2022北京順義一中高三（上）期中

數學

一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的

一項）

1.已知集合M={x|-l<x<3},#={X|X2<4},那么A/CN=()

A.[-2,-l)u[2,3)B.(-1,2]

C.[2,3)D.[-2,3)

2+i

2.復數-----=()

4-3i

12.12.112.112.

A.----1B,一+一1C.------1D.-------b—1

55552525255

3.已知｛%｝是公差為"的等差數列，為其前〃項和.若S3=3q+3,貝ijd=（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知向量r=(2,1),1=(-2,左)且力(2々一5卜則實數★=()

A.-14B.-6C.6D.14

5.設a,b是實數,則“a>5”是/<]”的（）

ab

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.將函數y=2cosx的圖象向右平移'個單位長度，再將所得圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的今

（縱坐標不變），得到的函數解析式為（）

A.^=2cos2xB.y=-2cos2xC,y=-2sin2xD,歹=2sin2x

7.設函數/（x）=x/,則（）

A.X=—l為/（x）的極大值點且曲線），=/（x）在點（0J（0））處的切線的斜率為1

B.x=l為/（x）的極小值點且曲線y=/（x）在點（0,/（0））處的切線的斜率為2e

c.x=—l為/（x）的極小值點且曲線y=/（x）在點（0,/（0））處的切線的斜率為1

D.x=-l為/a）的極小值點且曲線y=/（x）在點（0,/（0））處的切線的斜率為2e

8,若函數/5）=3-2》一“，當xN，時，/（x）W0恒成立，則。的取值范圍（）

x3

A.(-co,3]B.[3,+co)C.l^-oo,yD.y,+<xj

9.若雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的血倍，且一個頂點的坐標為(2,0),則雙曲線的標準方

程為()

10.過點的直線/與圓C:(X-1)2+/=4交于A、8兩點，。為圓心，當/4C8最小時，直線/

127

的方程為()

A.2x+y+2=0B.2x+y-2-0C.2x-4y+3=0D.2x+4y-3=0

二、填空題(本題共5小題，每小題5分，共25分)

冗

11.在中，A,B,C分別是三邊“，b,C所對的角，a=15,6=10,A=—,sin5=

3

12.數列｛6,｝是公差為—2的等差數列，記｛/｝的前〃項和為S“，且4,%,%成等比數列，則4=

；.

13.設函數/(x)=a?+bx+4在x=2處取得極小值，曲線y=/(x)在點(3,/(3))處的切線與直線

y=~x互相垂直，則函數y=〃x)在(-8,o]上的最大值為.

14.設b,萬是單位向量，且萬.萬=0,則(3-云)?伍一丹的最小值為.

2'-l,x<a

15.設函數/,(x)=1/2\，則當4=1時，求/(X)的最小值為__________:若/(X)恰有兩

4(￡-3x+2),xNa

個零點，則實數。的取值范圍是.

三、解答題(本題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.已知函數/(x)=asin2x+2cos2x-1,再從條件①、②、③這三個條件中選擇一個作為已知，求：

(I)/(x)的最小正周期；

(II)/(x)的單調遞增區間.

條件①：/(x)圖像的對稱軸為x=?;條件②：=條件③：a=JL注：如果選擇多個條件

分別解答，按第一個解答計分.

17.已知｛%｝是各項均為正數的等比數列，其前〃項和為S,,,4=2,Ss=14.數列也｝滿足a=5,

4=3,且也一見｝為等差數列.

(I)求數列｛4｝和也,｝的通項公式;

(II)求數列｛4｝的前〃項和刀,.

18.在△NBC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且角A,B,C成等差數列.

(I)若6=屈,。=3,求邊c的值；

(II)/=sin/lsinC,求E的最大值.

19.已知函數/(x)=；/+(〃?-2)

x-2mInx(w<0).

(1)當，”=-1時，求/(X)的單調增區間；

(2)當機K-g時，求證：/(x)一/nr在(O,+e)上是增函數；

(3)求證：當-1〈機<0時，對任意xe[l,+8),/(x)N2m(l-ln2)-2.

Y2

20.已知橢圓C：%+l(a>b>0)的長軸長為4,且離心率為

(1)求橢圓c的方程;

(2)設過點/(1,0)且斜率為左的直線/與橢圓C交于48兩點，線段的垂直平分線交x軸于點D

網

求證:|四為定值.

A

21.已知｛恁｝是由正整數組成的無窮數列，該數列前“項的最大值記為4”最小值記為',令"=片.

(I)若冊=2〃(?=1,2,3,…)，寫出仇,b2,歷的值;

(II)證明：bn+\>b?(n—1,2,3,?■■)；

(III)若｛兒｝是等比數列，證明：存在正整數〃°,當吟〃°時，a,?a?+i,%+2，…是等比數列.

