試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題19空間立體幾何（向量證明）——天津市2023年高三各區數學模擬考試題型分類匯編1．（2023·天津和平·耀華中學校考一模）如圖，三棱柱中，，，.(1)證明；(2)若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.2．（2023·天津河西·統考一模）已知四棱錐中，平面，，，，線段的中點．(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．3．（2023·天津·校聯考一模）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，，，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)線段上是否存在點G，使得平面？請說明理由．4．（2023·天津·校聯考一模）如圖，在菱形中，，平面，平面，，.(1)若，求證：直線平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.5．（2023·天津河北·統考一模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，，點在線段上，且.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.6．（2023·天津·校聯考一模）已知底面是正方形，平面，，，點、分別為線段、的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說明理由．7．（2023·天津南開·統考一模）如圖，四棱錐中，平面平面是中點，是上一點.(1)當時，（i）證明：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；(2)平面與平面夾角的余弦值為，求的值.8．（2023·天津·大港一中校聯考一模）如圖所示，在三棱錐中，平面，，，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求點到平面的距離.9．（2023·天津紅橋·統考一模）如圖，在長方體中，、F分別是棱,上的點，,（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）證明平面（3）求二面角的正弦值．10．（2023·天津河東·一模）在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長為2的正方形且平行于底面，，，的中點分別為，，，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)一束光從玻璃窗面上點射入恰經過點（假設此時光經過玻璃為直射），求這束光在玻璃窗上的入射角的正切值．11．（2023·天津·統考一模）如圖，在四棱錐中，是的中點，平面，且，.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的大小.12．（2023·天津和平·統考一模）在如圖所示的幾何體中，平面平面；是的中點.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.13．（2023·天津·統考一模）如圖，在多面體中，底面為菱形，平面，平面．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值：(3)求平面和平面的夾角的余弦值．14．（2023·天津和平·耀華中學校考二模）如圖，四棱錐中，側面PAD為等邊三角形，線段AD的中點為O且底面ABCD，，，E是PD的中點．(1)證明：平面PAB；(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為，求平面MAB與平面ABD夾角的余弦值；(3)在（2）的條件下，求點D到平面MAB的距離．15．（2023·天津河北·統考二模）如圖，在直三棱柱中，是以BC為斜邊的等腰直角三角形，，D，E分別為BC，上的點，且.(1)若，求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值；(3)若平面與平面ACD的夾角為，求實數t的值.16．（2023·天津南開·統考二模）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，，垂足為.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角.17．（2023·天津紅橋·統考二模）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，，是PD的中點.(1)求證：平面平面PAD；(2)求平面EAC與平面ACD夾角的余弦值；(3)求B點到平面EAC的距離.18．（2023·天津·二模）如圖甲所示的平面五邊形中，，，，，，現將圖甲所示中的沿邊折起，使平面平面得如圖乙所示的四棱錐．在如圖乙所示中，（1）求證：平面；（2）求二面角的大小；（3）在棱上是否存在點使得與平面所成的角的正弦值為？并說明理由．19．（2023·天津·統考二模）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面，，，.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在點，使得直線與所成角的余弦值為，若存在，求出點到平面的距離，若不存在，請說明理由.20．（2023·天津·校聯考二模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E為PD中點.(1)若.（i）求證：平面PCD；（ii）求直線BE與平面PCD所成角的正弦值；(2)若平面BCE與平面CED夾角的正弦值為，求PA.21．（2023·天津和平·統考二模）如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的余弦值；(3)求平面與平面的夾角的正弦值．22．（2023·天津河西·統考二模）如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點，，．