專題08三角函數與解三角形

三角函數與解三角形

求值含參開方混淆忽視復合

忽視問題沒考三角三角函數

角的忽視慮正函數函數忽視

范圍對參負號圖象的值內函

數的平移域致數自

討論規則錯變量

致錯的符

號

易依笈鶴

1.對于有關三角函數求值的問題，要注意角的范圍，尤其是利用條件縮小角的范圍,

2.對于含有整數k的問題，要注意對k進行討論，

3.三角函數圖象左右平移是針對自變量X的，

4.對于含有二次根式的求值問題，開方時要注意考慮正負，

5.對于與三角函數有關的復合函數單調性問題，要注意內函數的單調性，

6.逆用三角函數公式時，要注意其結構特征，

易磊今新

一、忽視角的范圍致錯

1.已知α是第二象限角，Sina=專則COSQ等于（）

?125Q5…12

A.------Bo.------C.——D.+—

13131313

2

【錯解】選D,因為siMa+cos?α=1_sina=-fΛcosa=±Λ∕1-sina=±—.

，又1313

【錯因】沒有注意條件α是第二象限角，

【正解】選ATa是第二象限角，則CoSa>0,Λcos?=—?/l—sin2a=-

2.已矢口sin夕+cos。金?'J則Sillo—cos。的值為.

3------------

47?

【錯解】Vsin夕+cos6,=-,Λsin<9cos<9=—,Λ(sin<9—cosθ)2=I—2sineCoS/?=-,

.".sincosθ=+答案：土也

33

【錯因】沒有注意由條件ej83

UJ得sin<9<cosθ,

47?

[正解】*.*sin8+cos9=一,sinOCOSΘ=—,Λ(sin夕一CoS62=1—2sinOCoSO=一,

3189

a.?.sin*cosO,.?.sin6-COSe=一4.答案：--?

3.已知(96(0,兀)，tan[^l^J=A

一，則Sine+cos。=

3

θ+-41÷tanθ

【錯解】由題知tan∣4lJ=-=----------j=>tan9=1，又因為9∈(0,π),

31—tan0

也.A√∑

sinθ1101sinθ=——

有卜os6?7'10

或＜

227√2

Los(9÷sin^=Icosθ=Z)7后，

10cosθ=---------

10

3√23√2

所以sin<9÷cosθ=——答案:--

51

【錯因】沒有注意由tan可以縮小角的范圍’即可推出Il

)1卜

θ+~

4j_41+tanθ2j

【正解】由題知tan')=^11。=；又因為。￡(0,時，且1211^＞0,所以＜9￡1,

31—tanθ

√2

sinθ=

=Lιo,

7,片N?Λ?/)8出4也答案:呼

有今7也所以sin夕+cos9=-1-=τ-

l÷sin2∕9=1105

E10

4.在AABC中，若C=3B,則C的取值范圍為()

b

A.(0,3)B.(1,3)C.(1,√3)D.(√3,3)

cSinCSin3Bsin(4+23)Sin6?cos28+cosBsin28

【錯解】選A由正弦定理可得,

bsinBsinBsinBsinB

=COS28+2COS28=4COS28—1.又0<8<180°,Λ0≤cos2B≤1,又*>0,Λ0<-<3.

bb

【錯因】忽略了4+8+。=180。及條件C=38,

CSinCSin3Bsin(8+28)Sin8?cos28+CoS8?sin2B

【正解】選B由正弦定理可得,

hsinBsinBsinBsinB

=Cos2β+2cos2fi=4cos2β-1.又4+5+C=180°,C=3B,

.?0o<β<45o,Λ-<cosfi<l,Λi<4cos2B-l<3,即IV9<3.

2b

二、對于含直三次根珞的求值問題，開方時沒有注意正負

5.化簡：2Msin8+1+√2cos8+2=()

A.4cos4B.-2sin4-4cos4

C.4sin4D.2sin4+4cos4

【錯解】選D原式=2^/1+2Sin4cos4+M4cos24=2^/sin24+cos24+2sin4cos4+2COS4

=2sin4+2cos4÷2cos4=2sin4÷4cos4.

【錯因】開方時沒有考慮2cos4、sin4+cos4的正負，

(正解】選B原式=2?,“÷2sin4cos4÷√4cos24=2?∕sin24÷cos24÷2sin4cos4+2∣cos4|

3Jr

=2∣sin4÷cos4∣+2∣cos4∣,Vπ<4<---,Λsin4÷cos4<0,cos4<0,

/.原式=-2(Sin4÷cos4)—2cos4=-2Sin4—4cos4.

