山東省濟寧市2023年高考二模擬考試

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

i

z--------_

1.若復(fù)數(shù)1-2i,則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合A={2,5,m2-,B={2,m+3],若AB=B,則m=（）

A.-3B.-1C.2D.3

3."a=1■"是“直線x+2ay-l=0與直線（a-l）x-qy—1=0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.為了強化學(xué)校的體育教育教學(xué)工作，提高學(xué)生身體素質(zhì)，加強學(xué)生之間的溝通，凝聚班級集體的力量，

激發(fā)學(xué)生熱愛體育的熱情.某中學(xué)舉辦田徑運動會，某班從甲、乙等6名學(xué)生中選4名學(xué)生代表班級參加

學(xué)校4x100米接力賽，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都參加的不

同棒次安排方案總數(shù)為（）

A.48B.36C.24D.12

5.在平面直角坐標系中，過點2（3,0）作圓。：（%-1）2+（丁—20）2=4的兩條切線，切點分別為A3.則

直線A3的方程為（）

A.x—>/3_y+3—0B.x+-\/3y+3-0

C.y/3x—y+3=0D.y/3x+_y+3=0

6._ABC的內(nèi)角A5C的對邊分別為a,4c,若AB邊上的高為2c,A=二，貝|cosC=（）

3A/10D.6

105

jr

7./、/'為兩條直線，。,尸為兩個平面，滿足：/c/'=O,/與/的夾角為一,a///?,/，/。與月之間的

6

距離為2.以/為軸將/'旋轉(zhuǎn)一周，并用名。截取得到兩個同頂點。（點O在平面。與月之間）的圓錐.設(shè)

這兩個圓錐的體積分別為X、％,則匕+匕的最小值為（）

*兀2n

A.—B,注C.—D.

339~9~

、13TC.1-.、

8.設(shè)a——,/?=In—,c=—sin—,貝(J()

2222

A.b<a<cB.a<b<

C.c<b<aD.b<c<a

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下表是某校高三（1）班三名同學(xué)在高三學(xué)年度的六次數(shù)學(xué)測試中的分數(shù)及班級平均分表.下列敘述中正

確的是（）

測試序號

學(xué)生

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

甲同學(xué)138127131132128135

乙同學(xué)130116128115126120

丙同學(xué)108105113112115123

班級平均分128.2118.3125.41203115.7122.1

A.甲同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績始終高于班級平均水平

B.乙同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績不穩(wěn)定，總在班級平均水平上下波動

C.丙同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績始終低于班級平均水平

D.通過與班級平均分的對比，可發(fā)現(xiàn)丙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績在穩(wěn)步提高

10.已知機>0,〃>0,且機+〃=2/也1,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.mn>1B.m+n<42C.m2+H2>2D.2m+n>3+2A/2

11.若點e（cos&sina）,Q“（sin&cosQ）（O為坐標原點，^eR,HeN*）,則下列結(jié)論中正確的是

()

A.|心2|的最大值為2

B.△。匕?！懊娣e的最大值為g

C.OR-O&G(-1,1)

2023

D.若數(shù)列濕｝是以了為首項，工為公差的等差數(shù)列，則￡由2|=674百

43j=i

12.已知正方體ABC。-A4GR的棱長為2,M為空間中任一點，則下列結(jié)論中正確的是()

兀兀

A.若M為線段AC上任一點，則?！芭c用q所成角的范圍為

B.若M為正方形AD24的中心，則三棱雉Af—A3D外接球的體積為8兀

C.若M在正方形。CC12內(nèi)部，且|班|=#，則點M軌跡長度為立兀

2

471

D.若三棱雉的體積為一,NM￡>C=—恒成立，點M軌跡的為橢圓的一部分

36

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知拋物線。：儼=6%的焦點為尸，點M(x,y)(y>0)為曲線C上一點，若|MF|=g,則點M的

坐標為.

14.已知aeR,函數(shù)=貝ija=.

