第二章隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件及其概率概率的性質(zhì)及運(yùn)算法則

學(xué)習(xí)目的和要求掌握古典概率及計算；概率的加法公式、乘法公式及計算；條件概率與事件獨(dú)立性的概率并進(jìn)行計算；理解事件等的基本概念及運(yùn)算關(guān)系、統(tǒng)計概率、主觀概率和概率的公理化定義；確定性現(xiàn)象（deterministicphenomena）：所有的科學(xué)理論均為確定性現(xiàn)象（可事先預(yù)知）。

eg:數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科內(nèi)容。

eg:拋硬幣時硬幣一定會落地的現(xiàn)象。必然現(xiàn)象——在一定條件下，必然發(fā)生的現(xiàn)象。不可能現(xiàn)象——在一定條件下，一定不會發(fā)生的現(xiàn)象。

現(xiàn)象分類不是隨機(jī)現(xiàn)象，但是隨機(jī)現(xiàn)象的特例。隨機(jī)現(xiàn)象（randomphenomena）

：在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不會發(fā)生的現(xiàn)象（無法事先預(yù)知）。

eg:

運(yùn)動員的某一次打靶成績、患者使用某種新藥的預(yù)后、拋一枚硬幣時硬幣落地是正面或反面的現(xiàn)象。

統(tǒng)計規(guī)律性（statisticallaw）

：在大量的重復(fù)觀察或?qū)嶒?yàn)中隨機(jī)現(xiàn)象所體現(xiàn)出的規(guī)律性。“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的研究內(nèi)容第一節(jié)隨機(jī)事件及其概率

一、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件

（一）隨機(jī)試驗(yàn)（randomexperiment）：簡稱試驗(yàn)，為研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性而進(jìn)行的大量、重復(fù)的調(diào)查、實(shí)驗(yàn)、測試等。特性：

相同條件下的可重復(fù)性（大量）；實(shí)驗(yàn)前所有可能結(jié)果的可預(yù)知性（多結(jié)果）；（因?yàn)檫M(jìn)行實(shí)驗(yàn)的目的就是研究該現(xiàn)象）

實(shí)驗(yàn)時的結(jié)果不確定性（無法預(yù)測）。

<注>：1、對于同一隨機(jī)現(xiàn)象，若研究目的不同，則隨機(jī)試驗(yàn)的制定方法也不相同。

eg：研究運(yùn)動員打靶成績，目的不同（打中環(huán)數(shù)、打中/打不中），則制定的隨機(jī)試驗(yàn)也不同。

2、隨機(jī)試驗(yàn)常用字母E，E1，E2，…，表示。

eg：

E1：拋一枚硬幣兩次，觀察正面H，反面T出現(xiàn)的情況。

E1：從一批燈泡中，任取一只，測試其壽命。

（二）基本概念事件（event）：在隨機(jī)試驗(yàn)中所發(fā)生的結(jié)果。基本事件（elementalevent）：每個不可能再分的試驗(yàn)結(jié)果，即無數(shù)結(jié)果中的一個結(jié)果，是E的每個直接結(jié)果，又稱樣本點(diǎn)（samplepoint）。樣本空間（samplespace）：所有基本事件的全體，即該試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合，記為Ω，即用數(shù)學(xué)語言描述。

eg：

E1：拋一枚硬幣兩次，觀察正面H，反面T出現(xiàn)的情況。

Ω：{（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}E1：從一批燈泡中，任取一只，測試其壽命。

Ω：{t│t

≥0}

空集

——不含任何基本事件，記為?。（三）事件分類隨機(jī)事件（randomevent）：在一定條件下，試驗(yàn)結(jié)果可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件（0<P<1）。用A、B、C表示。必然事件（certainevent）：在一定條件下，必然發(fā)生的事件（P=1），是隨機(jī)事件的特例。其中，樣本空間也是事件，在每次試驗(yàn)中一定發(fā)生，故也是必然事件。不可能事件（impossibleevent）：在一定條件下，一定不會發(fā)生的事件（P=0）。其中，空集不含任何事件，在試驗(yàn)中一定不會發(fā)生，故是不可能事件。

eg：現(xiàn)有一批藥品共100件，其中5件是次品。考察隨機(jī)試驗(yàn)：“從這批藥品中任意抽出10件，檢查其抽到的次品數(shù)”。若記：

k=｛抽出的10件藥品中恰有k件次品｝

請寫出該試驗(yàn)的基本事件、樣本空間。解：

基本事件：｛0｝，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛5｝

樣本空間Ω：｛0，1，2，3，4，5｝不可能事件?：｛抽到的次品數(shù)＞5｝等。二、事件之間的關(guān)系及運(yùn)算

將隨機(jī)事件之間的關(guān)系用集合的形式來描述。前提：在同一個隨機(jī)試驗(yàn)中，事件之間存在：（一）包含關(guān)系：事件A的發(fā)生必然導(dǎo)致事件B的發(fā)生，則稱B包含A，或A包含于B中（圖1）。

