和技巧來構造李亞普諾夫函數，再利用李雅普諾夫函數來判斷系統穩定性。直接法不需解系統微分方程，獲得廣泛應用。李雅普諾夫第二法（直接法）一外部穩定性對于一個因果系統，假定系統的初始條件為零，如果對應于一個有界的p維輸入u(t)，所產生的q維輸出y(t)也是有界的，則稱此系統是外部穩定的。也稱為有界輸入-有界輸出穩定(BIBO穩定)。外部穩定性和內部穩定性5.1線性時變系統BIBO穩定判據：對于零初始條件的線性時變系統，G(t,τ)為其單位脈沖響應矩陣，則系統BIBO穩定的充要條件為：存在一個有限常數k，使對于一切，G(t,τ)的每一個元均滿足如下關系式：線性定常系統BIBO穩定判據：

對于零初始條件的線性定常系統，G(t)為其單位脈沖響應矩陣，G(s)為其傳遞函數矩陣，則系統BIBO穩定的充要條件為：存在一個有限常數k，G(t)的每一個元均滿足如下關系式：或G(s)的所有極點均具有負實部。二內部穩定性令外界輸入u=0，初始狀態任意，如果零輸入響應滿足下列關系式：則稱該系統為內部穩定，或漸近穩定。線性時變系統內部穩定判據：對n維連續時間線性時變自治系統，系統在時刻是內部穩定的充要條件為：狀態轉移矩陣對所有為有界,并滿足漸近屬性即成立：線性時不變系統內部穩定判據：對n維連續時間線性時不變自治系統，系統是內部穩定的充要條件為：系統矩陣A所有特征值均具有負實部,即成立：三線性定常系統內部穩定性和外部穩定性的關系兩種穩定性有關系嗎？外部穩定性內部穩定性既能控又能觀時5.2李雅普諾夫意義下運動穩定性的基本概念1．自治系統沒有外輸入作用時的系統稱為自治系統，可用如下系統狀態方程來描述:

式中：x為n維狀態向量，f(x,t)為線性或非線性、定常或時變的n維函數。具體為n個一階微分方程：2.受擾運動假定自治系統狀態方程是滿足解的存在且唯一性條件的，則可將系統由t0初始時刻的初始狀態x0所引起的運動（即狀態方程的解）表為：則初始狀態x0必滿足φ(t0;x0,t0)=x0。由于這一運動是由初始狀態的擾動引起的，因此常稱其為系統的受擾運動。3.平衡狀態(※)對于所有t，滿足的狀態xe稱為平衡狀態。若已知系統狀態方程，令所求得的解x，就是平衡狀態。在大多數情況下，xe=0即狀態空間原點為系統的一個平衡狀態。此外系統也可以有非零平衡狀態。系統運動的穩定性，就是研究其平衡狀態的穩定性，也即偏離平衡狀態的受擾運動能否依靠系統內部的結構因素而返回到平衡狀態，或者限制在它的一個有限鄰域內。4李雅普諾夫意義下的穩定性假若對于任意實數，都存在一個實數，使得從滿足下式的初始狀態出發的系統的所有解都滿足不等式則稱該系統的平衡態是李雅普諾夫意義下穩定的。為歐幾里得范數，其幾何意義是空間距離的尺度。在上述穩定的定義中，實數δ通常與ε和初始時刻t0都有關，如果δ只依賴于ε

，而和t0的選取無關，則稱平衡狀態是一致穩定的。該定義的幾何含義是：設系統初始狀態x0位于以平衡狀態xe為球心、δ為半徑的閉球域S(δ)內，即若能使系統方程的解x(t;x0,t0)在t→∞的過程中，都位于以xe為球心，任意規定的半徑為ε的閉球域S(ε)內，即則稱平衡狀態xe在李雅普諾夫意義下是穩定的。5.漸近穩定性

若系統的平衡狀態xe不僅具有李雅普諾夫意義下的穩定性，且有則稱此平衡狀態xe是漸近穩定的。

經典控制理論中的穩定性定義與漸近穩定性對應。

若δ與t0無關，且上式的極限過程與t0無關，則稱平衡狀態是一致漸近穩定的。從工程觀點而言，漸近穩定更為重要。漸近穩定即為工程意義下的穩定，而李雅普諾夫意義下的穩定則是工程意義下的臨界不穩定。