15.在排球比賽的小組循環(huán)賽中，每場比賽采用五局三勝制.甲、乙兩隊小組賽中相見，積分規(guī)則如下：

以3:0或3:1獲勝的球隊積3分，落敗的球隊積0分；以3:2獲勝的球隊積2分，落敗的球隊積1分.若

甲隊每局比賽獲勝的概率為0.6,則在甲隊本場比賽所得積分為3分的條件下，甲隊前2局比賽都獲勝的概

率是.(用分數(shù)表示)

16.已知向量4、/?不共線，夾角為6，且卜卜2,忖=1,卜+20+,一40=4收，若

遞<2<2應(yīng)，則Icos。|的最小值為.

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知函數(shù)/(x)=cos4x-sin4x+sin[2x-巳].

IT

(1)求函數(shù)/(x)在0,-上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向左平移。。J個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)

于點成中心對稱，在-：,口上的值域為-g,l,求夕的取值范圍.

18.己知數(shù)列｛a.｝的前幾項和為+a“+i=2an(H>2,neN*),且％=1,65=15.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

[a,〃為奇數(shù)()

⑵若勿=；,求數(shù)列出｝的前2〃項和心.

〃為偶數(shù)

19.某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進行針對性檢測

(檢測分為初試和復(fù)試)，并隨機抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

1頻率

\組距

0.030.............1-?

0.004[--------1…+……~~?_

?！?5右5565758595初殺成績

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值；

(2)若所有學(xué)生初試成績X近似服從正態(tài)分布N(〃,b2),其中〃為樣本平均數(shù)的估計值，

a-14.初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù)；

(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎;答對兩道題獲得二等獎;答對一道題獲得三等獎;全部答錯

不獲獎.已知某學(xué)生進人了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對的概率均為第三道題答對的概率為b.若

他獲得一等獎的概率為！，設(shè)他獲得二等獎的概率為尸，求尸的最小值.

8

附：若隨機變是X服從正態(tài)分布N(〃,cr2),則P(A—(r<X<〃+b)a0.6827,

尸(A-2cr<X<〃+2cr)b0.9545,P(〃—3cr<X<〃+3cr)a0.9973.

20.如圖，圓柱的軸截面A3CD是邊長為6的正方形，下底面圓的一條弦E尸交CD于點G,其中

DG=2,DE=DF.

(1)證明：平面AEF_L平面ABCD;

4

(2)判斷上底面圓周上是否存在點尸，使得二面角P-跖-A的余弦值為二.若存在，求”的長;若不

存在，請說明理由.

22

21.已知雙曲線C:二-斗=1(4>0,6>0)的離心率為g",c的右焦點口到其漸近線的距離為卡.

ab

(1)求該雙曲線。的方程；

(2)若直線/與雙曲線C第一象限交于A3兩點，直線x=3交線段A3于點Q,且

SFAO：SFBO=|1%|：|￡四，證明：直線/過定點.

22.已知函數(shù)/'(X)="ltlnx,85)=3e』+1,a為實數(shù).

x

(1)若/(x)<e恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若方程/(x)=g(x)恰有3個不同實數(shù)根，求實數(shù)。的值

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1

Z——

1.若復(fù)數(shù)l—2i,貝i]z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】對復(fù)數(shù)z進行化簡，再求出I從而求出其所在的象限即可.

ii(l+2i)-2+i--2i

【詳解】z=z=---------

l-2i(l-2i)(l+2i)555

_(21

故z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點I-j,--

則三在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第三象限.

故選:C.

2.已知集合A={2,5,n?—加},B={2,m+3},若AB=B,則機=()

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)A3=5得出m+3=5或加+3=H?一加，分別求出加的值，并檢驗是否滿足集合中元素

的互異性，即可得出，”的值.

【詳解】因為AB=B,

所以〃z+3=5或m+3=根？—根,

當加+3=5時，即加=2,

則4={2,5,2},不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當W2+3=一加時，“2=3或機=-1,

當機=T時，A={2,5,2},不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當機=3時，A={2,5,6},§={2,6}滿足題意，

所以7篦=3,

故選：D.

3.!■"是"直線》+2紗-1=0與直線(a-l)x-金一1=0平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】由兩直線平行得出。的值，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.

/、1x(―。)=2a?(a—1),

【詳解】若直線x+2ay—1=0與直線(a—l)x—歿—1=0平行，則有〈〉/(；：解得

。=0或。=；,所以當時，直線x+2ay—1=0與直線(a—l)x—ay—1=0平行，當直線

x+lay—1=0與直線(a—l)x—歿一1=0平行時，a=0或a=,.