■若喬嘮則

6。等于()

2∣+∣?^+∕os

.θθ

A.sι∏-B.COS-

44

-COS^

C.-sin^D.

【錯解】

【錯因】

2222

【正解】選A哆噂二臀??＜代，—。，COS耍O,sin->O,

24

三、三角函數圖象左右平移時忽視自變量X的系數致錯

P'-f的圖象，可以將函數N=Sin2x的圖象(

7.為了得到函數y=sin)

A.向右平移匹個單位B.向右平移;個單位

6

C向左平移匹個單位D-向左平移;個單位

6

【錯解】選B根據左加右減可知，為了得到函數y=sink3）的圖象，可以將函數>=sin2x

的圖象向右平移四個單位.

3

【錯因】圖象左右平移針對的是自變量X,

函數y=si∏1'I=Si∣2A--1

【正解】選A為了得到函數y=sinl3J的圖象，可

以將函數V=sin2x的圖象向右平移:個單位.

8.要得到尸COSb+力的圖象，只需將y=sin3的圖象（）

A.向左平移三個單位B-向右平移"單位

3

C.向左平移電個單位D.向右平移與個單位

3

【錯解】選A因為故要得到V=COS的圖象，只需將

1z71、

c0s2x+τ

函數y=sin'x的圖象向左平移三個單位.

23

【錯因】函數圖象平移變換時，沒注意函數的名稱是不一致的，不能直接進行平移，

v+

生+4生+三+斗'Iτ]pv+q

2

【正解】選Cy=cos^6j=sirιl262J=s,n_2_,故要得到y=cosQ的圖象,

只需將函數v=sinix的圖象向左平移也個單位.

'23

四、涉及到整數k的問題，忽視對k的討論致錯

9.已知角α為第一象限角，貝哈是第象限角.

2

【錯解】Ya是第一象限角，/.2?π<tt<-+2kπ,Λ∈Z,ΛΛπ<^<-+Aπ,A∈Z,

224

則《是第一象限角.答案：一

2

【錯因】沒有對k分情況討論，

【正解】Tcc是第一^象限角，.?.2Λπ<[v'+2?π,?∈Z,Λ?π<^<~+?π,?∈Z,

224

當人為偶數時，儀是第一象限角；當k為奇數時，儀是第三象限角.

22

綜上，G是第一或第三象限角.答案：一或三

2

10.(忽視對k的討論)已知∕=sin(?π+α)+CoS(E+α)∕gz),則N的值構成的集合是

sinacosa

【錯解】/=泣+/衛=2.答案：{2}

sinacosa

【錯因】沒有對k分情況討論，

【正解】當《為奇數時：4=二^一型且=一2.當在為偶數時：力=血。+造≡=2.

sinacosasinacosa

答案：{-2,2}

五、含參問題忽視對參數的討論致錯

11.已知角Q的終邊過點P(-4w3M(m≠0),則2sinα+cosα=.

【錯解】易知OP=\K-4加)2+(3〃7)2=5加，則SinCt=3加3,COSd=4加

4-

5m55m5

故2sinα+cosa=(.答案：|

【錯因】沒有對參數m分情況討論，

【正解】易知OP=、/(—4〃?)2+(3Μ)2=5制|,則Sina=①=cosa=——.

5|刑5|刈

342

當加>0時,Sina=《，cosa=-2sinα+cosa=~^

,342

當〃2<0時，sina=----,COSa=—，Λ2sinα+cosa=—.

555

故2sina÷cosa=±∣.答案:±|

六、三角函數的單調性問題中，忽視自變量X的系數為負值致錯

12.函數?O=sinI一】的單調遞增區間為.

【錯解】要求./(X)=SinA的單調遞增區間，只需令一匹+2EW匹一XW匹+2E伏∈Z),

262

可得—∈

2+2?π≤x≤-+2?π(ZrZ),所以函數/(X)=Sin的單調遞增區間為

33

[--y+2?π,y+2?π](?∈Z).答案：[-?+2Λπ,y+2?π](?∈Z).

