專題44特殊的四邊形一、三角形的中位線【典例】如圖在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點，且BD=CE,M、N分別是BE、CD的中點.過MN的直線交AB于P,交AC于Q,線段AP、AQ相等嗎?為什么?如圖，取BC的中點H,連接MH,NH.∵M,H為BE,BC的中點，∴M∵N,H為CD,BC的中點，∴NH//BD,」同理∠HNM=∠QPA.【鞏固】如圖，在ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,AB=OB,點E,F分別是OA,OD求線段BC的長.二、矩形中的折疊【典例】如圖，折疊矩形紙片ABCD,使點B的對應點E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB=6,BC=10.當折痕GH最長時，線段BH的長為【解答】解：由題知，當E點與D點重合時GH最長，設BH=x,則CH=10-x,HE=BH=x,解得x=6.8,故答案為：6.8.【鞏固】如圖，點E是矩形ABCD的邊CD上一點，(1)如圖1,將△ADE沿AE翻折，使點D的對應點M恰好在BC邊的中點，習的值；圖2三、直角三角形斜邊上的中線M為EF中點，則AM的最小值為()A.1B.1.3C.1.2【解答】解：∵AB=3,AC=4,BC=5,∴EF,AP互相平分.且EF=AP,∴當AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小.【鞏固】四邊形ABDE為平行四邊形，若AD=6,BC=8,則CE的長為【典例】如圖，邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC=30°,P為【解答】解：過A作AE⊥BC于E,設點P到BC的距離為h,即點P在平行于BC且到BC的距離為1的直線上，作點B關于直線1的對稱點G,連接CG交直線1于點P,【鞏固】線段PD長是點P是直線BD上一動點，連接PC,當的值最小時，鞏固練習1.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,點E,F分別是邊AB,BC上的動點，點E不與A,B重合，且EF=AB,G是五邊形AEFCD內滿足GE=GF且∠EGF=90°的點.現給出以下結論.其中錯誤的是()A.∠GEB與∠GFB一定互補B.點G到邊AB,BC的距離一定相等C.點G到邊AD,DC的距離可能相等D.點G到邊AB的距離的最大值為2V22.如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB為邊向外作等邊△ACD、等邊△ABE,EF⊥AB,垂足為F,連接DF,時，四邊形ADFE是平行四邊形.3.如圖，矩形ABCD,AB=1,BC=2,點A在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上.當點A在x軸上運動時，點D也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點O的最大距離為4.如圖，菱形ABCD的邊長為4,∠BAD=120°,點E是AB的中點，點F是AC上的一動點，則EF+BF的最小值是5.如圖，在矩形ABCD中，AD=V3AB,對角線相交于點O,動點M從點B向點A運動(到點A即停止),點N是AD上一動點，且滿足∠MON=90°,是.(寫出所有正確結論的序號)6.如圖，菱形ABCD,AB=5,E在BC上，BE=4,過點E作EG⊥AD于G,交BD于F,連接DE,若7.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E為AD的中點，F為線段EC上一動點，P為BF中點，連接PD,則線段PD長的取值范圍是8.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,BD為△ABC的中線，過點C作CE⊥BD于點E,過點A作BD(1)求證：四邊形BDFG是菱形：(2)若∠BAC=30°,BC=2,求四邊形BDFG的面積.(1)如圖1,E、F分別是AB、AD上的點，CE垂直平分BF,垂足為G,連接DG.點，連接MP,PQ,若PQ⊥MP,直接寫出CN的長.連接AC,將△ABC沿AC翻折，點B落在該坐標平面內，設這個落點為D,CD交x軸于點E.