故選：A

4.為了強化學(xué)校的體育教育教學(xué)工作，提高學(xué)生身體素質(zhì)，加強學(xué)生之間的溝通，凝聚班級集體的力量，

激發(fā)學(xué)生熱愛體育的熱情.某中學(xué)舉辦田徑運動會，某班從甲、乙等6名學(xué)生中選4名學(xué)生代表班級參加

學(xué)校4x100米接力賽，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都參加的不

同棒次安排方案總數(shù)為()

A.48B.36C.24D.12

【答案】B

【解析】

【分析】特殊位置優(yōu)先排，分類求解可得.

【詳解】當甲排第1棒時，乙可排第2棒或第4棒，共有A；A：=24種；

當甲排第2棒時，乙只能排第4棒，共有A；=12.

故甲、乙都參加的不同棒次安排方案總數(shù)為24+12=36種.

故選：B

5.在平面直角坐標系中，過點P(3,0)作圓O：(x-If+U—2百)2=4的兩條切線，切點分別為A3.則

直線A3的方程為()

A.x-回+3=0B.x+y/3y+3=0

C.y/3x—y+3=0D.+y+3=0

【答案】A

【解析】

【分析】求出以P(3,0)、。(1,2g)為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦A3所在直線的

方程.

【詳解】圓O:(x—l)2+(y—26)2=4的圓心為。(1,2指)，半徑為2,

以尸(3,0)、。(1,2石)為直徑，則PO的中點坐標為N(2,/),|PO\=^(3-1)2+(2A/3-0)2=4.

...以N為圓心，PO為直徑的圓的方程為(1—2)2+(y—=4,

因為過點尸(3,0)圓O:(x—+(y—2百)2=4的兩條切線切點分別為A,B,

所以A3是兩圓的公共弦，

將兩圓方程相減可得公共弦A3所在直線的方程為：x-3y+3=0.

故選：A.

7T

6.ABC的內(nèi)角A,民C的對邊分別為a,4c,若A3邊上的高為2c,A=—,貝|cosC=()

4

AVwR3M「3石nV5

A.----D.-----C.----D.

1010105

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知，用c表示出。、b,然后由余弦定理可得.

【詳解】如圖，A5邊上的高為C2

JTTT

因為A=—，所以AD=2c,2c=bsin—

44

所以BD=c,b=2Oc,

由勾股定理可得5C=而+4c2=超，

5c2+8。2-c23A/10

由余弦定理可得cosZACB=

2XV5CX2A/2C10

jr

7./、，為兩條直線，戊,尸為兩個平面，滿足：/C/'=。/與/'的夾角為二,。//，,/，。,。與夕之間的

距離為2.以/為軸將，旋轉(zhuǎn)一周，并用名尸截取得到兩個同頂點。（點。在平面戊與夕之間）的圓錐.設(shè)

這兩個圓錐的體積分別為匕、%,則K+匕的最小值為（）

【答案】D

【解析】

【分析】兩個圓錐的軸截面如下圖所示，設(shè)=九OQ=2-力，由題意表示出

1I-n-

再由圓錐的體積公式求出K+%,令〃//）=—兀川+（2一域，0〈丸＜2,對/（與求導(dǎo)，即可求出了（S

9--

的最小值即K+匕的最小值.

【詳解】兩個圓錐的軸截面如下圖所示，01,Q分別為兩圓錐的底面圓的圓心，設(shè)半徑分別為名為，

0。2,DE,OR±BC,直線DE,BC分別為兩圓錐與a,尸的交線，

因為a與夕之間的距離為2,所以設(shè)OO]=/z,OQ=2—九，

TT7T

因為/與/'的夾角為乙，所以/DOE=g,由圓錐的性質(zhì)知，OB=OC,OD=OE,

63

所以_ODE,_O3C為等邊三角形，所以tan/O3C=襄=2二2=百，

BO2r2

所以弓=早=#（2—力），同理4=岑丸，

所以X+匕=!兀,2丸+g71G2(2_")=:兀力h+Ln%2一垃(2-A)

1r3一

=—7i川+(2—/z),0</z<2>

9——

1ro-

令§兀［"+(2—

/=B兀［3/i2_3(2_/z)〔=g兀(_4+4/i)=0,解得：h=l,

所以當/ze(O,l)時，(伍)<0,當/ie(l,+”)時，/'(//)>0,

所以/(/?)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增,

2

所以小L=/⑴=鏟?

