漢中市2024屆高三年級教學質量第一次檢測考試

數學（文科）

本試卷共23小題，共150分，共4頁.

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內.

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工

整、筆跡清楚.

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草

稿紙、試卷上答題無效.

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個

是符合題目要求的.

L已知集合A={—1,。」,2}，5=同0<2—%<3},貝B=（）

A.{0,1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.[0,1,2）

【答案】A

【解析】

【分析】將集合B化簡，再結合集合的交集運算即可得到結果.

詳解】將集合8化簡可得5=卜卜1<%<2},

則AB={0,l}

故選:A

2.已知z（2+i）=l,則復數z的虛部為（）

,111.1.

A.—B.-C.—iD.-i

5555

【答案】A

【解析】

【分析】利用復數的四則運算及定義計算即可.

【詳解】由z（2+i）=l可得z=——=二=——i,即虛部為——.

2+i5555

故選：A

3.已知向量冽=（2,幾），〃=（2-4-4）,若冽與〃共線且同向，則實數4的值為（）

A.2B.4C.-2D.—2或4

【答案】C

【解析】

【分析】通過向量共線且同向，即可求出實數X的值.

【詳解】由題意，

m=（2,A）,n=（2—A,—4）,

:俄與?共線且同向

.?.2（2—2）+8=0,解得2=—2或2=4,

當4=4時，加與〃共線且反向，舍去，

故選：C.

4.一個幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）

!正（□主）視圖側（左）視圖

俯視圖

2乃2〃

A.8H-----B.8+2TTC.4H-----D.4+2TT

33

【答案】A

【解析】

【詳解】根據三視圖可知：該幾何體是一個圓錐和正方體的組合體.

1,227r

圓錐的體積為一兀xFx2=—兀，正方體的體積為8,故幾何體的體積為：8+—

333

故選：A

V3

~T

【答案】c

【解析】

【分析】將條件等式兩邊平方，利用sin2x+cos2jc=l，結合二倍角公式，即可求解.

所以sin2x+cos2x-2sinxcosx=

3

所以sin2尤=—

4

故選：C.

【點睛】本題考查應用同角間的三角函數關系、三角恒等變換求值，屬于基礎題.

6.為慶祝我國第39個教師節，某校舉辦教師聯誼會，甲、乙兩名數學老師組成“幾何隊”參加“成語猜猜猜”

43

比賽，每輪比賽由甲、乙兩人各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為一，乙每輪猜對的概率為一.在每輪

54

比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，貝「幾何隊''在一輪比賽中至少猜對一個成語的概率為()

31971

A.-B.—C.—D.—

5202020

【答案】B

【解析】

【分析】利用事件的相互獨立性求解.法一，所求事件轉化為互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即

可；法二，利用對立事件的概率和為1,間接法可得.

【詳解】設事件A=“甲猜對"，3=“乙猜對"，C="幾何隊至少猜對一個成語”，

所以P(A)=1,P(5)=g則P(Z)=g,PW)[.

由題意知，事件相互獨立，則耳與B,A與豆，,與后也相互獨立，

法一：C=(4B)L(麗)(AB),且初,A及A3兩兩互互斥，

則P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

13414319

=-X——b—X—+—X—=——.

54545420

法二：事件。的對立事件心="幾何隊一個成語也沒有猜對"，即e二^

——_1119

則尸(C)=l-尸(C)=l-尸(A5)=l-尸(A)尸(3)=1-表工=元.

故選：B.

7.已知P：O<x<l；q：x>m,若。是q的充分條件，則實數加的取值范圍是()

A.m>0B.m>lC.m<0Dm￡l

【答案】C

【解析】

【分析】根據充分，必要條件與集合的包含關系，即可求解.

【詳解】若°是q的充分條件，貝3耳0<%<“口{x|x>%},

所以加<0.

故選：C

8.已知雙曲線根f+V=1的一條漸近線的斜率為2,則機=()

1

A.-4B.4C.——

44

【答案】A

【解析】

【分析】利用雙曲線的方程求解漸近線，求出〃z的值.

2—￡=1

【詳解】根據加必+/=1,得到丁

m

則焦點在y軸，故漸近線為y=±J二嬴，

則yj—m—2>故爪=—4.

