廣安市2023年初中學業水平考試試題

數學

注意事項：

1.本試卷分為試題卷（1-4頁）和答題卡兩部分.考試時間120分鐘，滿分120分.

2.考生答題前，請先將姓名、準考證號等信息用黑色墨跡簽字筆填寫在答題卡上的指定位

置，待監考教師粘貼條形碼后，認真核對條形碼上的姓名、準考證號與自己準考證上的信息

是否一致.

3.請將選擇題答案用2B鉛筆填涂在答題卡上的相應位置，非選擇題答案用黑色墨跡簽字筆

答在答題卡上的相應位置.超出答題區域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效；

作圖題應先用鉛筆畫，確定不修改后，再用黑色墨跡簽字筆描黑.

4.考試結束，監考人員必須將參考學生和缺考學生的答題卡、試題卷一并收回.

一、選擇題（每小題只有一個選項符合題意，請將所選選項填涂在答題卡相應位置上.本大

題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.-6的絕對值是（）

11

A-6B.6C.--D.—

66

2.下列運算中，正確的是（）

A.a~+a4^a6B.3a3-4a2=12a6C.（2。+才=4/+/D.（-2?Z?2）3=-8aV

3.2023年以來，廣安市全面落實市委、市政府關于促進消費的各項政策措施，積極優化消費運行環境，消

費加速回升.1-2月，全市實現社會消費品總額116億元，同比增長10.8%.請將116億用科學記數法表

示（）

A1.16xl09B.1.16xlO10C.1.16X1011D.H6xlO8

4.如圖，由5個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖是（）

正面

5.下列說法正確的是（）

A.三角形的一個外角等于兩個內角的和

B,對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

C.在一組數據11,9,7,8,6,8,12,8中，眾數和中位數都是8

D.甲乙兩組各10名同學參加“安全知識競賽”，若兩組同學平均成績相同，甲組的方差=0.25,

乙組的方差=0.15,則甲組同學的成績比乙組同學的成績穩定

6.已知b,c為常數，點P（a，c）在第四象限，則關于尤的一元二次方程依2+法+C=0的根的情況

為（）

A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根

C.沒有實數根D.無法判定

7.如圖，用彈簧測力計將一鐵塊懸于盛有水的水槽中，然后勻速向上提起，使鐵塊完全露出水面，并上升

一定高度，則下列能反映彈簧測力計的讀數y（單位：N）與鐵塊被提起的時間無（單位：S）之間的函數

關系的大致圖象是（）

8.為了降低成本，某出租車公司實施了“油改氣”措施.如圖，必、為分別表示燃油汽車和燃氣汽車所需

費用y（單位：元）與行駛路程s（單位：千米）的關系，已知燃油汽車每千米所需的費用比燃氣汽車每

千米所需的費用的3倍少0」元，設燃氣汽車每千米所需的費用為x元，則可列方程為（）

2510251025_102510

A——-------B.——-------D.-----——

x3x-0.1x3%+0.13x+0.1x3x-0.1x

9.如圖，在等腰直角ABC中，ZACB=90°,AC=BC=272,以點A為圓心，AC為半徑畫弧，交

AB于點、E,以點B為圓心，為半徑畫弧，交A3于點尸，則圖中陰影部分的面積是（

A.71—2B.2TI—2C.2TI-4D.4兀一4

10.如圖所示，二次函數y=ax?+6x+c（a、b、c為常數，。的圖象與x軸交于點

4（—3,0）,3（1,0）.有下列結論：①abc>0；②若點（—2,%）和（-0.5,%）均在拋物線上，則為<為;

③5a—>+c=0；④4a+c>0.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（請把最簡答案填寫在答題卡相應位置.本大題共6個小題，每小題3分，共18

分）

n.Ji石的平方根是.

12.函數y=Y正中，自變量X的取值范圍是.

x-1

13.定義一種新運算：對于兩個非零實數a、b,。※匕=二+二若2※(—2)=1,貝ij(—3)洶的值是

ab

14.如圖，ABC內接于。，圓的半徑為7,44c=60。，則弦的長度為.

15.如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，

此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點3處，則螞蟻從外壁8處到內壁

A處所走的最短路程為cm.(杯壁厚度不計)

16.在平面直角坐標系中，點4、4、4、A在x軸的正半軸上，點片、&、在直線

y=上，若點人的坐標為(2,0),且△4片&、△七與&、均為等邊三角

形?則點為023的縱坐標為.