eg1:擲骰子試驗(yàn)，A=出現(xiàn)2點(diǎn)，B=出現(xiàn)偶數(shù)。

eg2:對白血病患者進(jìn)行骨髓移植術(shù)，A=術(shù)后存活10年，B=術(shù)后存活時間至少10年，則B包含A，或A包含于B中。

圖1A

B（Venngraph）AΩB（二）相等關(guān)系：若B包含A，且A包含B，則A=B。

eg：擲骰子試驗(yàn)，A=出現(xiàn)3點(diǎn)，B=出現(xiàn)小于4大于2的點(diǎn)數(shù)。（三）加法關(guān)系：又稱“或”的關(guān)系、和（并）的關(guān)系，即“事件A與事件B中至少有一個事件發(fā)生”的事件稱為A與B的和（或并），記作A+B或A∪B（圖2）

。

eg:

對2例白血病患者進(jìn)行骨髓移植術(shù)，A=術(shù)后僅有一例存活10年，B=術(shù)后有2例存活10年，C=術(shù)后至少有一例存活10年，則C=A+B。

圖2A+B或A∪B

（Venngraph）AΩB（四）乘法關(guān)系：又稱“和”的關(guān)系、積（交）的關(guān)系，即“事件A與事件B同時發(fā)生”的事件稱為A與B的積（或交）。說明事件A與事件B是相容事件（具有公共部分）。記作AB或A∩B，產(chǎn)生了一個新的事件（圖3）

。

eg:

某醫(yī)生在某年對甲乙2例白血病患者進(jìn)行骨髓移植術(shù)，A=甲患者術(shù)后未發(fā)生排異反應(yīng)，B=乙患者術(shù)后未發(fā)生排異反應(yīng)，C=該醫(yī)生在該年進(jìn)行的骨髓移植術(shù)未發(fā)生排異反應(yīng)，則C=AB。

圖3AB或A∩B

（Venngraph）AΩB（五）減法關(guān)系：又稱“差”的關(guān)系，“事件A發(fā)生的同時事件B不發(fā)生”的事件稱為事件A與B的差，記作A–B，即由屬于事件A但不屬于事件B的所有事件所構(gòu)成的集合，產(chǎn)生了一個新的事件（圖4）

。

eg:

擲一枚骰子，若A=出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于4，B=出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，則A–B=出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為5，B–A=出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2、4。

圖4A-B（Venngraph）AΩB（六）互不相容事件（mutuallyexclusiveevent，互斥）：事件A與B不可能同時發(fā)生，即A與B為互不相容事件（沒有公共部分），記作AB=Ф（圖5）

。

eg:

擲一枚骰子，若A=出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于4，B=出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于3，則AB=Ф

圖5A、B互不相容（Venngraph）AΩB（七）對立事件(complementaryevent，互逆事件)：“事件A不發(fā)生”的事件為A的對立事件，由不屬于A的基本事件構(gòu)成（圖6）

。

eg:

拋一枚硬幣兩次，A=正面，B=反面。<注>：

1、A的發(fā)生，意味著B不發(fā)生；

A不發(fā)生，意味著B一定發(fā)生；

2、相互對立的事件一定是互不相容的事件，互不相容事件不一定是相互對立事件。

圖6A的對立事件（Venngraph）AΩB三、事件的概率

概率（probability）：一定條件下，事件A在試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)值量度。用P（A）表示。

eg：硬幣正反面重量不同，落下時呈正反面概率不同。

<注>：應(yīng)用不同，對概率的解釋不同。（一）頻率與統(tǒng)計概率：1、頻率（frequency、relativefrequency）：在相同條件下獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)（E），若事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生m次，則稱m為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)（frequence），稱比值m/n為事件A的頻率。記作：fn

(A)=m/neg：若投擲一枚均勻的硬幣，隨機(jī)事件A表示“正面向上”，用n表示投擲次數(shù)；m表示隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)；則f表示隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率（f=m/n）。