參考答案

一、選擇題(本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的

一項)

1.【答案】B

【解析】

【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合N,再由集合交集的定義求解即可.

【詳解】因為集合”={司―1<%<3},7V={x|x2<4}={x|-2<x<2},

所以A/cN={x|-l<x?2}.

故選：B.

2.【答案】B

【解析】

【分析】利用復數運算法則直接求解即可.

2+i_(2+i)(4+3i)8+4i+6i+3i25+10i12.

4-3i(4-3i)(4+3i)16-9i22555

故選：B.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

根據{6,}是公差為d的等差數列，且邑=30+3,利用等差數列的前〃項和公式求解.

【詳解】因為{。“}是公差為1的等差數列，且,=34+3,

所以3q+3d-3q+3,

解得d=l，

故選：C

4.【答案】D

【解析】

【分析】根據題設條件求得y-石的坐標，再根據力斯一耳，得到關于左的方程，解之即可.

【詳解】?.i=(2,l),B=(—2,左)，

又??a_L{la-B),

???2x6+lx(2—左)=0,解得左=14.

故選：D.

5.【答案】D

【解析】

［分析】通過列舉反例即可說明充分性和必要性.

【詳解】當a=l,6=—1時，有a>6,但L=1〉L=-1,

ah

故a>人不能推出

ab

當時，有L<4，但a=—1<6=1,

ab

故上不能推出。>b,

ab

故7>/,，，是"±<；，的既不充分也不必要條件

ab

故選：D.

6.【答案】D

【解析】

【分析】利用誘導公式以及函數y=4sin(cox+s)的圖象變換規律，可以求得變換后的函數的解析式.

TT

【詳解】將函數y=2cosx的圖象向右平移5個單位長度,

再將所得圖象的所有點的橫坐標縮短到原來的去(縱坐標不變),

可得到的函數y=2sin2x的圖象，

故選：D.

7.【答案】C

【解析】

【分析】對函數/(X)求導，求出函數/(X)的單調性，進而可得出其極值點，由/'(0)=1,可得到在點

(0,/(0))處的切線斜率.

【詳解】解：因為/(x)=xe",所以/'(X)=俄+xex=(x+l)ex,

令ra)>o,解得x〉一i,令ra)<o,解得x<-i,

??../?(刈在(-8,-1)上單調遞減，在(-1,+8)上單調遞增，

.,”=-1是函數/5)的極小值點，

又/'(0)=1,則曲線y=/、(x)在點(0,7(0))處的切線斜率為1,

故選：C.

8.【答案】D

【解析】

【分析】依題意，當時，。2二一2萬恒成立，令g(x)=Z-2x,xN,，則aNg(x)max，利用

3xx3

導數求出g(x)的單調性，進而求得最值得解.

【詳解】解：依題意，當xN，時，aN-V—2x恒成立，

3x2

令g(x)=4■-2x,X>^-,則aNg(x)max，又g'(x)=一一2=-2+1]<0,

x3x[xJ

F11

???g(x)在-,+oo上單調遞減，

-3

???aNg*)max=g(|jJ=9—§2=不25，即此三25

故選：D.

9.【答案】A

【解析】

【分析】根據條件列關于。，b,c的方程組求解即可.

2

【詳解】設雙曲線的標準方程為二y~

一=1

a5

2a+2b=141c

a=2

由已知得＜a=2解得《

h=2

a2+b2^c2

所以雙曲線的標準方程為工-二=1

44

故選：A.

10.【答案】C

【解析】

【分析】可證明當CP，/時N4C8最小，故可求直線/的方程.

取48的中點為連接CN,則CW且|CM4|CP|,

而cos0co=回”4回，當且僅當CP，/時等號成立，

222

k_1一0__2

故/ZC6最小時，CPA.I,此時CP=T7,故直線/的斜率為;,

---1L

2

故直線/的方程為：y=/（x-]]+1，即2x—4y+3=0,

故選：C.

二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分）

11.【答案】—##-73

33

【解析】

【分析】利用正弦定理可求sin8.

1015r-r-

【詳解】由正弦定理可得硒=^，故布==若，故初人曾嚇

故答案為：立.

3

12.【答案】①.8（2）.-"+9"

【解析】

【分析】

由等比數列的性質得城=。「。4,解出囚的值，再結合等差數列的前〃項和公式可得結果.

【詳解】因為數列｛q,｝是公差為-2的等差數列，4%，%成等比數列,

所以裙=qq，即(q—4)2=4(q—6),解得q=8；

所以S.-8〃+-------x(-2)=-〃~+9”

故答案為：8,-n2+9n.

13.【答案】—

3

【解析】

【分析】對/(x)求導，根據題意建立關于。，b的方程組，解出。，b的值，進而利用導數可得到答案.