(1)求證：平面AMC；(2)求異面直線AM與所成角的余弦值；(3)求平面AMC與平面的夾角的余弦值．23．（2023·天津河東·統考二模）如圖，且，，且，且．平面ABCD，．(1)若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：平面CDE；(2)求平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值；(3)若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為，求線段DP的長．24．（2023·天津濱海新·天津市濱海新區塘沽第一中學校考三模）如圖，AE⊥平面ABCD，，(1)求證：BF∥平面ADE；(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值：(3)求平面BDE與平面BDF夾角的余弦值.25．（2023·天津河西·統考三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分別為的中點，F為CD的中點.(1)求證：//平面ABC；(2)求平面CED與平面夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離．26．（2023·天津濱海新·統考三模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是等邊三角形，平面，E，F，G，O分別是PC，PD，BC，AD的中點.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的大小；(3)線段PA上是否存在點M，使得直線GM與平面所成角為，若存在，求線段PM的長；若不存在，說明理由.27．（2023·天津北辰·統考三模）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，．(1)求證：平面；(2)求點到直線的距離；(3)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說明理由．28．（2023·天津和平·統考三模）如圖，四棱臺中，上?下底面均是正方形，且側面是全等的等腰梯形，分別為的中點，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側棱所在直線所成的角為.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離；(3)邊上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.29．（2023·天津·統考高考真題）三棱臺中，若面，分別是中點.(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．【詳解】（1）在三棱柱中，取中點，連接，因為，則，而，即為正三角形，則有，又平面，于是平面，而平面，所以.（2）由（1）知，，又平面平面，且交線為，則平面內直線平面，則兩兩垂直，以為坐標原點，射線的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，令，則,，則，設為平面的一個法向量，則，令，得，直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）知，平面的法向量，，令為平面的一個法向量，則，令，得，所以平面與平面夾角的余弦值為.2．【詳解】（1）以點A為坐標原點，以AB，AD所在直線分別為x，z軸，以與AB垂直的直線為y軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示，則，，，，，．所以，.因為平面，,所以平面PAB的法向量為，所以，所以，由因為平面PAB，所以直線平面PAB．（2）由題意知，，，設為平面PCD的法向量,則，即，令，則，所以，因為，設直線BE與平面PCD所成角為，則，所以直線BE與平面PCD所成角的正弦值為．（3）由題意知，，設平面PAD的法向量為，則，即，令，則，所以，又因為平面PCD的法向量，設平面PCD與平面PAD的夾角為，則．所以平面PCD與平面PAB夾角的余弦值為．3．【詳解】（1）∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）在平面內，過作．∵平面平面，平面平面，又平面，，∴平面，∴，，．如圖建立空間直角坐標系：由題意得，∴設平面的法向量為，則令，則，，∴．平面的一個法向量為，則．∴平面與平面的夾角的余弦值．（3）線段上不存在點，使得平面，理由如下：設平面的法向量為，則令，則，，∴．∵，∴平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點，使得平面．4．【詳解】（1），平面，在直角三角形中，用勾股定理得到因為平面，可得到三角形為直角三角形，用勾股定理得到，在直角梯形中，，，，如上圖：作交于點，則三角形為直角三角形，在三角形中，滿足同理可證，故得到直線平面（2），取和的交點為為，連接，因為故得到面，面，故得到面垂直于面，兩個面的交線為，做于點點，連接，為點到平面的距離，根據，根據條件得到三角形三角形可分別求得面積為：在長方形中，，三角形可求得，解得：，直線與平面所成角的正弦值為.5．【詳解】（1）證明：平面，平面，，，．，，，，所以，又，所以，，，，，平面，平面.（2）平面，平面，平面，，，為矩形，，，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，設平面的法向量為，則，令，則，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.6．【詳解】（1）證明：法一：分別取、的中點、，連接、、，由題意可知點、分別為線段、的中點．所以，，因為，所以，所以點、、、四點共面，因為、分別為、的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，又因為，平面，平面，所以平面，又因為，、平面，所以平面平面，因為平面，所以平面；法二：因為為正方形，且平面，所以、、兩兩互相垂直，以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，所以，易知平面的一個法向量，所以，所以，又因為平面，所以平面．