三、解答題(本大題共4個小題，第17小題5分，第18、19、20小題各6分，共23分)

17.計算：一12。24+-2cos600+|^-3|

(a2八a2-l

18.先化衙-----a+1~~---再從不等式-2vav3中選擇一個適當的整數，代入求值.

+1)a+2(7+1

19.如圖，在四邊形ABC。中，AC與5D交于點。,5月，AC,DF1AC,垂足分別為點E、F,且

20.如圖，一次函數丁=6+—(女為常數，左W0)的圖象與反比例函數y=」(加為常數，口#0)的圖

4-x

象在第一象限交于點A(l,小，與x軸交于點3(—3,0),

(1)求一次函數和反比例函數的解析式.

(2)點P在x軸上，A3。是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標.

四、實踐應用題(本大題共4個小題，第21小題6分，第22、23、24小題各8分，共30

分)

21.“雙減”政策實施后，某校為豐富學生的課余生活，開設了A書法，B繪畫，C舞蹈，。跆拳道四類興

趣班.為了解學生對這四類興趣班的喜愛情況，隨機抽取該校部分學生進行了問卷調查，并將調查結果整

理后繪制成兩幅不完整的統計圖.請根據統計圖信息回答下列問題.

(1)本次抽取調查學生共有人，估計該校3000名學生喜愛“跆拳道”興趣班的人數約為

___________人.

(2)請將以上兩個統計圖補充完整.

(3)甲、乙兩名學生要選擇參加興趣班，若他們每人從A,B,C,。四類興趣班中隨機選取一類，請用

畫樹狀圖或列表法，求兩人恰好選擇同一類的概率.

22.“廣安鹽皮蛋”是小平故里的名優特產，某超市銷售45兩種品牌的鹽皮蛋，若購買9箱A種鹽皮蛋

和6箱B種鹽皮蛋共需390元；若購買5箱A種鹽皮蛋和8箱B種鹽皮蛋共需310元.

(1)A種鹽皮蛋、8種鹽皮蛋每箱價格分別是多少元？

(2)若某公司購買A3兩種鹽皮蛋共30箱，且A種的數量至少比8種的數量多5箱，又不超過8種的2

倍，怎樣購買才能使總費用最少？并求出最少費用.

23.為了美化環境，提高民眾的生活質量，市政府在三角形花園ABC邊上修建一個四邊形人工湖泊

ABDE,并沿湖泊修建了人行步道.如圖，點。在點A的正東方向170米處，點E在點A的正北方向，

點都在點C的正北方向，長為100米，點B在點A的北偏東30°方向，點。在點E的北偏東58°

方向.

(1)求步道OE的長度.

(2)點。處有一個小商店，某人從點A出發沿人行步道去商店購物，可以經點8到達點￡),也可以經點

E到達點。，請通過計算說明他走哪條路較近.結果精確到個位)(參考數據：

sin580工0.85,cos580仁0.53,tan580工1.60,6-1.73)

24.將邊長為2的正方形剪成四個全等的直角三角形，用這四個直角三角形拼成符合要求的四邊形，請在

下列網格中畫出你拼成的四邊形(注：①網格中每個小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相

同；③四邊形的各頂點都在格點上).

是軸對稱圖形是中心對稱圖形既是軸對稱圖形既不是軸對稱圖形

不是中心對稱圖形不是軸對稱圖形又是中心對稱圖形又不是中心對稱圖形

五、推理論證題

25.如圖，以Rt/XABC的直角邊A3為直徑作(O,交斜邊AC于點。，點E是的中點，連接

OE、DE.

(1)求證：DE是。的切線.

..4

(2)若sinC=—,DE=5,求AD的長.

5

(3)求證：2DE?=CD?OE.

六、拓展探究題

26.如圖，二次函數丁=必+法+。圖象交無軸于點AB,交〉軸于點C,點B的坐標為(1,0),對稱

軸是直線點尸是工軸上一動點，軸，交直線AC于點交拋物線于點N.

(1)求這個二次函數的解析式.

(2)若點?在線段AO上運動(點P與點A、點。不重合)，求四邊形A5CN面積的最大值，并求出此

時點P的坐標.

(3)若點「在無軸上運動，則在y軸上是否存在點0,使以/、N、c、。為頂點的四邊形是菱形？若

存在，請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

廣安市2023年初中學業水平考試試題

數學

注意事項：

1.本試卷分為試題卷（1-4頁）和答題卡兩部分.考試時間120分鐘，滿分120分.