【錯因】沒有注意自變量X的系數是負數，

，匹—]C--If--xl

【正解】因為尺)=si∏l6J=-si∏l6^,所以要求/(x)=sin"J的單調遞增區間,

21

只需要求y=sin[”的單調遞減區間.√1+2?π≤χ--≤-+2Aπ(A-∈Z),

262

r-

2π5πp7∣§+2府,γ+2?π

可得彳+2?WXWW+2E∕∈Z),所以y=sinl6J的單調遞減區間為33

--?^2kπ,"+2Aπ

................H的單調遞增區間.答案：L33?∈Z)

七、判斷三角形形狀時考慮不全致錯

13.已知在448C中，三個內角為N,B,C,sin2∕=sin28,則aZBC是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰或直角三角形

【錯解】選A因為sin2A=sin2B,所以2A=2B,解得A=B,所以AABC是等腰三角形.

【錯因】sin2A=sin2B時，有兩種可能：2A=2B或2A=τt—2B,

【正解】選D因為sin2/=Sin28,所以24=28或24=π-28,解得/=8或4+8=更,

2

所以BC是等腰或直角三角形.

八、忽視正切函數本身的定義域

14.已知函數yW=lg(tanx-D+M二2,則/(x)的定義域是.

【錯解】：函數√(x)=lg(tanχ-1)÷√9-X2,

71

tanχ-1>0,x≥kπ+-,k&Zr^iπCr

4,?"?χ∈[-3],

9-χ2≥0,

-3≤x≤3

函數y=/(X)的定義域為[----,3].答案：[----->3]

44

【錯因】沒有考慮y=tanx的定義域，

【正解】?.?函數/(X)=lg(tanΛ-1)+√9-X2,

左兀+四《后兀+匹(左￡Z)C3π

tanχ-1>0,42Λx∈l42)u(43

2

9-χ≥0,3≤x≤3,

f-3π-π∣fππ∣f3π磯但5∣

函數y=∕(x)的定義域為I4,2Jul4'2j.答案：I4,2JlΛ4'2j

1.集合卜E+：WaWE+全0｝中的角所表示的范圍(陰影部分)是()

+霜/+X

ABCD

【答案】C

【解析】當A'=2"("GZ)時，2"兀+三WaW2"π+匹("GZ),此時ɑ的終邊和匹WaW匹的終邊一樣;

4242

當*=2〃+l(〃eZ)時，2∕7π+π+?≤α≤2∕jπ+π+^(∏∈Z),此時α的終邊和n+：WaWπ+j的終邊

一樣，結合選項知選C.

2.在4/BC中，若sin2∕=sin2C,則448C的形狀是()

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】因為sin2/I=Sin2C=?sin2/=Sin(Tr—2(7),所以/=C或，+C=：.

當/=C時，三角形為等腰三南形；當/+C=匹時，三角形為直角三角形.

2

3.己知角。的頂點與原點重合，始邊與X軸非負半軸重合，若4(一1,歷是角。終邊上的一點,

且SinO=一可°,則y=()

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】B

【解析】因為Sine=一呼乂0,J(-l,y)是角6?終邊上一點，所以產0,由三角函數的定義,

得不金==一①叵.解得y=-3.

Λp+ι10

4,已知。是第三象限角，且CoS(兀+0)=；,則tan。=()

A.也B.2

4

C.2√2D.√10

【答案】C

【解析】cos(兀+0)=-CoSO=；,所以cos。=—：,又。是第三象限角，

所以sinθ=-^?∣?—cos2<9=—?/1—f—J="一垃,所以tanθ=?5^=—^-=2y∣2.

3cosθ

3

5.已知α終邊與單位圓的交點+'3,且α是第二象限角，則yI-Sin2α+42+2cos2α的值等

于()

?iB?^I

C.3D.-3

【答案】C

【解析】因為α終邊與單位圓的交點∕'d,且α是第二象限角，所以Sina=F

cos1=-9,則?/l-sin2α+d2+2cos2(X=Λ∕L2Sina?coso+Y2(l+cos2α)

∣∣∣∣∣

=Λ∕(sinOC-COSa)2+y4cos?=∣sina-cosα÷2cosα=÷=3.

6.設α角屬于第二象限，且卜°$51=一a

cos-,則；角屬于（）

2

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】Ia是第二象限角,Λ90o+Λ-36(Xα<180o+Λ?360o,?∈Z,

/.45o+??180o<^90o+k-180o,?∈Z.

2

當k=2n,時，弓在第一象限；當左=2〃+1,∕7∈Z時，儀在第三象限,

22

.?.2在第一^限或在第三象限，:I2I=—cos-,cos^<0,.?.生角在第三象限.

