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文檔簡介
2022年高考數學(新高考1卷)
及答案解析
一、單選題(本大題共8小題,共40.0分)
1.若集合時={x|C<4},N={用3久21},則MCN=()
11
A.{x|0<%<2}B,{%|-<x<2}C.{x\3<x<16}D.{%|g4%V16}
2.若i(l—z)=L則z+5=()
A.-2B.-1C.1D.2
3.在△ABC中,點。在邊AB上,BD=2D4記方=記,而=五,則而=()
A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD,2m+3n
4.南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已
知該水庫水位為海拔148.5小時,相應水面的面積為140.0kni2;水位為海拔157.5m
時,相應水面的面積為180.0的層.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,
則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5機時,增加的水量約為(夕x2.65)()
93
A.1.0x109nl3B.1.2x109nl3c.1.4x10mD.1.6x109nl3
5.從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數,則這2個數互質的概率為()
6.記函數/(x)=sin(6)x+"+b(3>0)的最小正周期為T.若年<7<兀,且y=f(x)
的圖像關于點
得,2)中心對稱,則/6)=()
A.1B.1C.ID.3
-1
7.設a=0.1e°,,b=-,c=—ln0.9,貝!J()
A.a<b<cB,c<b<aC.c<a<bD,a<c<b
8.已知正四棱錐的側棱長為1,其各頂點都在同一個球面上,若該球的體積為36兀,
且3W1W3K,則該正四棱錐體積的取值范圍是()
A.[18,引B.信4]C.[y,y]D,[18,27]
二、多選題(本大題共4小題,共20.0分)
9.已知正方體力BCD一力iBiCi%,則()
A,直線BCi與D公所成的角為90°
第1頁,共19頁
B,直線BQ與C&所成的角為90°
C,直線BQ與平面8名小。所成的角為45°
D.直線BCi與平面ABCD所成的角為45°
10.已知函數/'(久)=必-%+L貝ij()
A.fO)有兩個極值點
B.f(久)有三個零點
C.點(0,1)是曲線y=f。)的對稱中心
D,直線y=2%是曲線y=/(x)的切線
11.已知。為坐標原點,點4(1,1)在拋物線C:/=2py(p>0)上,過點8(0,-1)的直
線交C于P,Q兩點,貝歐)
A.C的準線為y=—1B.直線48與C相切
C.\0P\■\0Q\>\0A\2D.\BP\■\BQ\>\BA\2
12.已知函數f(x)及其導函數f'(x)的定義域為R,記g(x)=f'(x)若/(|-2x),g(2+
x)均為偶函數,貝!1()
A"(0)=0B.g(-,)=0cj(—l)=f(4)D.g(—l)=g(2)
三、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.的展開式中》2y6的系數為(用數字作答).
14.寫出與圓%2+y2=1和(%—3)2+(y—4)2=16都相切的一條直線的方
程.
15.若曲線y=(%+a)e%有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是.
22
16.已知橢圓。a+左=l(a>。>0),C的上頂點為力,兩個焦點為f口F2,離心率
為右過Fj.且垂直于492的直線與C交于。,E兩點,\DE\=6,則AADE的周長
是.
四、解答題(本大題共6小題,共70.0分)
17.記5?為數列{an}的前n項和,已知%=1,倒是公差為押等差數列.
(1)求{an}的通項公式;
(2)證明:—+—+,??+—<2.
-aia2an
18.記的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知譽J=言⑦.
l+sinA1+COS2F
第2頁,共19頁
(1)若。=警,求B;
(2)求學的最小值.
CL
19.如圖,直三棱柱4BC-4送1的的體積為4,△&BC的面積為2/.
(1)求A到平面&8C的距離;
(2)設D為&C的中點,力Ai=4B,平面AiBC,平面ABBiAi,求二面角A-BD-C
的正弦值.