2.考生答題前，請先將姓名、準考證號等信息用黑色墨跡簽字筆填寫在答題卡上的指定位

置，待監考教師粘貼條形碼后，認真核對條形碼上的姓名、準考證號與自己準考證上的信息

是否一致.

3.請將選擇題答案用2B鉛筆填涂在答題卡上的相應位置，非選擇題答案用黑色墨跡簽字筆

答在答題卡上的相應位置.超出答題區域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效；

作圖題應先用鉛筆畫，確定不修改后，再用黑色墨跡簽字筆描黑.

4.考試結束，監考人員必須將參考學生和缺考學生的答題卡、試題卷一并收回.

一、選擇題（每小題只有一個選項符合題意，請將所選選項填涂在答題卡相應位置上.本大

題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.-6的絕對值是（）

11

A.-6B.6C.--D.—

66

【答案】B

【解析】

【分析】在數軸上，表示一個數的點到原點的距離叫做這個數的絕對值.

【詳解】負數的絕對值等于它的相反數，所以-6的絕對值是6.

故選:B.

2.下列運算中，正確的是（）

A.cr+a^a6B.3a3-4tz2=12tz6C.（2?+Z?）2=4?2+&2D.（-2?Z?2）3=-8aV

【答案】D

【解析】

【分析】根據合并同類項、同底數累的乘法、完全平方公式、積的乘方與累的乘方法則逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、/與/不是同類項，不可合并，則此項錯誤，不符合題意；

B、3/.44=12片，則此項錯誤，不符合題意;

C、（2fl+Z?）2=4o2+4flZ7+Z22,則此項錯誤，不符合題意;

D、（—2。/丫=一8/",則此項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了合并同類項、同底數幕的乘法、完全平方公式、積的乘方與幕的乘方，熟練掌握各運

算法則是解題關鍵.

3.2023年以來，廣安市全面落實市委、市政府關于促進消費的各項政策措施，積極優化消費運行環境，消

費加速回升.1-2月，全市實現社會消費品總額116億元，同比增長10.8%.請將116億用科學記數法表

示（）

A.1.16xl09B.1.16xlO10C.1.16xlOnD.116x1（）8

【答案】B

【解析】

【分析】根據科學記數法的定義即可得.

【詳解】解：H6^=1.16X102X108=1.16xlO10,

故選：B.

【點睛】本題考查了科學記數法，熟記科學記數法的定義（將一個數表示成oxi。"的形式，其中

1<|a|<10,九為整數，這種記數的方法叫做科學記數法）是解題關鍵.確定〃的值時，要看把原數變

成。時，小數點移動了多少位，”的絕對值與小數點移動的位數相同.

4.如圖，由5個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖是（）

D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據俯視圖的定義（從上面觀察物體所得到的視圖是俯視圖）即可得.

【詳解】解：這個幾何體的俯視圖是：

故選：B.

【點睛】本題考查了俯視圖，熟練掌握俯視圖的定義是解題關鍵.

5.下列說法正確的是（）

A.三角形的一個外角等于兩個內角的和

B.對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

C.在一組數據11,9,7,8,6,8,12,8中，眾數和中位數都是8

D.甲乙兩組各10名同學參加“安全知識競賽”，若兩組同學的平均成績相同，甲組的方差5看=0.25,

乙組的方差S；=0.15,則甲組同學的成績比乙組同學的成績穩定

【答案】C

【解析】

【分析】根據三角形的外角定理，正方形的判定，眾數和中位數的定義，方差的意義判斷即可.

【詳解】解：A.三角形的一個外角等于與它不相鄰兩個內角的和，故選項A錯誤；

B.要加上“對角線互相平分”這個條件，故選項B錯誤；

C.這列數據從小到大排列為6,7,8,8,8,9,11,12,

OIO

8出現了3次，故眾數是8,中位數是亨=8,

故選項C正確；

D.方差越小，數據越穩定，故選項D錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形的外角定理，正方形的判定，眾數和中位數的定義，方差的意義等知識，本題

的關鍵是熟練掌握這些知識點，并能靈活運用.

6.己知。，b,c為常數，點P（a,c）在第四象限，則關于x的一元二次方程依2+法+°=。的根的情況

為（）

A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根

C.沒有實數根D.無法判定

【答案】B

【解析】

【分析】根據點P（a，c）在第四象限，得出ac<0,進而根據一元二次方程根的判別式A=Z^—4ac>0,

即可求解.