所以v+匕的最小值為甘.

A.b<a<cB.a<b<c

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】構(gòu)造g(x)=xTTnM%>。)，對g(x)求導(dǎo)，可得g(x)單調(diào)性和最值，可知x—12Inx,得

7T

出。>〃，同理構(gòu)造/(x)=5sinx—x,可得c>。，即可得出答案.

1X—}

［詳解］4g(x)=x-l-lnx(x>0),g'(x)=l――==——,

JVJC

令g'(x)>0,解得：x>l；令g'(x)<0,解得：0<%<1；

所以g(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(D=°，所以X—l?lnX，

由x-lNlnx可知a>人

jrjr(7T|

設(shè)/(x)=—sinx-x,則—(%)=—cos%-1在區(qū)間0,—上是減函數(shù).

2216J

后-4

>0.

4-

所以函數(shù)"X）在區(qū)間0,個上是增函數(shù)?

所以/（：］〉/（0）=0，即巴sin^>J.即：C>a.

（2）222

故選：A.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下表是某校高三（1）班三名同學(xué)在高三學(xué)年度的六次數(shù)學(xué)測試中的分數(shù)及班級平均分表.下列敘述中正

確的是（）

測試序號

學(xué)生

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

甲同學(xué)138127131132128135

乙同學(xué)130116128115126120

丙同學(xué)108105113112115123

班級平均分128.2118.3125.4120.3115.7122.1

A.甲同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績始終高于班級平均水平

B.乙同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績不穩(wěn)定，總在班級平均水平上下波動

C.丙同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績始終低于班級平均水平

D.通過與班級平均分的對比，可發(fā)現(xiàn)丙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績在穩(wěn)步提高

【答案】ABD

【解析】

【分析】將每位同學(xué)的成績與班級平均分比較，判斷正誤.

【詳解】甲同學(xué)每次成績都高于平均分，故A正確；

乙同學(xué)3次成績高于平均分，3次成績低于平均分，故B正確；

丙同學(xué)第6次成績高于平均分，故C正確；

丙同學(xué)成績逐漸提升，且第6次成績高于平均分，故D正確.

故選：ABD.

10.已知m>0,〃>0,且帆+〃=2/m1,則下列結(jié)論中正確的是()

A.mn>1B.m+n<\[2C.m2+n2>2D.2m+n>3+2A/2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用基本不等式可得7加21，可判斷A,C選項,特殊值法判斷B,D選項錯誤.

【詳解】因m>0,n>0,m+n=2mn>

2mn—m+n>2yjmn>所以〃當且僅當根=〃=1等號成立，故A正確，

當m="=1,m+"=27”〃，則相+九=1+1>0,故8錯誤；

因為7加121,所以加2+"222”加22，故c正確；

當加=〃=1時，則2帆+〃=3<3+2虛，故D錯誤；

故選：AC.

11.若點匕(cosQ,sinq),0(sinQ,cosQ)(O為坐標原點，QeR,“eN*),則下列結(jié)論中正確的是

()

A.的最大值為2

B.△。巴2面積的最大值為T

C.O￡JOQH(-1,1)

2023

D.若數(shù)列也,｝是以巴為首項，g為公差的等差數(shù)列，則X由21=674,

43i=i

【答案】AB

【解析】

【分析】匕,。“關(guān)于直線y=x對稱，且都在圓爐+產(chǎn)=1上，根據(jù)圖象結(jié)合數(shù)量積運算判斷AC；當點匕

在了軸正半軸上時，OPnLOQn,此時△。匕Q的面積取最大值，從而判斷B；由三角恒等變換得出

|^e?|=2sin(|H-1),結(jié)合周期性判斷D.