（2）解：設平面的法向量，，，則，取，可得，所以平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角余弦值為；（3）解：假設存在點，使得，其中，則，由（2）得平面的一個法向量為，由題意可得，整理可得．即，因為，解得或，所以，或．7.【詳解】（1）解：如圖建立空間直角坐標系，以為坐標原點，為軸，為軸，過點作面的垂線為軸，則由題意可得，由，及即，可得.（i）設平面的一個法向量為，則解得令，得是平面的一個法向量.因為，所以.又平面，所以平面.（ii）由（i）可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）設，則，設是平面的一個法向量，則，取，則是平面的一個法向量，則，解得或（舍去）.所以.8．【詳解】（1）證明：以為原點，??所在直線分別為??軸建立空間直角坐標系，如圖則，，，，，∵，，，∴，，即，，∵，∴平面；（2）由（1）可知為平面的一個法向量，設平面的法向量為，而，，則，令，可得，設二面角的平面角為，經觀察為銳角，∴，即二面角的余弦值為；（3），平面的法向量為，設點到平面的距離為，∴，即點到平面的距離為.9．【詳解】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設,依題意得,,,（1）解：易得,于是所以異面直線與所成角的余弦值為（2）證明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：設平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得．由（2）可知，為平面的一個法向量．于是，從而所以二面角的正弦值為方法二：（1）解：設AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1，設B1C與BC1交于點M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）證明：連接AC，設AC與DE交點N因為，所以，從而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因為CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因為，所以AF⊥平面A1ED(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在連接A1C1,A1F在．所以所以二面角A1-DE-F正弦值為10．【詳解】（1）過點作的平行線，由題意可知以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，．設平面的法向量為，，，，，令，則，∵，∴，平面.（2）根據圖形易知平面的法向量為，設平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值.（3），入射角為，，因為，所以，.故這束光在玻璃窗上的入射角的正切值為.11.【詳解】（1）證明：由題意平面，以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，則，所以，所以（2），設平面的法向量，則，即，令，則，,設直線與平面所成的角為，，則,所以與平面所成角的正弦值為.（3）,設平面的法向量，則，即，令，則，則.又平面的法向量，設平面與平面夾角為，則為銳角，，所以平面與平面夾角為.12．【詳解】（1）因為，以為原點，分別以，所在直線為，軸，過點且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，，所以，所以，即；（2）因為，設平面的法向量為，則，令，可得，又，設與平面所成角為，則，直線與平面所成的角的正弦值為；（3）由題，，設平面的法向量，由，令，則，又平面的法向量，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．13．【詳解】（1）取的中點M，連接．因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，所以．因為，所以．因為平面，所以兩兩垂直．如圖，以D為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．因為，所以，顯然平面的法向量為，因為，所以，又平面；所以平面．（2）設平面的法向量為，由得可取．所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．（3）設平面的法向量為，由得可取．由（2）知平面的法向量．設平面和平面的夾角為，則．14．【詳解】（1）連接OC，因為，所以四邊形OABC為平行四邊形，所以，所以，以OC，OD，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，．，，，設平面的一個法向量為，則，則，令，，平面PAB的一個法向量，，則，又平面PAB，所以平面PAB．（2），設，則，因為點M在棱PC上，所以，，即，所以，所以，平面ABCD的法向量為，因為直線BM與底面ABCD所成角為，所以，，解得，所以，設平面MAB的法向量為，則，即，令，則，所以，所以平面MAB與平面ABD夾角的余弦值．（3），點D到平面MAB的距離．15．【詳解】（1）當時，，即點D，E分別為的中點，在直三棱柱中，，所以四邊形為平行四邊形，連接，則，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因為平面平面，所以平面．（2）平面，又，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則點，當時，，即點D，E分別為的中點，則，所以，設平面的一個法向量，則，即，令，則，所以平面的一個法向量，則，令直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）可得，所以，所以．設平面的一個法向量為，則即，取，又平面的一個法向量為，因為平面與平面ACD的夾角為，所以，即，得，又因為，所以．