2、頻率的穩(wěn)定性（stabilityofrelativefrequency）：是隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律，當(dāng)試驗(yàn)（E）次數(shù)n逐漸增大時，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率逐漸趨向于某一常數(shù)。

eg：投擲一枚均勻的硬幣，用不同的投擲次數(shù)n作隨機(jī)試驗(yàn)，結(jié)果如下：m/n=8/10=0.8000、7/20=0.3500、

……、249/500=0.4980、501/1000=0.5010、10001/2000=0.5000，由此看出當(dāng)投擲次數(shù)n足夠大時，f=m/n→0.5，稱P(A)=0.5，或簡寫為：P=0.5。3、統(tǒng)計概率（statisticalprobability）：在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)（E），若事件A的頻率逐漸穩(wěn)定地趨于某個確定的常數(shù)p，則稱p為事件A的統(tǒng)計概率，記作：P（A）=p。因此，當(dāng)n足夠大時，可以用f估計P。統(tǒng)計概率——常數(shù)（只要條件不變，統(tǒng)計概率不會改變）；

就總體而言。

頻率——變量[因試驗(yàn)（E）次數(shù)不同，事件A發(fā)生的可能性不同]；就樣本而言。當(dāng)樣本含量逐漸增加時，頻率接近統(tǒng)計概率P。古典概率：是概率的一種基本類型，是在概率論發(fā)展初期形成的一種模型，是當(dāng)時概率論的主要研究對象。1、古典概型（classicalprobabilitymodel，有限等可能概型）：隨機(jī)試驗(yàn)（E）具有有限總體（試驗(yàn)的結(jié)果即基本事件的總數(shù)是有限的）等可能性（每個基本事件發(fā)生的可能性是相同的）兩特點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型。

eg：從一批藥品中任意抽檢一件藥品的可能性。<注>：實(shí)際上很多隨機(jī)試驗(yàn)是不可能滿足該模型的。如觀察某運(yùn)動員員打靶成績，打中5環(huán)與打中10環(huán)的可能性一定是不一樣的。2、古典概率（classicalprobability）：隨機(jī)試驗(yàn)是古典概型時，即其樣本空間的基本事件總數(shù)為n，每個基本事件的出現(xiàn)是等可能的，若A隨機(jī)事件由其中m個基本事件所組成，則事件A的古典概率是：

P(A)=m/n=事件A所含的基本事件數(shù)/基本事件總數(shù)由此定義可知，P的取值范圍：0≤P(A)≤1。

eg1:擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。若A表示出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)。求P(A)。

eg2:有總數(shù)為1000張的獎券，其中，一等獎2張，二等獎50張，三等獎98張。求：（1）任抽一張，中獎的概率；（2）任抽兩張，中獎的概率和沒中獎的概率。解題思路：先明確隨機(jī)試驗(yàn)（E），再確定隨機(jī)事件A若題目中有明確的隨機(jī)事件，則直接計算P(A)若題目中無明確的隨機(jī)事件，則先假設(shè)確定隨機(jī)事件，再計算P(A)（三）主觀概率（subjectiveprobability）：根據(jù)個人的經(jīng)驗(yàn)和所掌握的信息，對事件發(fā)生的可能性大小進(jìn)行主觀估計，由此確定的概率稱為主觀概率。優(yōu)點(diǎn)：靈活。第二節(jié)概率的性質(zhì)及運(yùn)算法則

一、概率公理化定義1、概率的基本性質(zhì)（各種定義的共性）：公理1（非負(fù)性）：0≤P（A）≤1

公理2（規(guī)范性）：

必然事件Ω——在一定條件下，必然發(fā)生的事件。

P（Ω）＝1

不可能事件?——在一定條件下，一定不會發(fā)生的事件。

P（?）＝0

隨機(jī)事件P（A）——在一定條件下，事件可能發(fā)生，也可能不會發(fā)生。0<P（A）

<1，常用小數(shù)或百分?jǐn)?shù)表示。

P越接近1，表示某事件發(fā)生的可能性越大；

P越接近0，表示某事件發(fā)生的可能性越小。小概率事件——P≤0.05或

P≤0.01的事件。

小概率事件實(shí)際不發(fā)生原理：在一次實(shí)驗(yàn)（觀察）中，該事件幾乎不可能發(fā)生。“小概率”的標(biāo)準(zhǔn)

是人為規(guī)定的，對于可能引起嚴(yán)重后果的事件，如術(shù)中大出血等，藥物嚴(yán)重的副作用等研究，可規(guī)定

=0.01，甚至更小（若發(fā)生，則為百分之百，就要追究其原因）。

eg

：

某都市大街上疾駛的汽車撞傷行人的事件的發(fā)生概率為1/萬，但大街上仍有行人，這是因?yàn)椤氨蛔病笔录切「怕适录孕腥苏J(rèn)為自己上街這“一次試驗(yàn)”中不會發(fā)生“被撞”事件。公理3（可列可加性）：可列即可數(shù)無窮，即對于兩兩互不相容事件，有