2222

7.已知Sinα,COSa是方程2?x+?2+%=0的兩根，則左的值為（）

?,?^?C.1±√3D.l+√3

22

【答案】B

sinα+cosa=2k,

【解析】由題意得

sinacosα=Zr2+?,

*.*sin2ɑ÷cos2ɑ=(sinα÷cosɑ)2-2sinαcosa=4A2-2(?2+A)=1,

即2公一2左一1=0,解得％=里理=紅烏?.?sinα+cosα=也Sinl叫J,

42

-Λ

.?sina÷cosct∈[λ∕2,y∣2]9即2%wL/，J∑],Λ?∈

8.若。￡(0,π),tanθ~?—?—=6,則sin0+cos9=()

tanθ

A.氈B?-氈

33

C.D.-

33

【答案】A

22

rΛ77+c1BUΛI?sinθ.cosθsin^÷cos^,.八1

【角星析】因為tanΘ-?-------=-------1-；—=----------------=6,所以sinOcos3n=—,

tanθcosθsinθsin?osθ6

又9∈(0,π),則sinGO,cosθ>0f所以sinJ+cosGO.

所以(Sinθ+cos0)2=1+2sinOCoS。=：，所以Sinθ+cosΘ=^-γ~.

9.在AZBC中,cosΛ=-sinθ=∣,則COSC的值為（）

13f

嘮或T

A./C.--

6565

【答案】A

【解析】在4∕8C中，由COSN=苴~,sinB=~,可得SinZ=—cos?〉=",

13513

：

因為sin8<sin4且力為銳角，則6<α,所以力>6,所以8為銳角，所以CoS8=3-sin%=,

則cosC=cos[π-(/1+5)]=—cos(J+5)=-cosAcosB+sinJsinB=一Aχ4+12χ3=16.

13513565

10.已知COSa=R^

,sinβ-嚕且a∈93年33則α+?的值是（）

5

AC3D

?4?

【答案】B

【解析】因為α∈["夕∈[°'J,所以Sina=71-cos%=COS8=7[-Sinq=

/..〃2√53√10√5√10√2

cos(α+^)=cosαcospn-sinasmβ=~~^~sXz--------×v----=一.又0<α+夕<兀，故α+夕=：.

105102

11.己知9∈R,則“3=0"是''y=sin（x+9）為奇函數”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當P=O時，V=Sin（X+0）為奇函數；當V=Sin（X+￠）是奇函數時，φ=kκ,?∈Z,

所以“0=0"是''y=Sin（X+夕）為奇函數”的兗分不必要條件，故選A.

12.在4/8C中，角/,B,C所對的邊分別為“，b,c,已知acosZ=bcos8,

且。2=/+82一外，則4/8C的形狀為（）

A.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

【答案】D

【解析】因為αcos∕=6cos8,所以sin/cos4=sinBcos8,即sin2/I=Sin28,又Z,β∈(O,

π）,故可得4=8或4+8=：.由￠2=42+62—血得COSC=又C∈（0,π）,故可得C=：.綜上

所述，4=8=C=故三角形Z8C是等邊三角形.

2x—四

13.把函數√(x)=2cos/4j的圖象向左平移機（〃》0）個單位，得到函數g（x）=2sin的圖

象，則”的最小值是（）

AAB馬C.-^~πD2

24242424

【答案】B

把函數y（x）=2CoSI2XT的圖象向左平移皿"?>o）個單位,

【解析】選B

SWIU）的圖象,

F-〃2(x+∕n)--

付到/(x)=2COSL4=2cos

g(x)=2nΓ^iJ=2o2X

sics0=2COS(^?])

由一匹=——+2Λπ,A∈Z,得m=——+?π,Λ∈Z,

4624

7兀=I7π

'.'m>0,當k=?時，m最小，此時m=π

24-24,

π

TT

14.已知。>0,函數<x）=Sin、4j在區間一2」上單調遞減，則實數3的取值范圍是（）

?513

A.|_2'4,

B.24C.D.(0,2]

【答案】A

ππ，2叫I

由題意法+l丁πω÷-2kπ+~

【解析】由工在X忘71,得三①+&Wsx+&Wπ0>+三,4j?[2

22444

π,兀、兀

一①十一與一，

242

得IWSW

(A∈Z).當A=O時，由?π^3π

πω~?-一W一,24

42

ω>0,∣^∣<2∏

15.已知函數y=sin(ox+p)l的圖象的一部分如圖所示,則。，夕的值分別為（）

A1π

A.I,一B.I,UC.2,^3D-"

3

【答案】D

【解析】由圖象知，寧"一:寸即T=Tt,所以"=兀，即①=2.