如果CE=5,OC、OE的長是關于x的方程x2+(m-1)x+12=0的兩個根，并且OC>OE.(1)求點D的坐標；(2)如果點F是AC的中點，判斷點(8,-20)是否在過D、F兩點的直線上，并說明現由.11.如圖1,在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以等邊三角形ABE.點F是對角線BD上一動點(點F不與點B重合),將線段AF繞點A順時針方向旋轉線段AM,連接FM.(1)線段AO的長為(2)如圖2,當點F在線段BO上，且點M,F,C三點在同一條直線上時，求證：(3)連接EM.若△AFM的周長為3V29,請直接寫出△AEM的面積.12.在菱形ABCD中，∠BAD=60°,(1)如圖1,點E為線段AB的中點，連接DE、CE、若AB=4,求線段EC的長；(2)如圖2,M為線段AC上一點(不與A、C重合),以AM為邊向上構造等邊三角形AMN,線段MN與AD交于點G,連接NC、DM,Q為線段NC的中點，連接DQ、MQ,判斷DM與DQ的數量關系，并(3)在(2)的條件下，若AC=√3,請你直接寫出DM+CN的最小值.專題44特殊的四邊形【典例】如圖在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點，且BD=CE,M、N分別是BE、CD的中點.過MN的直線交AB于P,交AC于Q,線段AP、AQ相等嗎?為什么?如圖，取BC的中點H,連接MH,NH.【鞏固】如圖，在ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,AB=OB,連接EF,EM⊥BC于點M,EM交BD于點N,若∠CEF=45°,F【解答】解：設EF=x,點E,F分別是OA,OD求線段BC的長.連接BE答：線段BC的長為4V5.二、矩形中的折疊【典例】如圖，折疊矩形紙片ABCD,使點B的對應點E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB=6,BC=10.當折痕GH最長時，線段BH的長為【解答】解：由題知，當E點與D點重合時GH最長，故答案為：6.8.【鞏固】如圖，點E是矩形ABCD的邊CD上一點，(1)如圖1,將△ADE沿AE翻折，使點D的對應點M恰好在BC邊的中點，的值；(2)如圖2,若點E為CD的中點，過點A作AF⊥BE于F,連接DF,求證DF=BC.【解答】(1)解：如圖1,∵四邊形ABCD是矩形，由折疊可得AD=AM,(2)證明：如圖2所示，延長BE,AD,交于點G,則∠BEC=∠GED,圖2三、直角三角形斜邊上的中線M為EF中點，則AM的最小值為()A.1B.1.3C.1.2【解答】解：∵AB=3,AC=4,BC=5,∴EF,AP互相平分.且EF=AP,∴EF,AP的交點就是M點.∴當AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小.【鞏固】四邊形ABDE為平行四邊形，若AD=6,BC=8,則CE的長為【解答】解：如圖，過點B作BF//CD,且BF=CD,連接DF,CF,AF,∴四邊形BDCF是平行四邊形，且∠BDC=90°,【典例】如圖，邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC=30°,P為PB+PC的最小值為【解答】解：過A作AE⊥BC于E,設點P到BC的距離為h,即點P在平行于BC且到BC的距離為1的直線上，作點B關于直線I的對稱點G,連接CG交直線1于點P,【鞏固】如圖，菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°,點P是直線【解答】解：如圖，過P作PE⊥BC于E,連接AP,由菱形ABCD,可得AB=CB,∠ABP=∠CBP=∠ADP=30°,∵當點A,P,E在同一直線上時，AP+PE最短，故答案為：鞏固練習1.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,點E,F分別是邊AB,BC上的動點，點E不與A,B重合，且EF=AB,G是五邊形AEFCD內滿足GE=GF且∠EGF=90°的點.現給出以下結論.其中錯誤的是()A.∠GEB與∠GFB一定互補B.點G到邊AB,BC的距離一定相等C.點G到邊AD,DC的距離可能相等D.