【詳解】解：?點P（a，c）在第四象限，

:.a>0,c<0,

:.ac<0,

，方程ox?+b%+c=O的判別式△=—4ac>0，

二方程依2+法+C=o有兩個不相等的實數根.

故選：B.

【點睛】本題考查了第四象限點的坐標特征，一元二次方程根的判別式，得出A=Z?2—4ac>。是解題的關

鍵.

7.如圖，用彈簧測力計將一鐵塊懸于盛有水的水槽中，然后勻速向上提起，使鐵塊完全露出水面，并上升

一定高度，則下列能反映彈簧測力計的讀數y（單位：N）與鐵塊被提起的時間無（單位：s）之間的函數

關系的大致圖象是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據浮力的知識，鐵塊露出水面前讀數y不變，出水面后y逐漸增大，離開水面后y不變.

【詳解】解：由浮力知識得：F拉力=G-F\浮力，讀數y即為尸拉力，

在鐵塊露出水面以前，浮力不變，則此過程中彈簧的讀數不變，

當鐵塊慢慢露出水面開始，浮力減小，則拉力增加，彈簧的讀數逐漸增大，

當鐵塊完全露出水面后，浮力等于0,拉力等于重力，彈簧的讀數不變，

觀察四個選項可知，只有選項A符合，

故選：A.

【點睛】本題考查了函數圖象，解答本題的關鍵是明確題意，掌握一定的物理知識.

8.為了降低成本，某出租車公司實施了“油改氣”措施.如圖，％、為分別表示燃油汽車和燃氣汽車所需

費用y（單位：元）與行駛路程s（單位：千米）的關系，已知燃油汽車每千米所需的費用比燃氣汽車每

千米所需的費用的3倍少0.1元，設燃氣汽車每千米所需的費用為X元，則可列方程為（）

2510251025_102510

A.——-----------B.——----------D.-----------——

x3x-0.1x3%+0.13%+0.1x3x-0.1x

【答案】D

【解析】

【分析】先求出燃油汽車每千米所需的費用為（3x-0.1）元，再根據函數圖象可得燃油汽車所需費用為25元

時與燃氣汽車所需費用為1。元時，所行駛的路程相等，據此列出方程即可得.

【詳解】解：由題意得：燃油汽車每千米所需的費用為（3x-0.1）元，

由函數圖象可知，燃油汽車所需費用為25元時與燃氣汽車所需費用為10元時，所行駛的路程相等，

則可列方程為25=12,

3x-0.1x

故選：D.

【點睛】本題考查了列分式方程、函數圖象，讀懂函數圖象，正確獲取信息是解題關鍵.

9.如圖，在等腰直角中，ZACB=90°,AC=BC=272,以點A為圓心，AC為半徑畫弧，交

AB于點、E,以點B為圓心，為半徑畫弧，交A3于點尸，則圖中陰影部分的面積是()

A.7i—2B.271—2C.271-4D.4n-4

【答案】C

【解析】

【分析】先利用扇形的面積公式求出扇形ACE和扇形的面積，再減去,ABC的面積即可得.

【詳解】解：ABC是等腰直角三角形，

\/A=?B45?,

AC=BC=20，

???圖中陰影部分的面積是S扇形ACE+S扇形BC尸—SRIABC

45兀乂245JIX(2何］

--1-----------------Xx

3603602

二2兀一4,

故選：C.

【點睛】本題考查了扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題關鍵.

10.如圖所示，二次函數y=ox2+6x+c(。、b、c為常數，。/0)的圖象與*軸交于點

4(—3,0),5(1,0).有下列結論：①%>0；②若點(—2,%)和(-0.5,%)均在拋物線上，則為<必；

③5a—>+c=0；④4a+c>0.其中正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】根據二次函數圖像的性質、二次函數圖像與系數的關系以及與X軸交點問題逐項分析判斷即可.

【詳解】解：由圖可知，二次函數開口方向向下，與y軸正半軸交于一點，

:.a<0,c>0.

-京

:.b<0.

abc>0.

故①正確

A(—3,0),3(1,0)是關于二次函數對稱軸對稱,

2a

???(-2,%)在對稱軸的左邊，(-0.5,%)在對稱軸的右邊，如圖所示,

故②正確.

圖象與x軸交于點4(—3,0),3(1,0),

「.9a—3/?+c=0,a+b+c=0.

「.IOQ—2b+2c=0.

:.5a-b+c=0.

故③正確.

:.b=2a.

當x=l時，y=。,

:.a+b+c=0.