P（A1+A2+…+An+…）

=P（A1）+P（A2）+…+P（An）+…2、概率的公理化定義（一般定義）：設(shè)Ω是隨機(jī)試驗(yàn)（E）的樣本空間，如果對Ω中任意事件A，都對應(yīng)一個實(shí)數(shù)P（A），而且P（A）滿足上述公理1、公理2、公理3，則稱為P（A）為隨機(jī)事件A的概率（量化事件發(fā)生的可能性）。

二、概率的加法定理1、互不相容事件的加法定理：互不相容事件同時發(fā)生的概率等于各事件的概率之和

P（A+B）=P（A）+P（B）

eg：投擲AB兩枚硬幣，出現(xiàn)一枚硬幣正面事件（A硬幣正面B硬幣反面、

A硬幣反面B硬幣正面）的概率等于上述兩種情況的概率之和。

推論多個互不相容事件的加法公式：

P（A1+A2+A3+…An）

=P（A1）+P（A2）+P（A3）+…+P（An）

減法公式：

P（A-B）=P（A）-P（AB）當(dāng)B包含于A時，P（A-B）=P（A）-P（B）2、一般加法定理：任意兩事件A與事件B，有

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

減法公式：

P（A-B）=P（A）-P（AB）當(dāng)B包含于A時，P（A-B）=P（A）-P（B）三、條件概率和乘法定理（一）條件概率（conditionalprobability）：1、定義：對任意兩個事件A、B，若P（B）＞0，則稱P（A│B）=

P（AB）∕P（B）為在事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率，記作P（A│B）。2、計算步驟：首先判斷資料是古典概率，還是條件概率；計算法：公式法；縮小法：即樣本空間縮小

eg：將硬幣向空中拋兩次，A=“至少一次為正面”，B=“兩次都為同一面”。求：P（B│A）。解：（公式法）

P（B│A）=P（AB）∕P（A）

=（1/4）/（1-1/4）

=1/3

（樣本空間包括四種情形：正正、正反、反正、反反）（二）概率的乘法定理：即交集的運(yùn)算1、對任意兩個事件A、B，若P（B）＞0，則在事件B發(fā)生的同時A發(fā)生概率為P（AB）=

P（B）P（A│B）若P（A）＞0，則在事件A發(fā)生的同時B發(fā)生的概率為P（AB）=

P（A）P（B│A）2、推廣公式：對任意事件A、B、C，若P（A）＞0，P（AB）＞0，則P（ABC）=

P（A）P（B│A）P（C│A

B）

eg1：

一批零件共100個，其中有90個正品，10個次品。現(xiàn)每次從中不放回地任取一個零件，試求第三次才取得正品的概率。

解：

P（A1A2A3）

=P（A1）P（A2│A1）P（A3│A1

A2）

=10/100×9/99×90/98=0.0084

eg2：

一批零件共100個，其中有90個正品，10個次品。現(xiàn)每次從中放回地任取一個零件，試求第三次才取得正品的概率。解：

P（A1A2A3）

=P（A1）P（A2│A1）P（A3│A1

A2）

=

P（A1）P（A2）P（A3）

=10/100×10/100×90/100=0.009

eg3：設(shè)某地區(qū)歷史上從某次特大洪水發(fā)生以后在30年內(nèi)發(fā)生特大洪水的，概率為80%，在40年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為85%，問現(xiàn)已無特大洪水過去了30年內(nèi)的該地區(qū)，在未來10年內(nèi)將發(fā)生特大洪水的概率是多少？解：設(shè)

A=“該地區(qū)從某次特大洪水發(fā)生以后在30年內(nèi)無特大洪水”，

B=“該地區(qū)從某次特大洪水發(fā)生以后在40年內(nèi)無特大洪水”則

P（B│A）=

P（AB）∕P（A）

=P（B）∕P（A）

=0.15/0.2=0.75

P=1-0.75=0.25

（三）事件的獨(dú)立性（independence）1、定義：對于任意兩個事件A、B，若滿足P（AB）=P（A）×

P（B）則稱事件A與B是相互獨(dú)立的，即事件A發(fā)生與否對事件B的發(fā)生無任何影響。<注>：

同一隨機(jī)事件在不同隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，可能獨(dú)立性不同。理解：兩獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率等于各事件的概率之積。來源于乘法公式，即P（AB）=

P（A）P（B│A），由于P（B│A）=P（B），因?yàn)锳