【詳解】易知片,。“關(guān)于直線丁=%對稱，且都在圓x2+/=i上，

對于AC：由圖可知，當直線C2,過原點，且垂直于直線y=x時，I月2/取最大值，

此時山,2,1=2,0Pn0Qn=-\0Pn[\0Qn\=-l,故A正確，C錯誤;

對于B：由于匕xO2,sinNQ,0匕，

所以當sinNQ〃Cq=l時，此時當點匕在y軸正半軸上時，OPnLOQn,△。5Q的面積取最大值,

此時△。匕?！钡拿娣e為gxlxl=g,故B正確；

JT7T

對于D：由題意e=—?—(〃—1),

"43

\P?Q?\=J(cos%_sinq)2+(sin%—cos%_sin26?“，

2

sin23n=sin[W+g(“-1)]=cos^-^-(H-1)^=l-2sin]?(〃一1)],

則因Q|=2sind"?),因為函數(shù),=sin(殳〃-工)的周期為2兀X9=6,

3333兀

所以函數(shù)y=2sin(：〃—號的周期為3,因為出。1|=0,|鳥。2|=6,區(qū)。3|=百，

2023

所以Z由q=674（由0+IRQ|+區(qū)QI）+674X2近+0=13486，

Z=1

故D錯誤；

故選：AB

12.已知正方體ABC?！狝4G2的棱長為2,M為空間中任一點，則下列結(jié)論中正確的是（）

7171

A.若M為線段AC上任一點，則。/與瓦G所成角的范圍為

B.若M為正方形AD24的中心，則三棱雉Af—A3。外接球的體積為8兀

C.若加在正方形。CC1A內(nèi)部，且|MB|=痛，則點M軌跡的長度為交兀

2

471

D.若三棱雉"-3DG的體積為一，/〃℃=—恒成立，點用軌跡的為橢圓的一部分

36

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A：根據(jù)異面直線夾角分析判斷；對于B：根據(jù)題意分析可得AC與的交點。即為三棱錐

4-A3D的外接球的球心，結(jié)合錐體的體積公式分析運算；對于C：分析可得“。=虛，結(jié)合圓的周長

分析運算；對于D：根據(jù)題意結(jié)合圓錐的截面分析判斷.

【詳解】對于A：過點、M作MNHBC交DC于點、N,連接

則ND[MN即為DXM與所成角的平面角，且MN"N.

當點M由點A向點C移動的過程中，點N由點D向點C移動,

線段2N逐漸變長，逐漸變短，

DN

所以tan4D[MN=逐漸變大.

MN

ITTT

又當點M在點A處時，加押=工；當點加在點。處時，ADXMN=~.故A正確.

對于B：由題意可知：A3/平面AD2A，。同,聞0<=平面4。24,

則AB_LDW,AB，AM,

又因為AMLDW,ABAM=A,4民聞0<=平面48",

所以DM1平面ABM,

BMu平面MM,則。

故AMAD和△A3。均為直角三角形.

所以AC與6D的交點。即為三棱錐M-ABD的外接球的球心，半徑R=-BD=41,

2

此外接球的體積丫=3兀?（亞了=手7r.故B不正確.

對于C：由題意可知：CMu平面。CG2，

則

點M在側(cè)面DCG2內(nèi)，滿足MC=1MB2—BC?=拒，

故點M的軌跡是以點C為圓心，半徑為夜的四分之一圓弧，

所以點知的軌跡的長度為;?2兀?（魚）=#兀，c正確.

對于D：設(shè)三棱錐”―5DC的高為〃，

由三棱錐”―的體積為工丸x^x2jlx2拒x走=±，解得/7=m,

32233

即點M到平面BDC1的距離為28.

3

對于三棱錐C-3DC1，設(shè)高為4,

由體積可得g4xx2A/2x2A/2x=^-x2x-^-x2x2,解得九=~^~

即點C到平面BDC］的距離為正,

3

可得：點4到平面MRC的距離為2叵，平面與與平面5。。］的距離為2回,

33

故點M在平面BRC或為點C,

TT

若NMD1C=7,空間點M的軌跡為以為軸的圓錐表側(cè)面，

顯然點C不滿足題意，

4百_

設(shè)2c與平面耳2c所成的角為。，則.A3瓜1，

sin8==——>—

2V232

故平面用2c與圓錐側(cè)面相交，且平面與2。與不垂直，故平面與圓錐的截面為橢圓,

顯然點2不合題意，所以點M的軌跡為橢圓的一部分，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】方法定睛：在立體幾何中，某些點、線、面按照一定的規(guī)則運動，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間