故選：A

9.下列函數中，在(0,+8)上是減函數且是偶函數的是()

A.f(%)—x~+1B.f(x)=—%3C./(x)=lg^/(%)=23

|x

【答案】C

【解析】

【分析】

根據題意，依次分析選項中函數的奇偶性與單調性，綜合即可得答案.

【詳解】解：根據題意，依次分析選項:

對于A,/(x)=f+l,是偶函數，在區間(0,+8)上是增函數，不符合題意;

對于B,/(%)=-V,是奇函數，不符合題意;

對于C，/(X)=lg—,是偶函數，在區間(0,+8)上是減函數，符合題意;

|x|

對于。，/(%)=2%是偶函數，但在區間(0,+8)上是增函數，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性的判斷，關鍵是掌握累指對函數的性質，屬于基礎題.

10.“歡樂頌”是音樂家貝多芬創作的重要作品之一.如圖，如果以時間為橫軸、音高為縱軸建立平面直角

坐標系，那么寫在五線譜中的音符就變成了坐標系中的點，如果這些點恰好在函數y=4sin(s;+。)

>0,［如<的圖象上，且圖象過點2)相鄰最大值與最小值之間的水平距離為則使得函數

單調遞增的區間的是()

兀兀兀5兀

5兀3兀5兀3兀

【答案】B

【解析】

【分析】根據已知得出函數的周期，求出①，根據點的坐標，結合。的取值范圍，求出。的值.然后得出函

數的單調區間，即可得出答案.

7，九2冗

【詳解】由已知可得，-=所以丁=兀，a)=—=2,y=4sin(2x+0).

又圖象過點,所以有4sin

所以，sin

._,..II7Tlltt5兀717兀

因為回〈一，所以—<一+(p<—，

112121212

所以;■+0=$,所以。=々，y=4sin2x+=

12612k12

TVTVJT/JT、冗

由----卜2hi<2x-\---<—+2kn,kGZ可得，------\-kn<x<---\-kn.kGZ,

21222424

所以，函數的單調遞增區間為-二+阮二+癡,keZ.

2424

當左二—1時，單調遞增區間為一■一■——

2424

當左=0時，單調遞增區間為一二,二

2424

17兀29兀

當％=1時,單調遞增區間為'24^^A

對于A項,故A項錯誤;

24324

,一，、,77171571.,

對于B項,因為----<一<—，故B項正確;

224824

為

因3兀1771

對于C項,<—<---,故C項錮昧;

224824

為

因5兀17兀..

對于D項,<—<---，故D項錮厭.

24824

故選：B.

11.已知產是拋物線C：/=2四的焦點，尤=—2是拋物線C的準線，點N(Oj)(fxO)連接7W交

拋物線。于M點，“N+ME=0，則△OWV的面積為()

A.6B.3C.2A/2D.4A歷

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出拋物線方程，進一步求出M,N的坐標，最終求出答案.

【詳解】：x=—2是拋物線C的準線，

，P=4,拋物線y2=8%

尸(2,0)

?；MN+MF=O

為NF的中點，即M的橫坐標為91,代入V=8x,得到>=20,

”(1,2。

；?N(0,4偽

S^OFN=gx2義4&=40.

故選：D.

12.設定義在R上的函數“可滿足/'(司+/(力=3*b，且"0)=0,則下列結論正確的是()

A./(九)在R上單調遞減B./(%)在R上單調遞增

C./(九)在R上有最大值D./(九)在R上有最小值

【答案】C

【解析】

3

【分析】根據己知可得e"(x)=d+c,由/(0)=0求出c可得/(%)=工，利用導數判斷/(九)單

e%

調性可得最值情況.

【詳解】因為解(力+〃力=3娛：所以e"'(x)+e"(x)=3%2,

可得［e"(X)］=ex/，(x)+e"(x)=3x2，

可得e"(x)=d+c(c為常數)，

因為/(0)=0,所以e°/(0)=0+c=0,解得c=0,

所以〃x)=《，/(耳=3日—「2(37),

7exexxexex

當x>3時,r(x)<0,/(%)單調遞減，

當x<3時，盟x)>o,/(x)單調遞增,

所以/(尤)在x=3時有極大值即最大值/(3)=彳=2，無最小值.

ee

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵點是利用己知構造［e"(x)J=eV'(x)+e"(x)=3x2,求出

〃龍).