20.一支醫療團隊研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣(衛生習慣分為良
好和不夠良好兩類)的關系,在已患該疾病的病例中隨機調查了100例(稱為病例
組),同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人(稱為對照組),得到如下數據:
第3頁,共19頁
不夠良好良好
病例組4060
對照組1090
(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異?
(2)從該地的人群中任選一人,4表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”,B表示事件
“選到的人患有該疾病”,嚼與需的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程
度的一項度量指標,記該指標為R.
證明.嬰返曳.
力.P⑷町P(麗,
(譏)利用該調查數據,給出尸⑷8),PQ4⑻的估計值,并利用⑴的結果給出R的估計值.
附.K2="遢一姐2
(a+b)(c+d)(a+c)(匕+d)'
P(K2>k)0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
21.已知點4(2,1)在雙曲線C:馬一£=l(a>1)上,直線1交C于P,Q兩點,直線
aLaz-l
AP,4Q的斜率之和為0.
(1)求1的斜率;
(2)若tanzPXQ=2a,求4PAQ的面積.
已知函數/(%)=ex—ax和g(%)=ax—Inx有相同的最小值.
⑴求a;
(2)證明:存在y=b直線,其與兩條曲線y=/(%)和y=g(%)共有三個不同的交點,
并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本題主要考查了集合的交集運算,屬于基礎題.
【解答】
-1
解:因為M={x|0<x<16},N^{x\x>^},
-1
故MCtN[x\^<x<16].
第4頁,共19頁
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查了復數代數形式的四則運算及共軟復數,屬基礎題.
【解答】
解:z=l+i,z+z=l+i+l—i—2.
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本題主要考查向量的加減及數乘運算,屬于基礎題.
【解答】
解:CD^^CA+^CB,~CB=3CD-2CA2m+3n.
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查了棱臺的體積公式的應用,屬于基礎題.
【解答】
解:依據棱臺的體積公式
U=1.(S+S,+7^)-h
=1?(140000000+180000000+V14000000x18000000)x9
x1.4x109m3.
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查了古典概型及其計算,涉及組合數公式、對立事件的概率公式,屬基礎題.
【解答】
解:由題可知,總的取法有仔=21種,不互質的數對情況有:兩個偶數,3和6.
所以兩個數互質的概率為P=I—2=2.
213
6.【答案】A
第5頁,共19頁
【解析】
【分析】
本題主要考查三角函數的周期性和對稱性,屬于中檔題.
【解答】
解:由題可知:T=—E.,71),所以3€(2,3).
又因為y=f(x)的圖像關于點(g,2)中心對稱,所以b=2,且/(y)=sin(<ox
卑+"+6=2.
所以au'llk-[),kEZ,所以o>='|.所以f(x)=sin(1x+^)+2.所以
/(7)=1.
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查了利用導數比較大小,關鍵是構造合適的函數,考查了運算能力,屬于較難題.
【解答】
解:a—O.le01,b—O'^,c=—ln(l—0.1),
①Ina—In/?=0.1+ln(l—0.1),
令f(%)=%+ln(l—x),x6(0,0.1],
則r(x)=l—白=產<0,
1—x1—x
故f(x)在(0,0.1]上單調遞減,
可得/(0.1)</(0)=0,即Ina—\nb<0,所以a<b;
@a—c=O.le01+ln(l—0.1),
令g(x)=xex+ln(l—x),xG(0,0,1],
則g'(x)=xex+ex-工(—4,
1—x1—x
令fc(x)=(1+x)(l—x)ex-1,所以fc'(x)=(1—x2—2%)ex>0,
所以fc(x)在(0,0.1]上單調遞增,可得fc(x)>/c(0)>0,即g\x)>0,
所以g(%)在(0,0.1]上單調遞增,可得g(0.1)>g(0)=0,即a—c>0,所以
a>c.
故c<a<b.
8.【答案】C
第6頁,共19頁
【解析】
【分析】
本題考查了球的內接問題,涉及棱錐的體積、球的體積、基本不等式、導數等知識,屬
較難題.