/'⑵=12a+b=01

a——

【詳解】解：f\x)=^>ax2+b依題意,(27a+b){_：、，解得經檢驗，符合題意,

-1

7

f(x)=-^x3-4x+4,f\x)-x2-4=(x+2)(x-2),

易知，當XG(一*一2)時，/'(x)〉0,/(x)單調遞增，當xe［—2,0］時，/'(x)<0,/⑴單調遞減，

1OR

二函數V=/(%)在(-8,0］上的最大值為/(-2)=-x(-8)+8+4=y.

故答案為：--.

3

14.【答案】1-72.

【解析】

【分析】設"+B與萬的夾角為。，根據已知，利用向量的數量積的運算將(1一丹-0-同化為關于。的

三角函數表達式，進而利用三角函數的性質求得最小值.

【詳解】)石=0,且,b,?均為單位向量,

22

小+很卜J(2+0=y]a+b+2(ib=#+12+2x0=0,

|c|=Lc2=1,

???("一萬)(萬一同二萬萬一(萬+1)2+22=i-()+1)?？

設a+B與己的夾角為仇

則(萬一3)?(5—=1一5+方|同cos6=1—及cos0.

故(方—弓-0一己)的最小值為i—JI

故答案為：1-&.

15.【答案】①.-1（-co,0]u（l,2]

【解析】

【分析】當。=1時，分別求解兩段函數的最小值，取最小值中的最小者可得一（X）的最小值；分別求

?=2*-1與歹=412-3%+2）的零點，再對。分類討論得答案.

【詳解】解：若a=l,則當x<l時,/（x）=2A-l<2-1=1；

當時，/（x）=4（x—|）-1,當x="|時，/（*）的最小值為-1.

???/（x）的最小值為-1;

由2'—1=0，解得x=0；

由4（x2-3X+2）=0,解得X=I或X=2.

若aWO,則函數/（x）恰有2個零點，分別為1,2,符合題意；

若0<。41,則函數/（?有3個零點，分別為0,1,2,不符合題意；

若1<aW2,則函數/*）有2個零點，分別為0,2,符合題意；

若。>2,則函數/（x）有1個零點0,不符合題意.

綜上所述，滿足題意的實數。的取值范圍是（一8,0]口。,2].

故答案為：-1;（-co,0]u（l,2],

三、解答題（本題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.【答案】（I）答案見解析；（II）答案見解析.

【解析】

【分析】

選①（I）逆用余弦的二倍角公式降幕后，使用輔助角公式化簡得/（幻=朽^^皿2》+9），根據對稱軸求

得S的值，進而求得。的值，得到函數的解析式，求得最小正周期；

（II）根據正弦函數的單調性，利用整體代換法求得/"）的遞增區間.

選②⑴逆用余弦的二倍角公式降事得到/（x）=asin2x+cos2x,根據選擇的條件求得“的值，得到函數

的解析式，并利用輔助角公式化簡，然后求得了（x）的最小正周期：

（II）根據正弦函數的單調性，利用整體代換法求得“X）的遞增區間.

選③逆用余弦的二倍角公式降幕后，使用輔助角公式化簡得到/（X）=2sin（2x+工）

6

然后求得/（X）的最小正周期；

（II）根據正弦函數的單調性，利用整體代換法求得/（X）的遞增區間.

【詳解】選①（"X）圖像的一條對稱軸為X=[）

8

國軍：(I)/(x)=tzsin2x+2cos2x-1

2

=asin2x+cos2x=y/a+1J“sin2x+:，cos2x

17771V^+i

=7a2+lsin(2x+^)(其中tan°=一)

a

rr

因為/(x)圖像的一條對稱軸為X=—

o

所以fg)=Jr，+1sin(—+⑼=±\la2+1

84

即有%"+夕=kji+—,keZ

JI

所以9=左1+—

4

71冗|

所以tane=tan(左44--)=tan—=1=—

44。

.a=l

故/(x)=&sin(2x+馬

4

2乃2萬

所以/（X）的最小正周期為：T=「=F=兀

⑷2

7T717T

(II)???一一+2ki<2x+-<-+2左乃,keZ

242

3萬冗

：.--+2k7V<2x<上+2k7T,kGZ

44

34,,,兀、,

------冗<x4—+k7T,keZ

88

37171

所以fM的遞增區間為［--+k為一十%力keZ

88

選②（嗎）=D

解：(I)f(x)=?sin2x+2cos2x-1

=asin2x+cos2x

f(?)=asin]+cosy=1

:.a=\

f(x)=sin2x+cos2x

=亞sin2x+cos2x)

=V2sin(2x+—)

4

.2〃24

所以的最小正周期為：T=-~~-=—=^

⑷2

TTT[TT

(II),/——+2k兀<2x+—<—+2左乃,keZ

242

3萬71

-----+2ki<2x<—+2k兀,kGZ

44

-----+k冗<x<一+左肛％GZ

8--------8

所以/(x)的遞增區間為[-苧+k乃，9+4)],keZ

oo

選③(fl=V3)