軌跡與探求平面軌跡類似，應(yīng)注意幾何條件，善于基本軌跡轉(zhuǎn)化.對于較為復(fù)雜的軌跡，常常要分段考慮，

注意特定情況下的動點的位置，然后對任意情形加以分析判定，也可轉(zhuǎn)化為平面問題.對每一道軌跡命題必

須特別注意軌跡的純粹性與完備性.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知拋物線C:/=6x的焦點為b，點M（羽y）（y>0）為曲線C上一點，若|MF|=g,則點M的

坐標為.

【答案】（1，遙）

【解析】

【分析】利用條件和拋物線的定義即可得到結(jié)果.

【詳解】因為拋物線C:/=6x,所以2=3,又

所以由拋物線定義知|MP|=X+K=%+—=—,得到x=l,

11222

又由_/=6,y〉0,得到y(tǒng)=#,

所以點M的坐標為（1,C），

故答案為：（1,76）.

14.已知aeR,函數(shù)/（x）=3）,X〉2,3）=2,貝ija=______.

V+a,x<2'\"

【答案】-1

【解析】

【分析】根據(jù)自變量的大小帶入相應(yīng)解析式列方程可解.

【詳解】因為逐〉2,所以/（百）=log2（5—3）=1W2,

所以/（/（逐））=AD=3+a=2,解得。=一1.

故答案為：-1

15.在排球比賽的小組循環(huán)賽中，每場比賽采用五局三勝制.甲、乙兩隊小組賽中相見，積分規(guī)則如下：

以3:0或3:1獲勝的球隊積3分，落敗的球隊積。分；以3:2獲勝的球隊積2分，落敗的球隊積1分.若

甲隊每局比賽獲勝的概率為0.6,則在甲隊本場比賽所得積分為3分的條件下，甲隊前2局比賽都獲勝的概

率是.（用分數(shù)表示）

7

【答案】—

11

【解析】

【分析】設(shè)“甲隊本場比賽所得積分為3分”為事件A,“甲隊前2局比賽都獲勝”為事件5,分甲隊以

3:0或3:1獲勝，求得尸（A）,P（AB）,再由條件概率公式求解即可.

【詳解】甲隊以3:0獲勝，即三局都是甲勝，概率是[9]=—,

甲隊以3:1獲勝，即前三局有兩局甲勝，第四局甲勝，概率是=這，

設(shè)“甲隊本場比賽所得積分為3分”為事件A,“甲隊前2局比賽都獲勝”為事件8,

甲隊以3:1獲勝，即前2局都是甲勝，第4局甲勝，概率是

55625

271622754189

則P(A)=---1-------1----

125625HI，0（期二125625625

則在甲隊本場比賽所得積分為3分的條件下,

189

甲隊前2局比賽都獲勝的概率P（B|A）=,北=297=^7=H,

625

7

故答案為：—.

16.已知向量6不共線，夾角為8,且「|=2,忖=1,卜+2囚+卜—九0=4近，若

延<幾<2亞，則Icos81的最小值為.

3

【答案】顯

2

【解析】

【分析】依題意作出如下圖形，令FQ=a,月4=無?，根據(jù)平面向量線性運算法則及橢圓的定義得到點

P的軌跡，求出其軌跡方程，由彳的取值范圍，得到|OP|=羊時，|cosq的值最小，此時點尸的坐標為

,再代入橢圓方程計算可得.

【詳解】如圖耳。24及。8PA為平行四邊形，耳（一2,0）,7^（2,0）,

令Fq=a,F^Ab,則耳P=a+4b,F2P=OA=-^a-Ab）,

因為卜+叫+卜_叫=40,即歸耳|+|P閭=40,

由橢圓的定義可知點尸的軌跡是以耳（一2,0）,耳（2,0）為焦點的橢圓其中口=20、c=2,

22

所以其軌跡方程為三+—=1,

84

因為容A<242,所以當4A/3,即|。耳=乎時，|cos6|的值最小,

3

此時點尸的坐標為cos0,—sin

3

7

才22

將點。的坐標代人橢圓L+y1得

8Tb__Lb__Ll

84

6

解得|cose|=.

