東南大學工程矩陣理論樣卷及答案_第1頁
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第頁工程矩陣理論試卷樣卷10c一,已知矩陣，的子集1,證明：V是的子空間；2,求V的一組基及V的維數；3,證明，并求A在上小題所提基下的坐標；4,試給出的兩個不同的子空間及，使得解：1,設，所以，V對加法和數乘封閉，故V是的子空間。2,設，所以V的基為，2維。3,，在下的坐標為。4,實際為核子空間，，令即可構成，則有EMBEDEquation.DSMT4的極大線性無關組。（此處概念有點不清晰，是否正確，請周老師指教！），的極大線性無關組為。二,假設3維線性空間V上的線性變換在V的基下的矩陣為。問：當滿意什么條件時，存在V的一組基，使得的矩陣是？解：EMBEDEquation.DSMT4,為同一線性變換下的矩陣，故∽，有相同的jordan

標準形，相同的特征值，相同的跡，相同的秩。依據,跡相同(即主對角元素的和相同)得：，，時，，求得時，EMBEDEquation.DSMT4，或，三,設矩陣，上的變換定義如下：1,證明：是線性變換；2,求在的基下的矩陣M；3,求的值域及核子空間的基及它們的維數；4,試求M的jordan標準形，并寫出的最小多項式；5,問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？解：1,證明：設故關于加法和數乘封閉，為線性變換。2,3,，的基，，2維。，的基，，2維。4,5,不能找到四,求下列矩陣的廣義逆矩陣：1,；解：2,，其中，。解：故對B進行滿秩分解，五,已知矩陣A的特征多項式及最小多項式相等，均為，給出可能的jordan標準形。解：依據矩陣A的特征多項式及最小多項式相等，均為，可得當,則：令，求出代入，求出：令，求出代入，求出六,矩陣函數：1,設，求矩陣函數，并給出的特征多項式。解：求：令，求的特征多項式：的特征值為，的特征值即為，故的特征值為，。2,設，試將表示成關于A的次數不超過2的多項式，并求。解：，當時，令求出代入，求出七,設的子空間，，求使得。該題及“工程矩陣理論試卷樣卷10a”第三題類似，為找正投影問題。八,證明題：1,證明：若酉矩陣A滿意，則。證明：令，EMBEDEquation.DSMT4為的化零多項式，EMBEDEquation.DSMT4的特征值肯定是的根，（重數未知），（重數未知），設（可能為0，也可能為1）為酉矩陣，肯定相像于，即∽，由此得的重數為0，，（只可能為0），得證。2,

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