【解答】
解:方法(1):
設正四棱錐P-ABCD的高為POr=h,底面邊長為a,球心為。,由已知易得
球半徑為R=3,
V2-+(%—3)2=9=/2
27a2=2(6hi2),因為3<l<3V3=,9<6h<
V2
2-十/!?一L
)
>,
故所以V=^ct2h-|(6/i—h2>)h=1(12—2/i)/ix/i<|x^12~2f^+h+hy=y(當且僅
當h=4取到),
當八=|時,得。=等,則(罷)2x1=3
當1=3百時,球心在正四棱錐高線上,此時h=|+3=?,
2
與。=迥0&=半,正四棱錐體積V1=^ah=^^-yx-=-<^,故該正四
22V233V2243
棱錐體積的取值范圍是[個,?]?
4D
方法(2):
由方法(1)中知V=|(6-/i)h2,|<h<|,求導V'=2(4-/i)/i,所以V=
|(6-/i)/i2在[|,4]上單調遞增,在[4,1]上單調遞減,所以6ax=V(4)=g,
Vmin=min{y(|)y(|)}=V(|)=,故該正四棱錐體積的取值范圍是[y,y].
9.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本題主要考查直線與直線所成角及直線與平面所成角,屬于中檔題.
【解答】
解:如圖,因為BC.1B.C,B1C//DA1,所以BQlZMi,故A正確;
第7頁,共19頁
對于選項B:因為直線BQ1平面CD&Bi,且C&u平面CD&Bi,所以直線
BC1_LC4,故8正確;
對于選項C:連接&C1與B1D1交于點。1,則N0/C1即為直線BC1與平面
BBiDiD所成的角,
sin/OiBCi=皆=[,所以/。/的=30。,故C錯誤;
對于選項D:直線BC]與平面ABCD所成的角即為4的3。=45。,所以D正確.
10.【答案】AC
【解析】
【分析】
本題考查利用導數研究函數的極值與零點以及曲線上一點的切線問題,函數的對稱性,
考查了運算能力以及數形結合思想,屬于中檔題.
【解答】
解:/(x)-X3—x+1=>f'(x)-3x2-1,令f'(x)=0得:x=+y>
f(x)>0n久<—或x>;f(x)<0=>—曰<x<手,
所以/(X)在(-8,-/)上單調遞增,在(一手,當)上單調遞減,在譚,+。上
單調遞增,
所以/(%)有兩個極值點(X=-苧為極大值點,X居為極小值點),故/正
確;
X/(--)=---(--)+1=1+—>0,f(@)=遮一型+1=1-2>0,
八3,9v379八3,939
所以/(%)僅有1個零點(如圖所示),故2錯;
第8頁,共19頁
又/(-X)-x3+x+1=>/(-x)+/(x)=2,所以/(x)關于(0,1)對稱,故C
正確;
對于D選項,設切點P(%o,yo),在P處的切線為—&+1)=(3說—
l)(x-x0),
即y=(3%Q—l)x-+1,
3避—1=2
:3】八,方程組無解,所以D錯.
{-24+1=0
11.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本題考查了直線與拋物線的位置關系,屬較難題.
【解答】
解:點4(1,1)在拋物線C\x2=2py(p>0)上,即1=2p=C:%2=y,所以準線
為y=—;,所以力錯;
4
直線AB\y=2%—1代入x2=y得:x2—2%+1=0=>(%—I)2=0=>x=0,所
以48與C相切,故B正確.
由題知直線PQ的斜率一定存在,則可設直線
rtfV=fc%—1Q
PQ-.y=kx—1,P(%i,yD,Q(%2,y2),貝_=>%2—fcx+1=0,△=
{.y=x2
好—4>0=/cV—2或k>2,
此時p1+久2=km=*+%=01+久2)2-2X/2=/一2
1打*2=1'[乃乃=久鴻=1
\OP\'\OQ\=J(點+為2)([+於)=+無)(>2+耳)=
」(乃>2)2+(乃乃)(乃+乃)+乃乃=,2+(k2-2)=VF>2=I。力|2,故C正確;
22222
\BP\'|BQ|=V1+k\x1-O|V1+k\x2-0|=(1+k')\xix2\=(1+fc)>5=\BA\
,故D正確.