3Q+C=0,

..c——3a,

/.4a+c=4〃-3Q=a<0.

故④不正確.

綜上所述，正確有①②③.

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數圖像與系數之間的關系，解題的關鍵在于通過圖像判斷對稱軸，開口方向以

及與y軸交點.

二、填空題（請把最簡答案填寫在等斷卡相應位置.本大題共6個小題，每小題3分，共18

分）

11..\/16的平方根是.

【答案】±2

【解析】

【詳解】解：

?1?J話的平方根是±2.

故答案為±2.

12.函數y=Y正中，自變量X的取值范圍是.

X-1

【答案】x2-2且x#l

【解析】

【分析】根據二次根式有意義的條件和分式有意義的條件即可求出結論.

%+2>0

【詳解】解：由題意可得<,八

解得x》-2且x/l

故答案為：x2-2且xWl.

【點睛】此題考查的是求自變量的取值范圍，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解決此題

的關鍵.

13.定義一種新運算：對于兩個非零實數a、b,。※6=土+；.若2※（—2）=1,則（―3）m的值是

ab

【答案】---

3

【解析】

【分析】先根據2※(-2)=1可得一個關于的等式，再根據新運算的定義代入計算即可得.

【詳解】解：2※(-2)=1,

—=1,即x-y=2,

2-2

故答案為：.

3

【點睛】本題考查了新定義下的實數運算、代數式求值，理解新運算的定義是解題關鍵.

14.如圖，A5C內接于「0,圓的半徑為7,440=60。，則弦5C的長度為

【答案】7月

【解析】

【分析】連接05,。。，過點。作±BC于點、D,先根據圓周角定理可得NH9C=244C=120。，再

根據等腰三角形的三線合一可得N3QD=60。，BC=2BD,然后解直角三角形可得5。的長，由此即可

得.

【詳解】解:如圖，連接OBOC,過點。作OD±BC于點、D,

:.ZBOC=2ZBAC=120°,

QOB=OC,ODLBC,

ZBOD=-ZBOC=60°,BC=2BD,

2

:圓的半徑為7,

..03=7,

BD=OBsin60o=-y/3,

2

BC=2BD=7A/3，

故答案為：7下）.

【點睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三線合一，熟練掌握圓周角定理和解直角

三角形的方法是解題關鍵.

15.如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜,

此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點3處，則螞蟻從外壁8處到內壁

A處所走的最短路程為cm.（杯壁厚度不計）

【解析】

【分析】如圖（見解析），將玻璃杯側面展開，作8關于E尸的對稱點3',根據兩點之間線段最短可知

的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】解：如圖，將玻璃杯側面展開，作B關于E尸的對稱點3',作B'DLAE,交AE延長線于點

D,連接AB',

由題意得：DE=^BB'=lcm,AE=9-4=5（cm）,

AD=AE+DE=6cm,

??,底面周長為16cm,

&D=gxl6=8（cm）,

AB'=VAD2+B'D2=10cm，

由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁B處到內壁A處所走的最短路程為AB'=10cm,

故答案為：10.

【點睛】本題考查了平面展開一最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是

解題的關鍵.同時也考查了同學們的創造性思維能力.

16.在平面直角坐標系中，點4、4、&、A在*軸的正半軸上，點用、員、B3?在直線

y=上，若點A的坐標為(2,0),且△4用4、△4與4、均為等邊三角

形.則點為023的縱坐標為.

【答案】22022石

【解析】

【分析】過點A作軸，交直線y=*x(x20)于點加，過點用作軸于點c,先求出

/4。〃=30。，再根據等邊三角形的性質、等腰三角形的判定可得=2,然后解直角三角形可

得8。的長，即可得點用的縱坐標，同樣的方法分別求出點耳,巴，島的縱坐標，最后歸納類推出一般規律,

由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點4作軸，交直線y=gx(x20)于點過點用作軸于點

C,

4(2,0),

/.OAj=2,

當x=2時，＞=子一即MI。，.“26

'4亍

??.tanZAM第邛,

.-.Z^OM=30°,

A氏&是等邊三角形，

/.ZA2AiBl=60°,A4=A1B1,

NOB14=30。=幺0〃，

/.AiBl=OA^=2,

用C=A4?sin60°=2X￥,即點耳的縱坐標為2義與,

同理可得：點B,的縱坐標為2?x",

2

點鳥的縱坐標為23X立，

2

點4的縱坐標為24X立，

2

歸納類推得：點紇的縱坐標為2"x3=2"Tg（"為正整數），

2

則點B2023的縱坐標為22023T6=22°22也,

故答案為：22022G.