第II卷（非選擇題共90分）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知單位向量。，）滿足（2a+b）D,則。與的夾角為.

【答案】—

3

【解析】

【分析】利用向量垂直點乘等于零和數量積公式求解.

【詳解】因為。，匕是單位向量，所以忖=忖=1,

因為（2a+Z?）_LZ?,所以（2a+Z?>Z?=0,所以2a.b+Z?=0，

所以21al?M-cos<a,b〉+M=0,

所以2以)5<。乃>+1=0,所以cos<〃,Z?>=-g,

11一一2兀

因為<a,b>e[0,?t],所以<a,/?>=§.

故答案為：—

3

14.函數/(%)=<卬\。，則…3）+川嗚3）=

【答案】11

【解析】

【分析】根據分段函數解析式，結合對數運算，求得所求表達式的值.

【詳解】依題意/依3）+〃log23）=

22

log2（l+3）+4啕3=iOg22+2?i哂3=2+2夠好=2+3=11.

故答案為：11

【點睛】本小題主要考查分段函數求值，考查對數運算，屬于基礎題.

15.已知..ABC中，AB=3,AC=2,NA=60°,貝UABC的外接圓面積為.

田、7兀

【答案】一

3

【解析】

【分析】利用余弦定理求解邊長BC,再利用正弦定理求解外接圓半徑，即可得外接圓面積.

【詳解】解：根據題意，由余弦定理可得

=AB?+人。2—2AgxACXcosA=7n=近，

該的外接圓的半徑為r,

cBC幣2問而。27兀

則由正弦定理得：2-=4=走=k='=亍0S="=y

V

7兀

故答案為：—.

3

16.已知正三棱錐的各頂點都在表面積為64兀球面上，正三棱錐體積最大時該正三棱錐的高為

【答案】—##5—

33

【解析】

【分析】根據球的性質，結合導數的性質、棱錐的體積公式、球的表面積公式進行求解即可.

【詳解】因為?=4萬尺2=64%，所以正三棱錐外接球半徑尺=4,

如圖所示，設外接球圓心為。，過P0向底面作垂線垂足為D,0D=a(Q<a<4),

要使正三棱錐體積最大，則底面ABC與尸在圓心的異側,

因為尸—ABC是正三棱錐，所以。是ABC的中心，

所以OP=Q4=4,AD=A/CM2-C>￡>2=J16-/，

2萬______

又因為44￡)3==，所以AB=gC=AC=百xJ16—a?，

2

SAABC=-^xABxACxsiny=^^-(16-a，

所以％-ABC=gxS44BcX尸。=字義(16—4)x(4+a)=手(—/—4/+16。+64)，

令f(a)=-a3-4〃+16a+64,(0<a<4),

4

f\a)=-3?2—8a+16=—(3a-4)(?+4)=0解得a=-4或§,

當ae°，|J，/'(a)>°；當f\d)<0,

所以/(a)在0,g]遞增，在遞減，

4416

故當時，正三棱錐的體積LTBC最大，此時正三棱錐的高為a+0P=]+4=1,

故正三棱錐體積最大時該正三棱錐的高為3.

3

故答案為：一

3

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.等差數列｛a“｝中，a2-4,a4+a7=15.

(1)求數列｛q,｝的通項公式；

(2)設匕“=2%—?+",求4+%+=2-----的值.

【答案】(1)4=3+5—l)xl="+2；(2)2101

【解析】

【詳解】(I)設等差數列｛4｝的公差為d.

14+d=4

由已知得j(q+3d)+(%+6d)=15，

a.=3

解得<,,?

a=1

所以%=ch=n+2.

(II)由(I)可得2=2"+〃.

所以4+4+4+…+4o=(2+l)+(22+2)+(23+3)+-+(2i°+]0)

=(2+22+23+---+21O)+(1+2+3+---+1O)

_2(1-210)(1+10)x10

=+~2

=(2"-2)+55

=2“+53=2101.

考點：1、等差數列通項公式；2、分組求和法.

18.某市交管部門為了宣傳新交規舉辦交通知識問答活動，隨機對該市15?65歲的人群抽樣，回答問題統

計結果如圖表所示.