第9頁,共19頁
第10頁,共19頁
解:因為O+y"展開式的通項7\+1=。卡8-勺「,
令?*=5,貝!!x3y5的系數為緇=56;令丁=6,則x2y6的系數為C1=28,
所以x2y6的系數為-56+28=-28.
14.【答案】久+1=07x-24y-25=03久+4y—5=0(填一條即可)
【解析】
【分析】
本題考查了圓與圓的公切線問題,涉及圓與圓的位置關系、點到直線的距離等知識,
屬較難題.
【解答】
解:方法1:顯然直線的斜率不為0,不妨設直線方程為x+by+c=0,于是
|c|_]|3+4b+c|_4
Vl+h2-'Jl+族-,
故c2=1+扶①,|3+4b+c|=|4c|.于是3+4b+c=4c或
2—4Ab,~~4
3+4b+c=—4c,再結合①解得或|~3
2或{5,所以直線
lc_J.c__—c=—
7I3
方程有三條,分別為x+1=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0.
(填一條即可)
方法2:設圓x2+y2=1的圓心。(0,0),半徑為ri=1,圓(x—3)2+(y—
4)2=16的圓心C(3,4),半徑萬=4,則|OC|=5=勺,因此兩圓外切,
由圖像可知,共有三條直線符合條件,顯然久+1=0符合題意;
又由方程(x—3)2+(y—4)2=16和x2+y2=1相減可得方程3x+4y—5=0,
即為過兩圓公共切點的切線方程,
又易知兩圓圓心所在直線0C的方程為4%—3y=0,
直線0C與直線*+1=0的交點為,設過該點的直線為y+;k(x+
第11頁,共19頁
1),則注=1,解得k=(,
Vfc2+i24
從而該切線的方程為7x-24y-25=0.(填一條即可)
15.【答案】(-8,-4)U(0,+8)
【解析】
【分析】
本題主要考查過曲線外一點的切線問題,屬于中檔題.
【解答】
解:y'=(%+a+l)ex,設切點為(%o,y()),故丁(&+a+l)e。,即=
"0XQ
x
(x0+a+l)e°.由題意可得,方程%+a=%(%+a+1)在(—8,0)u(0,+8)上
有兩個不相等的實數根.化簡得,%2+ax—a=0,△=a2+4a>0,解得a<—4
或Q>0,顯然此時0不是根,故滿足題意.
16.【答案】13
【解析】
【分析】
本題主要考查了直線與橢圓的位置關系的應用、橢圓的定義以及橢圓中的弦長問題,考
查了運算求解能力,屬于中檔題.
【解答】
解:由橢圓離心率為1,可得a=2c,則b=ylcfi—c2=V3c,
則,:言+%=1'A(0,V^c),%(—c,0),尸2(-。)9
:
易得^AF2:y=—V3x+V3c,IEDy=苧(%+c),
可解得AF2與DE的交點M(云字),
Fi}X
/
故直線DE垂直平分力B,即瓦4=EF2,DA—DF2,
4+4=i(,8c
XD+XE=--
又.4c片=13x2+8cx-32c2=0=>?
32c2
y=y(%+c)\XDXE=--
第12頁,共19頁
'''\DE\=1+hx一=6=>(XD+x)2-4XX=27=>c=,
N3DEDEO
所以△力DE的周長AD+AE+DE=DF2+EF2+DFX+EF1=4a=8c=13.
17.【答案】解:+
CLnUiJ3J
n+3
s九+1=冊+1
3
n+3九+2c-an+l_n+2.