【點睛】本題考查了點坐標的規律探索、等邊三角形的性質、正比例函數的應用、解直角三角形等知識

點，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵.

三、解答題（本大題共4個小題，第17小題5分，第18、19、20小題各6分，共23分）

【答案】2—6

【解析】

【分析】先計算有理數的乘方、零指數幕、特殊角的余弦值、化簡絕對值，再計算乘法與加減法即可得.

【詳解】解：原式=一1+1—2義工+3

2

=-1+3-75

=2-75.

【點睛】本題考查了零指數幕、特殊角的余弦值、實數的混合運算，熟練掌握各運算法則是解題關鍵.

18.先化簡———a+1―,再從不等式—2＜。＜3中選擇一個適當的整數，代入求值.

+1）a+Z4Z+1

【答案】工，選擇。=0,式子的值為-1（或選擇4=2,式子的值為1）

a—1

【解析】

【分析】先計算括號內的分式減法，再計算分式的除法，然后根據分式有意義的條件選擇適當的。的值，代

入計算即可得.

a2(?+l)(a-l)(a+1)(a—1)

【詳解】解：原式=

a+1a+1(a+獷

，a1a、1](a+l『

、a+la+1)(a+l)(a—1)

1a+1

a+1a—1

1

a—1

a+lwO,a—1w0,

...aw—1,aw1,

2＜av3,且。整數，

選擇a=0代入得：原式=，=—1,

0—1

選擇。=2代入得：原式='=1.

2-1

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解題關鍵.

19.如圖，在四邊形ABCD中，AC與3。交于點。,BE_LAC,DFJ.AC,垂足分別為點EF,且

AF=CE,ZBAC=ZDCA.求證：四邊形ABC。是平行四邊形.

AD

E

【答案】見詳解

【解析】

【分析】先證明二AEB冬一CED（ASA）,再證明AB=CD,AB〃CD,再由平行四邊形的判定即可得出結

論.

【詳解】證明：BELAC,DF1AC,

:.ZAEB=ZCFD=90°,

AF=CE,AE=AF-EF,CF=CE—EF,

AE=CF,

又?ZBAC=ZDCA,

AEBgCFD（ASA）,

AB—CD，

,：ZBAC=ZACD,

AB//CD,

四邊形ABC。是平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，

證明三角形全等是解題的關鍵.

20.如圖，一次函數丁=履+—（左為常數，kwO）的圖象與反比例函數y=—O為常數，相彳0）的圖

4x

象在第一象限交于點A（l,〃），與x軸交于點3（—3,0）.

（1）求一次函數和反比例函數的解析式.

（2）點尸在x軸上，A3P是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出點尸的坐標.

【答案】(1)一次函數的解析式為y=—3x+—9,反比例函數的解析式為y=3'

-44x

(2)(-8,0)或(2,0)或(5,0)

【解析】

【分析】(1)根據待定系數法，把己知點代入再解方程即可得出答案；

(2)首先利用勾股定理求出得A3的長，再分兩種情形討論即可.

【小問1詳解】

9

解：把點3(—3,0)代入一次函數y=+z得，

9

—3左+—=0,

4

3

解得：k=~,

4

39

故一次函數的解析式為丁=—九+―，

44

/、3939

把點A。,〃)代入y=[%+Z=—+—=3,

"(1,3),

把點A(l,3)代入y=—,得%=3,

x

故反比例函數的解析式為y=23；

X

【小問2詳解】

解：5(-3,0),A(l,3),AB=5,

當AB=P5=5時，P(—8,0)或(2,0),

當=時，點P,3關于直線x=l對稱，

P(5,0),

綜上所述：點P的坐標為(-8,0)或(2,0)或(5,0).

【點睛】本題是反比例函數綜合題，主要考查了函數圖象上點的坐標的特征，等腰三角形的性質等知識，

運用分類思想是解題的關鍵.

四、實踐應用題(本大題共4個小題，第21小題6分，第22、23、24小題各8分，共30

分)

21.“雙減”政策實施后，某校為豐富學生的課余生活，開設了A書法，3繪畫，C舞蹈，。跆拳道四類興

趣班.為了解學生對這四類興趣班的喜愛情況，隨機抽取該校部分學生進行了問卷調查，并將調查結果整

理后繪制成兩幅不完整的統計圖.請根據統計圖信息回答下列問題.

