知識點一命題的概念在數學中，把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．知識點二四種命題的關系知識點三四種命題的真假性關系原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假結論1：兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．結論2：兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．知識點四充分條件與必要條件1．若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．2．若p?q，且q?p，則p是q的充要條件．3．若p?q，且q?p，則p是q的充分不必要條件．4．若p?q，且q?p，則p是q的必要不充分條件．5．若p?q，且q?p，則p是q的既不充分也不必要條件．題型一命題及其關系例1(1)已知a，b，c∈R，命題“a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是()A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3(2)命題“若x＝3，則x2－2x－3＝0”的逆否命題是()A．若x≠3，則x2－2x－3≠0B．若x＝3，則x2－2x－3≠0C．若x2－2x－3≠0，則x≠3D．若x2－2x－3≠0，則x＝3答案(1)A(2)C解析(1)根據四種命題的定義可得．感悟與點撥(1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關鍵；(2)根據“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假；(3)判斷一個命題為假命題可舉反例．跟蹤訓練1(1)命題“若α＝eq\f(π,3)，則cosα＝eq\f(1,2)”的逆命題是()A．若α＝eq\f(π,3)，則cosα≠eq\f(1,2)B．若α≠eq\f(π,3)，則cosα≠eq\f(1,2)C．若cosα＝eq\f(1,2)，則α＝eq\f(π,3)D．若cosα≠eq\f(1,2)，則α≠eq\f(π,3)(2)下列命題：①“若a≤b，則a<b”的否命題；②“若a＝1，則ax2－x＋3≥0的解集為R”的逆否命題；③“周長相同的圓面積相等”的逆命題；④“若eq\r(2)x為有理數，則x為無理數”的逆否命題．其中真命題的序號為()A．②④ B．①②③C．②③④ D．①②③④答案(1)C(2)B解析(2)對于①，逆命題為真，故否命題為真；對于②，“若a＝1，則ax2－x＋3≥0的解集為R”，原命題為真，故逆否命題為真；對于③，“面積相等的圓周長相同”為真；對于④，“若eq\r(2)x為有理數，則x為0或無理數”，故原命題為假，逆否命題為假．題型二充分條件、必要條件與充要條件的判斷例2(1)(2018年4月學考)設a為實數，則“a>eq\f(1,a2)”是“a2>eq\f(1,a)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)(2016年10月學考)已知非零向量a，b，則“a∥b”是“|a－b|＝|a|－|b|”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案(1)A(2)B解析(1)由a>eq\f(1,a2)，知a>0，∴a2>eq\f(1,a)，∴“a>eq\f(1,a2)”是“a2>eq\f(1,a)”的充分條件，由a2>eq\f(1,a)不能確定a>0還是a<0，∴推不出a>eq\f(1,a2)，∴“a>eq\f(1,a2)”不是“a2>eq\f(1,a)”的必要條件．(2)由“a∥b”顯然推不出|a－b|＝|a|－|b|，比如：|a|<|b|時，顯然不成立．∴“a∥b”不是“|a－b|＝|a|－|b|”的充分條件．由|a－b|＝|a|－|b|得，|a－b|2＝(|a|－|b|)2，∴a·b＝|a|·|b|，∴cosθ＝1(θ為a與b的夾角)，∴θ＝0，即a∥b.感悟與點撥充要關系的幾種判斷方法：(1)定義法：直接判斷若p則q，若q則p的真假．(2)等價法：即利用A?B與綈B?綈A；B?A與綈A?綈B；A?B與綈B?綈A的等價關系，對于條件或結論是否定形式的命題，一般運用等價法．(3)利用集合間的包含關系判斷：設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A?B，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若A＝B，則p是q的充要條件．跟蹤訓練2(1)設a>0，且a≠1，則“a>1”是“logaeq\f(1,2)<1”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，則“α∥β”是“l⊥m”的()A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件(3)(2017年4月學考)設實數a，b滿足|a|>|b|，則“a－b>0”是“a＋b>0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件答案(1)A(2)C(3)C解析(1)當a>1時，有logaeq\f(1,2)<logaa＝1，所以充分性成立；當logaeq\f(1,2)<1時，即logaeq\f(1,2)<1＝logaa，當a>1時，上式恒成立，當0<a<1時，解得0<a<eq\f(1,2)，則a的取值范圍是a>1或0<a<eq\f(1,2)，所以必要性不成立．(2)由α∥β?l⊥β?l⊥m，∴“α∥β”是“l⊥m”的充分條件，由l⊥m可知，l⊥β或l不垂直于β，∴α∥β或α不平行β，必要性不成立．(3)由|a|>|b|得a2－b2>0，即(a－b)(a＋b)>0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0，,a－ba＋b>0，))得a＋b>0.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>0，,a－ba＋b>0，))得a－b>0.∴“a－b>0”是“a＋b>0”的充要條件．題型三根據充要條件求參數范圍例3(1)已知“|x－a|<1”是“x2－6x<0”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是________．答案[1,5]解析∵|x－a|<1，∴a－1<x<a＋1.∵x2－6x<0，∴0<x<6.又∵“|x－a|<1”是“x2－6x<0”的充分不必要條件，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥0，,a＋1<6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1>0，,a＋1≤6，))∴1≤a≤5.(2)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數m的取值范圍．解y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，因為x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，所以eq\f(7,16)≤y≤2，所以A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，所以B＝{x|x≥1－m2}．因為“x∈A”是“x∈B”的充分條件，所以A?B，所以1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故實數m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).感悟與點撥集合與充要條件綜合問題，一般先化簡集合，然后根據充要條件建立等式或者不等式，進而求出參數的取值范圍．跟蹤訓練3已知p：|x－a|≤5；q：x2－6x＋8≤0.若x∈p是x∈q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．