由②一①得:an+l=“n+1.—)
3n
a_?2n+1n543_(n+l)n_
,當n>2且neN*時,n?——
aian-lan-2。2ain-1n-2321~2—
又a】=1也符合上式,因此出,=?。;)(neN*);
(2)2(i-京),
ann(n+l)'n
1,11,,11、1、八
------1----------F…H------------)=2(1--------)<2
?,?—+—++—=2(-223nn+1J'n+1J
aia2an1
即原不等式成立.
【解析】本題考查了數列與不等式,涉及裂項相消法求和、等差數列的通項公式、根據
數列的遞推公式求通項公式等知識,屬中檔題.
/八cos>lsin2Bcos?;siM?2sinBcosB口八
18.【答案】解:⑴-1+sinX-1+COS2B("fsi謂+2si碌謁-1+2CNB-1且C°SB豐°,
AA
.cos^—si丐_sin31-tanyA
???------4=tani?,???tan(7R------)=tanB,
cos^+sin^cosBl+tan-42
-T~~j?/c、TC4/TL7T、TL4c
又4BG(0,71),I一(一11),*'-7-7=
又"二手???4+B=g,
22sin2z+sin2B_si/z+siMf^
bczSa+b一分
(2)由正弦定理白=菽,信T
sinBsin2csin?(A號一令
i一cos2A1-cos2(5-務
212_1-cos2A+1-sinA_2sin24-sin4+1
1一cos2(A喘一令1+sinA1+sinA'
2
僅£(°")n人.
{"ARem、n4e(0,-),令t=1+sinAG(1,2),
匕一5="e(u,兀)2
則y=2(T:(I)+1=2t_5++te(1,2),
y=2t—5+q在te(1,a)時遞減,在te(夜,2)時遞增,
因此t=V^時,ymin=4V2-5.
【解析】本題主要考查三角恒等變換的綜合應用及利用余弦定理和對勾函數解決最值問
題,屬于中檔題.
第13頁,共19頁
19.【答案】解:(1)設I到平面&BC的距離為d,
因為直三棱柱ABC-的體積為4,即可得SAABCZAI=4,
故吸1-4BC==j-
又匕41-4BC=匕4-41BC=AiBC'd=§義2^2Xd=~,
解得d=&,所以4到平面&BC的距離為迎;
(2)連接力B1,因為直三棱柱力BC—A1B1C1中,441=48,
故44止再為正方形,即ABC,
又平面AiBC1平面ABBrAr,平面AiBC0平面ABBrAr=ArB,ABru平面ABBrAr,
故皿1平面&BC,所以皿IBC,
又因為力AiIBC,4Bi,AAiu平面力BBi40S.AB1C\AB1^A,
故BC1平面力貝UBC14B,
所以BB],AB,BC三條直線兩兩垂直,
故如圖可以以B為原點建立空間直角坐標系,
設AA1-AB-a,BC—b,則=V2a,
fi,.
-axbxa=4
由條件可得.2,解得宜:
-xV2axb=2V2
12
則B(0,0,0),C(2,0,0),4(0,2,0),4(0,2,2),力修的中點
所以源=(0,2,0),麗=(1,1,1),就=(2,0,0)
設平面ABD的一個法向量為方=(x,y,z),
像集H篇"。,取……,
同理可求得平面BCD的一個法向量為每=(0,1,-1)
第14頁,共19頁
所以|cos〈五,H2>|=|雪%|3
11
|ni|-|n2|2
所以二面角A-BD-C的正弦值為退.
2
【解析】本題考查了平面與平面所成角的空間向量求法、點到面的距離的幾何求法、幾
何體的體積公式,考查了空間中的垂直關系的證明與應用,屬于中檔題.