6大范圍(全局)漸近穩定性如果對于任意初始狀態x0，都能保證成立，則稱系統的平衡狀態xe是大范圍漸近穩定的，也稱為全局漸近穩定。全局漸近穩定系統只能有一個平衡狀態！！！7不穩定性如果對于某個實數ε>0和任一實數δ>0，不管ε多么大,也不管δ有多么小，在S(δ)內總存在著一個狀態x0，使得由這一狀態出發的軌跡超出S(ε)

，則平衡狀態xe就稱為是不穩定的。xex0x1x2xe李雅普諾夫意義下穩定xex0x1x2xe漸近穩定xex0x1x2xe全局漸近穩定xex0x1x2xe不穩定5.3李雅普諾夫第二法的主要定理

李雅普諾夫第二法直接從系統的狀態方程出發，通過構造一個類似于“能量”的李亞普諾夫函數，并分析它和其一階導數的符號特征，從而獲得系統穩定性的有關信息。該方法無需求出系統狀態方程的解，故又稱為直接法。

一．基本概念回顧設實系數二次型f(x)=xTAx，其中A是實對稱方陣，如果對任何不全是零的實數，簡記為x≠0，函數值f(x)>0，則稱f是正定的，同時也稱A是正定的，記為A>0。1．正定矩陣：單位陣是正定的：對角陣D=diag{d1,…,dn}正定的充要條件是所有對角元素di

>0。這是因為

的充要條件是di

>0。

A>0的充要條件是①存在可逆實方陣C，使A=CTC。②A的所有特征值全都大于0。③A順序主子式(即位于左上角的主子式)全大于0，即

標量函數V(x)對所有S域（域S包含狀態空間的原點）中的非零狀態x有V(x)>0且V(0)=0，則稱V(x)在S域內是正定的。如果時變函數V(x,t)有一個正定函數作為下限，也就是說，存在一個正定函數W(x)

，使得則稱時變函數V(x,t)在域S（域S包含狀態空間的原點）內是正定的。2．正定函數：3.負定函數：如果-V(x)是正定函數，則標量函數V(x)為負定函數。4.正半定函數：如果標量函數V(x)除了原點及某些狀態處等于零外，在域S內的所有其它狀態都是正定的，則V(x)為正半定函數。5.負半定函數：如果-V(x)是正半定函數，則標量函數V(x)稱為負半定函數。6.不定函數：如果不論域S多么小，在域S內的V(x)可能是負值也可能為正值，則標量函數V(x)稱為不定函數。(1)V(x,t)正定且有界；(2)負定且有界；結論5.10：對于時變系統，如果則系統的原點平衡狀態是大范圍一致漸近穩定的。(3)當||x||→∞時，V(x,t)→∞。存在一個對狀態x和時間t具有連續一階偏導數標量函數V(x,t),V(0,t)=0，且滿足如下條件：1大范圍一致漸近穩定判別定理(時變)李雅普諾夫第二法主要定理二(1)V(x)為正定；(2)

為負定；對于定常系統，其平衡狀態則系統的原點平衡狀態是大范圍漸近穩定的。(3)當||x||→∞時，V(x)→∞xe=0，如果存在一個具有連續一階導數的標量函數V(x),V(0)=0，并且對于狀態空間中的一切非零x滿足如下條件：2結論5.11（定常系統大范圍漸近穩定判別定理1）穩定性例5.1：設系統狀態方程為試確定系統的穩定性。解：顯然,原點(x1=0,x2=0)是該系統唯一的平衡狀態。選取正定標量函數為:則沿任意軌線V(x)對時間的導數為:是負定的。

故V(x)是系統的一個李雅普諾夫函數。由于當時，，故系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。(1)V(x)為正定；(2)

為負半定；對于定常系統，其平衡狀態則系統的原點平衡狀態是大范圍漸近穩定的。(4)當||x||→∞時，V(x)→∞xe=0，如果存在一個具有連續一階導數的標量函數V(x),V(0)=0，并且對于狀態空間中的一切非零x滿足如下條件：3結論5.12（定常系統大范圍漸近穩定判別定理2

）(3)對任意初始狀態，設系統狀態方程為例5.2設系統狀態方程為

試確定系統的穩定性。

對于定常系統，如果存在一個具有連續一階導數的標量函數V（x），其中V（x）=0，滿足：則系統平衡狀態為不穩定4.結論5.19不穩定判別定理(1)V(x)為正定；(2)