（1）本次抽取調查學生共有人，估計該校3000名學生喜愛“跆拳道”興趣班的人數約為

___________人.

（2）請將以上申個統計圖補充完整.

（3）甲、乙兩名學生要選擇參加興趣班，若他們每人從A,B,C,。四類興趣班中隨機選取一類，請用

畫樹狀圖或列表法，求兩人恰好選擇同一類的概率.

【答案】⑴60,300

（2）見解析（3）-

4

【解析】

【分析】（1）根據喜歡繪畫的條形統計圖和扇形統計圖信息即可得本次抽取調查學生的總人數，再利用3000

乘以喜歡跆拳道的學生所占百分比即可得；

（2）先求出喜歡書法的學生人數，據此補全條形統計圖，再求出喜歡舞蹈和跆拳道的學生所占百分比，據

此補全扇形統計圖即可得；

（3）先畫出樹狀圖，從而可得甲、乙兩名學生選擇參加興趣班的所有等可能的結果，再找出兩人恰好選擇

同一類的結果，然后利用概率公式計算即可得.

【小問1詳解】

解：本次抽取調查學生的總人數為18+30%=60（人），

估計該校3000名學生喜愛“跆拳道”興趣班人數約為3000義￡=300（人），

60

故答案為：60,300.

【小問2詳解】

解：喜歡書法的學生人數人60x35%=21（人），

喜歡舞蹈的學生所占百分比為"xl00%=25%,

60

喜歡跆拳道的學生所占百分比為3x100%=10%.

【小問3詳解】

開始

由圖可知，甲、乙兩名學生選擇參加興趣班的所有等可能的結果共有16種，其中，兩人恰好選擇同一類

的結果有4種，

41

則兩人恰好選擇同一類的概率為P=—=—,

164

答：兩人恰好選擇同一類的概率為5

【點睛】本題考查了條形統計圖和扇形統計圖的信息關聯、畫條形統計圖和扇形統計圖、利用列舉法求概

率，熟練掌握統計調查的相關知識和列舉法是解題關鍵.

22.“廣安鹽皮蛋”是小平故里的名優特產，某超市銷售A5兩種品牌的鹽皮蛋，若購買9箱A種鹽皮蛋

和6箱B種鹽皮蛋共需390元；若購買5箱A種鹽皮蛋和8箱B種鹽皮蛋共需310元.

（1）A種鹽皮蛋、8種鹽皮蛋每箱價格分別是多少元？

（2）若某公司購買A5兩種鹽皮蛋共30箱，且A種的數量至少比8種的數量多5箱，又不超過5種的2

倍，怎樣購買才能使總費用最少？并求出最少費用.

【答案】（1）A種鹽皮蛋每箱價格是30元，B種鹽皮蛋每箱價格是20元

（2）購買A種鹽皮蛋18箱，8種鹽皮蛋12箱才能使總費用最少，最少費用為780元

【解析】

【分析】（1）設A種鹽皮蛋每箱價格是x元，B種鹽皮蛋每箱價格是丁元，根據題意建立方程組，解方程組

即可得；

（2）設購買A種鹽皮蛋洗箱，則購買8種鹽皮蛋（30-箱，根據題意建立不等式組，解不等式組可得加

的取值范圍，再結合加為正整數可得m所有可能的取值，然后根據（1）的結果逐個計算總費用，找出總費

用最少的購買方案即可.

【小問1詳解】

解：設A種鹽皮蛋每箱價格是x元，8種鹽皮蛋每箱價格是>元，

9x+6y=390

由題意得:

5x+8y=310

%=30

解得《

。=20’

答：A種鹽皮蛋每箱價格是30元，8種鹽皮蛋每箱價格是20元.

【小問2詳解】

解：設購買A種鹽皮蛋加箱，則購買8種鹽皮蛋（30-加）箱,

購買A種的數量至少比8種的數量多5箱，又不超過8種的2倍,

772-（30-7”）>5

m<2（30-m）'

35

解得3V/<20,

2

又：加為正整數，

所有可能的取值為18,19,20,

①當加=18,30—帆=12時，購買總費用為30x18+20x12=780（元），

②當加=19,30—加=11時，購買總費用為30x19+20x11=790（元），

③當田=20,30—加=10時，購買總費用為30x20+20x10=800（元），

所以購買A種鹽皮蛋18箱，B種鹽皮蛋12箱才能使總費用最少，最少費用為780元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，正確建立方程組和不等式組是解

題關鍵.