解：(I)/(x)=V3sin2x+2cos2x-1

=V5sin2x+cos2x

=2(-^-sin2x+—cos2x)

7T

=2sin(2xd——)

.2萬2乃

所以的最小正周期為：T=—=—=7U

⑷2

7TT[TT

(II)???一一+2k兀<2x+-<-+2左肛keZ

262

--<2x<—+2k7r,keZ

33

TTTT

——+k兀<x<—+k7r,kGZ

36

所以/(X)的遞增區間為[-f+k花2+無幻,keZ

36

【點睛】本題考查三角函數的恒等變形和三角函數的性質，關鍵是逆用余弦的二倍角公式降幕后，并使用

輔助角公式化簡.

17.【答案】(I)an=2","=2"-4〃+7,〃eN*(II)7；=2向-2/+5〃—2,〃eN*.

【解析】

【分析】⑴設公比為,，公差為d,再利用基本量法求解即可.

(II)由(I)可知〃=2"-4〃+7,再用分組與等差等比數列求和的方法即可.

【詳解】解：(I)設等比數列｛%｝的公比為/等差數列他,-4｝的公差為d.

因為％=2,83=q+%+%=14,所以+q-6=0.

解得q=2或夕=-3(舍).

又因為4-q,與一2也一％成等差數列，

所以(4一四)=(4-q)+2d.

解得d=-4.

所以。“=2"也=2"-4〃+7,〃eN*.

(H)由(I)知,2=2"-4〃+7.

因此數列｛4｝的前〃項和為7；=(2+2?+…+2")-4(1+2+…+〃)+7”,

所以,數列也J的前〃項和為*=2田一2/+5〃-2,〃eN*.

【點睛】本題主要考查了基本量求解數列的方法，同時也考查了等比等差數列求和的公式等.屬于中檔題.

3

18.【答案】(I)4；(II)

【解析】

【詳解】試題分析：(D由4民。成等差數列求得5的值，再由余弦定理求得。的值；(II)因為

A+C=—,利用兩角和差的正弦公式化簡函數t的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，求得t的

3

最大值.

試題解析：(I)因為角/，2，C成等差數列，所以28=/+C,

71

因為4+8+。=笈，所以8=—..................2分

3

因為6=,。=3，b2=a2+c2-2accosB，

所以。2-3C-4=0,

所以c=4或c=-l(舍去).

27r

(II)因為力+C=—,

3

所以，=sin4sin——cos4+—sin/

22

cos24

._.、,八.2萬――..7C77T

因為0<4<—,所以---<24---<—

考點：三角函數的基本性質.

19.【答案】(1)見解析；

(2)見解析；(3)見解析.

【解析】

【分析】(1)求出函數的導數，討論其符號后可得函數的單調性；

(2)利用判別式可判斷導數的符號，從而可證函數在(0,+力)上是增函數；

(3)結合(1)的討論可求函數的最小值，從而可證不等式成立.

【小問1詳解】

/，()+(w-2)x-2w(x+w)(x-2)

XX

當m=-l時，=,

當0<x<l或x>2時，/'(x)>0；當1<X<2時，/'(x)<o,

故/(x)的增區間為(0」),(2,+e)，減區間為(1,2).

【小問2詳解】

、幾/\\,/、x2+(m-2]x-2mx2-2x-2m

設g(x)=/(x)-wx,則g，(x)=---------2----------m=-----------------

XX

當加〈一1時:A=4+8〃?W0,故》2—2》—2〃?20恒成立且不恒為零，

2

故g'(x)20在(0,+0上恒成立且不恒為零，故g(x)在(0,+力)上為增函數.

【小問3詳解】

、(x+加)(工一2)

,(力=^——弋~~

當x>2時，/'(x)>0：當l<x<2時，/，(x)<0,

故/(x)在(1,2)上為減函數，在(2,+8)上為增函數，

故在[L+OO)上，=/(2)=2+2(/M-2)-2mIn2=2w(l-In2)-2,

故〃x)N2冽(-ln2)—2成立.

20.【答案】(1)工+匕=1

43

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)求出a,b后可得橢圓的方程；

(2)設直線/的方程為y=Mx—1),用斜率左表示后可證前為定值.

【小問1詳解】

由題設可得4=2,

C1

設橢圓的半焦距為C,則一=一，故c=l,故力=道,

a2

22

故橢圓的方程為：—+^=1.

43

【小問2詳解】

當左=0時，l:y=0,此時|AB|=4,而。（0,0）,故|。尸|=1,故幽=4

當比H0時,直線/的方程為卜=%（》一1）,/（再，必）,8（孫必）,

由可得（3+4左2*一8爐x+4k2一12=0,

3x2+4y2=12'7

此