16．【詳解】（1）如圖，以A為坐標原點，直線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則解得，令，得.因為，所以.又平面，所以平面.（2）設，則.因為，所以.即，解得，所以.所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設平面的一個法向量為，則解得令，得.因為，所以.所以平面與平面夾角為.17．【詳解】（1）由題可知，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示則所以所以即,所以即,又,平面PAD,所以平面PAD,又平面，所以平面平面PAD.（2）設平面的法向量為，則，即，令，則，所以，由題意知，平面，平面ACD的法向量為,設平面EAC與平面ACD夾角的，則，所以平面EAC與平面ACD夾角的余弦值為.（3）由（2）知，平面的法向量為，設B點到平面EAC的距離為，則，所以B點到平面EAC的距離為.18．【詳解】（1）∵，，，∴，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，，∴平面．（2）取的中點，連結，，由平面平面知平面，由知，以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系如圖所示，則易得，，，，，設平面的法向量為，由，得，令得，，∴，設二面角大小為，則，∵，∴二面角的大小．（3）假設點存在，其坐標為，與平面所成的角為，則存在，有，即，，則，因為化簡得，解得∵，∴∴在棱上滿足題意的點存在．19．【詳解】（1）依題意，以D為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，可得,,,,,.依題意，,,從而,所以，即（2）依題意，,,設為平面ACF的法向量，則，不妨設可得，因為,設直線EC與平面ACF所成角為，則，所以直線EC與平面ACF所成角的正弦值為.（3）假設線段DE上存在一點，使得直線BG與AD所成角的余弦值為，則.依題意則，，解得.所有存在點滿足條件，所以可得,由（2）可知平面ACF的一個法向量為，所以點G到平面ACF的距離為20．【詳解】（1）（i）方法一∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵四邊形ABCD為矩形，∴，又，PA，平面PAD，∴面PAD，∵面PAD，∴，在中，，E為PD中點，∴∵，面PCD，面PCD，∴平面PCD.方法二：以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，∴.在中，，E為PD中點，∴.∵，面PCD，面PCD.∴平面PCD；方法三：設平面PCD的一個法向量為，，，，則，∴.令，則，∴，∵，∴，∴平面PCD.（ii）由（i）得：平面PCD,平面PCD,，在中，，E為PD中點，∴，∵，面PCD，面PCD.∴平面PCD，∴為平面PCD的一個法向量，.記直線BE與平面PCD所成角為，∴，∴直線BE與平面PCD所成角的正弦值為；（2）設，∴，，設平面BCE的一個法向量為，則，∴，令，解得，∴，設平面CPD的法向量，又，，則，∴，令，解得，∴，設平面BCE與平面CED的夾角大小為，則.因為，所以，即，解得，即.21．【詳解】（1）證明：因為四邊形為正方形，所以，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，因為平面，所以；（2）解：取的中點，連接，因為為的中點，所以，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，以點為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，由，令，則，設直線與平面所成角為，，則直線與平面所成角的余弦值為；（3）解：設平面的法向量為，由，令，則，設平面與平面的夾角為，，所以平面與平面的夾角的正弦值為．22.【詳解】（1）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，則，，，則，；，.，平面，故平面.（2），，則.故異面直線AM與所成角的余弦值為.（3）設平面的法向量為，則，取得到；設平面的法向量為，則，取得到；平面AMC與平面的夾角的余弦值為.23．【詳解】（1）證明：因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以D為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系（如圖），則D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．所以=（0，2，0），=（2，0，2）．設為平面CDE的法向量，則，令，則．因為=（1，，1），所以，因為直線MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（2）解：依題意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．設為平面BCE的法向量，則，令，則，設為平面BCF的法向量，則，令，則，所以，所以平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值為（3）解：設線段DP的長為h（），則點P的坐標為（0，0，h），可得．因為，，所以平面所以=（0，2，0）為平面ADGE的一個法向量，所以，由題意，可得，解得．所以線段的長為.24．【詳解】（1）∵，平面ADE，平面ADE∴平面ADE同理：平面ADE，則平面∥平面ADE平面，則BF∥平面ADE（2）如圖以為坐標原點，建立空間直角坐標系設平面BDE的一個法向量為，則有令，則，即∴則直線CE與平面BDE所成角的正弦值為；（3）可設平面BDF的一個法向量為，則有令，則，即∴則平面BDE與平面BDF夾角的余弦值為．25．【詳解】（1）

在直三棱柱中，平面，且，以點B為坐標原點，BC，BA，所在直線分別為x，y，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系.則，，，，.易知平面ABC的一個法向量為，則，故