模塊綜合檢測(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1已知復數z滿足(z1)i=1+i,則z=()A.2i B.2+iC.2i D.2+i答案C2已知a<0,1<b<0,則下列各式成立的是()A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a解析∵1<b<0,∴0<b2<1,b2>b.又a<0,∴a<ab2<0,ab2<ab.故選D.答案D3若復數2a+2i1+i(a∈R)是純虛數,則復數2a+2i在復平面內對應的點在(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析2a+2i1+i=(2a+2i由題意得a=1,所以2a+2i=2+2i.在復平面內對應的點為(2,2),即在第二象限.答案B4已知直線y=kx+1與曲線y=x2+ax+b相切于點A(1,3),則ab等于()A.4 B.1C.3 D.2解析因為點A(1,3)在直線y=kx+1上,所以k=2.又y=x2+ax+b,則y'=2x+a,所以k=y'|x=1,即2=2×1+a,所以a=0.又點A(1,3)在曲線y=x2+ax+b上,所以b=2,ab=2.故選D.答案D5下列推理正確的是()A.因為m>n,m>p,所以mn>mpB.如果不買彩票,那么就不能中大獎,因為你買了彩票,所以你一定能中大獎C.如果m,n均為正實數,那么(m+n)2≥4mnD.如果m,n均為正實數,那么lgm+lgn≥2lg解析由m>n,m>p可能有mn<mp,例如21<2(1),故選項A不正確;選項B顯然不正確;當m,n均為正實數時,lgm,lgn不一定為正數,所以lgm+lgn≥2lgm·lgn不一定成立,答案C6設函數f(x)在定義域內可導,y=f(x)的圖象如圖,則導函數y=f'(x)的圖象可能為()解析如圖,可知函數f(x)在區間(∞,0),(0,a)和(b,+∞)內是增函數,f'(x)>0,y=f'(x)的圖象在x軸的上方;函數f(x)在區間(a,b)內是減函數,f'(x)<0,y=f'(x)的圖象在x軸的下方.綜上可知,D選項正確,故選D.答案D7用數學歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N*)時,第一步驗證當n=1A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4解析等式左邊的規律是從1一直加到n+3.所以當n=1時,應為1+2+3+4.故選D.答案D8n個連續自然數按規律排成下表:根據規律,從2016到2018,箭頭的方向依次為()A.↓→ B.→↑ C.↑→ D.→↓解析由已知可得箭頭變化的周期為4,故由得從2016到2018的方向為選項A中所示.答案A9給出以下命題:(1)若abf(x)dx>0,則f(x)(2)02π|sinx|(3)F(x)是以T為周期的函數,且F'(x)=f(x),則0af(x)dx=Ta+T其中正確命題的個數為()A.1 B.2 C.3 D.0解析(1)錯誤.如-12xdx=12x但f(x)=x在(1,2)上不滿足f(x)>0.(2)正確.02π|sinx|dx=π0sinxdx+π2π(3)正確.0af(x)dx=F(x)|0a=F(Ta+Tf(x)dx=F=F(a+T)F(T)=F(a)F(0).答案B10已知對任意實數x,有f(x)=f(x),g(x)=g(x),且當x>0時,f'(x)>0,g'(x)>0,則當x<0時()A.f'(x)>0,g'(x)>0 B.f'(x)>0,g'(x)<0C.f'(x)<0,g'(x)>0 D.f'(x)<0,g'(x)<0解析由題意可知y=f(x)是奇函數,y=g(x)是偶函數.因為當x>0時,y=f(x),y=g(x)是增函數,所以當x<0時,y=f(x)是增函數,y=g(x)是減函數,即當x<0時,f'(x)>0,g'(x)<0.答案B11下面給出了關于復數的四種類比推理:①復數的加減法運算法則,可以類比多項式的加減法運算法則;②由向量a的性質:|a|2=a2,可以類比得到復數z的性質:|z|2=z2;③關于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有兩個不同實根的條件是b24ac>0,類比可得關于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)有兩個不同復數根的條件是b24ac>0;④由向量加法的幾何意義,可以類比得到復數加法的幾何意義.其中類比得到的結論正確的是()A.①③ B.②④ C.②③ D.①④解析②中|z|2∈R,而z2不一定是實數.③中復數集中不能比較大小,不能用b24ac來確定根的個數.答案D12如圖,設T是直線x=1,x=2,y=0以及過x=1,x=2與y=x2交點的直線圍成的直角梯形區域,S是T內函數y=x2圖象下方的點構成的區域(圖中陰影部分).向T中隨機投一點,則該點落入S中的概率為()A.15 B.25 C.13解析解方程組y=x2,x=-1,得曲線y=x解方程組y=x2,x=2,得曲線y=x2與直線x=所以直角梯形區域T的面積為1+42×[2(1)]=15又因為陰影部分S的面積為-12x2dx=13x3|-1則該點落入S中的概率為315答案B二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中的橫線上)13已知i是虛數單位,若復數(12i)(a+i)是純虛數,則實數a的值為.

答案214已知函數f(x)=ax2+bx+c(x≥-1),f(-x-2)(x<-1),在其圖象上點(1,解析在y=2x+1中,令x=1,得y=3,所以f(1)=3,所以a+b+c=3.對函數f(x)=ax2+bx+c求導得f'(x)=2ax+b,則f'(1)=2a+b=2.由已知得f(3)=f(32)=f(1)=3,對函數f(x)=f(x2)求導得f'(x)=f'(x2),所以f'(3)=f'(32)=2,所以f(x)在點(3,f(3))處的切線方程為y3=2(x+3),即y=2x3.答案y=2x315設等邊三角形ABC的邊長為a,P是△ABC內的任意一點,且P到三邊AB,BC,CA的距離分別為d1,d2,d3,則有d1+d2+d3為定值32a.由這個平面圖形的特性類比空間圖形:設四面體ABCD的棱長均為a,P是四面體ABCD內的任意一點,且點P到平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD的距離分別為d1,d2,d3,d4,則有d1+d2+d3+d4為定值.