故答案為：叵

2

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解答的關(guān)鍵是結(jié)合平面向量線性運算法則及橢圓的定義將問題轉(zhuǎn)化，再結(jié)合同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系計算..

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

4?4?|r\兀

17.己知函數(shù)/(x)=cosx-sinx+sin2x——

I6

,JT

(1)求函數(shù)/(x)在0,-上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)/*)的圖象向左平移。個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)

于點成中心對稱，在-：,夕上的值域為-g,l,求々的取值范圍.

71

【答案】(1)0,-

o

715兀

(2)—,—

\_1212]

【解析】

【分析】(1)先化簡〃幻，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可得出答案；

(2)根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換和對稱性求出9、g(x),再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

f(%)=cosx—sinx+sin|2x~j=―cos2xH-----sin2%—sin\2xH—

I6；22I6

因為xe0,g,所以2x+/e

_2」666

TT

所以當2x+?e,即:xe0,-時，函數(shù)/(九)單調(diào)遞增.

oo26

71

所以函數(shù)八幻的單調(diào)遞增區(qū)間為0,-

o

【小問2詳解】

由題意可知：g(x)=sin[^2x+2^+^

因為函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點,o]成中心對稱.

JTJTSJTk

所以2X—+2°+—=E,Z：￡Z.解得：(p=----\--Ti.keZ.

36122

jrjr

因為O<0<一,所以左=1,夕=—.所以g(x)=sin

412

兀71717tIT]

當工￡一~1a時，2x+—e——.'la+—.因為gCr)在7,a上的值域為一大」

436342

jrjr7冗jrSjrjr5兀

所以彳＜2。+彳＜^.解得：?所以夕的取值范圍為—.

2361212L1212J

18.已知數(shù)列｛。,｝的前〃項和為S",a“_]+a“+i=2%("22,〃eN*),且q=1,S5=15.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

7〃為奇數(shù)()

⑵若a=為俾將，求數(shù)列也｝的前2〃項和

2%,〃為偶數(shù)

【答案】(1)an=n

r\2n+\?

2

⑵T2n=n+-——

-3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的基本量計算即可求解，

(2)由分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【小問1詳解】

由4-1+a“+i=2a”(n＞2),得an+l-an=an-a,T(n,2)

所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列.所以S5=5X%^=5%=15,得％=3.

所以公差〃=發(fā)二幺=1.所以?！?”.

3-1

【小問2詳解】

當〃為奇數(shù)時，b“=a“=n.當”為偶數(shù)時用=2如=2力.

所以心"=(4+2++^2?-1)+(^2+^4++處)=(1+3++2〃-1)+(2+23+.+22"T)

3

19.某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進行針對性檢測

(檢測分為初試和復(fù)試)，并隨機抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

頻率

0.030

0.024

0.020

0.012

0.010

0.004

O-35455565758595

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值；

(2)若所有學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(〃,b2),其中〃為樣本平均數(shù)的估計值，

a-14.初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù)；

(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎;答對兩道題獲得二等獎;答對一道題獲得三等獎;全部答錯

不獲獎.已知某學(xué)生進人了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對的概率均為第三道題答對的概率為6.若

他獲得一等獎的概率為:，設(shè)他獲得二等獎的概率為尸，求尸的最小值.

附：若隨機變是X服從正態(tài)分布N(〃,b2),則P(A—(r<X<〃+b)a0.6827,

「(A-2cr<X<〃+2cr)a0.9545,P(〃—3cr<X<〃+3cr)a0.9973.

【答案】(1)62(2)182

【解析】

【分析】(1)由頻率直方圖平均數(shù)的計算公式求解即可；

(2)由分析知〃=62,(7土14,則〃+2(729。，由3o■原則求解即可；

13

(3)由題意可得出P=/+--------,對求導(dǎo)P,得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求出答案.

4a8

【小問1詳解】

設(shè)樣本平均數(shù)的估計值為了

貝ij元=10(40x0.01+50x0.02+60x0.03+70x0.024+80x0.012+90x0.004).

解得:元=62.所以樣本平均數(shù)的估計值為62.

【小問2詳解】

因為學(xué)生的初試成績X近似