20.【答案】解:(1)得到2x2聯表如下:
第15頁,共19頁
不夠良好良好總計
病例組4060100
對照組1090100
總計50150200
,200x(40x90-60x10)2
K2=------------------------------=24>10,828
100x100x50x150
??.有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異;
(2)①證明:=P0M)—鬻,
P(B④=yf-尸位④=哥,
P(BA)P畫)
_P(B|4)P(BIA)_~p(A)~.P(A)_P(BA)P(BZ)
..[\—_.__—_.__—_,_
P(B\A)P(B\A)P(BA)P(BA)P(瓦1)P(B?
P(4)P(A)
又「P⑷B)=W,2⑷8)—第,P(4⑻一鏘,
P(福=需,
__P(AB)P(AB)____
.P(4|3).P⑷瓦)__P(4B).P(■初_P(B4).P(—N)
"P(A\B)P(A\B)~P@)P(疝)-P(AB)P(A后)-P(月4)P(B彳)'
P(B)P⑥
A=P_Q_4_⑻__P(_A_\B)?
?.-P(A\B}PQ4E)'
5)???尸(卬8)=綃=9=2尸楨田)=幽=里=三,尸(才厲)=①=里=工
'''I'P(B)1005'’91?p(B)1005V17P(B)10010
_P(確101
29
生絲2場段=聶亙=6
"P(A\ByP(A\B)~3工一。
510
.R_P⑷B)P硒_Z-
P⑷8),P⑷豆)
即PQ4|B)=g「(4|萬)=焉,R的估計值為6.
【解析】本題考查了獨立性檢驗和條件概率的計算,屬中檔題.
21.【答案】解:(1)將點力代入雙曲線方程得*—七=1,化簡得。4一4。2+4=0得:
2
a2=2,故雙曲線方程為二—y2=i;
由題顯然直線1的斜率存在,設l:y=kx+7n,設P(Xi,yD,(?(如為),則聯立直線與雙
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曲線得:
(2k2—l)x2+4kmx+2m2+2=0,△>0,
4km27n2+2
故Xi+%2=~范了%1%2=并于
yi-iy2—1_kx^+m—l+k%2+Tn—l
匕4P+^AQ=+=0,
X\一2%2—2%]—2%2—2
化簡得:2kxrx2+(m—1—2k)(x1+x2)—4(m—1)=0,
故(機一1_2k)(一簧)-4(m—1)=0,
即(k+l)(ni+2/c—1)=0,而直線[不過Z點,故/c=-1.
(2)設直線AP的傾斜角為a,由tan/P4Q=2魚,得tan竽=f,
由2a+NPHQ=兀,得kap=tana=&,即三z1=&,
聯立得=‘,及?一*=1得久1=三,為=警,
同理,出=生竺公力=30,
[乙,ZU00
故+x2=—,%1%2=y
而|AP|=百|久1一2|,\AQ\=V3|X2-2|)
由tanzJMQ=2魚,得sm^PAQ=手,
故SAPAQ=?||AP||4Q|sinNP4Q=V2|x1x2-2(巧+x2)+4|=
【解析】本題主要考查直線與雙曲線的位置關系及雙曲線中面積問題,屬于難題.
22.【答案】解:(1)由題知尸0)=礦—a,g,(久)=a—3
①當aWO時,尸(久)>0,,g\x)<0,則兩函數均無最小值,不符題意;
②當a>0時,,。)在(一8,Ina)單調遞減,在(Ina,+8)單調遞增;
g(x)在(0,》單調遞減,在4,+8)單調遞增;
]1
故f(%)min=/(Ina)=a-a\na,^(x)min=^(-)=1-In-,
所以a—alna=1—In—>即Ina————0,
aa4-1
令p(a)=lna—震,則p,g)=:高=高>0,
則p(a)在(0,+8)單調遞增,又p(l)=0,所以a=l.
(2)由(1)知,/(x)=ex—x,^(x)=x—Inx,
且/(%)在(-8,0)上單調遞減,在(0,+8)上單調遞增;
g(%)在(0,1)上單調遞減,在(1,+8)上單調遞增,且/(%)min
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