回答正確回答正確的人數占

組別分組

的人數本組的概率

第1組[15,25)50.5

第2組[25,35)a0.9

第3組[35,45)27X

第4組[45,55)b0.36

第5組[55,65]3y

(1)分別求出a,b,x,y的值；

(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取6人，則第2,3,4組每組應各抽取多少人？

(3)在(2)的前提下，決定在所抽取的6人中隨機抽取2人頒發幸運獎.求：所抽取的人中第2組至少有

1人獲得幸運獎的概率.

【答案】(1)a=183=9,x=0.9,y=0.2

(2)2人,3人，1人

⑶|

【解析】

【分析】(1)根據頻率分布直方圖的性質，以及頻率、頻數的計算方法，即可求解；

(2)根據第2,3,4組回答正確的人的比，結合分層抽樣的方法，即可求解；

(3)抽取的6人中，第2組的記為0，ai,第3組的記為"，歷，b3,第4組的記為c,利用列舉法求得

基本事件的總數和所求事件中所包含的基本事件的個數，結合古典概型的概率計算公式，即可求解.

【小問1詳解】

解：第1組人數為＜-=10,所以總人數〃=3=100；

0.50.1

第2組人數為100x0.2=20,所以a=20x0.9=18；

27

第3組人數為100x0.3=30,所以x=——=0.9；

30

第4組人數為100x0.25=25,所以)=25x0.36=9；

3

第5組人數為100x0.15=15,所以丁=石=0.2.

【小問2詳解】

解：第2,3,4組回答正確的人的比為18:27:9=2:3:1,

所以第2,3,4組每組應各依次抽取2人，3人，1人.

【小問3詳解】

解：抽取的6人中，第2組的記為ai,ai,第3組的記為加，歷，①，第4組的記為c,

則從6人中任取2人的所有可能的情況有15種，分別為(ai,02),(的,歷)，31,bi),

(ai,bi),(?i,c),(。2,bi),(。2,bi),(ai,fe),(ai,c),(bi,bi),(b\,bi),(b\,c),(歷,bi),(歷,c),

(63,c).

其中第2組至少有1人的情況有9種，分別為(ai,㈤,3,bi),(czi,bi),3,bi),(ai,c),(a2,bi),

(。2,歷)，(。2,bi),(。2,c).

93

由古典擷型的概率計算公式，可得所求概率為百=y.

19.如圖，在四棱錐A48CD中，底面A8CD是平行四邊形，ZBCD=120°，側面，底面ABC。，

（1）求證：501平面PAC

⑵過AC的平面交陽于點〃，若%一…興一山求三棱錐尸一AMC的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）昱

3

【解析】

【分析】（1）由菱形的性質有6。，AC,勾股定理知結合面面垂直的推論可得

根據線面垂直的判定證垂直即可；（2）由上4上面ABCD即可計算Vp.Aco,結合已知條件可求三棱錐

P—AMC的體積；

【詳解】（1）由題意知：底面ABC。是菱形，且AB=AC=2.

/.BD±AC,又在△中AB=B4=2,PB=2^，即NB4B=90。，

APA±AB,又面叢8上面ABC。，面用8面ABCD=AB,R4u面網瓦

，上4_1_面45。。，而BDu面ABCD,有：PA±BD,PA\AC=A,

?1?80工平面P4C；

（2）由（1）知：，面ABCD,有無"n=」|PA「S=!x2x2x2xsin60°=述，

363

而%—PAC~^P—AMC，且%—PAC~5^P—ACD，

.v_B

?^P—AMC-3

【點睛】本題考查了應用幾何圖形的性質，及線面垂直的判定證明垂直，根據已知體積關系結合三棱錐的

體積公式求三棱錐的體積.

20.已知橢圓E:=+2r=1（。〉。〉0）的離心率為3；,與直線/:x—y+百=0有且只有一個公共點.

ab2

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點M（1,0）的直線4與橢圓E交于兩點A,3,若京=2瘍，求直線4的方程

2

【答案】（1）,+y2=i；（2）國土2瓜—小=b.