23.為了美化環境，提高民眾的生活質量，市政府在三角形花園ABC邊上修建一個四邊形人工湖泊

ABDE,并沿湖泊修建了人行步道.如圖，點C在點A的正東方向170米處，點E在點A的正北方向，

點都在點C的正北方向，長為100米，點B在點A的北偏東30。方向，點。在點E的北偏東58°

方向.

(1)求步道OE的長度.

(2)點。處有一個小商店，某人從點A出發沿人行步道去商店購物，可以經點8到達點。，也可以經點

E到達點。，請通過計算說明他走哪條路較近.結果精確到個位)(參考數據：

sin58°x0.85,cos58°?0.53,tan580工1.60,百q1.73)

【答案】(D200米

(2)AfD這條路較近，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據矩形的性質和銳角三角函數中的正弦值即可求出答案.

(2)根據矩形的性質和銳角三角函數中的正切值、余弦值分別求出A3和AE的長度，比較A3+5D和

AE+ED即可求出答案.

【小問1詳解】

解：由題意得，過點。作垂直AE的延長線于點尸，如圖所示，

.點。在點A的正東方向170米處，點E在點A的正北方向，點都在點C的正北方向,

:.AEYAC,DC±AC,

QDFAAF,

ZEAC=ZBCA=ZDFE=90°,

ACDF為矩形.

:.DF^AC.

AC=170米,

/=170米.

??在RtZ\0EE中，DE=*=122.=200米.

sin58°0.85

故答案為：200米.

【小問2詳解】

解：Af5fD這條路較近，理由如下:

ZEAB=30。，ZEAC=90°,

:.ZBAC=60°.

AC=170米，鳳1.73,

Ari

???在Rt_BAC中，AB=-------=170+—=340米.

cos6002

CB=ACtan60°=170/=170x1.73=294.1米.

AC。尸為矩形，&）=100米,

..CD=AF=CB+D5=294.l+100=394.1米.

DF當=106.25米

?,在Rt△。匹E中，EF=-------

tan58°1.60

:.AE=AF-EF=394.1-106.25=287.85米.

結果精確到個位,

:.AE+ED^287.85+200=487.85?488米.

AB+=340+100=440米.

AE+ED>AB+DB.

，從Af5-￡>這條路較近.

故答案為：Af5-0這條路較近.

【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，涉及到銳角三角函數正弦、余弦、正切，矩形的性質，解

題的關鍵在于構建直角三角形利用三角函數求邊長.

24.將邊長為2的正方形剪成四個全等的直角三角形，用這四個直角三角形拼成符合要求的四邊形，請在

下列網格中畫出你拼成的四邊形（注：①網格中每個小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相

同；③四邊形的各頂點都在格點上）.

是軸對稱圖形是中心對稱圖形既是軸對稱圖形既不是軸對稱圖形

不是中心對稱圖形不是軸對稱圖形又是中心對稱圖形又不是中心對稱圖形

【答案】見解析（答案不唯一，符合題意即可）

【解析】

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質進行作圖即可.

【詳解】解：①要求是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，則可作等腰梯形，如圖四邊形A3CD即為所

求；

②要求是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，則可作一般平行四邊形，如圖四邊形ABCD即為所求；

③要求既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則可作菱形、矩形等，如圖四邊形ABCD即為所求；

④要求既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，則考慮作任意四邊形，如圖四邊形A5CD即為所求.

【點睛】本題

是軸對稱圖形是中心對稱圖形既是軸對稱圖形既不是軸對稱圖形

不是中心對稱圖形不是軸對稱圖形又是中心對稱圖形又不是中心對稱圖形

考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念及作圖，軸對稱圖形：把一個圖形沿著某條直線折疊，能夠與另一

個圖形重合；中心對稱圖形：把一個圖形繞著某個點旋轉180°能夠和原圖形重合.

五、推理論證題

25.如圖，以RtZXABC的直角邊A3為直徑作（。，交斜邊AC于點。，點E是的中點，連接

OE、DE.

（1）求證：OE是（0的切線.

一.4

(2)若sinC=—,Z)E=5,求AD的長.

5

(3)求證：2DE?=CDOE.

32

【答案】(1)見詳解(2)—

3

(3)見詳解

【解析】

【分析】(1)連接BD,OD,先根據直角三角形的性質，證明BE=DE，再證明_OBEaODE(SSS)即

可；

(2)由(1)中結論，得BC=2DE=10,先根據三角函數及勾股定理求出8。,。。的長，再證明

△ADfisABDC即