解析在等邊三角形ABC中,d1+d2+d3=32a為△ABC的高,類比四面體中,d1+d2+d3+d4也應為四面體的高63答案6316若偶函數f(x)在x∈(0,+∞)時滿足f'(x)>f(x)x,且f(1)=0,則不等式f(x)解析設g(x)=f(x)則g'(x)=f'(x所以g(x)在(0,+∞)內是增函數.當x>0時,由f(x)x≥0=f(當x<0時,x>0,f(x)x≥0?f(x)-x≤0?f(-x)答案[1,0)∪[1,+∞)三、解答題(本大題共6小題,共74分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(12分)若復數z1滿足z1=i(2z1)(i為虛數單位).(1)求z1;(2)求|z1|(3)若|z|=1,求|zz1|的最大值.分析先由已知條件求出復數z1,再利用復數模的定義及其幾何意義求解.解(1)由z1=i(2z1),得z1=2i1+i=1+i(2)|z1|=|z1|=2(3)|zz1|表示復數z與z1分別對應的點Z與Z1間的距離,Z在圓x2+y2=1上,Z1(1,1),顯然Z,Z1間的最大距離為2+1,即|zz1|的最大值為2+1.18(12分)設兩拋物線y=x2+2x,y=x2所圍成的圖形為M,求M的面積.分析先求得兩拋物線的交點坐標,再作出草圖,結合圖形求解.解解方程組y=-x函數y=x2+2x與y=x2在同一坐標平面內的圖象如圖所示,由圖可知,圖形M的面積為01(x2+2xx2)dx=01(2x2+2x所以M的面積為1319(12分)已知△ABC的三邊長分別為a,b,c,且其中任意兩邊長均不相等.若1a,1b,1c成等差數列,解大小關系為ba證明如下:要證ba<cb因為a,b,c>0,所以只需證b2<ac.因為1a,所以2b=1a+1c≥21又a,b,c任意兩邊均不相等,所以b2<ac成立.故所得大小關系正確.20(12分)設△ABC的兩個內角A,B所對的邊分別為a,b,復數z1=a+bi,z2=cosA+icosB,若復數z1·z2為純虛數,試判斷△ABC的形狀,并說明理由.分析利用復數為純虛數的條件,結合正弦定理及三角知識求解.解△ABC為等腰三角形或直角三角形.理由如下:因為z1=a+bi,z2=cosA+icosB,所以z1·z2=(acosAbcosB)+i(acosB+bcosA).又z1·z2為純虛數,所以a由①及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因為A,B為△ABC的內角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.所以2A=2B或2A=π2B,即A=B或A+B=π2.也就是A=B或C=π由②及正弦定理,得sinAcosB+sinBcosA≠0,即sin(A+B)≠0.因為A,B是△ABC的內角,所以0<A+B<π.所以sin(A+B)≠0成立.綜上所述,知A=B或C=π2故△ABC為等腰三角形或直角三角形.21(12分)已知函數f(x)=ex(ax2+a+1)(a∈R).(1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)≥2e2對任意x∈[2,1]恒成立,求實數a解(1)當a=1時,f(x)=x2ex,f(1)=e.f'(x)=2xexx2ex.因為切點為(1,e),則k=f'(1)=3e,所以f(x)在點(1,e)處的切線方程為y=3ex+2e.(2)由題意得,f(2)=e2(4a+a+1)≥2e解得a≥15f'(x)=ex(ax2+2ax+a+1)=ex[a(x+1)2+1].因為a≥15,所以f'(x)>0恒成立所以f(x)在[2,1]上單調遞增.要使f(x)≥2e2則f(2)=e2(4a+a+1)≥2e2,即a≥故實數a的取值范圍是1522(14分)設函數f(x)=(x1)3axb,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的單調區間;(2)若f(x)存在極值點x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求證:x1+2x0=3;(3)設a>0,函數g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區間[0,2]上的最大值不小于14(1)解由f(x)=(x1)3axb,可得f'(x)=3(x1)2a.下面分兩種情況討論:①當a≤0時,有f'(x)=3(x1)2a≥0恒成立,所以f(x)的單調遞增區間為(∞,+∞).②當a>0時,令f'(x)=0,解得x=1+3a3,或x=1當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x∞113a1-1+1+3a1+3af'(x)+00+f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以f(x)的單調遞減區間為1-3a3(2)證明因為f(x)存在極值點,所以由(1)知a>0,且x0≠1.由題意,得f'(x0)=3(x01)2a=0,即(x01)2=a3,進而f(x0)=(x01)3ax0b=2a3x0又f(32x0)=(22x0)3a(32x0)b=8a3(1x0)+2ax03ab=2a3x0a3b=f(x0),且32x0≠x0,由題意及(1)知,存在唯一實數x1滿足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=32x0.所以x1+2(3)證明設g(x)在區間[0,2]上的最大值為M,max{x,y}表示x,y兩數的最大值.下面分三種情況討論:①當a≥3時,13a3≤0<2≤1+3a3,由(1)知,f(x)在區間[0,2]上單調遞減,所以f(x)在區間[0,2]上的取值范圍為[f(2),f(0)],因此M=max{|f(2)|,|f(0)|}=max{|12ab|,|1b|}=max{|a1+(a+b)|,|a1(a+b)所以M=a1+|a+b|≥2.②當34≤a<3時,123a3≤0<13a