點G到邊AB的距離的最大值為2√2又∵∠EGF=90°,四邊形內角和是360°,B、過G作GM⊥AB,GN⊥BC,分別交AB于M,交BC于N,點G到邊AD,DC的距離不相等，故D正確.2.如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB為邊向外作等邊△ACD、等邊△ABE,EF⊥AB,垂足3.如圖，矩形ABCD,AB=1,BC=2,點A在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上.當點A在x軸上運動時，點D也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點O的最大距離為【解答】解：如圖，取AD的中點H,連接CH,OH,4.如圖，菱形ABCD的邊長為4,∠BAD=120°,點E是AB的中點，點F是AC上的一動點，則EF+BF設DE交AC于M,連接MB,DF,延長BA,DH⊥BA于H,∴點B關于AC的對稱點為D,只有當點F運動到點M時，取等號(兩點之間線段最短),∵菱形ABCD的邊長為4,E為AB的中點，∴M點運動的距離是5.如圖，在矩形ABCD中，AD=√3AB,對角線相交于點O,動點M從點B向點A運動(到點∴M點運動的距離是點N是AD上一動點，且滿足∠MON=90°,連結MN.在點M、N運動過程中，則以下結論正確的是.(寫出所有正確結論的序號)①點M、N的運動速度不相等；【解答】解：如圖，當M與B點重合時，此時NO⊥BD,當M點運動到M'位置時，此時OM'⊥AB,N點運動到了N',,,∵O≤x≤1,在x的取值范圍內函的圖象隨x增加而減小，∵MN2=(AB-BM)2+(AD-DN)2=AB2-2V3AB·DN)+BM2+DN2=(4AB2-2AB·BM-2V3A方法二判定④:如圖2,延長MO交CD于M',則MN=NM',故答案為：①②③④.6.如圖，菱形ABCD,AB=5,E在BC上，BE=4,過【解答】解：如圖，過點D作DM⊥BD,交BC的延長線于點M,設∠DEG=a,則∠A=4a,故答案為：3.接PD,則線段PD長的取值范圍是【解答】解：如圖：當點F與點C重合時，點P在點P?處，CP?=BPi,當點F與點E重合時，點P在點P?處，EP2=BP2,當點F在EC上除點C、E的位置處時，有BP=FP,∴點P的運動軌跡是線段P?P2,∴△ABE,△BEC、△DCP?為等腰直角三角形，8.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,BD為△ABC的中線，過點C作CE⊥BD于點E,過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG=BD,連接BG、DF.(1)求證：四邊形BDFG是菱形：(2)若∠BAC=30°,BC=2,求四邊形BDFG的面積.【解答】(1)證明：∵∠ABC=90°,BD∴四邊形BDFG是平行四邊形，∴平行四邊形BDFG是菱形；(2)解：作DH⊥AG于H,如圖所示：EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(·),:)(1)如圖1,E、F分別是AB、AD上的點，CE垂直平分BF,垂足為G,連接DG.點，連接MP,PQ,若PQ⊥MP,直接寫出CN的長.【解答】解：(1)①如圖1,過G作MN⊥CD于N,與AB交于點M,則MN//AD,∵MN垂直平分CD,②連接CF,如圖1,∵CE垂直平分BF,延長CD至H,使得DH=CD,連接FH,則CF=CH,∴AD垂直平分CH,(3)∵MN垂直平分BP,設AP=x,PD=6-x,PQ=3+x,,(1)求點D的坐標；(2)如果點F是AC的中點，判斷點(8,-20)是否在過D、F兩點的直線上，并說明現由.設OC=x?,OE=x2,x?>x2.在Rt△COE中，解這個方程，得m=-6,m=8.∴m=8不符合題意，舍去.x1=4,x2=3.△ABC沿AC翻折后，點B的落點為點D.過D點作DG⊥x軸于G.DH⊥y軸于H.由已知條件可知D是第四象限的點，∴點D的坐標是∴點F的坐標是(4,2),設過D、F兩點的直線的解析式為y=kx+b.∴點(8,-20)在過D、F兩點的直線上.11.如圖1,在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,AB=13,BD=24,