ω

又函數圖象過點GJ,所以2義；+夕=E,?∈Z,又|喈，故夕=：,故選D.

16.已知函數y(x)=sin("+d(3>0),對任意x∈R,都有加方月，并且以)在區間「-Λ-±

_63_

不單調，則3的最小值是()

A.1B.3C.5D.7

【答案】D

【解析】由題意,Z0是函數f[x｝的最大值,

Λ-+≡=2A-π+≡,?∈Z,即s=6A+l,?∈Z.?.?<υ>O,ΛA∈N.

362

當上=0時，0=1,/(x)=Sin[+力在一工，匹上單調遞增，不符合題意；

_63_

7X+

當k=1時，ω=7,/(x)=sin(3符合題意，二”的最小值是7.

17.(多選)在BC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c.??=2√3,c=3,A+3C=π,則下

列結論正確的是（）

A.CGSC=弋B.SinB='C.a=3D.SAABC=亞

【答案】AD

【解析】選AD由/+3C=π,得8=2C根據正弦定理」一=-^,得2由SinC=3×2si∏Ccos

sinBsinC

C,又SinC>0,故COSC=魚，SinC=亞故A正確；sinB=sin2C=2sinCcosC=—,故B

333

錯誤；由余弦定理得。2=層+力2—2α6cosC,將6=23，c=3代入得/-4α+3=0,解得〃=3

或4=1.若α=3,則A=C=-,且B=-,與sin矛盾,所以a=?1故C錯誤；S△襁C=LZbSin

4232

C=l×l×2√3×^=√2,故D正確.故選A、D.

23

18.(多選題)如圖是函數y=sin(s?+p)的部分圖象，則SinOX+s)=()

【答案】BC

pπτf∣

【解析】由題圖可知，函數的最小正周期T=2136j=π,Λ-=π,ω=±2.

㈤

住OlX

當a)=2時，y=sin(2x+^),將點16,J代人得，sinl3H=O

/.2×~+^=2Aπ+π,?∈Z,即g=2?π+”,A∈Z,

63

k+?)=sin[n±f)=sin[!f]知B正確;

，y=sin,故A錯誤；由sinl

12x+?)=sin0+尹LoS(2x+胃知

由sinlC正確;

2r+2x+

由sinl∣f]=∞s[i)COSJΓ錯誤.

=L+D

綜上可知，正確的選項為B、C.

cosβ^‰-^,則

若匹，-+al1

19.0<a<-π<β<--,CosUIJ一,)

2233

cD?

ATB學?4

【答案】D

VXH+￥邛邛

20.已知角ɑ的終邊經過點(3a—9,α+2),且cosα≤0,sina>0,則實數a的取值范圍是,

【答案】(-2,3]

3a-9≤0,

【解析】；cosaW0,Sina>0,角a的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上..?

a+2>0,

Λ-2<Λ≤3.

21.已知函數y(x)=2sin(5+9)(G>O,一兀<9<0)的相鄰兩個零點間的距離為彳，且TtJ=-2,

則9=

【答案】U

【解析】由題意Γ=2×-=π,ω>0,所以CU=@=2,[J=2sin[[+")

2T

~~"+φ=2kιt―匹，?∈Z,又一π<^<O,所以￠=——.

424

22.化簡sin(mr+a)cos(m-ɑ%ez)的結果為_______

cos[(∕7÷l)π-?]

【答案】(-1)"+ISina("∈Z)

Sin(2攵兀+α)cos(2?π—0)sinICOSa

【解析】①當〃=2如-∈Z)時，原式=s?na.

cos[(2A÷l)π-ɑ]一cosa

②當“=2k+l∕∈Z)時，原式=SinK2A+l)π+α]cos[(2k+l)Lα]=(-sinα)(-cosα)=sinα.

cos[(2?÷2)π-?]cosα

綜上，化簡的結果為(一DESina("∈Z).

23.在銳角4/BC中，BC=2,sin8+sinC=2sinN,則中線長的取值范圍是.

【答案】a,$1

【解析】設ZB=c,AC=b,BC=a=2,對sin