為正定；其中，f(0)=0,即原點是系統唯一的平衡狀態。非線性定常系統：三李亞普諾夫函數的構造方法----克拉索夫斯基方法系統的雅可比矩陣為：

定理1：對連續非線性定常系統和圍繞原點平衡態的域Ω，若則有：其中定理2(克拉索夫斯基)：對連續非線性定常系統和圍繞原點平衡態的域Ω，原點為域內唯一平衡態，若則系統原點平衡態為域Ω內漸近穩定平衡態。且為一個李亞普諾夫函數。定理3：對線性定常系統,A為非奇異矩陣，若則系統原點平衡態為大范圍漸近穩定平衡態。結論5.22/5.23[特征值判據]：考慮線性定常系統系統的每一平衡態是李亞普諾夫意義下穩定的充要條件是：系統矩陣A的所有特征值均具有非正（負或零）實部，且具有零實部的特征值為A的最小多項式的單根；

一線性時不變系統的特征值穩定判據系統的唯一平衡態是漸近穩定的充要條件是：系統矩陣A的所有特征值均具有負實部。5.4連續時間線性系統的狀態運動穩定性判據

對于任意一個n階方陣A，總存在一個多項式f(s)滿足f(A)=0，這樣的多項式稱為A的一個化零多項式。

由凱萊—哈密爾頓定理可知任意一個方陣A都是它的特征方程：

的根，即α(A)=0

,故矩陣A的特征多項式是A的一個化零多項式。方陣A的化零多項式不唯一，有無窮多個，在所有化零多項式中，次數最低且最高次冪項系數為1的多項式稱為A的最小多項式。最小多項式（補充）：定理：已知設m(s)為adj(sI-A)中所有元素的首1最大公約式,則為矩陣A的最小多項式。注：換言之，矩陣A的最小多項式就是(sI-A)-1中所有元素的最小公分母。例（補充）：判斷下述線性定常系統的穩定性解：1）系統矩陣A為奇異矩陣，故系統存在無窮多個平衡狀態。系統的平衡狀態為，其中x1和x2為任意實數，即狀態空間中x1—x2平面上的每一個點均為平衡狀態。得特征值分別為：。2）解系統的特征方程零實部！！3）故最小多項式為f(s)=s(s+1)。系統所有特征值均具有非正實部，且具有零實部的特征值是最小多項式的單根，因此系統的每一個平衡狀態都是李雅普諾夫意義下穩定的。例：判斷下述線性定常系統的穩定性解：系統矩陣A為非奇異，顯然原點x=0是系統的唯一平衡狀態。得特征值分別為：

系統的所有特征值都具有負實部，所以系統的唯一平衡狀態xe=0是漸近穩定的。解系統的特征方程作為可能的李雅普諾夫函數。現在只需保證是負定的，則根據定常系統大范圍漸近穩定判別定理1，可斷定系統是大范圍漸近穩定的。

設線性定常系統為A為非奇異矩陣。故狀態空間的原點是系統的唯一平衡狀態。通常可選取正定二次型函數二線性時不變系統的李亞普諾夫穩定判據欲使是負定函數，即要求矩陣Q是任意正定矩陣。根據定常系統大范圍漸近穩定判別定理1，只要給定一個正定矩陣Q，李雅普諾夫矩陣代數方程：有正定解P，系統就是大范圍漸近穩定的。推導V(x)對時間導數滿足要求的條件：令：李亞普諾夫矩陣代數方程結論5.24※線性定常系統的原點平衡狀態為漸近穩定的充分必要條件是，對于任意給定的一個正定對稱矩陣Q，李雅普諾夫矩陣方程有唯一正定對稱矩陣解P。注意：使用中常選取Q陣為單位陣或對角陣。例（※）設線性定常連續系統狀態方程為解：令李雅普諾夫方程為試用李雅普諾夫方程判斷系統的穩定性。則有：得到3個線性方程：由于，故P負定，則系統不是漸近穩定的。得到：

解得特征值為：有一個特征值具有正實部，故系統不穩定。為了對比，下面用李亞普諾夫間接法判斷：A是非奇異矩陣，故xe=0是系統的唯一平衡狀態，且

根據