解對于p，不等式|x－a|≤5的解集為－5＋a≤x≤5＋a；對于q，不等式x2－6x＋8≤0的解集為2≤x≤4.∵x∈p是x∈q的必要不充分條件，∴{x|2≤x≤4}{x|－5＋a≤x≤5＋a}，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5＋a<2，,4≤5＋a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5＋a≤2，,4<5＋a，))可得－1≤a≤7，∴實數a的取值范圍是[－1,7]．一、選擇題1．已知a，b∈R，命題“若a＋b＝1，則a2＋b2≥eq\f(1,2)”的否命題是()A．若a2＋b2<eq\f(1,2)，則a＋b≠1B．若a＋b＝1，則a2＋b2<eq\f(1,2)C．若a＋b≠1，則a2＋b2<eq\f(1,2)D．若a2＋b2≥eq\f(1,2)，則a＋b＝1答案C解析“a＋b＝1”，“a2＋b2≥eq\f(1,2)”的否定分別是“a＋b≠1”，“a2＋b2<eq\f(1,2)”，故否命題為“若a＋b≠1，則a2＋b2<eq\f(1,2)”．2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，則x，y全為零”的逆否命題是()A．若x，y∈R，x，y全不為零，則x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全為零，則x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全為零，則x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全為零，則x2＋y2≠0答案C解析依題意得，原命題的題設為“若x2＋y2＝0”，結論為“則x，y全為零”．逆否命題為“若x，y不全為零，則x2＋y2≠0”，故選C.3．已知下列三個命題：①“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題；②“正方形是菱形”的否命題；③“若m>2，則不等式x2－2x＋m>0的解集為R”．其中真命題的個數為()A．0B．1C．2D．3答案B解析對于①，原命題為假，所以逆否命題為假；對于②，逆命題為“菱形是正方形”，是假命題，所以否命題為假命題；對于③，Δ＝4－4m，當m>2時，Δ<0，所以f(x)＝x2－2x＋m開口向上且與x軸無公共點，故x2－2x＋m>0的解集為R，③為真命題．故選B.4．已知p：x2－x<0，那么p的一個必要不充分條件是()A．0<x<1 B．－1<x<1C.eq\f(1,2)<x<eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)<x<2答案B解析p：0<x<1,0<x<1?－1<x<1，－1<x<1D//?0<x<1.故選B.5．已知a>0且a≠1，則“logab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析因為logab>0等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<b<1，,0<a<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>1，,a>1，))而(a－1)·(b－1)>0等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b<1，,a<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>1，,a>1，))故選A.6．“m＝2018”是“直線mx＋(m－2017)y－2＝0和直線x－my＋5＝0垂直”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A7．(2017年11月學考)已知a，b是實數，則“|a|<1且|b|<1”是“a2＋b2<1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B8．(2018年6月學考)已知直線l，m和平面α，m?α，則“l⊥m”是“l⊥α”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B9．“a＝1”是“函數f(x)＝|x－a|在區間[1，＋∞)上為增函數”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析①由“a＝1”得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥1，,1－x，x<1，))所以“f(x)在[1，＋∞)上為增函數”．②由“f(x)在[1，＋∞)上為增函數”得a≤1.10．(2016年4月學考)設n∈N*，則“數列{an}為等比數列”是“數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a\o\al(2,n))))為等比數列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析{an}是等比數列，設公比為q，則eq\f(an＋1,an)＝q，由eq\f(\f(1,a\o\al(2,n＋1)),\f(1,a\o\al(2,n)))＝eq\f(a\o\al(2,n),a\o\al(2,n＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,an＋1)))2＝eq\f(1,q2)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a\o\al(2,n))))為等比數列，則“數列{an}為等比數列”是“數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a\o\al(2,n))))為等比數列”的充分條件．若數列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,1，n>1且n∈N*，))數列{an}不是等比數列，而eq\f(1,a\o\al(2,n))＝1，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a\o\al(2,n))))是等比數列，∴“數列{an}為等比數列”是“數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a\o\al(2,n))))為等比數列”的不必要條件，∴“數列{an}為等比數列”是“數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a\o\al(2,n))))為等比數列”的充分不必要條件．二、填空題11．命題“若ab＝0，則a，b中至少有一個為零”的逆否命題是________________________．答案若a，b都不為零，則ab≠0

12．若不等式|x－m|<1成立的充分不必要條件是eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，則實數m的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(4,3)))解析設A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)<x<\f(1,2)))))，B＝{x|m－1<x<m＋1}，則A是B的真子集．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤\f(1,3)，,m＋1≥\f(1,2)))(等號不同時成立)，解得－eq\f(1,2)≤m≤eq\f(4,3).13．若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2<x<a}，則“A∩B≠?”的充要條件是________．答案a>－1解析A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－2<x<a}，由A∩B≠?得a>－1.14．下列四個結論中：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要條件；