【解析】

【分析】（1）由題得橢圓方程為*+4/—=0,再把y=x+J?代入并整理，根據A=0得解;

(2)先分析直線的斜率不為。，再設直線的方程為X=)+1,聯立橢圓方程得到韋達定理，再由

威=2向得t的值，即得解.

【詳解】解：(1)由橢圓E的離心率為也，得幺二匕=』,片=4〃

2a24

22

故橢圓方程為二+與=1,/+4/-4尸=0,

4b2b2

把>=%+百代入并整理，得5/+8瓜+20—4/=0，

因為E與4有且只有一個公共點，所以A=0,解得匕=1,

2

所以橢圓的方程為r土+y2=i.

4-

(2)當直線6的斜率為0時，則48的坐標為(—2,0),(2,0),不符合R=2而，

故直線4的斜率不為0，

設直線的方程為x=。+1,代入橢圓方程得卜2+4)V+2什—3=0

則A=4產+12(/+4)>0,

2t3

設人(玉,乂),5(%,%)，則/+%=一百7,%%=一石7

—>—>

AM=(l-xl,-y1),MB=(x2

由京=2瘍，得一％=2%

Af9/—8廠—3nFi

得廠E'3千‘代入‘得而廠解得:

故直線12的方程為x=土至y+1,即氐土2粗y-75=0.

v5

【點睛】方法點睛：求直線的方程，一般利用待定系數法，先定式(從直線的五種方程中選擇一種作為直

線的方程)，后定量(再求出待定系數的值).

21.已知函數/(x)=a(hu?-a)-x.

(1)討論/(龍)的單調性；

(2)證明：當a>0時，f(x)<-3a+2.

【答案】（1）答案見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）求導后對。分類討論，結合導數的符號判斷單調區間即可；

（2）轉化為證明函數的最大值小于-3。+2,構造函數利用導數確定函數的最值可得證.

【小問1詳解】

f（x）=——1=----,x>0

xx

當aWO時，Z（x）<0,則在（0,+a）上單調遞減

當a>0時，4/f（x）=—=0,解得x=。，

X

當0（尤<a時，用勾>0,則“力在（0,。）上單調遞增

當尤>a時,/'（力<。，則/（九）在（。,內）上單調遞減

綜上：當aWO時，“X）在（0,+。）上單調遞減；當a>0時，/（%）在（0,。）上單調遞增，/（九）在

（a,+8）上單調遞減

【小問2詳解】

由（1）得：f（x）ma=f（a）=a（］na-a）-a

要證：/（%）<-3a+2,即證：alna-a2+2a-2<0（a>0）

...2

即證：Ina—CL---1-2<0

a

令g（a）=lna-a_2+2（a>0）,g'（a\=^~

av7a

當0<a<2時,g'（a）>0,則g（a）在（0,2）上單調遞增；

當a>2時，g'（a）<0,則g（a）在（2,+oo）上單調遞減；

所以，8（叫皿=8（2）=1112—1<0從而命題得證.

【點睛】關鍵點點睛：利用導數證明不等式時，一般需要對結論進行合適的轉化，本題轉化為只需/a）的

最大值小于-3。+2,對不等式適當變形，構造函數是解決問題的第二個關鍵所在，一般需利用導數研究

函數的單調性及最值.

（二）選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一

題計分.

［選修4-4：坐標系與參數方程］

x=cosa

22.在直角坐標系：中曲線的參數方程為1.（a為參數），/是G上的動點，P點滿

y=1+sina

足OP=3OM，P點的軌跡為曲線C2.

（I）求的參數方程；

（II）在以。為極點，X軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線y與C1的異于極點的交點為A,

3

與。2的異于極點的交點為8,將曲線C1、。2的方程轉化為極坐標方程后，求|AB|.

x=3cosa

【答案】（I）《cc.（a為參數）.（II）2

y=3+3sin1

【解析】

【分析】（I）直接利用轉換關系應用，把參數方程和直角坐標方程進行轉換.

（II）利用極徑的應用和三角函數關系式的變換的應用求出結果.

【詳解】解：（I）設P（x,y）由于P點滿足OP=3OM，所以捐;由于點M在C」，

X

—二cosa

3x=3coso

所以,整理得G的參數方程<（a為參數）.

y1?y=3+3sin。

1一3=1+sma

（ID曲線Ci的參數方程轉換為極坐標方程